Software per il mondo delle costruzioni
Analisi e verifica di strutture esistenti con Midas gen
<Ottobre 2011>
<MADE expo>
<Milano>
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Introduzione
La procedura per la valutazione della vulnerabilità di una struttura soggetta ai carichi statici e
sismici è stata approfondita in molte pubblicazioni da quando le più recenti normative hanno
focalizzato la necessità di valutare la vulnerabilità sismica delle strutture mediante
classificazione delle strutture per priorità, valutazione del livello di conoscenza e del livello di
intervento.
L’ingegnere strutturista affronta quotidianamente la modellazione strutturale di edifici nuovi
costituiti da materiali classici quali acciaio, cemento armato e legno. Per tali materiali, in fase di
progetto, sono sufficienti le ipotesi di linearità elastica.
Le direttive odierne per trattare le strutture esistenti in muratura sono date dall’Ordinanza
3274 (e successive mod.), dalle Linee Guida per il patrimonio culturale e dall’Eurocodice 6. Il
presente intervento intende focalizzare l’aspetto della modellazione numerica con software di
calcolo, delegando in altra sede il problema dei livelli di conoscenza, gli obblighi di intervento,
i coefficienti di sicurezza.
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Introduzione
Normalmente un approccio “a telaio”, con eventuali elementi bidimensionali (“shell”) per muri e
solette, è sufficiente. L’analisi sismica principale è l’analisi dinamica lineare (analisi modale con
spettro di risposta). L’analisi di murature esistenti richiede un approccio diverso per il quale è
necessaria una diversa sensibilità da parte dello strutturista, non ultimo il fatto che la struttura è
esistente e il nostro modello numerico deve superare l’esame di simulare quello che già esiste nella
realtà.
Oggi tale problema è affrontabile grazie agli strumenti software di calcolo come MIDAS e ad una
buona letteratura (referenze nel settore sono, tra i molti, Pande, Lourenço, Rots, Tassios, Tomazevic,
Faella, Modena, Lagomarsino, Magenes) che ha affrontato casi pratici. Anche le normative attuali
guidano l’ingegnere fornendo concreti suggerimenti.
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Introduzione
Non deve spaventare la carenza di informazioni rispetto alla progettazione di nuovi edifici.
Aspetti salienti dell’analisi sono:
-dati geometrici scarsi o mancanti;
-inesistenti informazioni sul nucleo delle strutture massicce;
-la caratterizzazione meccanica dei materiali usati è difficile e costosa;
-vasta variabilità delle proprietà meccaniche dei materiali influenzata dalla artigianalità della
costruzione e dall’uso di materiali “naturali”;
-cambi significativi nei nuclei e nelle costituzioni degli elementi strutturali a causa della lunga durata
dei periodi di edificazione;
-sequenza di costruzione sconosciuta;
-danni esistenti nella struttura sconosciuti;
-regolamenti e leggi spesso non applicabili.
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Introduzione
La scelta della metodologia di analisi deve essere operata sulla base di:
-capacità e sensibilità dell’ingegnere analista (da quello dello studio professionale fino a quello
dell’Ente di Ricerca);
-tempo disponibile (da qualche minuto a più ore di elaborazione);
-budget a disposizione.
Ci si deve aspettare che differenti metodi di analisi diano differenti risultati anche se questo non è
motivo sufficiente per preferire un metodo ad un altro. Piuttosto gli aspetti che devono giustificare
la scelta di un metodo sono:
-adeguatezza tra lo strumento software di analisi e le informazioni a disposizione sulla muratura;
-strumenti software a disposizione dell’ingegnere (l’”engineering” disponibile sia “compatibile” con
lo strumento software usato);
-costi, risorse finanziarie disponibili e requisiti di tempo.
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Introduzione
L’analisi non-lineare non è uno strumento per tutte le strutture e per tutti gli ingegneri, tuttavia è di
regola necessaria per comprendere il comportamento ed il danneggiamento di strutture storiche
complesse, richiedendo altresì una consulenza ingegneristica specializzata. Si preferisca la semplicità
alla complessità e si adotti uno strumento software che possa essere validato e compreso dall’utente.
La muratura, sia un materiale utilizzato per secoli nelle costruzioni, è una composizione estremamente
complessa qualora la si voglia modellare numericamente. Si tratta infatti di un materiale composito le
cui caratteristiche meccaniche, che sono influenzate da un vasto numero di fattori, generalmente non
sono ben note.
Nella pratica ingegneristica molti progettisti adottano analisi elastiche per valutare il comportamento
strutturale delle murature, inserendo valori arbitrari per i parametri elastici e di resistenza. Tali analisi
danno risultati errati e portano a conclusioni altrettanto errate: non sono in generale applicabili alle
murature le semplificazioni ipotizzate nel calcolo di strutture in acciaio e cemento armato.
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Introduzione
MIDAS/Gen e MIDAS/Civil affrontano il tema dell’analisi strutturale delle murature in diversi
modi che permettono, a vario titolo, di discostarsi dall’analisi meramente elastica lineare, con
gradi di accuratezza via via migliori in funzione dei dati sperimentali a disposizione e con una
utilizzabilità di livello ingegneristico, pur essendo ampiamente apprezzati a livello accademico.
E’ utile premettere che la ricerca nel campo delle strutture murarie è tuttora molto attiva e che
molte università preferiscono ancora non sbilanciarsi circa il prevalere di un metodo di analisi
rispetto ad un altro.
L’argomento al centro dell’attenzione negli ultimi anni è la valutazione di vulnerabilità sismica
delle strutture murarie. Vogliamo citare alcun passi di un interessante lavoro di Faella et al.
(2007) che ci pare chiaro nel tratteggiare il quadro dei metodi di analisi numerica in questo
settore.
