Dienes e gli altri
un bilancio delle nuove proposte per la
didattica della matematica nella scuola
primaria negli anni sessanta-settanta
Lucilla Cannizzaro
27 Aprile 2009 -Roma3
Per tessere il nostro racconto
seguiremo alcune … trame che,
sia pure appena delineate, spero
forniscano un visione d’insieme
alla quale appoggiarsi per potere e
volere soddisfare curiosità di
approfondimento
1.
2.
3.
4.
Il contesto legislativo
Il ruolo dell’Editoria
Le riflessioni di alcuni matematici
I Monitoraggi delle riforme e del
quadro culturale
5. I Progetti di Ricerca
6. L’aggiornamento
7. La matematica/la psicologia : all’estero
nel 1950/1952
8. Le buone intenzioni
9. Le invettive e …. ‘lo strapotere’
10. Ricerca di equilibrio
11. Negli anni 60: gli attori matematici
12. Negli anni 60: gli attori non matematici
13. Eredità
14. Dienes
15. Dienes e l’Italia
16.a,b. Dienes e la Didattica della
Matematica
17. Alcune precisazioni
Prendiamo fiato giocando con il materiale
18. Dienes interprete del suo tempo ma anche
precursore
16.c,d. Torniamo ai principi di Dienes
19. Cosa rimane nella didattica quotidiana ?
20. Freudenthal spinge fuori dagli estremismi
21. Tentativo di sintesi: Perché così poco ….?
1. Le riforme: in Italia nel 1938
riforma Bottai
 unifica l’insegnamento nei primi tre anni della
scuola secondaria per i Ginnasi, gli Istituti
Tecnici e gli Istituti Magistrali
 introduce elementi di Algebra nelle terze
classi della nuova ‘Scuola Media’.
2. Ruolo dell’editoria



1960 prima stampa del volume
l’Insegnamento della Matematica
nella collana Didattica Viva della La Nuova
Italia ((NI)) (M. G. Campedelli)
1965, NI traduce di Tobias Dantzig, Il
Numero: linguaggio della Scienza (1954)
(Ragusa Gilli)
1965, Patron Bologna, MPI- OCSE,
Matematica Moderna nella Scuola Media
Riforme ed editoria




La successiva riforma del 1963 riguarda la Scuola
Media Unica Obbligatoria.
1968 traduzione italiana (per LA Nuova Italia (NI))
del libro di Piaget e Szeminska: la genesi del
numero nel Bambino (1941)
nel 1970 L. Tornatore traduce: La formazione
matematica di K Lovell (1966) psicologo (NI)
nel 1977 la SEI di Torino traduce il volume
dell’UNESCO: Tendenze attuali dell’insegnamento
della matematica
3. Riflessioni esplicite dei
matematici

1971, Giovanni Prodi invita alla cautela
La teoria degli Insiemi nella Introduzione alla
Matematica di Base, Scuola Italiana
Moderna, 2, 37-39
ristampato nel 1975 da L’Insegnamento
della Matematica e delle Scienze Integrate,
6, 3, 4-18
1’. Riforme
Il successivo intervento


per la Suola Media è del 1979
per la Scuola Elementare è del 1985
riguardano i Programmi ed metodi didattici:
‘Nuovi Programmi’.
4. Monitoraggi

Per la Scuola media dopo il 1979
editoria e aggiornamenti ‘locali’
Indagine VAMIO, 1988 e nel 1998 a cura del
CEDE organo del MPI

Per la Scuola Elementare dopo il 1985
Piano Pluriennale di Aggiornamento (PPA)
1992 dal CENSIS per conto del MPI
5. I Progetti di Ricerca

nel periodo 1976-1981
Progetto RICME (Comitato per la Matematica
del CNR)

nel periodo 1979-1988 pubblicazione dei
materiali del RICME (con diritti d’autore alla
Mathesis) Armando Armando (e poi CETEM,
Milano dal 1988)
6. L’ Aggiornamento
PPA affidato agli IRRASE
per il Lazio sviluppato dal Dipartimento di
Matematica di Roma1 nel 1990 e 1991,
con materiali pubblicati da NI a partire dal
1991;
modello di aggiornamento a ‘cascata’ mai
monitorato
7. La matematica/la psicologia e
loro ruoli istituzionali: all’estero
nel 1950/1952


