Strategie didattiche: lo studente
da oggetto del processo di
insegnamento a soggetto
dell’apprendimento
• Carlo Marchini
Parma 22 novembre 2010
28 marzo 2011
Alba o tramonto?
Gli interventi di Pesci e Bruno Longo che mi hanno
preceduto hanno avuto entrambi per obiettivo
l’allievo e possibili strategie per favorirne
l’apprendimento.
A mio parere (e non solo mio) apprendere è una
scelta personale, che può esser compiuta solo dal
discente.
L’insegnante può, attraverso la trasposizione didattica,
proporre una sua scala di valori, che può esser
influenzata dalla struttura scolastica, ma
condividerla è una scelta dell’allievo.
Alba o tramonto?
L’insegnante ha un compito gravoso:
•
presentare la materia specifica in modo che essa
venga riconosciuta importante in sé e per le esigenze
di chi apprende
•
presentare anche tutta una serie di pratiche
sociali che sono implicite e costituiscono la parte
educativa dell’insegnamento.
Alba o tramonto?
Se il punto di vista appena espresso viene
accettato, diviene subito evidente che la
didattica che in modo grossolano si può dire
trasmissiva è destinata al tramonto, perché
lascia poca libertà al soggetto in
apprendimento.
Con trasmissiva intendo una didattica fondata
sull’idea che il sapere sia prerogativa
esclusiva dell’insegnante.
Alba o tramonto?
L’esposizione di Angela Pesci ha messo in
luce i possibili vantaggi di una struttura
cooperativa ideata per responsabilizzare in
ogni istante lo studente, che agisce con
notevole libertà, in un gioco di
coordinamento.
Nella didattica tradizionale queste attività sono
tutte demandate al singolo che è però
pensato come un esecutore addestrato.
Alba o tramonto?
Si è quindi proposta un’azione esterna a
surrogare/integrare quella interna del
soggetto con lo scopo anche di fare
apprendere il valore del lavoro di team, un
obiettivo trans-disciplinare socialmente
importante.
Alba o tramonto?
Nell’intervento di Paola Bruno Longo, si è
messo in luce che l’apprendimento è
sempre, come dicono Bachelard e
Brousseau, un apprendimento contro, in cui
le conoscenze pregresse, per il soggetto
possono (ed è bene che lo facciano) essere
di ostacolo al raggiungimento di un livello
maggiore di consapevolezza.
Il ruolo della partecipazione sociale è
determinante per la riuscita del progetto.
Alba o tramonto?
Possiamo dire che entrambi gli interventi si
coordinino e si integrino per offrire un
panorama accattivante di quella che
potrebbe essere l’alba di una nuova
didattica.
Il problema dell’oggetto
• La mia presentazione si pone in una ottica di
continuità con quanto visto negli incontri
precedenti, ma sposta l’attenzione su
l’oggetto di insegnamento, invece di limitarsi
all’esempio episodico.
• La scelta dell’argomento deve essere tale da
coinvolgere lo studente e fargli apprezzare il
grado di libertà che il tema gli permette, per
realizzare il proprio percorso.
Il problema dell’oggetto
• Per fare questa scelta mi baso sui
seguenti fattori:
– I programmi (o le indicazioni)
– La ricerca in Didattica della Matematica
– L’esperienza personale di ricerca.
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
primaria :
– Dare stime per il risultato di un operazione.
– Utilizzare i numeri decimali, frazioni e
percentuali per descrivere situazioni
quotidiane
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
primaria :
– Rappresentare i numeri conosciuti sulla
retta
– Rappresentare relazioni e dati e, in
situazioni significative, utilizzare le
rappresentazioni per ricavare informazioni,
formulare giudizi e prendere decisioni.
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
secondaria di primo grado:
– Dare stime approssimative per il risultato di
un operazione, anche per controllare la
plausibilità di un calcolo già fatto.
– Rappresentare i numeri conosciuti sulla
retta.
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
secondaria di primo grado:
– Utilizzare frazioni equivalenti e numeri
decimali per denotare uno stesso numero
razionale in diversi modi, essendo
consapevoli di vantaggi e svantaggi che le
diverse rappresentazioni danno a seconda
degli obiettivi.