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Introduzione
«La sicurezza sismica delle costruzioni in muratura può essere valutata sia utilizzando modelli ad
elementi finiti, oramai consolidati se supportati da adeguati dati sperimentali sui materiali, sia
impiegando modelli semplificati (Lourenço 2002, Penna et al. 2004, Lagomarsino et al. 2004, Magenes
2006).
La maggior parte di questi ultimi opera nell’ambito della macromodellazione e consente l’analisi di
intere costruzioni con un onere computazionale ridotto, sebbene a scapito di una lettura precisa dei
meccanismi di deformazione e di danneggiamento della struttura muraria.»
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Introduzione
Risale al 1978 la proposta di Tomazevic concernente il metodo POR, messo a punto per intervenire
sulle costruzioni murarie della Slovenia a seguito del terremoto del 1976, e basato sull’impiego di un
modello ad aste.
Come è noto, il metodo ha validità solo per la tipologia di strutture per le quali era stato ideato
(edifici tozzi con pareti poco forate, fasce di piano rigide e resistenti, significativi carichi verticali) ed
opera sotto numerosissime ipotesi semplificative.
Nonostante questi limiti, il metodo è stato assorbito da alcune normative nazionali ed è stato a lungo
lo strumento più utilizzato, talvolta impropriamente, per la valutazione della sicurezza a collasso
delle strutture murarie
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Introduzione
Molti dei metodi elaborati dopo il POR lo hanno assunto come punto di partenza, cercando di
eliminarne alcuni punti deboli.
Nel 1982 Braga e Dolce rimuovono l’ipotesi di fasce infinitamente resistenti, portano in conto la
variazione della forza assiale nei maschi ed assumono che questi ultimi possano collassare anche per
pressoflessione (Braga et al. 1982).
La schematizzazione “a telaio” delle pareti murarie è successivamente ripresa da Magenes, il quale,
per riprodurre l’elevata rigidezza e resistenza dei pannelli di intersezione tra maschi e fasce, propone
di introdurre tratti rigidi alle estremità delle aste (Magenes 2000, Magenes et al. 2000).
Per i maschi murari propone di assumere un comportamento elastoplastico con soglia di resistenza
corrispondente ad una delle modalità di collasso ipotizzate, mentre per lo spostamento ultimo
riprende la proposta contenuta in (Magenes et al. 1997) basata su di un limite in termini di
deformazione angolare.
Nell’estensione a strutture tridimensionali, infine, la continuità di due pareti ortogonali è riprodotta
attraverso ulteriori bracci rigidi posti alla quota degli impalcati.
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Introduzione
Modelli ad aste di quest’ultimo tipo si stanno sempre più diffondendo (Kappos et al. 2002, Salonikios et
al. 2003), sebbene la maggior parte delle assunzioni di base sia tradizionalmente relativa al calcolo
sismico di strutture in altri materiali.
La metodologia è quindi inevitabilmente affetta da diverse approssimazioni, di cui sembra necessario
valutare la portata.
Tali approssimazioni sono di natura topologica e meccanica nella modellazione degli elementi murari
(maschi, fasce di piano, elementi cordolo, ecc.) e comportano incertezze nella simulazione della
tridimensionalità della costruzione muraria (connessioni tra pareti e tra pareti e solai, comportamento
fuori piano delle pareti, comportamento degli impalcati e della copertura).
L’estensione spaziale del modello richiederebbe inoltre una formulazione tridimensionale del
comportamento degli elementi murari, mentre, invece, si assumono comportamenti indipendenti per
ciascun piano di inflessione, modificando al più le corrispondenti lunghezze deformabili dei maschi
murari.
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Introduzione
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
I prodotti MIDAS consentono di combinare sempre ogni tipologia di materiale, dai materiali
linearmente elastici (utilizzabili in genere per legno, metalli, cemento armato, etc.) a quelli
nonlineari, permettendo quindi di modellare ogni tipologia di struttura composta da qualsiasi
materiale sia in fase di progetto (struttura nuova o estensione di struttura esistente) o di verifica
(struttura esistente).
MIDAS/Gen e MIDAS/Civil implementano numerosi modelli per l’analisi di murature esistenti
mediante una analisi agli Elementi Finiti.
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
Le leggi costitutive di materiale Mohr-Coulomb e Drucker-Prager
Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb viene implementato su una legge costitutiva elastica
perfettamente plastica.
Superata la rottura, secondo la legge di Mohr-Coulomb, il materiale si deforma in modo perfettamente
plastico. Il materiale è inoltre assunto omogeneo e isotropo.
Il modello è ben noto agli ingegneri essendo utilizzato per descrivere materiali disomogenei ed
anisotropi (terreni, rocce, calcestruzzo, ecc.) e fornisce di solito una risposta più che accettabile dal
punto di vista ingegneristico (Benedetti et al., Op.Cit.).
La stessa opera citata indica alcune critiche al modello tra le quali una stima “ottimistica” della
resistenza a trazione, la forzatura all’isotropia del materiale e i problemi connessi alla legge di
scorrimento plastico associato.
Ciononostante un importante “riconoscimento” al criterio di Mohr-Coulomb, nell’applicazione alle
murature, è dato dal DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli
edifici in muratura e per il loro consolidamento”, Par. 2.3.2.1.
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
Le leggi costitutive di materiale Mohr-Coulomb e Drucker-Prager
“Determinazione della resistenza caratteristica a taglio in base alle caratteristiche dei
componenti”. In sostanza il Decreto impone tg pari a 0,4 e 0 pari a fvk0.
Numerosi lavori in letteratura utilizzano il criterio di Mohr Coulomb. I parametri utilizzati sono
riportati nei prossimi capitoli.
Il criterio di Drucker-Prager permette una più agevole convergenza richiedendo analoghi
parametri al criterio di Mohr-Coulomb.
