Lezione 6
Dinamica del punto
Argomenti della lezione
• Forze conservative / Energia potenziale
• Conservazione dell’energia meccanica
• Momento angolare / Momento di una forza
• Cenni sui moti relativi
Forze conservative
Ricordiamo dalla scorsa volta
LAB  ( mgy B  mgy A )
Lavoro Forza Peso
Lavoro Forza Elastica
LAB  ( E p, B  E p, A )  E p
1 2 1 2
LAB   kxB  kxA 
2
2

LAB  ( E p, B  E p, A )  E p
B
Lavoro Forza attrito
LAB   d N  ds
A
E p  mgy
Energia potenziale della forza peso
1 2
E p  kx
2
Energia potenziale elastica
Forze conservative
Osservazioni
Nel primo e secondo caso (forza peso ed elastica) il lavoro
dipende solo dalle coordinate delle posizioni dei punti A e B, nel
terzo caso (forza d’attrito) il lavoro dipende dalla traiettoria del
punto materiale.
Nel primo caso si parla di forze conservative
B
I
II
B
B
B
A
A
A
LAB   Fds I   Fds II   Fds
A
N.B. E’ così possibile scegliere il percorso più “comodo”
Forze conservative
Nel caso di forze conservative
B
B
B
B
A
A
A
LAB   Fds I   Fds II   Fds
I
II
A
B
I
E se inverto il senso di percorrenza??
B
A
A
B
 Fds    Fds
A
Forze conservative
B
I
Nel caso di un percorso chiuso ABA
lungo I e II
II
A
B
B
B
B
A
A
A
A
 Fds I   FdsII   FdsI   FdsII  0
Lungo un qualsiasi percorso
chiuso il lavoro è nullo
 Fds
Energia potenziale
LAB  ( E p, B  E p, A )  E p
Non esiste una formulazione generale dell’espressione
dell’energia potenziale, ma dipende dalla forza a cui si riferisce
L’energia potenziale viene definita a meno di una costante.
Esempio.
z
z'
E p  mgz
E ' p  mgz '  mg z  z0 
z0
O
O'
E ' p  E p  mgz 0  E p  cost
Forze non conservative
Tutte le forze che non soddisfano tutto ciò che abbiamo visto
finora sono chiamate non conservative.
Per esse comunque continua a valere il teorema dell’energia
cinetica.
B
L A B

1 2 1 2
 mvdv  mv B  mv A  E k , B  E k , A  E k
2
2
A
All’interno delle forze di tipo non conservativo una particolare
classe è costituita dalle forze di attrito, dette anche forze
dissipative.
Conservazione dell’energia meccanica
Riassumendo abbiamo visto che, nel caso siano presenti solo
forze conservative:
L A B  Ek , B  Ek , A  Ek
LAB  ( E p, B  E p, A )  E p
LAB  Ek , B  Ek , A  E p, A  E p, B
Ek , A  E p, A  Ek , B  E p, B
Principio di conservazione dell’energia meccanica:
Em  Ek  E p  cost
Conservazione dell’energia meccanica
Nel caso siano presenti anche forze conservative:
L A B  Lc  Lnc  Ek , B  Ek , A
Lc  ( E p, B  E p, A )  E p
LAB  E p, A  E p, B  Lnc  Ek , B  Ek , A

 
Lnc  Ek , B  E p, B  Ek , A  E p, A
E in definitiva:
Lnc  Em, B  Em, A

Esempio
Momento angolare
Si definisce momento angolare la seguente grandezza:
L  r  p  r  mv
L
v
L  rp sin 
E’ una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
c
c  ab
r
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Momento della forza
Si definisce momento della forza la seguente grandezza:
M  rF sin 
M  r F
M
E’ una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
r
c
F
c  ab
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Cenni sui moti relativi
z'
P  P'
Supponiamo di avere a disposizione
due sistemi di riferimento cartesiani
Oxy e O’x’y’ e vediamo come
descrivere posizione, velocità e
accelerazione di un punto materiale
P.
z
r'
r
O'
y'
O
y
x'
x
OO'
Posizione di O’ rispetto al sistema Oxy
r
Posizione di P rispetto al sistema Oxy
r'
Posizione di P (P’) rispetto al sistema Ox’y’
Cenni sui moti relativi
z'
P  P'
Supponiamo ora che i due sistemi di
riferimento possano solo
TRASLARE fra di loro, quindi i
versori non variano nel tempo.
z
r'
r
O'
y'
O
y
x'
x
r'  OO'  r
dr d OO ' dr '
v



dt
dt
dt
 v OO'  v'
dv dv OO' dv '
a


 a OO'  a'
dt
dt
dt
Cenni sui moti relativi
z'
P  P'
In definitiva avremo
z
r '  OO '  r

 v  v OO'  v '
a  a
OO '  a'

r'
r
O'
y'
O
y
x'
x
Osserviamo che se
v OO'  cost
Per cui un osservatore su O vedrà
avremo
F  ma
a OO'
a'  a  a OO'
mentre su O’ vedrà
F'  ma'  ma  a OO'   F  maOO'
Cenni sui moti relativi
z'
P  P'
v OO'  cost
z
F'  ma'  ma  a OO'   F'maOO'
r'
r
O'
Finer  maOO'
y'
O
y
Forza inerziale o
fittizia
x'
x
L’osservatore su O’ osserverà una forza differente,
addirittura nel caso in cui per O
Si avrà per O’
Imp
F0
F' 0
Un sistema di riferimento viene detto inerziale se per esso vale il principio di
inerzia
Cenni sui moti relativi
y'
y
P  P'
r'
r
O
Traslazione
v OO '
O'
x'
Rotazione
x

Se i versori variano nel tempo
v  v OO'  v'ω  r'
v t  v  v'  v OO'  ω  r'
se
ω  0  vt  vOO'
se
vOO'  0  vt  ω  r'
Cenni sui moti relativi
E per l’accelerazione??
a  a' aOO'
dω
 ω  ω  r' 
 r'2ω  v'
dt
at
ac
Per ciò che riguarda le forze??
F  ma
a  a'at  ac
F  mat  mac  ma
Cenni sui moti relativi
Moto della terra
g 0  g  ω  ω  R'  2ω  v'
Accelerazione di gravità
per un Sistema Inerziale
Velocità di un oggetto rispetto
al sistema terrestre
Accelerazione di gravità
rispetto a un sistema terrestre
g  g 0  ω  ω  R'  2ω  v'
Forza centrifuga
Forza di Coriolis