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
secondaria di primo grado:
– Conoscere il teorema di Pitagora e le sue
applicazioni in matematica e in situazioni
concrete.
– Stimare per difetto e per eccesso l’area di
una figura delimitata da linee curve.
– Conoscere il numero π, ad esempio come
area del cerchio di raggio 1, e alcuni modi
per approssimarlo
Le indicazioni
• Obiettivi di apprendimento della scuola
secondaria di primo grado:
– Rappresentare insiemi di dati.
– In situazioni significative, confrontare dati al
fine di prendere decisioni.
Le indicazioni
• In conclusione, le indicazioni del 2007,
presentano l’allievo come di colui che in
proprio sceglie
– cosa rappresentare,
– come rappresentare,
– quando rappresentare,
– a che scopo rappresentare,
divenendo agente del suo
apprendimento
La ricerca in Didattica della
Matematica
• L’ultima parola della diapositiva
precedente era ‘apprendimento’. Con
essa mi riallaccio alla presentazione di
Bruno D’Amore nella prima conferenza.
• Voglio aggiungere un’altra parola
importante ‘comprensione’ perché
difficilmente ci può essere
apprendimento senza di essa.
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Scrive d’Amore:
“L’apprendimento della matematica non
comprende solo la costruzione di
concetti (noetica), ma consta di almeno
5 tipologie di apprendimenti distinti,
anche se non del tutto privi di
sovrapposizioni:
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Scrive d’Amore:
– apprendimento concettuale (noetica)
– apprendimento algoritmico (calcolare,
operare,…).
– apprendimento di strategie (risolvere,
congetturare,…)
– apprendimento comunicativo (argomentare,
dimostrare,…)
– apprendimento e gestione delle
trasformazioni semiotiche
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Scrive d’Amore:
“apprendere un concetto matematico,
apprendere a fare uso di un algoritmo, a
comportarsi in modo strategico, a
comunicare matematica,… sono tutti
atteggiamenti nei quali si costruisce un
oggetto matematico.”
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Apprendere senza capire può essere il frutto
di un addestramento, non è l’esito sperato di
una attività didattica.
• Capire, e i suoi sinonimi, intendere, afferrare,
penetrare, assimilare, conoscere, concepire,
comprendere hanno radici latine che
esprimono verbi di moto o di azione. Da
questi derivano parole come intendimento,
penetrazione, assimilazione, conoscenza,
concezione, comprensione che si possono
utilizzare come sinonimi.
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Kilpatrick (2009) fa una importante analisi
della parola inglese understanding,
confrontata con l’altra parola comprehension
che viene spesso usata come sinonimo.
Osserva che ‘understanding’ (ciò che sta
sotto) è il risultato della comprehension, il
risultato cui mira l’azione.
• Passa poi in rassegna le varie proposte di
interpretazione e giunge alla presentazione di
un modello dello understanding sulla base di
ricerche condotte in vari paesi nel mondo,
finalizzato alla presentazione negli U.S.A. di
un rapporto (2001) dal titolo: Per aiutare i
bambini ad imparare la matematica
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Il risultato dello studio è che il successo
nell’apprendimento della matematica è
l’opera congiunta di 5 componenti (il
modello della treccia a cinque capi) attivi
nel soggetto
– Conceptual Understanding
– Procedural Fluency
– Strategic Competence
– Adaptive Reasoning
– Productive Disposition
La ricerca in Didattica della
Matematica
• Il modello adottato a Singapore (Dindyal,
2005) si è sviluppato indipendentemente.
Descrive l’apprendimento della matematica
con uno schema pentagonale che ha lo scopo
di individuare gli aspetti:
– Contenuti
– Processi
– Aspetti affettivi
che si ritengono indispensabili
nell’insegnamento/apprendimento.
