a cura di
Concetta ed Emanuela Richichi
dell’IPSIA Enrico Medi
di Palermo
“In un acquario vivono pesci tropicali di due specie diverse. I pesci
della prima specie mangiano 2 grammi di mangime ciascuno ogni
giorno. I pesci della seconda specie mangiano ciascuno 3 grammi di
mangime ogni giorno. Il consumo settimanale di mangime
dell’acquario è di 560 grammi. Quanti pesci di ciascuna specie ci
sono nell’acquario?”
RICORDA CHE
PER LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA
OCCORRE INDIVIDUARE:
OBIETTIVO
Quali risultati dobbiamo ottenere?
DATI
Quali informazioni ci fornisce il testo del
problema?
INCOGNITE
Quali sono le grandezze di cui non
conosciamo il valore?
DOMINIO
Con quale insieme numerico sono
rappresentabili le grandezze indicate
dalle incognite?
RELAZIONI
Di quali "risorse“, conoscenze teoriche e
strumenti di calcolo disponiamo per
formalizzare le informazioni?
NEL NOSTRO PROBLEMA:
“Quanti pesci di ciascuna
specie ci sono nell’acquario?
OBIETTIVO
DETERMINARE LA
QUANTITA’ DI PESCI
DI CIASCUNA SPECIE
NEL NOSTRO PROBLEMA:
Quantità di mangime, espressa in
grammi, mangiata ogni giorno da ciascun
pesce della prima specie :
DATI
2
Quantità di mangime, espressa in
grammi, mangiata ogni giorno da ciascun
pesce della seconda specie :
Consumo
settimanale,
3
espresso
grammi, di mangime dell’acquario:
in
560
NEL NOSTRO PROBLEMA:
QUANTITA’ DI PESCI DELLA
PRIMA SPECIE:
x
INCOGNITE
QUANTITA’ DI PESCI DELLA
SECONDA SPECIE: y
NEL NOSTRO PROBLEMA:
DOMINIO
LE QUANTITA’ DI PESCI
SONO RAPPRESENTABILI
CON
UN NUMERO NATURALE
DIVERSO DA ZERO,
QUINDI
X  N-{0}, Y  N-{0}
FORMALIZZAZIONE
LINGUAGGIO NATURALE
In un acquario vivono pesci
tropicali di due specie diverse.
LINGUAGGIO FORMALE
x,y
I
pesci
della
prima
specie
mangiano 2 grammi di mangime
ciascuno ogni giorno.
2x
I pesci della seconda specie
mangiano ciascuno 3 grammi di
mangime ogni giorno.
3y
Il consumo settimanale di mangime
dell’acquario
è
di 560 grammi.
7(2x+3y)
=
560
LA RELAZIONE: 7(2x+3y)=560
costituisce
il MODELLO MATEMATICO
del problema.
Essa è una
equazione di primo grado
in due incognite
Una coppia ordinata di numeri reali è soluzione di
un’equazione a due incognite se, sostituendo il primo
numero alla prima incognita (di solito x) e il secondo
numero alla seconda incognita (di solito y), l’equazione
si trasforma in un’eguaglianza vera. Sono soluzioni
dell’equazione 7(2x+3y)=560 ,ad esempio, le coppie
ordinate
(1;26)
(7;22)
(10;20)
ecc.
Essa ha infinite soluzioni e quindi è
INDETERMINATA.
L’equazione 7(2x+3y)=560
ha infinite soluzioni.
Ciò significa che il problema proposto
ha infinite soluzioni:
LE INFORMAZIONI IN NOSTRO POSSESSO
SONO INSUFFICIENTI PER RISOLVERLO.
Occorre qualche ulteriore informazione,
ad esempio la seguente
“Nell’acquario vivono complessivamente 35
pesci tropicali di due specie diverse.”
LINGUAGGIO NATURALE
LINGUAGGIO FORMALE
Nell’acquario
vivono
complessivamente 35 pesci
tropicali di due specie
diverse.
x+y=35
Anche questa equazione è indeterminata e,
quindi, neppure essa, presa da sola, ci consente
di risolvere il problema.
Ma le cose cambiano se …
… se consideriamo
e
7(2x+3y)=560
x+y=35
contemporaneamente.
La coppia (25;10), infatti, è soluzione comune
alle due equazioni, come si può facilmente
verificare sostituendo tali valori nelle equazioni .
Perciò, poichè x=25 e y=10 appartengono al
dominio, la soluzione del nostro problema è
S = {(25;10)}
Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite
un insieme formato da due equazioni
che devono essere verificate contemporaneamente
e avere dunque soluzioni comuni.
Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un
sistema, si chiama
soluzione del sistema.
Risolvere un sistema,
significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.
Un sistema di due equazioni di primo grado in due
incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a
forma normale, se è del tipo:
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
Dove a, b, c, a ' , b' , c' indicano numeri noti.
I numeri a, b, a' , b' si chiamano
coefficienti delle incognite,
mentre c, c ' si chiamano termini noti.
Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado
si dice
SISTEMA LINEARE
Nel nostro caso il sistema
che rappresenta il modello del problema è:
72 x  3 y   560

 x  y  35
Per ridurre a forma normale il sistema
72 x  3 y   560

 x  y  35
dividiamo ambo i membri della prima equazione per 7
ottenendo il sistema equivalente:
2 x  3 y  80

 x  y  35
dove:
a
b
c
a'
b'
c'
2
3
80
1
1
35
Un metodo per risolvere un sistema lineare
di due equazioni in due incognite:
METODO DI CRAMER …
a b 
il simbolo 

a
'
b
'


si chiama
MATRICE DEI COEFFICIENTI.
Dato il sistema
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
a b
il simbolo
a ' b'
si chiama
DETERMINANTE DELLA MATRICE
a b
a ' b'
diagonale secondaria
diagonale principale
Il DETERMINANTE DEL SISTEMA
lo indicheremo con  ed esso è dato da:

=
a b
a ' b'
=
a b ' - b a'
x =
Adesso
indichiamo
c b
c ' b'
=
c b' - b c'
abbiamo sostituito nel

a, a’ con c, c’
con
y =
a c
a' c'
=
abbiamo sostituito nel
a c ' - c a'

b, b’ con c, c’
VALE LA SEGUENTE REGOLA:
SE

0
la soluzione del sistema è
x

x





y  y


NEL NOSTRO CASO, DOVE
a
2
a'
1
3
1
b
b'
c
80
c'
35
SI HA:



X
Y
=
2 3
1 1
=
2 1  3 1
=
-1
=
80 3
35 1
=
80 1  3  35
=
-25
=
2  35  80 1
=
-10
=
2 80
1 35
PERTANTO …
… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’:
x

x





y  y


;
 x  25

y

10

 25

x


1


10
y 

1