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
Modello “Strumas”
MIDAS implementa un modello di materiale omogeneo equivalente definito ”micro-macro” (Luciano
et al., 1997) in quanto, partendo dalla definizione di un volume elementare rappresentativo e da
differenti legami costitutivi per i tre costituenti (blocchi, giunti di malta orizzontali e verticali),
attraverso una omogeneizzazione, perviene al legame del materiale muratura da utilizzare nell’analisi
al continuo equivalente.
La tecnica di omogeneizzazione è quella proposta da Pande (Pande et al. 1989) e basata
sull’eguaglianza dell’energia di deformazione. Le due ipotesi di base per la costruzione delle proprietà
del materiale equivalente riguardano i blocchi ed i giunti di malta, considerati solidali, ed i giunti di
malta verticali e orizzontali, considerati continui.
Nel suo lavoro Pande assunse che la fessurazione a trazione è la più importante non-linearità che
caratterizza le murature. Il modello prevede in compressione un comportamento indefinitamente
elastico e ad ogni incremento di forze risale dai valori delle tensioni e delle deformazioni all’interno del
volume elementare di riferimento a quelle dei costituenti.
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
Modello “Strumas”
La procedura resta lineare in ogni passo, ma se la tensione principale di trazione in un costituente
supera la resistenza, il suo contributo alla nuova matrice di rigidezza del materiale omogeneizzato
è ridotto o annullato.
La riduzione dipende da un parametro di abbattimento della rigidezza, riducibile a valori prossimi
allo zero, cui corrisponde un comportamento pressoché elasto-plastico (Lee et al., 1996). Le
proprietà del materiale equivalente dipendono, quindi, dalla dimensione media di blocchi, giunti
verticali e orizzontali, oltre che dalle relative caratteristiche meccaniche.
Il Modello Strumas presenta l’indubbio vantaggio di richiedere parametri fisici facilmente
reperibili, evitando di dover interpretare l’angolo di attrito e consentendo di descrivere il
comportamento anisotropo della muratura.
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Introduzione, note sui modelli costituivi per murature
Modello “Strumas”
L’utente di MIDAS potrà inoltre rendersi conto della estrema rapidità e stabilità di convergenza
del modello, che richiede bassi oneri computazionali e non necessita di approfondite esperienze in
problemi di convergenza.
Un importante riconoscimento al modello Strumas è riportato in Faella et al. (Op. Cit.) con un
confronto con un modello di materiale smeared crack presente nel codice di calcolo Abaqus.
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Bibliografia
- D. Benedetti, L. Binda, E. Carabelli, R. Nova, A. Franchi, et al., Comportamento statico e sismico
delle strutture murarie, Clup, Milano, 1982. Capitoli: 1, 3.4, 4
-L. Boscotrecase, Francesco Piccarreta, Edifici in muratura in zona sismica, Flaccovio, 2006.
Capitolo: 14
-L. Santoro, Rischio sismico e patrimonio monumentale, Linee Guida, Flaccovio, 2007. Capitoli:
7, 8, 9, 10
-DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in
muratura e per il loro consolidamento”
-Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri n. 3274/2003, Allegato 2 “Norme Tecniche
per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”
-DPCM 23/2/2006, “Linee guida per la valutazione e riduzione del rischio sismico del
patrimonio culturale con riferimento alle norme tecniche per le costruzioni ed all’applicazione
dell’Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri del 20.03.2003 n. 3274 e ss.mm. e ii.”,
pubblicato in Gazzetta Ufficiale della Repubblica italiana del 7 marzo 2006, n.55
-J. S. Lee, G. N. Pande, et al. (1996) Numerical Modeling of Brick Masonry Panels subject to
Lateral Loadings, Computer & Structures, Vol. 61, No. 4.
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Bibliografia
-Tomaževič M. (1999) Earthquake-resistant design of masonry buildings, Series on Innovation in
Structures and Construction, Vol. 1, Imperial College Press, London.
-Calderini, C., Lagomarsino, S., A micromechanical inelastic model for historical masonry,
Journal of Earthquake Engineering (in print), 2006
-Magenes G., A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, 12th
World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand, 2000
-Faella G., Giordano A., Guadagnuolo M., Modelli semplificati per la valutazione della sicurezza
sismica di opifici in muratura, 2nd WonderMasonry 2, Lacco Ameno 2007
(http://www.dicea.unifi.it/wondermasonry ).
-Lourenço P.B. (2002). Computations on historic masonry structures, Progress in Structural
Engineering and Materials, n.4: 301-319.
-Luciano R., Sacco E. (1997). Homogenization technique and damage model for old masonry
material, Int. J. Solids and Structures. Vol. 34 (24), pp: 3191-3208.
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Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia
(Correggio RE)
La costruzione della chiesa e dei locali contigui risale a 700 anni addietro, nel corso dei quali il
fabbricato è stato interessato da molti interventi di modifica, aggiunte di elementi,
riparazioni e variazioni agli accessi.
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Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia
(Correggio RE)
I locali erano dedicati all’accoglienza ed al conforto, hanno visto le principali vicende della vita
religiosa, sociale e politica della cittadina ed i correggesi, nei secoli, hanno sempre cercato di
intervenire per migliorare e mantenere S.Maria.
Negli ultimi anni si è attivato concretamente un Comitato per la messa in sicurezza della
costruzione, particolarmente danneggiata dagli eventi sismici degli anni 1996 e 2000; (Ampie
notizie storiche, elaborati grafici e tecnici, immagini, sono visionabili e scaricabili visitando il sito
www.studioprandi.com/external).
La disponibilità di accurati rilievi geometrici, dei materiali e del quadro fessurativo, dedotti
attraverso indagini svolte da professionisti, unitamente alle estese informazioni storiche, ha
consentito l’esecuzione di analisi strutturali fondate su dati attendibili
E’ stato necessario ed utile eseguire continui sopralluoghi per avere una adeguata consapevolezza e
conferma delle informazioni derivate dal rilievo.