Gustave Choquet, Caleb Cattegno con Jean
Piaget, Dieudonnè, Gonseth ed altri fondano la
Commissione per Internazionale per lo Studio e
il Miglioramento dell’Insegnamento della
Matematica (CIEAEM)
presa d’atto della convergenza dei risultati
ottenuti in matematica dai bourbakisti nella
prima metà del secolo e dei risultati della
psicologia genetica dagli anni venti in poi
8. Le buone intenzioni








Nel 1952 in una riunione in Francia emerse l’idea di una riforma
radicale dell’insegnamento della matematica;
prima trasformare l’insegnamento universitario
poi quello secondario
poi quello primario
il modello matematico scelto fu quello bourbakista dagli insiemi
alle strutture
insistenza sul metodo didattico con sottolineatura del metodo per
scoperta a partire dalle attività dei ragazzi
procedere per esempi e contro esempi
arrivare in un secondo momento alla definizione e sistemazione
rigorosa
9. Le invettive e …
lo ‘strapotere’
Nel 1959 a Royaumont ,
 Deudonné … abbasso Euclide, abbasso la
geometria intuitiva
 riempire il divario tra matematica
secondaria e matematica universitaria
 scomparsa della metodologia della
scoperta
 prevalere del metodo espositivo e ripetitivo
10. Ricerca di equilibrio


1962 a Budapest ‘International Symposium of
Mathematics Learning’ sponsorizzato dall’UNESCO
Scaturiscono due filoni:



1.‘Back to Basic’;
2. insegnamento della matematica visto in un sistema più
complesso di problemi
1962 inizia una riforma sistematica
dell’insegnamento della matematica in Ungheria

progetto ‘Post-‘New Maths’, implementato a partire dal
1985 (in sintonia con UCSMP University of Chicago School
Mathematics Project); persona più rappresentativa: Tamas
Varga. (ESM, 9, 1978, 225-244)
11. Negli anni 60: gli attori
matematici

C. Gattegno
Z. P. Dienes *
R. B Davis *
H. Freudenthal
…)
S. Krygowska
G. Polya

W. W. Sawyer

W. Servais

R. Skemp *





Organizzazioni Speciali di Firenze
Ripensando l’Educazione Matematica, Editrice La Scuola, 1994 (ESM,
Cenni di didattica della matematica. (UMI) Pitagora 1979
Come risolvere problemi: Feltrinelli 1976; La Scoperta
Matematica 1979
Guida all’insegnamento della matematica: vol1.
Algebra Intuitiva e vol 2. Ricerca di un metodo,
Boringhieri, 1978
Il Materiale per l’Insegnamento della Matematica
(CIEAEM), NI Didattica Viva, 1965
* prima laurea in matematica e seconda laurea in psicologia
12. Negli anni 60: gli attori non
matematici

Montessori

G. Cuisenaire

J. Piaget
Vygotsky
J.S.Bruner


(Pestalozzi/Frenet/Decroly)
13. Eredità




Per la matematica:
Concezione costruttiva, concezione descrittiva,
concezione formale, concezione sostanziale
Per l’apprendimento della matematica:
apprendimento per ricezione, apprendimento
per scoperta, apprendimento significativo,
apprendimento meccanico
Due movimenti: ‘Back to basic’ e Post-‘New Maths’
Entrambi alimentano il sorgere del IGPME a partire
dal 1976
14. Dienes (1916- ..e complimenti!)

