IL PIACERE DI INSEGNARE IL PIACERE DI IMPARARE LA MATEMATICA LA STORIA DELLA MATEMATICA IN CLASSE: DALLE MATERNE ALLE SUPERIORI INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA LEZIONI ISPIRATE AL PENSIERO E AI LAVORI DI NEWTON Relatore Camiciottoli Andrea Introduzione al concetto di derivata “la filosofia [la natura] è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (e dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, a conoscer i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geometriche senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi, è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” (Galileo Galilei) Introduzione al concetto di derivata LINEE GUIDA DEL LAVORO: • Dare un senso alla matematica proposta ai ragazzi •Trasmettere concetti profondi che lasciano un segno Perché ripercorrere il pensiero di Newton? LA DERIVATA… …qualcosa di più di una Strumento efficace per risolvere problemi di fisica e descrivere una natura che varia nel tempo semplice operazione matematica… Strumento per risolvere problemi matematici Introduzione al concetto di derivata OBIETTIVI DELLE LEZIONI: • Far conoscere il contesto storico: la matematica si sviluppa con la società • Fornire un’interpretazione completa della derivata: velocità di variazione di una grandezza e coefficiente angolare della retta tangente • Conoscere la definizione moderna di derivata: capire come e perché dall’idea iniziale si arriva alla definizione di Cauchy • Saper utilizzare il metodo delle flussioni di Newton per risolvere semplici problemi di vario tipo Introduzione al concetto di derivata I PROBLEMI APERTI DEL XVII secolo LO STUDIO DELLA CINEMATICA Studio del moto dei corpi celesti per la navigazione I problemi aperti Perfezionamento della balistica La cinematica con le flussioni IL PROBLEMA DELLA TANGENTE AD UNA CURVA Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Problema classico che non ha soluzione generale Applicazioni per l’ottica PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO Le critiche LA SOLUZIONE DI QUESTI PROBLEMI PROMETTE VANTAGGI ECONOMICI… I SIGNORI SONO DISPOSTI AD INVESTIRE Introduzione al concetto di derivata LAVORO A CASA I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo (“De quadratura curvarum”) “The length of the space described being continually (that is all times) given; to find the velocity of the motion at any time proposed. Le critiche And hence it is, that in what follows, I consider Quantities as if were generated by continual increase, after the manner of a space, which a Body or Thing in Motion describes.” (“The methods of fluxions”) Introduzione al concetto di derivata LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI “tutte le difficoltà possono essere ridotte soltanto a due problemi : I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche Data continuamente la lunghezza dello spazio descritto (ovvero in ogni istante), trovare la velocità del moto ad ogni tempo proposto. Sia data la velocità del moto continuamente, trovare la lunghezza dello spazio descritto ad ogni tempo proposto.” x, y Grandezze variabili nel tempo x , y Velocità di variazione ox , oy Incrementi dopo un tempo o y Fluenti Flussioni y oy Introduzione al concetto di derivata LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI Consideriamo una pallina che si muove su un piano inclinato e chiamiamo: y lo spazio percorso e x il tempo… I problemi aperti la relazione tra le due grandezze è: La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva y ax 2 y yo a x xo 2 Svolgendo i calcoli e semplificando si ottiene… yo 2axxo ax o 2 2 Problemi di massimo e minimo “Si divida per o e sia diminuita la quantità o Le critiche all’infinito e trascurati i termini evanescenti” y 2ax Velocità istantanea del moto accelerato Introduzione al concetto di derivata LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo “Un cannone spara un colpo da una torre alta 20m in direzione orizzontale. Il proiettile arriva ad una distanza di 40m dalla torre. Con quale velocità iniziale è stato sparato?” 1 2 y 20 x 500 Svolgendo i calcoli si ottiene… 1 y xx 250 Le critiche Sapendo che 1 y x 2 xx 250 x 0 y 9,8m / s 2 x 50m / s y 1 x 50 Introduzione al concetto di derivata “Nel seguito io considero Quantità come generate da un continuo incremento allo stesso modo dello spazio da un corpo in movimento.” I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche “Le linee sono descritte e sono generate non da un'apposizione di parti ma dal movimento continuo dei punti, le superfici dal movimento delle linee, i solidi dal movimento delle superfici, gli angoli dalla rotazione dei lati, i tempi da un flusso continuo e così via. Queste generazioni hanno il loro posto nella natura e si compiono quotidianamente nel movimento dei corpi e si manifestano apertamente ai nostri occhi.” “questa concezione, che le quantità sono generate dal moto locale, è una nozione molto fertile e un eccellente artificio per scoprire le loro proprietà.” ( I. Newton ) Introduzione al concetto di derivata LA RETTA TANGENTE I problemi aperti La curva è generata dal moto di un punto... Quando il punto