CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE DEFINIZIONE DI POTENZIALE CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE DEFINIZIONE Lavoro= Forza X Spostamento Unità di misura: Newton X metro = Joule CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE FORZA F α SPOSTAMETO S Se forza e spostamento non sono paralleli e concordi in verso allora la formula diventa: L F S cos CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE FORZA F α Se forza e spostamento sono perpendicolari: cosα=0 E quindi: L=0 SPOSTAMETO S CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Se forza e spostamento sono opposti: cosα=-1 E quindi: α FORZA F SPOSTAMETO S L=-F·S CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Quando una carica elettrica q viene posta in un campo elettrico E essa subisce una forza data dalla formula: F=qE CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE q F E Quindi, quando la carica si sposta la forza elettrica compie lavoro CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Q=1 coulomb E Il lavoro fatto dalla forza elettrica quando la carica di prova unitaria viene portata dal punto A al punto B, B cambiato di segno, si dice DIFFERENZA DI POTENZIALE TRA AEB CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE In formule: V L(carica unitaria) Se la carica non è unitaria si divide il lavoro fatto per la carica stessa L V q La differenza di potenziale è quindi il rapporto tra lavoro e la carica CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Unità di misura: Joule/Coulomb=VOLT Una differenza di potenziale di un volt corrisponde a un lavoro di un joule compiuto da una carica di un coulomb CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Il voltaggio indicato su una batteria è la differenza di potenziale tra il polo positivo e quello negativo CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Il nome volt è naturalmente in onore di Alessandro Volta, uno dei più grandi scienziati italiani CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Il simbolo Δ rappresenta una differenza tra valore finale e valore iniziale di una grandezza V VB VA Dove Va e Vb sono il potenziale in A e B rispettivamente CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Cambiando di segno V (VA VB ) Possiamo anche scrivere la definizione di differenza di potenziale così: L VA VB q CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + - B A +q Quando la carica di prova (che è sempre positiva) va dalla piastra positiva a quella negativa il lavoro fatto è positivo CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + - FORZA B A +q SPOSTAMENTO Infatti la carica positiva è respinta dalla piastra positiva e quindi forza e spostamento sono concordi CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + Quindi, in base alla formula: - FORZA B A +q SPOSTAMENTO Il potenziale della piastra positiva è maggiore di quello della piastra negativa CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Fin qui è stata definita la differenza di potenziale; ma che cos’è il potenziale? Ovvero; cosa rappresenta Va da solo? CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Il potenziale in un punto A è definito come la differenza di potenziale tra quel punto e un altro punto B posto per convenzione a potenziale zero B con VB=0 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Come si fa a sapere che un punto si trova a potenziale zero? SI TRATTA DI UNA CONVENZIONE B con VB=0 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Nella fisica teorica si adotta come convenzione che il potenziale sia zero all’infinito V 0 B con VB=0 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Quindi, il potenziale in un punto è la differenza di potenziale tra quel punto e l’infinito ∞ CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A Nella tecnica, invece, si assume che la Terra abbia potenziale zero TERRA V=0 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE V=costante Se ci spostiamo da un punto a un altro il potenziale può variare oppure restare costante; l’insieme di tutti i punti che si trovano ad uno stesso valore di potenziale forma una superficie chiamata SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE La superficie della Terra, per esempio, forma una superficie equipotenziale (con V=0 secondo la convenzione tecnica) CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Lo spazio in cui si trova un campo elettrico può essere diviso in superfici equipotenziali. Ogni punto dello spazio appartiene a una e una sola superficie equipotenziale CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE CONSERVATIVITA’ DEL CAMPO ELETTRICO CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE E’ da notare che la definizione non indica il percorso da seguire, ma solo il punto di partenza e quello di arrivo del percorso Perché? CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + A - B Consideriamo ad esempio un condensatore piano ed un corpo di prova di carica 1C che viene portato dalla piastra positiva a quella negativa secondo il percorso A ->B CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + - E A B Il campo elettrico, e quindi la forza, è parallelo al percorso, quindi siamo nel caso più semplice L=FxS CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + A - B Poniamo per esempio E=15000 V/m AB=2cm La forza è: F=qE = 1x15000 =15000 N CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Il lavoro: + A - B L=FxS= 15000x0,02= =300 J Ma siccome la carica è unitaria questa è anche la differenza di potenziale, 300 volt CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + Calcoliamo il lavoro seguendo il percorso alternativo ACB con l’angolo in A di 60° Per i teoremi sui triangoli - B A 60° AC=0,02/cos60°= =0,04m C CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + - B A 60° Il lavoro nel tratto AC è: L=FxSxcosα= =15000x0,04x1/2 =300 J Nel tratto CB forza e spostamento sono perpendicolari quindi L=0 FORZA C CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE + Il lavoro totale è quindi quello del primo tratto L=300 J - B A 60° Esattamente lo stesso risultato ottenuto prima C CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Questo esempio mette in luce un fatto del tutto generale: IL LAVORO FATTO DALLA FORZA ELETTRICA E’ INDIPENDENTE DAL PERCORSO Esso dipende solo: • dal campo elettrico • dal punto iniziale e da quello finale CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE I campi di forza in cui il lavoro è indipendente dal percorso sono detti CONSERVATIVI Campo elettrico e campo gravitazionale sono campi conservativi CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Questo è il motivo per cui nella definizione di differenza di potenziale non si accenna al percorso da seguire: perché non ha nessuna importanza CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Che cosa viene conservato in un campo di forze conservativo? L’ENERGIA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A 100 Joule B Se il lavoro dipendesse dal percorso, sarebbe possibile far percorrere a una carica il percorso di maggior lavoro… CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE A 50 Joule Guadagno: 50 Joule B …e farlo tornare lungo il percorso di minor lavoro; in questo modo si potrebbe creare energia dal nulla CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE In un campo conservativo, però, questo non è possibile perché tutti i percorsi richiedono lo stesso lavoro CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE In base alla definizione di differenza di potenziale L VA VB q per calcolare tale differenza è necessario conoscere il campo elettrico. Ma è possibile anche il viceversa CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE F qE L F S L VA VB q Ricordiamo infatti le formule del campo elettrico, del lavoro e del potenziale: CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE qES VA VB q VA VB E S Sostituendo la prima nella seconda e la seconda nella terza, e semplificando q: CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE VA VB E S Questa formula può essere invertita in modo da calcolare il campo elettrico CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE VA VB E S E A S B Ovvero, il campo elettrico è uguale al rapporto tra la differenza di potenziale tra due punti e la distanza S tra i punti stessi CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE VA VB E S E A S B E’ da notare che la linea S deve essere presa nella stessa direzione del campo, altrimenti non possiamo usare la formula L=F·S CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE VA VB E S Sembra quindi che questa formula non possa determinare del tutto il campo E elettrico, visto che α A già dobbiamo conoscerne la S B direzione… Se la linea è obliqua rispetto al campo bisogna usare S·cosα al posto di S CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE …ma non è così: La direzione del campo elettrico è quella in cui il potenziale diminuisce più rapidamente, ovvero quella in cui, a parità di distanza, si ha la massima differenza di potenziale CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE In altre parole, le linee di forza del campo elettrico sono le linee di massima differenza di potenziale CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Infatti, se campo e spostamento sono obliqui è necessario usare S·cosα al posto di S e la formula diventa VA VB E S cos CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Poiché il campo è fissato, a parità di spostamento la massima differenza di potenziale si ottiene quando il valore di cosα è massimo VA VB E S cos Ma, come è noto, il coseno è massimo (=1) quando l’angolo è 0, cioè appunto nella direzione del campo CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Un’altra conseguenza di ciò è che, se S è obliquo al campo elettrico, il potenziale diminuisce in modo meno brusco e, quando il coseno raggiunge il suo valore minimo, anche tale diminuzione è minima VA VB E S cos CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Ma il valore minimo è zero, e questo lo sia ha quando α=90°, ovvero quando la linea S è perpendicolare al campo VA VB E S cos 90 0 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE D’altra parte, se la differenza di potenziale è zero vuol dire che i punti A e B si trovano su una superficie equipotenziale CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE E S V=costante In altre parole; il campo elettrico e le superfici equipotenziali sono perpendicolari tra di loro CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE VA VB E S E A S B Un’altra cosa che può lasciare perplessi è questa: la formula determina il valore del campo elettrico, ma in quale punto della linea AB? CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Se il campo è uniforme la domanda è irrilevante: se non lo è, quello calcolato è un valore medio VA VB E S E A S B CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Possiamo trovare il valore esatto del campo nel punto A? Sì, basta far avvicinare indefinitamente il punto B al punto A VA VB E S E A S B CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Questo lo si ottiene facendo il limite per S tendente a zero VA VB E Lim S 0 S CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Possiamo anche scriverlo in questo modo: VB VA E Lim S 0 S Perché? Perché in questo modo si evidenzia che la frazione è un rapporto incrementale di una funzione (il potenziale)…. CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Quindi il campo elettrico risulta essere, a meno del segno, la derivata del potenziale rispetto allo spostamento preso in direzione della massima diminuzione del potenziale stesso dV E dS CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Usando una notazione vettoriale, se indichiamo con S il vettore spostamento nella direzione della massima diminuzione del potenziale dV E dS Questa è una scrittura poco convenzionale; quella tradizionale è: E gradV Che comunque vuol dire la stessa cosa