Matematico di formazione (in Inghilterra)
con una seconda laurea in psicologia


1975 in un Symposium on Mathematics
Laboratories sviluppa materiali per scuola
secondaria: esempi di geometrie finite
Traduce in inglese: Rotza Peter, Giocando con
l’infinito (1943 copyright 1957) tradotto in italiano
per Feltrinelli nel1973 a cura di Giulio Giorello

Dienes parla direttamente agli insegnanti

pubblica (con Golding E. W.) molti testi per
insegnanti, pubblicati per O.C.D.L. alla
metà degli anni 60
(tradotti in italiano dalla OS Firenze (alla fine degli anni 60)
Building up Mathematics,
1960, London, Hutchinson

Tradotto in Italiano nel 1964







sei Stati dell’apprendimento della matematica
gioco libero, trial and error activity (play)
giochi strutturati (games ovvero rule bound play)
ricerca di elementi comuni molti giochi diversi
con la stessa struttura, ricerca di isomorfismo
rappresentazione (dettagli irrilevanti di molti
giochi sono accantonati)
simbolizzazione
formalizzazione

1966 il rapporto UNESCO:
Mathematics in primary education:
learning of mathematics by young children
(tradotto dalla SEI di Torino 1977)
… e poi ……







Nel 1974: Learning Logic and Logical Games
Learning Logic and Logical Games The Rational Number Project
(NSF 1979-1992)
Nel 1995: Contributo in English. L. D. 6 Halford, G. S.,
Mathematics Education: Models and Process, Hillsdale, NJ
Lawrence Erlbaum
nel 2000 Mathematics in School
Nel 2002: contributo in onore di R. Skemp
nel 2005 con Scott R. e nel 2006 e 2007 con Ziori E. contributi su
‘measures of unconscious knowledge’ in Psychological Research
and Mind and Society e Quartely Journal of Experimental
Psychology
nel 2006 Intervista nel sito
15. Dienes e l’Italia
• Traduzione, alla fine degli anni 60, di diversi libri
per insegnanti a cura di OS Firenze
• Traduzione (curata da A. Pescarini), per
Feltrinelli 1968, del volume di Dienes del 1963:
Uno studio sperimentale sull’apprendimento
della matematica, con prefazione di Bruner

Visite ripetute nelle scuole elementari dell’Emilia
16. Dienes e la Didattica della
Matematica




16.a. Principio di costruttività
16.b. Principio di variabilità percettiva
16.c. Principio di varietà matematica di
molteplicità di embodiment
16.d. Principio dinamico
16.a. Principio di costruttività

Il pensiero costruttivo precede il pensiero
logico

Comprensione costruttiva precede la
costruzione analitica
Cinquecento è diverso da cinque centinaia *

Le idee matematiche sono costruibili

La struttura di una idea matematica


non può essere ‘estratta’ da oggetti concreti
ma può/deve essere ‘estratta’ da sistemi di
relazioni, sistemi operatori, sistemi di
organizzazioni imposti a collezioni di oggetti.
16.b. Principio di variabilità
percettiva

Modelli hanno caratteristiche che il sistema
modellizzato non ha e viceversa mancano di
caratteristiche che il sistema ha


quindi criteri di riduzione dei distruttori e di
selezione di caratteristiche pregnanti
fare variare il maggior numero di variabili per
favorire l’optimum di esperienza necessaria allo
sviluppo dei concetti
Blocchi Aritmetici Multibase (BAM)




PRIMA fondare un sistema appropriato di
relazioni e di operazioni attraverso il gioco e solo
DOPO usare i BAM come modello che incorpora
la struttura del sistema di scrittura in base dieci
PRIMA il sistema di relazioni deve essere letto nel
materiale attraverso l’espletarsi di attività concrete
DOPO la struttura può essere letto fuori, astratta
come rete di relazioni ed operazioni
.. Cerchiamo informazioni tra le
illustrazioni dei testi ……
17. Verso alcune precisazioni


