Riflessioni sulla logica
Castelmaggiore 6 marzo 2014
Di che cosa ci occuperemo noi?
della
LOGICA FORMALE
intesa come
studio delle inferenze deduttive
con
una mentalità e un simbolismo matematici
Compiti della logica
1. STUDIARE
il nesso di conseguenza logica tra proposizioni,
predisponendo delle tecniche
per determinare
quando la verità di una conclusione
consegue necessariamente
dalla verità delle premesse
2. DETERMINARE,
date certe premesse,
altre proposizioni
che sono loro conseguenza logica.
LA DEDUZIONE
un potente strumento di verifica
della correttezza dei ragionamenti
MA ANCHE
un potente mezzo di ricerca
come dimostrano
le innumerevoli applicazioni alle scienze
del ragionamento matematico
La logica si propone di realizzare il sogno
leibniziano
Un suo obiettivo come disciplina
è quindi
stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no
e individuare dei “calcoli logici”
che consentano di meccanizzare l’attività deduttiva
e di “dominare”
l’insieme delle conseguenze
di un insieme di premesse,
in modo da poter ragionare
sulle teorie assiomatiche nel loro complesso
Una sola logica?
Attualmente sono state sviluppate
molteplici “logiche”
che si propongono di studiare
aspetti sempre più ampi
dell’attività inferenziale
Le Caratteristiche dei Test
e in particolare di quelli logica
1.
-
Sono composti da
una sezione verbale, che verifica la comprensione linguistica
una parte matematica che verifica la capacità di risolvere problemi che
richiedano ragionamento logico-matematico
2.
Molto spesso vogliono verificare la capacità di utilizzare abilità
acquisite per risolvere problemi nuovi cioè valutano la capacità di:
–
–
–
–
comprendere il significato preciso dei termini, di cogliere termini simili e
analogie etimologiche
capire quale categoria mentale (causa – effetto, contrapposizione …)
stabilisce il rapporto tra le coppie di parole
ritenere le informazioni appena lette, interpretarle
trarre delle conclusioni conseguenti e scartare conclusioni errate,
arbitrarie o non rigorosamente giustificate
Luca Mari (Ordinario scienza della misurazione alla LIUC)
QUALI CAPACITÀ PER I TEST DI LOGICA?
La soluzione dei test di capacità logica
richiede capacità di
– concentrazione
– analisi
– sintesi
– vagliare i dati forniti e di distinguere ciò che
è possibile, necessario o logicamente
inammissibile
ARGOMENTI
•
I INCONTRO:
Uso dei connettivi
Implicazioni logiche
•
•
•
II INCONTRO
Quantificatori
Negazione
•
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•
•
•
III INCONTRO
Schemi di ragionamento
Successioni numeriche
IV INCONTRO
Sillogismi
Condizione necessaria e sufficiente
UN ESEMPIO EMBLEMATICO
DI LOGICA PROPOSIZIONALE
•
•
•
•
•
•
-
Il beffardo mago Atlante ha rinchiuso in un castello fatato Angelica,
l’intelligente principessa cinese.
Angelica è confinata in una stanza con cinque porte contrassegnate
UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE
davanti a ciascuna porta sta un aiutante di Atlante, con il contrassegno
della porta ricamato sul cappello.
La principessa sa che quattro mentono sempre e uno solo dice la verità.
Dietro la porta dei mentitori c’è un drago, dietro la porta di chi dice la verità
c’è la via di fuga.
Angelica riceve queste informazioni:
UNO dice che TRE, QUATTRO e CINQUE mentono
TRE dice che UNO O DUE dicono il vero
QUATTRO dice che TRE dice il vero
Da quale porta deve uscire Angelica: UNO, DUE, TRE, QUATTROO CINQUE?
Come procedere?