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Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia
(Correggio RE)
Come a volte accade, gli interventi del passato, eseguiti nel sicuro intento di dare alla chiesa
maggiore bellezza e rappresentatività, con la possibilità odierna di leggerne al vero le conseguenze,
si sono rilevati strutturalmente impropri:
-
la facciata principale, frutto di una sopraelevazione dell’originario porticato, è risultata
inadeguatamente connessa alla parte interna, distaccandosi durante il sisma;
-
l’arco murario sovrastante l’altare, privo o privato della catena per una migliore percezione
liturgica, è pericolosamente instabile;
-
lo scalone principale a rampe voltate, realizzato successivamente alla prima edificazione, soffre
di instabilità riconducibili all’insufficiente contenimento della parete che lo delimita verso il
cortile interno;
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Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia
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-
il portico ed il loggiato sul cortile interno, dotati di pregevoli e snelle volte a crociera, a seguito
del sisma sono stati completamente puntellati,
-
la torre campanaria, sopraelevata due secoli addietro ed impostata su murature esistenti che
solo in parte minore hanno continuità a terra, risulta vistosamente inclinata e lesionata,
-
la nuova copertura della chiesa, eseguita nel 1980 in sostituzione di una copertura lignea
ammalorata e spingente, utilizzando una nuova tipologia strutturale tanto solida quanto rigida,
durante il sisma del 1996, da un lato ha favorito il crollo della contigua ampia e pregevole volta
muraria a padiglione eseguita in foglio, dall’altro ha contenuto gli spostamenti della navata
sottostante, mantenendone la stabilità.
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Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia
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Caratteristiche dei materiali e vincoli
Sono state attribuite diverse caratteristiche meccaniche del materiale costituente gli elementi, cercando di
considerare i vari periodi di edificazione od il posizionamento in zone danneggiate o geometricamente
critiche:
•muratura antica con caratteristiche meccaniche modeste che potessero sommariamente mettere in
conto il degrado del legante, la presenza di fessurazioni diffuse e le connessioni solo parziali tra pareti
trasversali (E=6.000 kg/cm²);
•muratura dei pilastri della cella campanaria, priva di confinamento ed interessata da nicchie per
l’appoggio dell’incastellatura delle campane (E=4.000 kg/cm²);
•muratura meno antica e realizzata con leganti di qualità migliore (12.000 kg/cm²);
•impalcato recente in acciaio e latero-cemento (E=300.000 kg/cm²).
Il vincolamento esterno ha previsto l’incastro al livello delle fondazioni e vincoli secondo allineamenti
verticali che potessero simulare il contenimento operato dalle murature delle costruzioni contigue.
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Caratteristiche dei materiali e vincoli
Caratteristiche meccaniche della muratura
•E = 6000 daN/cm², ν = 0,25
Per quanto riguarda i dati meccanici utili allo svolgimento delle analisi non lineari, tenuto conto di
quanto mostrato in sede di introduzione al problema, i dati necessari sono distinti tra quelli utili
all’esecuzione di:
-analisi di pushover su struttura a telaio equivalente con approccio a plasticità concentrata
- analisi statica non lineare sul modello 2D generale (modello Strumas)
Dati per analisi di pushover su TEQ (valori medi di resistenza per muratura):
-fcm=3 daN/cm2, to=fvk0=3 daN/cm2
Dati per analisi con modello Strumas (valori medi di resistenza singoli componenti delle murature)
-fcm mattone = 50 daN/cm², ftm mattone = 7,5 “
-fcm malta = 25 “, ftm malta = 3,0 “
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Analisi dei carichi
I carichi considerati nel calcolo sono i seguenti (unità di misura daN/m² ):
•sisma SLV ag/g = 0,152
•neve 120
•vento 40
•riempimento delle volte 350
•fregi e decori 50
•manto di copertura 60
•murature 1800
•volte in laterizio 150
•impalcati di copertura 60
Carichi variabili
•su impalcati e volte di piano 200
•su volte scale 400
•su volte sottotetto 50
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Analisi dei carichi – Azioni sismiche
Vengono determinati gli spettri di progetto per il comune di Correggio(RE), considerando un
terreno di tipo C ed un fattore di struttura pari a 2.2
Spettro SLC
Valore max =0.33 ag/g
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Spettro SLV
Valore max=0.26 ag/g
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Tipologia di analisi svolte
Propedeuticamente alla predisposizione del progetto generale di consolidamento e
restauro dell’immobile, si è proceduto:
-
Verifiche statiche semplificate per determinare livelli medi di sollecitazione delle murature, questi
ultimi da considerare per i riscontri con i risultati derivati dalle successive analisi numeriche, meno
intuitive;
-
Analisi sismica globale - elastica dell’intero fabbricato secondo uno schema a telaio equivalente
(TEQ), per l’ individuazione delle zone della costruzione maggiormente gravate;
-
Analisi sismica globale -elastica dell’intero fabbricato operando una modellazione ad elementi finiti
bidimensionali per ottenere risultati di maggiore dettaglio;
-
Analisi sismica in campo elasto-plastico (Strumas) del campanile e delle murature contigue operando
una modellazione ad elementi finiti 2D.
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
La modellazione ai fini di un analisi strutturale di una struttura monumentale presenta notevoli difficoltà.
Allo scopo di generare un modello di calcolo composto da elementi bidimensionali si è rivelato molto
efficiente predisporre un iniziale modello CAD 3D in ambiente Tekla Structures sfruttando il collegamento
automatico disponibile tra questo software e Midas/Gen.
In questo modo si sono potute sfruttare al meglio le potenzialità di modellazione tipiche di un
modellatore parametrico arrivando a generare al “meglio” un plausibile modello di calcolo.