Piaget: i primi sistemi
relazionali/operatori/organizzativi che il
bambino usa scaturiscono da azioni quali
l’ordinare, il combinare, il separare eseguite
su oggetti concreti
Dienes: non azioni isolate ma azioni
considerate come parte di un disegno, di
una organizzazione di attività così lo
studente passa dal gioco con i blocchi al
giocare con la struttura matematica
In Dienes: precisazioni
1. spesso le azioni sono ‘pensate’ o partono
da rappresentazioni o diagrammi più che
da oggetti concreti, spesso sono
accompagnate dal linguaggio più che da
azioni esplicite
2. talvolta se i bambini sono troppo coinvolti
da dettagli di una manipolazione concreta
perdono l’essenza sulla quale dovrebbero
lavorare
In Dienes: precisazioni
3. l’uso di materiale concreto non garantisce
l’espletarsi di attività concrete
4. può ritardare lo sviluppo concettuale se
l’attenzione non riesce a scivolare dalla
singola azione al sistema si azioni
In Dienes: precisazioni
5. più che sulla concretezza del materiale
concreto l’accento va posto sulla attivazione
dell’attività
6. l’astrazione non è estrazione dal materiale
ma estrazione dalla struttura che va
imposta al materiale
In Dienes: precisazioni
7. il ruolo del materiale è quello di essere un
supporto per l’attività mentale non quello di
essere la base diretta dell’astrazione.
8. i sistemi di attività devono essere costruiti
prima che ad essi sia dato la status di
struttura matematica
In Dienes: precisazioni
9. i processi di generalizzazione e di
astrazione attraverso i quali si costruiscono i
concetti si attuano sulle percezioni degli
oggetti concreti o sulle loro immagini … ma
……
10. È importante anche il passaggio inverso
Prendiamo fiato e vediamo sul
materiale ….ma meglio sarebbe se
fossimo in un laboratorio ……
ad esempio ….





Con I numeri in colore
Con l’uso delle dita
Con uso allargato dei BAM
Con il mondo delle banconote
Con i domino e le carte
16. c. Principio di varietà matematica,
molteplicità di embodiment

Astrazioni semplici, elementari e povere
possono essere fatte da singoli accadimenti,
fatti, modelli

L’astrazione matematica avviene, o viene
costruita quando il bambino riconosce analogie
di struttura comuni, condivise da vari modelli
Laboratorio è: scoprire analogie

BAM, abaci, bacchette

RICME e NP 1985: materiale concreto: materiale
comune e materiale strutturato; l’uso delle mani
nel calcolo, l’uso di calcolatrici per il calcolo

Varietà di sistemi rappresentativi che
interagiscono includendo linguaggio parlato,
simboli scritti, diagrammi, materiali manipolabili,
storie basate su metafore costruite su esperienze
personali
18.a. Dienes, nel il suo tempo:

presa di distanza dalla psicologia genetica
 lo sviluppo spontaneo non è centrale o il solo
centrale

si integra con la Activity Theory;
 interessa anche l’attività di interazione attiva, le
attività verbali servono a concettualizzarle, i
materiali e le rappresentazioni sono elementi
essenziali per lo sviluppo cognitivo perché
sostengono il processo di ‘outsideness’ di contatto
con l’esterno; fondamentale è l’azione e l’azione
orientata
18.b. Dienes precursore:

di paradigmi elaborati da alcuni
cognitivisti in anni successivi :

1. immagini mentali sono legate ad aspetti
concreti delle situazioni ed aspetti verbali
sono evocatori di esperienze concrete
percorsi mentali e schemi intorno ai quali si
trovano organizzati

(Images giocano ruolo determinante nella soluzione
dei problemi Paivio 1971, schemi come ‘metafore’);

2. teoria dell’embodied knowledge e delle
situated cognition: conoscenze ed abilità sono
organizzate intorno ad esperienze tanto quanto
sono organizzate intorno a processi di
astrazione

(Lakoff-Nunez, Da dove viene la matematica. Come
la mente embodied dà origine alla matematica,
Bollati Boringhieri, 2005 (2000))
Esempio in Dienes:
16.d. Principio dinamico


Un sistema estratto da più modelli correlati per
struttura è dinamico: le trasformazioni di un modello
corrispondono alle trasformazioni in un altro
modello
Deve emergere un isomorfismo omeomorfismo
……. STRUTTURALISMO RIEMERGE