La prima cosa da fare è individuare la STRUTTURA DEL QUESITO
Tralasciando tutti gli orpelli inutili il problema può diventare:
DATE CINQUE PROPOSIZIONI, QUATTRO FALSE E UNA VERA,
INDIVIDUARE QUELLA VERA
Le tre indicazioni precedenti si possono rappresentare simbolicamente
così
• 1 = ¬ 3Λ ¬4Λ ¬5 (tre, quatto e cinque mentono)
• 3 = 1 V 2 (uno o due dicono il vero)
• 4 = 3 (tre dice la verità )
La simbologia che avvicina la logica alla matematica presenta vari
vantaggi:
- Riduce le ambiguità delle espressioni
- Consente di “ calcolare la verità” di proposizioni composte a partire
dalla verità delle proposizioni componenti
Risoluzione q.1
• La verità della 4 implicherebbe la verità della 3 ,
impossibile perché due proposizioni sarebbero
vere
• Quindi ¬4 e perciò ¬ 3 allora ¬ (1 V 2) = (per la
prima legge di De Morgan) ¬ 1 Λ¬ 2
• Poiché ¬ 1 allora ¬ (¬ 3 Λ ¬4 Λ¬5 ) = per la 2°
legge di De Morgan ¬(¬ 3) V ¬(¬ 4 )V ¬(¬5)=
3V4V5
• Per la tavola di verità la disgiunzione inclusiva lè
vera se almeno una delle proposizioni è vera
• 3 è falsa, 4 è falsa, allora 5 sarà vera.
Un quesito della prova d’ingresso
della facoltà di Medicina del 1999
• Marco: ”Giorgio suona il sassofono meglio di
tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
• Giorgio: ”Alessandro suona il sassofono meglio
di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
• Alessandro: ”Io non suono il sassofono meglio di
tutti, non sono io il campione del gruppo”
• Matteo: ”Io non suono il sassofono meglio di
tutti, non sono io il campione del gruppo”
• SE solo UNA di queste affermazioni è VERA,
chi è il campione nel suonare il sassofono?
A) Marco B) Giorgio C) Alessandro D) Matteo
Come procedere?
In primo luogo proviamo a riscrivere le
“frasi” nel modo seguente, del tutto
equivalente a prima, ma molto più
maneggevole:
• “Giorgio è il campione”
• “Alessandro è il campione”
• “Alessandro non è il campione”
• “Matteo non è il campione”
Che cosa è stato fatto?
Per ciascuna affermazione
è stato eliminato il nome di chi la
pronuncia
INFATTI
sapere chi pronuncia una data affermazione
non è un elemento rilevante
per decidere se tale affermazione
sia VERA o FALSA.
RISOLUZIONE q.2(
principio di non contraddizione )
A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica dei 2 enunciati
centrali evidenziati in rosso:
Giorgio è il campione
Alessandro è il campione
Alessandro non è il campione
Matteo non è il campione
In che rapporto sono tra loro questi due enunciati?
A condizione di riconoscerne la caratteristica fondamentale, la
soluzione del quesito non è lontana.
I due enunciati, infatti, sono contraddittori.
• Il principio di non contraddizione prescrive che necessariamente
uno deve essere VERO e l’altro FALSO (tertium non datur, cioè non
è ammessa alcuna terza possibilità).
In altre parole, delle due l’una: o Alessandro è il campione, o non lo
è!
Risoluzione q.2
• A questo stadio del ragionamento, noi in realtà non siamo in grado
di dire con certezza quale dei due enunciati sia vero e quale falso,
ma sappiamo con assoluta certezza che uno dei due enunciati è
VERO. Sarà pertanto sufficiente risalire alla domanda all’inizio, che
ci informa che dei 4 enunciati UNO SOLO è VERO…
e ora noi sappiamo che è necessariamente uno dei due enunciati
centrali.
• Dunque, non sappiamo quale dei 2 enunciati centrali sia l’unico
VERO dei 4, in compenso però la conclusione logica che possiamo
trarne è che sono certamente FALSI il primo e l’ultimo
enunciato, perché un solo enunciato dei 4 è vero ed è uno dei 2
centrali aventi Alessandro come soggetto.
SOLUZIONE
1. Dalla falsità del primo enunciato
(“Giorgio è il campione”), segue
chiaramente che Giorgio non è il
campione.
2. Dalla falsità dell’ultimo enunciato, segue
che Matteo è il campione (infatti è falso
che non lo sia!).
UN ALTRO ESEMPIO
Nel diario del giovane Andrea è scritto:
“ Nonno Giorgio dice che quando era giovane ha attraversato l‘Oceano
Atlantico a nuoto e che riusciva a battere in velocità le balene.
Secondo me è una bugia “
Si dica che cosa si può dedurre correttamente
dalla convinzione di Andrea.
•
•
•
•
Se nonno Giorgio riusciva a battere in velocità le balene, allora non ha
attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto.