Il collegamento si è rivelato utile anche per meglio sfruttare le diverse competenze in gioco nell’ambito
dello studio di questa opera: da un lato figure più esperte in termini di modellazione architettonica e ben
conoscitrici dell’opera, dall’altro la figura dell’analista più preoccupata di poter gestire un modello FEM
caratterizzato solo dagli aspetti strutturali.
Il modello CAD 3D è stato derivato da modelli CAD DXF piani (tipicamente disponibili in questi ambiti).
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
Il trasferimento dal modello Tekla S. al modello Midas presenta diverse criticità. Una su tutte la
possibilità di trasferire un modello tipicamente tridimensionale (e quindi composto da solidi connessi tra
loro) in un modello FEM costituito da elementi bidimensionali.
E’ necessaria una trasformazione “topologica”. Tutti gli oggetti solidi devono essere trasformati in aree
posizionate in corrispondenza dei piani MEDI dei solidi stessi
Questa operazione viene risolta in automatico grazie alle funzionalità disponibili in Tekla S.
Il modello estratto da Tekla S consiste in macro-aree interpretate dal traslatore Tekla S. – Midas/Gen
come macro elementi PLATE che verranno “meshati” facendo uso degli strumenti di mesh automatica
disponibili in Midas/Gen (Modulo ASWD).
<Ottobre 2011>
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Software per il mondo delle costruzioni
Importazione del modello da Tekla Structures
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Importazione del modello da Tekla Structures
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Importazione del modello da Tekla Structures
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Importazione del modello da Tekla Structures
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Importazione del modello da Tekla Structures
Collegamento bidirezionale fra Midas gen/civil e Tekla Structures
-Geometria del modello (elementi beam, truss, plate)
-Sezioni
-Offset delle sezioni
-Materiali
-Vincoli
-Svincoli
-Carichi
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Modello a Telaio equivalente
Nella modellazione a telaio equivalente (TEQ) sono state operate le seguenti semplificazioni:
-Non sono state modellate le zone sopra/sotto finestra
-Non modellati i maschi molto snelli (L/H>10)
-limitazione nell’ inserimento dei maschi murari a disposizione delle murature secondo 3 direzioni, due
delle quali tra loro ortogonali;
-modellazione degli archi con un elemento trave avente altezza pari alla metà della freccia dell’arco;
-Spostamento dei tiranti alla quota dell’impalcato subito superiore per evitare interruzione dei maschi
murari
Dal punto di vista dei carichi si è mantenuto, per quanto possibile, lo schema di carico adottato nel
modello più generale. In particolare sono state mantenuti gli elementi PLATE delle coperture , gli
elementi BEAM di trasferimento carico, le aste rappresentative delle coperture lignee.
Per quanto riguarda le ipotesi di impalcato rigido anche inq uesto caso sono state conservate le ipotesi di
piano rigido assegnate manualmente nelle diverse zone della struttura tramite l’opzione di RIGID LINK
di Midas/Gen.
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Modello a Telaio equivalente
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Modello a Telaio equivalente
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Modello a Telaio equivalente
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Modello a Telaio equivalente – analisi modale
L’analisi modale è stata svolta facendo uso dei vettori di RITZ.
Questo per tenere conto della presenza di un modello di fatto “ibrido” composto da un numero
limitato di elementi asta equivalente che dialogano con altri elementi 2D utilizzato allo scopo di
meglio considerare i carichi agenti.
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Modello a Telaio equivalente – analisi modale
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Modello a Telaio equivalente
l’analisi modale mostra due modi significativi:
-Modo in direzione X (trasversale alla navata) con attiva la maggior parte della struttura
-Modo in direzione Y (lungo la navata) che attiva una porzione della struttura, in particolare la
parte relativa alla torre campanaria (elemento che si desidera di più investigare essendo piuttosto
danneggiato)
La conferma che il modo 2 movimenta soprattutto la torre è data analizzando i valori dei
coefficienti di partecipazione per il modo n.2. I picchi di valore, nettamente diversi dagli altri, si
hanno per nodi della torre.
Sebbene il modo n.2 risulti parziale, si è ritenuto sufficiente per proseguire nelle indagini dato che
investe la zona più delicata dell’opera.
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Modello a Telaio equivalente
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Modello a Telaio equivalente
Il modello a TEQ viene considerato troppo semplificato per poter procedure ad un analisi di
pushover globale.
Si preferisce procedere tramite una modellazione di maggiore dettaglio per poi arrivare ad un
analisi non lineare applicata su un modello ridotto nell’intorno del campanile.
Per la complessità del modello in esame non sussistono le condizioni per poter eseguire un
analisi di pushover.
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
La modellazione ai fini di un analisi strutturale di una struttura monumentale presenta notevoli difficoltà.
Allo scopo di generare un modello di calcolo composto da elementi bidimensionali si è rivelato molto
efficiente predisporre un iniziale modello CAD 3D in ambiente Tekla Structures sfruttando il collegamento
automatico disponibile tra questo software e Midas/Gen.
In questo modo si sono potute sfruttare al meglio le potenzialità di modellazione tipiche di un
modellatore parametrico arrivando a generare al “meglio” un plausibile modello di calcolo.
Il collegamento si è rivelato utile anche per meglio sfruttare le diverse competenze in gioco nell’ambito
dello studio di questa opera: da un lato figure più esperte in termini di modellazione architettonica e ben
conoscitrici dell’opera, dall’altro la figura dell’analista più preoccupata di poter gestire un modello FEM
caratterizzato solo dagli aspetti strutturali.
Il modello CAD 3D è stato derivato da modelli CAD DXF piani (tipicamente disponibili in questi ambiti).