Apprezzamento
Interesse
Confidenza
Perseveranza
Monitoraggio del
proprio
ragionamento
Stima e
approsimazione
Problem
Comunicazione
solving in
Uso di strumenti
Matematica
matematici
Abili/capacità di
manipolazione
ragionamento
aritmetica,
Euristica
manipolazione
algebrica
Concetti
Trattamento dati
Numerici, geometrici, algebrici, statistici
Calcolo esatto “contro” calcolo
approssimato (Kahane, 2002)
• «Nella cultura, questi due tipi di calcolo sono sovente
presentati in opposizione, dove il calcolo approssimato
appare come quello al quale il matematico si rivolge
quando il calcolo esatto diventa insostenibile.
• La realtà è ben più complessa, benché vi sia in questa
visione una parte di verità.
• Nella risoluzione di numerosi problemi nei quali sono
utilizzati dei calcoli, la ricerca di soluzioni esatte non è
né pertinente, né utile.
• Inoltre, anche quando il calcolo esatto è possibile, non è
necessariamente facilmente utilizzabile.
• L’insegnamento non sfugge a tale visione culturale e,
tradizionalmente, la parte accordata al calcolo
approssimato è ridotta. I rapporti tra calcolo esatto e
calcolo approssimato non sono visti nella loro
complementarietà, ma in una opposizione gerarchica di
valori, essendo il calcolo esatto quello nobile.»
Calcolo esatto “contro” calcolo
approssimato (Girnat, 2011)
• «Mrs. D. - The beauty of mathematics is the fact that
everything is logical and dignified. […] Everywhere else,
there are approximations, but not in mathematics. There
is everything in this status it has ideally to be in. [It is
important for the students] to recognise that there are
ideal things and objects in mathematics and that, in
reality, they are similar, but not equal…»
• «Insegnante D. – La bellezza della matematica consiste
nel fatto che ogni cosa è logica e nobilitata. […] In ogni
altra disciplina, ci sono le approssimazioni, ma non in
matematica. Tutto è in questa condizione e ciò deve
idealmente esserci. [È importante per gli studenti]
riconoscere che ci sono cose ideali e oggetti in
matematica e che, nella realtà, essi sono simili, ma non
uguali…»
L’esperienza personale di ricerca
• Ho svolto questa ricerca come membro
di un Gruppo di ricerca, zeroallazero,
nella formazione
Maria Felicia Andriani
Clara Bisso
Silvia Dallanoce
Rossana Falcade
Serafina Foglia
Silvano Gregori
Lucia Grugnetti
Achille Maffini
Carlo Marchini
Michele Rapuano
Angela Rizza
Angela Speroni
Vincenza Vannucci
L’esperienza personale di ricerca
• I membri del Gruppo coprono il
segmento scolastico a partire dalla
Scuola Primaria fino all’Università,
comprendendo scuole secondarie di II
grado di diversi indirizzi.
• I risultati della ricerca sono apparsi su
varie riviste italiane e straniere e si sono
anche concretizzati in tre testi dedicati
agli insegnanti
L’esperienza personale di ricerca
• I testi forniscono esempi di attività svolte
in classe con analisi a priori e a
posteriori e offrono, sulla base
dell’esperienza maturata, suggerimenti
didattici ed approfondimenti culturali e
contenutistici.
• In quanto segue, svolgo il ruolo di
portavoce del Gruppo zeroallazero.
Approssimazione, perché?
• Il tema connette
Matematica Mondo
Fondamentale
esterno
per l’Analisi
matematica
Numeri reali
Limite
Fondamentale
per i problemi di
misura
Applicazioni
Mondo
interiore
Importante
per favorire un
approccio
metacognitivo
Approssimazione, quando?
• Riteniamo che la matematica «elementare»
sia ricchissima di occasioni per familiarizzare
gradualmente con il concetto di limite e che la
scuola dell’obbligo possa svolgere un ruolo
fondamentale nello sviluppo di immagini
mentali favorevoli al suo apprendimento.
• I temi che ci sembrano più ricchi di spunti,
anche per il loro carattere verticale che
consente di riprenderli più volte e da diversi
punti di vista nei vari livelli scolastici, sono
quelli dell’approssimazione, della misura e
delle successioni
Approssimazione, come?
• Misurare aree e lunghezze
I problemi legati alla misura (di lunghezze, di
aree, di volumi) sono presenti nei programmi
in tutti i livelli scolastici.