Nonno Giorgio ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma non riusciva a
battere in velocità le balene
Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma riusciva
comunque a battere in velocità le balene
Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto e non riusciva
a battere in velocità le balene
RISOLUZIONE q.3
Ponendo
p = ha attraversato a nuoto l’Oceano
Atlantico
q = batte in velocità
il testo può essere rappresentato così
¬ ( p Λ q) = ¬ p V ¬ q per la legge di De
Morgan,
QUINDI
Risoluzione q.3
le quattro possibilità di risposta diventano
q→¬p
p Λ¬ q
¬ pΛq
¬ pΛ¬q
¬ p V ¬ q è sempre vera tranne quando
entrambe le proposizioni sono false, quindi la
proposizione che si può correttamente dedurre
deve essere una tautologia
SOLUZIONE: la risposta corretta è la a
Soluzione q.3
¬p V ¬q
q →¬ p p Λ¬ q
¬pΛ q ¬p Λ¬q
¬p
¬q
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
Quarto esempio(
I legge delle inverse
L’affermazione
“ quando bevo troppo mi si gonfia lo stomaco” implica
che
A ) Non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo
B) A volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo
bevuto troppo
C ) Se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto
troppo
D) Se mi si gonfia lo stomaco allora vuol dire che ho bevuto
troppo
E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco.
RISOLUZIONE
Ponendo
p = bevo troppo e q = mi si gonfia lo stomaco
Il testo del problema è : p →
q
• La soluzione si può certamente “ ricercare intuitivamente “ e forse
questa, per chi ne è capace, risulta la strada più efficace.
• Si può seguire la strada algoritmica, tradurre ogni risposta usando i
relativi connettivi e ricercare attraverso le tavole di verità la
tautologia
• Consigliabile è applicare la prima legge delle inverse: se una
proposizione è vera è vera anche la contro nominale cioè
p→q
allora
¬ q →¬ p
La risposta corretta è la C
Quinto esempio
P = dorme
pesci
•
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•
•
•
Da “ Chi dorme non piglia pesci
= p →¬q
dove
q = prende pesci quindi ¬ q = non prende
segue logicamente
Chi piglia pesci dorme .
q→p
Chi piglia pesci non dorme
q →¬p
Chi non piglia pesci non dorme
¬q→¬p
Chi non piglia pesci dorme
¬q → p
Nessuna delle altre alternative proposte
Sesto esempio(
principio di non contraddizione
• In un sacchetto ci sono alcune biglie:
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Maria dice : nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e sono nere
Luca dice: Nel sacchetto ci sono due biglie nere e due biglie rosse
Giorgio dice: Nel sacchetto ci sono solo biglie nere.
•
Sapendo che uno solo dei tre ha mentito, quante biglie ci sono nel
sacchetto?
A ) una
B ) due
C ) tre
D ) quattro
E ) non si possono determinare
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Settimo esempio
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In questa pagina c’è esattamente una affermazione falsa
In questa pagina ci sono esattamente due affermazioni false
In questa pagina ci sono esattamente tre affermazioni false
In questa pagina ci sono esattamente quattro affermazioni false
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Quante affermazioni vere ci sono nella pagina?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
Ottavo esempio
• “Quando prende il treno, Carlo arriva sempre in ritardo a
destinazione”. Quale delle seguenti affermazioni può
essere dedotta dalla frase precedente?
• Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in ritardo
• Carlo è arrivato in ritardo, quindi ha preso il treno
• Carlo è arrivato in orario, quindi non ha preso il treno
• Carlo è arrivato in orario, quindi ha preso il treno
• Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in orario
Nono esempio
• Sara non piange di notte solo se Grazia la culla prima di dormire.
Se questa affermazione è vera allora è sicuramente vera anche:
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A) Se Sara piange di notte è perché Grazia non l’ha cullata prima di dormire
B ) Se Sara non piange di notte è perché Grazia non l’ha cullata prima di
dormire
Se Grazia non culla prima di dormire Sara allora questa piange di notte
Se Grazia culla Sara prima di dormire allora Sara non piange di notte
Decimo esempio
• Maria rimane a casa se Lorenzo va a ballare .
Se è vera la precedente affermazione allora è sicuramente vera:
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A) Se Maria è rimasta a casa , Lorenzo è andata a ballare
B ) Maria rimane a casa solo se Lorenzo va a ballare
C ) Se Maria non è rimasta a casa Lorenzo non è andato a ballare.
D) Se Lorenzo non va a ballare , Maria non rimane a casa