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
Per quanto riguarda le opzioni di piano rigido si cercato di modellare al meglio:
-la presenza in modo non omogeneo di elementi di irrigidimento (solai lignei)
-L’effetto dell’intervento avvenuto in tempi recenti sulla copertura della navata centrale con capriate
in ferro
-La presenza di una zona centrale di separazione tra la navata centrale ed il cortiletto interno con
volte ad archi
-Nella zona centrale con archi e volte, in corrispondenza dei bordi di collegamento tra pavimento (e
quindi la zona delle volte) ed i maschi contigui, si è neutralizzata la trasmissione delle azioni
flettenti.
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
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Generazione del modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
Nel modello 2D si è cercato di rendere al meglio possibile alcune parti di struttura ritenute molto
importanti ai fini della valutazione dello stato dell’opera e del possibile intervento di adeguamento:
-modellazione della torre campanaria, in particolare delle sue pareti che non arrivano da nessun lato al
terreno e che si innestano in modo diverso, sui diversi lati nel corpo della chiesa
-Collegamento tra l’arco principale e l’arco retrostante che si collega alla torre
-Modellazione dell’interazione tra le catene in acciaio e le spalle degli archi della navata principale
- Modellazione delle aperture
La modellazione di tutte le pareti e delle zone di dettaglio è stata svolta tramite il modulo ASWD
adottando una taglia media per gli elementi di circa 40 cm e considerando uno schema di mesh del tipo
QUAD+TRIA (max numero di elementi QUAD e minimo di TRIA laddove non risulti possibile a meno di
inaccettabili distorsioni inserire un elemento a 4 nodi)
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali - Vincoli
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Modello con elementi bidimensionali
Analisi elastica statica per carichi verticali
L’esame delle tensioni principali di trazione (delimitate ai valori +3 kg/cm2 e -25kg/cm2) mostrano come
la struttura in buona parte esibisca tensioni inferiori ai limiti suddetti. Le parti più sollecitate sono quelle
in corrispondenza della chiave dell’arco maggiore e della base del campanile.
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Modello con elementi bidimensionali
L’esame delle tensioni principali di COMPRESSIONE (delimitate ai valori -3 kg/cm2 e 0kg/cm2)
mostrano come la struttura in buona parte esibisca tensioni di compressione nella maggior parte contenute
in questo range. In particolare alla base della struttura, questi valori sono coerenti con quelli ottenuti da
calcolazioni manuali di validazione.
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Modello con elementi bidimensionali
Questo primo riscontro del modello 2D consente di ritrovare un primo risultato importante, riscontrato in
modo evidente dall’opera (vedi immagine sottostante)
La lesione nell’arco principale consegue ad una spinta verso l’esterno della zona dell’arco principale.
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
Analisi modale
Tenuto conto dell’elevato numero di gdl del modello , conseguente alla presenza di elementi truss e di
elementi bidimensionali lastra/piastra, per l’estrazione degli autovalori è stato impiegato in metodo di
Ritz.
Le masse sismiche sono generate applicando coefficienti unitari ai carichi permanenti e pari a 0,8 ai
carichi variabili.
Per quanto riguarda la generazione delle masse sismiche:
-i carichi statici vengono trasformate in masse nodali
-Il peso proprio degli elementi finiti presenti viene trasformato in massa senza operare alcuno
spostamento della masse
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Modello con elementi bidimensionali
Analisi modale
I principali modi di vibrare sono particolarmente significativi in quanto oltre a movimentare le percentuali
maggiori delle masse, hanno periodo corrispondente ai massimi valori di spettro.
I modi di vibrare principali evidenziano chiaramente la rilevanza degli spostamenti del campanile rispetto
al resto della costruzione, ciò in coerenza al livello di danneggiamento riscontrabile al vero.
E’ interessante notare come si ritrovano valori simili a quelli del modello TEQ.
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
Analisi dinamica modale
Questa analisi considera la struttura soggetta ad azioni laterali nelle due direzioni X ed Y determinate
calcolando per ogni nodo le masse derivanti dal “peso sismico” calcolato secondo la normativa NTC2008.
In corrispondenza di ogni nodo della struttura viene calcolata la forza d’inerzia moltiplicando la
corrispondente massa sismica per la massima accelerazione orizzontale derivata dagli spettri di progetto
per SLV e SLC.
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Modello con elementi bidimensionali
Analisi dinamica modale
L’analisi degli spostamenti relativi ad una combinazione sismica (includendo i carichi statici) mostra in
modo evidente come il campanile risenta in manierà più forte dell’azione sismica.
Gli spostamenti, sebbene risultanti da un modello elastico, mostrano valori non lontani da quelli riscontrati
da recenti misurazioni.
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Modello con elementi bidimensionali
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Modello con elementi bidimensionali
Dall’analisi delle tensioni principali di trazione (delimitata tra –25 e +3 daN/cm2), relativa ad un caso di
carico comprensivo dell’azione sismica, si evidenzia la presenza di zone ampie in cui viene superata la
resistenza a trazione del componente più debole (malta).
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Con l’intenzione di ottenere maggiori informazioni sul comportamento del campanile, si è proceduto ad
una modellazione limitandosi alla seguente porzione:
-campanile ed arco principale
-Volendo valutare in maniera accettabile il vincolo offerto dalla struttura è stato modellato un intorno di
questa zona. I contorni di questa zona sono stati vincolati in modo fisso tenendo conto delle direzioni di
vincolo offerta dalla struttura completa.
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Il modello parziale è stato generato allo scopo di valutare la capacità portante del campanile, tenendo
conto del comportamento non lineare delle murature.
Le azioni agenti su questo modello saranno:
-azioni verticali relative ai carichi agenti sulla porzione di modello
-Le azioni laterali sono quelli derivate dal modello completo
Volendo svolgere analisi in ambito non lineare dovranno essere costruire delle opportune curve di
carico.