Solitamente però, con qualche eccezione
nella scuola primaria, essi si riducono al
calcolo di perimetri, di aree o di volumi di
figure particolari (poligoni, cerchio, poliedri,
solidi di rotazione) attraverso formule
specifiche.
Approssimazione, come?
• Misurare aree e lunghezze
Questa impostazione alimenta negli allievi la
convinzione che «ogni problema matematico
si risolva con una formula o un algoritmo
particolare» e che non sia del tutto lecito, in
matematica, utilizzare metodi di
approssimazione
L’area di un laghetto
(Oltre ogni limite…percorsi didattici per insegnanti spericolati, 2005)
• Immagina di vedere
dall’alto un laghetto
di montagna e di
disegnarlo ottenendo
la figura qui a fianco
• L’area della figura grigia si può misurare?
• Se sì, come? Se no, perché?
Obiettivi di ‘L’area di un laghetto’
• Collegare l’esistenza della misura dell’area alla
forma della figura più che all’esistenza di formule
per calcolarla;
• attivare la ricerca di strategie di misura che non si
possono basare sull’applicazione di formule;
• destabilizzare la certezza di poter sempre
determinare esattamente il risultato di un problema;
• assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto
è necessariamente approssimato;
Obiettivi di ‘L’area di un laghetto’
• capire che è possibile scegliere fra più metodi di
approssimazione o applicare uno stesso metodo
con successivi raffinamenti, rendendosi conto di
ottenere risultati con diversi gradi di precisione;
• intuire che, per esempio attraverso quadrettature
sempre più fini, ci si può -almeno teoricamenteavvicinare sempre di più al valore ‘esatto’ della
misura dell’area.
• L’attività può essere proposta individualmente o in
piccoli gruppi. Gli allievi devono disporre di strumenti
da disegno (carta, matita, riga o squadra).
Risultati di ‘L’area di un laghetto’
•
L’attività è stata proposta in classi con allievi dai 9
ai 16 anni, mostriamone alcuni esiti
Domanda 1
L’area della figura grigia si può misurare?
Classe
Età
n. Allievi
Sì
No
Non
risponde
4P
9
19
0%
100%
0%
3 SI
13
22
9%
82%
9%
1 SII
14
22
59%
41%
0%
3 SII
16
12
67%
17%
17%
Risultati di ‘L’area di un laghetto’
Le motivazioni
domanda
del
“no”
alla
prima
• Secondo gli allievi non si può misurare l’area
perché:
• N1 la figura è curva, è irregolare, non è regolare…
(argomentazione esclusivamente qualitativa)
• N2 la figura non ha lati che si possano misurare…
(argomentazione con introduzione di aspetti
quantitativi)
• N3 la figura non è un poligono, non è un cerchio…
(impossibilità di ricondursi a figure note)
• N4 non ci sono formule per calcolare l’area…
(mancanza di formule specifiche)
• N5 altro (nessuna motivazione o risposte di altra
natura)
Risultati di ‘L’area di un laghetto’
Domanda 2
Se sì, come? Se no, perché?
Tipologie di risposte negative
• N1: a causa dell’impossibilità di riferirsi a
figure note (descrizione
qualitativa/quantitativa)
• N2: a causa dell’impossibilità di riferirsi a
formule note
• N3: altro (risposte non pertinenti)
Risultati di ‘L’area di un laghetto’
Domanda 2
Se sì, come? Se no, perché?
Classe
4P
N1
68%
N2
0%
N3
32%
3 SI
1 SII
3 SII
73%
32%
8%
0%
9%
9%
9%
0%
0%
(N1) Anna [L’area non si può misurare perché la figura] ha
delle onde;
Martina: [L’area non si può misurare perché la figura] è
curvosa.
Risultati di ‘L’area di un laghetto’
Domanda 2
Se sì, come? Se no, perché?
Tipologie di risposte positive
L’area si può misurare ma …
• S1 non so come, non ho gli strumenti necessari …
• S2 non ci sono formule …
L’area si può misurare col seguente metodo …
• S3 trasformare la figura in un poligono con la
stessa area …
• S4 decomporre la figura in poligoni o
quadrettarla …
• S5 altre strategie
Risposte corrette, ma…
• Le risposte corrette fanno riferimento a
decomposizioni in poligoni o a quadrettature.
