SISTEMI
D’EQUAZIONI
ED EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
LINEARI
Argomenti della lezione
 Equazioni e sistemi
d’equazioni differenziali
ordinarie
 Sistemi d’equazioni
differenziali ordinarie
lineari a coefficienti
continui
EQUAZIONI E
SISTEMI
D’EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
ORDINARIE
Mostreremo, per iniziare, che
un’equazione differenziale d’ordine
n è equivalente a un sistema
d’equazioni differenziali del
prim’ordine di n equazioni
in n funzioni incognite.
Sarà così plausibile la nostra
affermazione che ogni sistema
d’equazioni differenziali d’ordine
qualsiasi è equivalente a un sistema
d’equazioni del prim’ordine in un
numero opportuno di funzioni
incognite.
Un sistema d’equazioni differenziali
di due equazioni in due funzioni
incognite d’ordine 3 è per esempio
il seguente (di forma normale:
nel seguito per semplicità ci
riferiremo a sistemi di
forma normale.)
y  = f (x, y, z, y , z , y )

z
g(x,
y,
z,
y
,
z
,
y
)

  =
  
Un’equazione d’ordine n, si scrive
y
(n)
f
(x,
y,
y
,
,
y
K
=

(n - 1)
)
ed è in generale accompagnata da
opportune condizioni iniziali o al
contorno
Mostriamo come si possa trasformare
l’equazione data in un sistema
equivalente di n equazioni del
prim’ordine in n funzioni incognite
Facciamo le seguenti posizioni
y1 = y

y
y

 2 =

y 
y 3 =

K
K
K
K
K

( n -1)

y
y
n
 =
Allora l’equazione d’ordine n
equivale al sistema del prim’ordine
y1 = y 2

y
y
=
 2
3

y4
y 3 =

K
K
K
K


y
y
,
y
,
,
y
)
f
(x,
K
n
n
=
 
1
2
In generale, un sistema di n
equazioni, ciascuna d’ordine m, è
equivalente a un sistema di n.m
equazioni del prim’ordine.
Useremo la notazione Y per
indicare un vettore colonna avente
n componenti y1, … , yn. In questo
modo un sistema di n equazioni
del prim’ordine in n funzioni
incognite, in forma normale,
si scrive
(1)
Y  = F(x,Y )
in modo simile alla notazione
di una sola equazione
differenziale, dove
y1 
 
y

2
Y =
 M 
 
y 
 n 
e
f1(x, y1 , K , y n )

f2 (x, y1 , K , y n )

F(x,Y ) = 
 KKK
fn (x, y , K , y n )

1
In particolare, se si tratta di un
sistema d’equazioni lineari
Y  = A(x)  Y + B(x)
dove
b1(x)


b
(x)


2
B(x) =
 M 


b (x)
 n

e
a11 (x) a12 (x) K a1n(x)


a21(x) a22 (x) K a2 n(x)

A(x) =
 K
K
K
K 


an (x) a (x) K ann (x)
n2
 1

Qui i coefficienti bi(x) e aik(x)
sono funzioni continue definite su
un intervallo I (che può coincidere
con tutto R)
Il sistema (1) è, in generale,
accompagnato da opportune
condizioni iniziali; si vuole
risolvere il Problema di Cauchy
(1)
Y  = F (x,Y )
con le condizioni iniziali
(2)
Y(x0)=Y0
Notiamo che la soluzione del
pdC (1) + (2) si presta all’
interpretazione geometrica che
già abbiamo messo in evidenza
nella lezione introduttiva
Se la funzione F(x,Y) è
continua, allora esiste una
soluzione del pdC. Se
inoltre sono continue le
derivate parziali delle
componenti fi rispetto alle
yk allora la soluzione
locale è unica.
Si noti che se non sono soddisfatte
le condizioni sulla continuità delle
derivate parziali, la soluzione può
non essere unica
Esempio
y’ = |y|1/2
y(x0) = y0
Dy |y|1/2 = 1/2 |y|-(1/2) sign (y)
Se y0 è ≠ 0, allora la derivata
parziale è continua in un intorno
di y0. Dunque la soluzione locale
è unica. Ma se y0 = 0, non c’è
continuità in alcun intorno di 0.
In questo caso l’unicità può
mancare.
Se y0 > 0, allora la soluzione è
data da
2
x - x 0 + 2 y 0 
y(x) = 



2


per x > x0
Se y0 < 0, allora la soluzione è
data da
2
x - x 0 - 2 -y0 
y(x) = - 



2


per x < x0
Ma se y0 = 0, allora c’è una
soluzione identicamente nulla,
accanto alla soluzione
2
x - x 0 
y(x) = 