Vengono in particolare costruite le seguenti curve:
-Azioni verticali relative alla condizione di carico quasi permanente
-Azioni laterali derivanti dai 2 seguenti schemi di forze (derivate dal modello globale)
nb x,y = forze proporzionali alle masse sismiche
rs x,y = forze di inerzia da analisi modale
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Le azioni laterali vengono facilmente derivate dal modello globale facendo uso di apposite funzionalità
disponibili in Midas/Gen
-per le azioni proporzionali alle masse si estraggono i valori delle NODAL BODY FORCE calcolate in
automatico dal programma facendo riferimento a valori di accelerazione corrispondenti allo stato limite
SLC
-Per le azioni relative alle forze di inerzia si estraggono, dal modello generale, le FORZE DI INERZIA
proporzionali ai modi di vibrare 1 e 2 analizzati in precedenza, facendo riferimento a spetti di progetto
SLC
Avendo Il modello ridotto lo scopo di concentrare l’attenzione sulla zona campanile arco principale le
azioni sopra descritte sono state estratte solo per queste due parti di modello
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Opzioni per l’ analisi statica non lineare
La struttura è soggetta a 4 casi di carico non lineari
I casi di carico rappresentano l’effetto dei carichi quasi
permanenti e di due configurazioni di spinta
orizzontale.
Sono stati selezionati i segni dei carichi orizzontali più
penalizzanti nei confronti del campanile.
Per ognuno dei carichi di pushover si potrà definire
una curva di capacità ed eseguire le verifiche globali in
termini di spostamento
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Opzioni per l’ analisi statica non lineare
Ogni caso di carico non lineare viene fatto crescere
In 10 step. Ognuno degli step ha 30 iterazioni
a disposizione per convergere.
Trattandosi di un analisi in controllo di forza, a
partire dai valori delle azioni laterali derivate dal
modello globale e relative ad uno spettro SLC di
progetto è necessario eseguire diverse analisi NL.
In ogni analisi le forze laterali vanno incrementate
fino ad arrivare al collasso della struttura che in
termini numerici sarà evidenziato tipicamente
dalla impossibilità a convergere del solutore oltre
un certo step di carico.
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Opzioni per l’ analisi statica non lineare
Trattandosi di una struttura che non presenta uno schema classico piani rigidi / punti
considerabili come punti di controllo dell’analisi si è deciso di adottare uno schema di analisi
statica non lineare con controllo in forza.
Questo approccio garantisce comunque la possibilità di individuare almeno il picco della curva
di capacità in modo da poter sviluppare la fase di individuazione dei diversi stati limite ultimi
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Curva di capacità
La curva di capacità rappresenta, per ogni caso di
carico di pushover, il resoconto della variazione del
valore del tagliante alla base rispetto ad un punto di
controllo della struttura. Nei modelli in cui si
individua una piena rispondenza delle ipotesi di
applicabilità delel analisi di pushover questopunto è
rappresentato dal punto più in alto della struttura
appartenente all’ultimo impalcato (per ipotesi rigido).
In questo caso la scelta del punto non risulta
imemdiata e semplice.
E’ opportuno ipotizzare scelte multiple e la possibilità
di tracciare curva multiple, per ogni analisi NL.
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Opzioni per l’ analisi statica non lineare
Il modello costitutivo della muratura implementato, prevede che la curva di capacità non presenti un
tratto discendente, dato che il comportamento non lineare viene ottenuto abbattendo il valore del
modulo elastico per quelle parti di muratura che abbiano raggiunto i valori di tensione stabiliti come
corrispondenti al raggiungimento del limite elastico.
Si ha quindi la necessità di stabilire un criterio per posizionare il punto finale in corrispondenza del
quale interrompere l’analisi.
Nel caso in esame il punto finale (rappresentativo dell’SLC) è fatto corrispondere al raggiungimento
di un limite in termini di spostamento tra due piani di riferimento:
•Limite spostamento relativo allo SLD = 0.3%H (NTC2008)
•H di riferimento = differenza di altezza tra la sommità del campanile e la quota alla quale il
campanile si isola dal corpo principale del fabbricato = 19.15-11.9=7.25 m
In questo caso si è adottato il seguente criterio: 5*limite SLD = 5*7.25*3/1000 = 10.8 cm
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Caso QP+RSx (SLC)
Punti notevoli del modello in
considerati sono:
-sommità torre
-zona distacco torre – corpo chiesa
-apice arco principale
esame
Viene considerato come picco della
curva il valore ultimo DX raggiunto
dal punto di controllo in sommità del
campanile, in quanto la differenza tra
DX del nodo in sommità – DX nodo base
Ha violato il criterio prima proposto.
<Ottobre 2011>
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Caso QP+RSx (SLC)
Dal punto di vista del solutore
In relazione al caso di carico QP+RSX si nota
oltre lo step 6
Una riduzione drastica della tolleranza con la
quale viene raggiunta la convergenza.
Questo comportamento implica un degrado
nella soluzione , indice di un
danneggiamento che dallo step 6 in poi
diverrà sempre più esteso portando al
collasso della struttura.
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INCREMENT NO. :
1 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.473E-01
INCREMENT NO. :
1 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.226E-10
INCREMENT NO. :
2 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.467E-01
INCREMENT NO. :
2 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.230E-10
INCREMENT NO. :
3 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.476E-01
INCREMENT NO. :
3 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.312E-10
INCREMENT NO. :
4 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.507E-01
INCREMENT NO. :
4 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.417E-10
INCREMENT NO. :
5 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.108E+00
INCREMENT NO. :
5 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.557E-10
INCREMENT NO. :
6 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.100E+01
INCREMENT NO. :
6 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.435E-07
INCREMENT NO. :
7 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.100E+01
INCREMENT NO. :
7 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.223E-07
INCREMENT NO. :
8 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.100E+01
INCREMENT NO. :
8 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.903E-07
INCREMENT NO. :
9 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.100E+01
INCREMENT NO. :
9 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.339E-07
INCREMENT NO. : 10 ITERATION NO. :
2
DISPL. NORM : 0.100E+01
INCREMENT NO. : 10 ITERATION NO. :
3
DISPL. NORM : 0.536E-07
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Ricerca dei target - procedura
- Per ogni curva di capacità è individuato il punto finale di coordinate F*bu e d*bu relativo al
limite di drift precedentemente calcolato.