Questo ‘dinamicità’ si struttura per cicli successivi

Infiltrazione del pensiero pragmatico inglese che in campo
di educazione matematica ha prodotto i dato vita al
Progetto Nuffield (Zanichelli 1969-1970) e per SMP
(1970s- per la scuola media Zanichelli-UMI 1972)
19. ?? Cosa rimane nella
didattica quotidiana ??
Perché i principi di Dienes per la
fondazione di laboratori matematici
hanno avuto così poco effetto nella
costruzione delle attività di classe
anche in presenza di uso del BAM per
esempio?
Riflettiamo su alcuni esempi:
Da Dienes Golding, Primi passi in matematica, vol II, OS,
1966, pp. 34-35
Da I numeri in colore nella pratica didattica, Editrice La
Scuola, 1994, pag 25
Idem pag 35
Idem pag 67
Idem pag 67
20. Freudenthal spinge a
superare gli estremismi

auspica una appropriazione attiva di idee,
strutture e procedure, e questo comporta la
messa in atto di due categorie correlate e
integrate del pensiero matematico: intuizione
e rigore..
quelle che seguono sono citazioni integrali di Freudenthal:

“Problem solving e imparare per scoperta sono
ormai diventate delle espressioni accattivanti.
Non mi sono mai piaciute quando erano
pronunciate come slogans, e mi piacciono
ancora meno da quando ne ho visto degli
esempi per la prima volta.

Problem solving: cioè risolvere il problema
proposto dall’insegnante o dall’autore del libro di
testo o dal ricercatore di didattica, col metodo
che costoro hanno in testa, piuttosto che con la
procedura del discente, che affronta qualche
cosa come un problema.
Una parentesi …..
Segnalo come particolarmente interessante
per la pratica didattica il volume:

The art of problem posing,
Bruno S. I. – Walter M. I. (edizioni inglesi:
1983, 1990, 2005)
Tradotto da SEI 1988
ancora Freudenthal:

Imparare per scoperta, cioè scoprire ciò che
qualcun altro ha nascosto

Con riferimento ai contenuti da organizzare io
preferirei il termine scoperta; tuttavia, nel
contesto dell’insegnamento, ho scelto da molto
tempo il termine invenzione, che abbraccia
contemporaneamente forma e contenuto,
scoperta di cose nuove e invenzione.

… la costruzione della matematica parte da
contesti molto ricchi; che sono poi quelli che
suscitano l’interesse di chi apprende, e
stimolano la costruzione di procedure
conoscitive e di algoritmi di calcolo; questi
oggetti mentali vengono re-inventati e quindi
interiorizzati consapevolmente, diventano
patrimonio intellettuale del discente e
vengono facilmente ricostruiti laddove
fossero stati dimenticati
21. Tentativo di sintesi:
Perché così poco ….??


Uso dimostrativo in classe; i ragazzi
osservano, non fanno. (violazione del
principio di cotruttività)
I BAM spesso sono stati il solo materiale
usato (violazione del principio di
multiplo/varietà di realizzazione e violazione
del principio di dinamicità)

Perché???. Chi???


Visione della matematica degli insegnanti
che pensano alla matematica come
collezione di regole isolate per manipolare
simboli ed il lavoro con oggetti è visto come
‘troppo infantile’
Emergono meglio le misconcezioni degli
allievi nascoste dietro gli aspetti ripetitivi
degli algoritmi e sono attribuite al materiale
invece che rilevate dal materiale

Perché ??? Chi???
gli attori,
i progetti,
le riforme, ………

.. se Dienes non avesse -….


se gli insegnanti non avessero
se gli insegnanti avessero …..

se la preparazione di base degli insegnati …

se gli universitari non avessero …..
se gli insegnati universitari facessero …..

Una ulteriore trama e una richiesta di
ammenda, una linea di tendenza

Cento anni di ICMI nel volume della Enciclopedia
Italiana del 2008

Chiedo ammenda per un ostracismo attuato: non ho
citato George Papy, perché …..

’ …. in educazione processo di rinnovamento è
lungo e lento e non lineare.’ da J. Howson, VIII
ICME