 2 
per x > x0
e alla soluzione
2
x - x 0 
y(x) = -

 2 
per x < x0
y
x
0
Il pennello di Peano
x
SISTEMI D’EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
ORDINARIE LINEARI
A COEFFICIENTI
CONTINUI
Ci occuperemo ora della
soluzione del pdC relativo
al sistema
(3) Y  = A(x)  Y + B(x)
Con le condizioni iniziali
(4)
0
0
Y(x )=Y
Se le funzioni bi(x) e aik(x)
sono continue e definite su
un intervallo I (che può essere
tutto R) allora si può dimostrare
che la soluzione esiste, è definita
su tutto I ed è unica.
Accanto al sistema (3), detto
completo, considereremo il
sistema omogeneo
(5) Y  = A(x)  Y
nel quale B(x)  0.
Le soluzioni di (3) o di (5) sono
funzioni definite su I a valori in
Rn, necessariamente continue con
derivata prima continua. Cioè
sono funzioni di classe C1(I,Rn).
converrà considerare l’operatore
differenziale associato a (3) o a
(5)
(6) L(Y)= Y - A(x)  Y
Che a ogni funzione Y(x): I
Rn
associa Y’(x) - A(x) Y; questa è
una funzione continua su I a valori
in Rn. Cioè L è un’applicazione lineare
da C1(I,Rn) a C0(I,Rn).
Le soluzioni di (5) danno dunque il
nucleo di L: ker(L).
Teorema
ker(L)  C1(I,Rn) è un sottospazio di
di dimensione n di C1(I,Rn) .
Ossia ker(L) è isomorfo a Rn.
Si fissi un punto x0 in I e sia Y(x)
una soluzione di (5). Allora Y(x0)
è un vettore di Rn. Se Y1(x) ≠ Y2(x)
allora Y1(x0) ≠ Y2(x0) per l’unicità
della soluzione del pdC (5) + (4).
Se poi Y0 è un arbitrario vettore di
Rn esiste una soluzione di (5) + (4),
per l’esistenza della soluzione del
pdC corrispondente. L’applicazione
N : ker(L)  R
n
definita da
0)
(
)
(
(
)
NY x =Y x
è un isomorfismo tra ker(L) e Rn.
Infatti abbiamo verificato che è
biiettiva; inoltre è lineare. Ma
spazi vettoriali isomorfi hanno la
stessa dimensione: dim ker(L) = n .
Esistono dunque n funzioni
linearmente indipendenti soluzioni
di L(Y) = 0: Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x).
Ogni soluzione di (5) è perciò
una combinazione lineare
delle precedenti funzioni
Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x).
Si noti che, date n soluzioni di (5),
se esse, calcolate in un punto x0,
danno vettori lin. indipendenti
di Rn, allora sono l.i. in ogni altro
punto di I. Ciò è conseguenza
dell’unicità della soluzione del pdC.
Mostriamo ora che tutte le soluzioni
del sistema completo (3) sono del
tipo
Y(x) = Z(x) + Y(x)
dove Z(x) è una soluzione del
sistema omogeneo e Y(x) è una
Soluzione particolare di (3).
Infatti
L(Y ) = L(Z) + L(Y ) = 0 + B(x) = B(x)
Se poi abbiamo due soluzioni del
sistema completo Y(x) e Y(x)
la loro differenza soddisfa
L(Y - Y ) = L(Y ) - L(Y ) = B(x) - B(x) = 0
cioè Y(x) - Y(x) = Z(x) è una
soluzione del sistema omogeneo.
Se Y1(x), Y2(x), .. , Yn(x) sono
soluzioni l.i. del sistema omogeneo,
si dice che formano un insieme
(o sistema) fondamentale di
soluzioni del sistema (5).
La matrice U(x) le cui colonne
sono date da Y1(x), Y2(x), .. ,
Yn(x) l. i., si dice una matrice
fondamentale
Si noti che se det U(x0) ≠ 0 allora
det U(x) ≠ 0 per ogni x in I.
Evidentemente per la matrice
fondamentale U(x) vale l’equazione
U’(x) - A(x) U(x) = 0
La soluzione generale del sistema
omogeneo L(Y) = 0, è una
combinazione lineare dell’insieme
fondamentale:
Y(x) = c1Y1(x)+c2Y2(x)+ .. +cnYn(x) =
=U(x) (c1, c2, .. , cn)T
Il metodo della variazione delle
costanti suggerisce di cercare per
(3) una soluzione della forma
Y(x) = U(x) Z(x)
Si trova
 Z(x) + U(x)  Z’(x) =
= A(x)  U(x)  Z(x) + B(x)
U’(x)
E quindi
(U’(x) - A(x)  U(x) ) Z(x)+
+ U(x)
 Z’(x) = B(x)
Ossia
U(x)
 Z’(x) = B(x)
E finalmente
Z’(x) = U(x)-1
 B(x)
Integrando
Z(x) =  U (t)  B(t)dt
-1
E in conclusione
Y(x) = U(x)  U (t)  B(t)dt
-1
Il metodo per trovare un integrale
particolare del sistema completo
sarà utile anche nel caso di una
singola equazione lineare completa
d’ordine n.