- Ogni curva di capacità viene scalata secondo il parametro gamma Γ (fattore di partecipazione
del primo modo di vibrare) ottenendo la curva di capacità di una struttura equivalente ad un
solo grado di libertà;
Γ = 1 nel caso di forze proporzionali alle masse
Γ = ΦT x M x τ = 1,2 nel caso di forze proporzionali ai modi
ΦT = autovettore trasposto derivante dall’analisi modale, normalizzato rispetto alla matrice di
massa
M = matrice di massa diagonale
τ = vettore direzionale relativo alla direzione del sisma
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Ricerca dei target - procedura
- Per impiegare gli spettri di risposta elastici ed ottenere informazioni su accelerazioni e spostamenti,
per ogni stato limite, le curve di capacità delle strutture equivalenti vengono approssimate,
applicando il criterio dell’equivalenza delle aree, a curve bilineari equivalenti (con uguali aree sottese
e uguale dissipazione energetica).
- Per ogni curva si individuano: la forza F*y e lo spostamento d*y corrispondenti al passaggio da fase
elastica a non elastica nella curva bilineare equivalente, sono stati individuati tramite una procedura
iterativa, seguendo le indicazioni riportate nella Circolare NTC2008 (7.3.4.1).
- si valutano :
la rigidezza del tratto elastico della struttura bilineare equivalente è pari a k* = F*y / d*y
Il periodo proprio della stessa è pari a: T* = 2̟ (m*/k*)^½
Dalla curva dello spettro elastico in spostamento si determina la richiesta in spostamento S*De(T*).
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Ricerca dei target - procedura
Per tenere conto del comportamento elasto-plastico della struttura equivalente, pur impiegando
spettri di risposta elastici:
se T* > =Tc
d*max = d*e,max
se T* < Tc
d*max = d*e,max/q* x (1+( q*-1) x Tc/T* )>= d*e,max
essendo q*= S*e(T*)/ F*y
se q*< 1 d*max = d*e,max
La richiesta in spostamento per la struttura reale prevede che la richiesta derivata dallo spettro
elastico venga moltiplicata per il fattore di partecipazione Γ.
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Caso QP+RSx (SLC) – post processing finale
Dal sito sismico
ag/g (SLC)=
=0.2
Dal modello
-m*
-fattore GAMMA
=270 Kgf/g (da query)
=1.2 (estrazione dati da tabelle an. modale)
Dalla curva di capacità e dalla bilinearizzazione
-Valori taglio –spostamento (da curve con comando result/stage/step)
-Vmax
=840 KN
-Fy
=450 KN
-Dy
=0.06m
-Calcolo della Ky
=7500 KN/m2
-Calcolo del valore di T* (nota la massa m)
=1.18
d (SLC)=0.118 m < d cap = 0.123 m, verifica soddisfatta
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Caso QP+RSx (SLC)
800
700
B as e S hear [kN]
600
500
400
300
200
S DO F c urve
100
S DO F B ilinear
0
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Displa c e m e nt [m ]
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Modello ridotto con elementi bidimensionali
Note sull’analisi non lineare nel modello generale
Il punto della curva di capacità in cui viene raggiunto il limite elastico della struttura, per ogni caso
di carico non lineare, è lo step di analisi in corrispondenza del quale si ha l’innesco del
comportamento non lineare del materiale. A partire da questa situazione l’analisi non lineare
consente di simulare il fenomeno della ridistribuzione degli sforzi.
Trattandosi di un analisi svolta con un numero elevato di elementi, è probabile che si inneschino
fenomeni LOCALI che portino a singolarità nei valori di tensione (in particolare la principale di
trazione).
Allo scopo di valutare l’importanza di questo aspetto è stata svolta pertanto una valutazione
manuale step per step per capire se queste zone sono effettivamente zone di concentrazione anomala
di tensione (a causa ad esempio di mesh non regolari) oppure effettivi inneschi di non linearità.
La valutazione delle zone di singolarità consente di evitare di considerare punti NON significativi
come punti notevoli di analisi della soluzione (es. stress, punti di controllo per pushover)
<Ottobre 2011>
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Conclusioni
Il modello analizzato ha consentito, nell’ambito di diverse approssimazioni, di arrivare ad
effettuare una verifica sismica in particolare della zona più sollecitata (il campanile) adottando il
criterio richiesto dalla normativa.
Questo criterio fa in realtà più riferimento a schemi di calcolo basati su telai equivalenti e nei quali
è possibile individuare piani rigidi, punti di controllo, ecc.
La disponibilità di questi diversi modelli di calcolo (TEQ, Completo e ridotto) so ritiene sia utile
per poter ipotizzare l’effetto di differenti tipi di intervento, cercando di individuare quello che
porti il massimo vantaggio con un minimo dispendio economico.
<Ottobre 2011>
<MADE expo>
<Milano>
Software per il mondo delle costruzioni
Conclusioni
Sulla scorta di questa modalità di lavoro è
stata attivata una fase di valutazione di
intervento (ancora oggi in fase di indagine in
considerazione di recentissime scosse
sismiche ) per il campanile: si prevede la
realizzazione di un telaio in acciaio interno
che possa ritenersi congruente all’esistente, e
che risultando molto più rigido possa
scaricare la muratura danneggiata.
Anche in questo caso è prevista una
simulazione FEM nella quale verrà inserito il
modello del traliccio nei diversi modelli di
calcolo prima presentati.
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Grazie
<Ottobre 2011>
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