• Tuttavia pochi allievi ammettono esplicitamente
che il metodo seguito produce un risultato
approssimato.
• E anche quelli che lo fanno, sembrano attribuire
all’approssimazione
una
connotazione
negativa, testimoniata dall’utilizzo del termine
approssimativo, al posto di approssimato.
Risposte corrette, ma…
• Leonardo (3 SII) : Forse sì. Tratteggiandola a
maglia di ferro con dei quadratini piccoli forse di
può avere un’idea approssimativa.
• L’idea dinamica di iterazione e di avvicinamento
sempre migliore non è presente in alcuna
risposta.
• Christopher, (SI) propone un metodo «fisico»:
Secondo me sì, ritagliando la figura e
pesandola; dopo aver ottenuto il peso, la
densità e in seguito il volume. E poi si deve
calcolare l’area.
E su scala internazionale?
• Dal progetto PISA (per allievi di
15 anni per misurare le
conoscenze la capacità di
riflettere le conoscenze le
esperienze, nonché su la
capacità di applicarle e
questioni e situazioni del
mondo reale) (OCSE, 2001).
• Stimate l’area dell’Antartide
utilizzando la scala della
cartina.
• Esplicitate il vostro lavoro e
spiegate come avete fatto tale
stima (Potete disegnare sulla
cartina se ciò può esservi di
aiuto).
Ad esempio, in Svizzera
• Il tasso di riuscita 21% (risposta corretta: area
compresa tra 12'000'000 e 18'000'000 km2) con una
variazione da 11 a 28% a seconda dei cantoni.
• I metodi più utilizzati consistono nel calcolare l’area
di un rettangolo o addizionare l’area di varie figure
geometriche regolari.
• Solo pochissimi allievi hanno pensato a calcolare
l’area di un cerchio.
Accettare un risultato approssimato
• La macchia
Che bella figura!
Mario e Giovanna devono trovare l'area
di questa figura:
Mario propone di misurare la superficie
con carta a quadretti del primo tipo:
Giovanna con carta a quadretti del
secondo tipo:
• E tu che
cosa faresti? Hai altre
proposte?
• Quanto misura secondo te la superficie
della figura? Spiega come l’hai trovata.
Obiettivi del problema ‘La macchia’
•
•
•
•
Attivare la ricerca di strategie risolutive che non si
possono basare sull’applicazione di formule;
destabilizzare la certezza di poter sempre
determinare esattamente il risultato di un
problema;
assumere la consapevolezza che il risultato
ottenuto operativamente è necessariamente
approssimato;
capire che è possibile scegliere fra più metodi di
approssimazione o applicare uno stesso metodo
con successivi raffinamenti, rendendosi conto di
ottenere risultati con diversi gradi di precisione.
Accettare un risultato approssimato
• Centrare il Bersaglio
1. Agli allievi viene consegnato un foglio A4, sul
quale segnano il loro numero d’ordine
nell’elenco alfabetico.
2. L’insegnante, alla presenza degli studenti, segna
sul proprio foglio un punto in una posizione a
suo piacimento ed afferma (eventualmente
prospettando un premio) che vince questo gioco
chi, tra loro, saprà rappresentare sul proprio
foglio un punto in una posizione identica alla
sua.
Accettare un risultato approssimato
• Centrare il bersaglio
3. Gli allievi disegnano il loro punto e il docente su
un foglio di carta velina (o forando il foglio in
corrispondenza) rappresenta la nuvola di punti
prodotti dai diversi allievi, numerandoli per poter
riconoscere la posizione relativa a ciascuno di
essi.
4. Nessuno (si spera!) vince.
5. L’insegnante dopo aver annunciato il risultato
«negativo», invita gli studenti a stabilire nuove
regole del gioco.
Accettare un risultato approssimato
• Centrare il Bersaglio
Dall’esperienza si è visto che gli allievi decidono
una distanza al di sotto della quale considerare
"più vincitori" alcuni punti rispetto ad altri.