che si trova in d si muove indietro verso D la retta diventa tangente. La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche DB dc y o m TB Bb xo y m x Introduzione al concetto di derivata LAVORO A CASA Data la parabola di equazione I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche y x2 2x Determina l’equazione della retta tangente nei punti di ascissa 0 e di ascissa 3 Data la relazione tra le grandezze z x y Determina la relazione tra le loro flussioni z xy xy Introduzione al concetto di derivata MASSIMO E MINIMO DI UNA FUNZIONE I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche “Quando una quantità assume il più grande valore che può avere in un dato istante, essa non fluirà né in avanti né indietro. Se fluisse in avanti o, in altre parole, aumentasse il proprio valore, proverebbe che non aveva raggiunto il valore massimo e che sarà maggiore immediatamente dopo. Al contrario, se fluisse indietro o stesse diminuendo, quindi resta soltanto da trovare la sua flussione e supporre che sia nulla.” PROBLEMA DI FERMAT “dato un segmento si richiede di trovare un punto su di esso tale che il rettangolo che ha come lati i due segmenti in cui il punto divide il segmento dato sia massimo.” Introduzione al concetto di derivata PROBLEMA DI FERMAT I problemi aperti “dato un segmento si richiede di trovare un punto su di esso tale che il rettangolo che ha come lati i due segmenti in cui il punto divide il segmento dato sia massimo.” La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo y xL x y 2 x Lx ponendo y 0 2x L 0 da cui: L x 2 Le critiche Il rettangolo di area massima è il QUADRATO Introduzione al concetto di derivata LAVORO A CASA I problemi aperti “Determina il rettangolo di area massima inscritto in un triangolo o in un ramo di una curva” La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche …risulta difficile scegliere la variabile x e scrivere la funzione che la lega all’area del rettangolo Introduzione al concetto di derivata LE CRITICHE AL CALCOLO I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche “cosa sono queste flussioni? La velocità di incrementi evanescenti. E cosa sono questi incrementi evanescenti? essi non sono quantità finite, non sono infinitesimi, non sono niente.” (Berkley) f x xo f x y o O è zero o no? “questo metodo ha il grande inconveniente di considerare le quantità nello stato in cui cessano, per così dire, di essere quantità; infatti, anche se possiamo sempre concepire propriamente i rapporti di due quantità fintanto che esse rimangono finite, il rapporto non offre alla mente nessuna idea chiara e precisa quando i suoi termini diventano entrambi contemporaneamente nulli.” (Lagrange) Introduzione al concetto di derivata LE SPIEGAZIONI DI NEWTON… I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche “Si obietta che non esiste l'ultimo rapporto di quantità evanescenti, in quanto esso, prima che le quantità siano svanite non é l'ultimo, e allorché sono svanite non c'é affatto (...) per ultimo rapporto di quantità evanescenti si deve intendere il rapporto delle quantità non prima di diventare nulle e non dopo, ma quello col quale si annullano…” “Gli ultimi rapporti con cui quelle quantità si annullano sono i limiti ai quali si possono avvicinare per più di qualunque differenza data, e che, però, non possono mai superare, né toccare prima che le quantità siano diminuite all'infinito…” “Nel seguito, se talvolta menzionerò le quantità quanto più piccole possibili o evanescenti o ultime, bada a intendere quantità determinate in grandezza ma pensa sempre a quantità che debbano diminuire senza limite.” Introduzione al concetto di derivata Nel 1821 Cauchy definisce la derivata: I problemi aperti La cinematica con le flussioni Retta tangente ad una curva Problemi di massimo e minimo Le critiche f x h f x y lim h 0 h f x xo f x y o Le flussioni di Newton sono l’antenato della derivata, tutte le proprietà viste per le flussioni sono valide anche per la derivata Introduzione al concetto di derivata La verifica 1 ) Spiega cos’è la derivata di una funzione. 2 ) Descrivi brevemente i motivi che hanno portato lo sviluppo del calcolo infinitesimale. 3 ) Spiega la differenza tra il concetto di flussione secondo Newton e il moderno concetto di derivata. Risultati (16 studenti) Quesito 1: 7 risposte corrette 6 risposte corrette ma con imprecisioni 3 risposte errate Quesito 2: 16 risposte corrette Quesito 3: 13 risposte corrette 3 risposte errate o non date Introduzione al concetto di derivata Conclusioni • L’approccio storico utilizzato ha il vantaggio di trasmettere un’idea ampia del concetto di derivata e fa capire l’importanza del concetto di limite • Viene recepito e ricordato “abbastanza” bene • Possibilità di trarre spunti per eventuali approfondimenti collegamenti interdisciplinari (traduzioni dai testi originali) • Il lavoro ha richiesto 6 ore di lezione che per un corso di matematica di liceo classico sono numero consistente (ne servirebbero anche di più) • è indispensabile un elevato numero di esempi che sono lo strumento più efficace per una chiara comprensione
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