La scelta avviene «al buio» senza che gli allievi
vedano quanto hanno prodotto.
Si devolve, così, agli allievi la creazione di criteri
di approssimazione, per avere una specie di
graduatoria che nel disegno troverà la sua
rappresentazione in differenti circonferenze
concentriche (come nei veri bersagli).
Accettare un risultato approssimato
• Centrare il bersaglio
6. A questo punto l’insegnante mostra chiaramente a
ciascun allievo dove ha collocato il punto rispetto al
bersaglio.
7. Utilizzando questa informazione gli studenti sono
invitati a fare un secondo e poi un terzo tentativo;
questo li porterà ad avvicinarsi maggiormente al
bersaglio e indurrà (su eventuale invito
dell’insegnante) la necessità di restringere
ulteriormente il “livello di accettabilità”.
8. Discussione finale, e compito scritto (per casa):
«Alla luce dell’attività svolta, perché si può
accettare un risultato non esatto? Quando?»
Obiettivi del problema ‘Centrare il
bersaglio’
Gli stessi del problema ‘La macchia’
•
•
•
•
Attivare la ricerca di strategie risolutive che non si possono
basare sull’applicazione di formule;
destabilizzare la certezza di poter sempre determinare
esattamente il risultato di un problema;
assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto
operativamente è necessariamente approssimato;
capire che è possibile scegliere fra più metodi di
approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi
raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi
gradi di precisione
Ma in questo caso, grazie al contesto motivante, è
possibile dare maggior peso al passaggio dalla
ricerca di un risultato esatto a quella di un
risultato accettabile, in base alla qualità
dell’approssimazione operata
Risultati di ‘Centrare il bersaglio’
Attività proposta in 7 classi (dalla 3 SI
alla 4 SII). Due tipi di risposte:
• connotazione negativa e imprecisa
attribuita all’approssimazione: Secondo
me si può accettare un risultato non
esatto perché come in questo caso
nessuno è stato in grado di centrare il
bersaglio, quindi ci si è dovuti
accontentare (I liceo scientifico)
Risultati di ‘Centrare il bersaglio’
Attività proposta in 7 classi (dalla 3 SI
alla 4 SII). Due tipi di risposte:
• connotazione positiva: consapevolezza
del fatto che si tratti, rispetto ai
problemi più usuali che ammettono
sempre un (unico) risultato, di un
diverso modo di ragionare, comunque
accettabile: Si può accettare perché,
entro certi limiti, si può avere una
”tolleranza” ovvero un margine che
però può fare considerare l’attività
riuscita (I liceo scientifico).
‘Centrare il bersaglio’ dalla 3 P
• Nella mia esperienza l’attività col bersaglio può
essere proposta dalla classe terza, con altri scopi.
• Il gioco si svolge con una prima fase in cui si invitano
a segnare con colori diversi i vertici del foglio,
copiando da quanto fa l’insegnante. Poi si disegna il
punto a caso e gli allievi possono cercare di copiare il
punto lasciando il loro foglio sul loro banco e
venendo alla cattedra, ma usando eventuali
strumenti. Al solito vince chi si avvicina di più.
• Gli allievi presentano in modo naturale un sistema di
riferimento sul foglio con gli spigoli del foglio come
assi. Si introduce anche l’idea di perpendicolarità e
distanza.
• Ovviamente se venisse sollevato il problema della
approssimazione, è una buona occasione per
parlarne.
Accettare un risultato approssimato
• Quadrettare un rettangolo
1. Preparare dei fogli bianchi di forma rettangolare di
misura 18 x 12 centimetri, e 3 ceste contenenti tanti
foglietti quadrati rispettivamente di lato 7 cm, di lato 5 cm
e di lato 6 cm. I quadrati sono di colore diverso: verde
quelli di lato 7 cm, blu quelli di lato 5 cm, rosso quelli di
lato 6 cm. Tutte le misure devono restare ignote agli
allievi.
2. Consegnare un foglio rettangolare ad ogni studente,
chiedendo di non usare righelli o altri strumenti di misura.
3. Mostrare da lontano un foglietto di forma quadrata,
scelto dalla prima cesta (quindi di lato 7 cm).
Accettare un risultato approssimato
• Quadrettare un rettangolo
1. Porre a ciascun allievo la seguente domanda: «Quanti
quadrati vuoi per ricoprire al meglio il rettangolo? Tieni
presente che vince chi si avvicina di più».
2. Annotare le richieste, le discussioni, le contestazioni, le
osservazioni degli allievi che, da parte loro, devono
scrivere quello che stanno facendo e quali sono le loro
conclusioni.
3. Ripetere per il quadrato di lato 5 cm.
Obiettivi del problema ‘Quadrettare
un rettangolo’
•
Il lavoro pratico sulla quadrettatura di un
rettangolo può mettere in luce questioni
relative a:
–
–
l’esistenza dell’area e la sua determinazione,
eventualmente approssimata,
la dicotomia tra teoria e prassi: un problema
‘concreto’ può spingerci a valutare in modo
puramente teorico l'esistenza o meno della
soluzione, indipendentemente dalla sua effettiva
determinazione, ma non ci si può esimere dal
cercarne e determinarne una soluzione attraverso
un processo di misura.
Obiettivi del problema ‘Quadrettare
un rettangolo’
•
•
Destabilizzare l’idea negativa del concetto di
approssimazione, spesso molto diffusa e
dare, invece, un senso positivo ad
un’approssimazione migliorabile ad oltranza,
Avvicinarsi all’infinito
–
–
in potenza, sulla possibilità di migliorare
l’approssimazione
in atto che permette di arrivare al concetto di
limite.
Altri problemi
• Spero che questi esempi possano convincere
l’insegnante
sull’importanza
cognitiva
della
approssimazione e sulle sue applicazioni in verticale.
• Spero anche di avere mostrato come nel caso della
approssimazione lo studente non possa rimanere un
semplice spettatore del ‘teatro didattico’, ma sia
costretto ad entrare in scena come protagonista.
Altri problemi
• Numerosi
altri
problemi,
accompagnati
da
inquadramento teorico, descrizione degli obiettivi,
analisi a priori e a posteriori (in base alla
sperimentazione) sono reperibili sui tre testi (finora
pubblicati) del gruppo zeroallazero:
• Andriani M. F., Dallanoce S., Falcade R., Foglia S., Gregori S.,
Grugnetti L., Maffini, A., Marchini C., Rizza A., Vannucci V.
(2005). Oltre ogni limite: percorsi didattici per insegnanti
spericolati, Bologna: Pitagora Editrice. (Ed. in lingua francese,
2009, a cura del CREM, Belgio).
• Bisso C., Foglia S., Grugnetti L., Maffini A., Marchini C.,
Rapuano M., Rizza A., Vannucci V. (2009). Il sogno di Cirillo e
la sfida della Tartaruga, Bologna: Pitagora Editrice.
• Bisso C., Grugnetti L., Maffini C., Marchini C., Rapuano M.,
Speroni A., Vannucci V. e ARMT. (2011) Alla ricerca del
segmento perduto. Bologna: Pitagora Editrice
Per concludere, un pensiero di
Achille Maffini
• Credo che sull’idea del soggetto che fa scelte razionali si possa
produttivamente lavorare, soprattutto nell’ambito della
approssimazione. In questo caso l’alunno diventa protagonista e
responsabile delle proprie scelte, e questo dovrebbe favorire un
maggior coinvolgimento.
• Secondo questa prospettiva, le problematiche legate
all’approssimazioni diventerebbero non solo un modo per
preparare la lunga strada verso il concetto di limite, ma anche
un approccio metacognitivo al coinvolgimento responsabile del
soggetto nel suo processo di apprendimento, per indurre
soprattutto la convinzione che questo processo è frutto delle
scelte del singolo e non dell’insegnante (il quale invece si
configura solo come colui che favorisce l’acquisizione degli
strumenti necessari a tale processo).
• La capacità di fare scelte responsabili (nel caso specifico il
grado di approssimazione di una misura) diventa quindi capacità
di gestione di una informazione significativa, base sostanziale di
qualunque conoscenza.