Dinamica del punto materiale

F
1
Sistemi di riferimento inerziali
Dinamica
Nel sistema in moto relativo uniforme la legge
del moto è la stessa che nel sistema fisso
Vt
Il tipo di moto è lo stesso!
(cambiano le condizioni iniziali)
Sistemi inerziali
Sono tutti equivalenti per la
descrizione del moto
In tutti i sistemi inerziali le proprietà dello spazio e del tempo
sono identiche, come pure le leggi della meccanica.
Principio di relatività di Galileo
Politecnico di Bari, Laurea in Ingegneria Elettrica
Corso di Fisica Sperimentale III
Prof. G. Iaselli
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2
Dinamica
Principio di minima azione ( Principio di Hamilton)
Particella con coordinata x e velocità v isolata
Il suo moto è completamente determinato!!
In un sistema inerziale :
L x, v, t 
x1 , v1 , t1
x2 , v2 , t2
t2
L( x, v, t )dt
t1
S
Dovrà essere
il più piccolo possibile
L = funzione di Lagrange
S = azione
Principio di minima azione
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Principio di minima azione
Dinamica
Si può dimostrare che il principio di minima azione implica:
d  dL  dL
0


dt  dV  dx
L è una funzione caratteristica del moto
Non può dipendere in maniera esplicita da:
x (omogeneità dello spazio)
t (omogeneità del tempo)
Moto uniform. accel.
x, t
Moto uniform. accel.
x
x’
t
t’
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x’, t’
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Principio di minima azione
Dinamica
L  L  V 2 
Non può dipendere nemmeno dal vettore V,
ma solo dal suo valore assoluto
Moto uniform. accel.
Moto uniform. accel.
V
Allora:
V
d  dL  dL
0


dt  dV  dx
=0
dL

dV
cost
d  dL 

0
dt  dV 
 V  cost
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Dinamica
Funzione di Lagrange per un punto materiale libero
m V
L
2
Poiché:
2
dL

dV
m massa del corpo
m  Kg 
cost

m V cost
m V  quantità di moto
m

m V    Kg  
s

Questa proprietà discende dal fatto che:
dL
0
dx
cioè omogeneità dello spazio
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Dinamica
Ricapitolando
Sistema inerziale
Particella isolata
m 2
L  V 
2
V
cost
cost
m V cost
m V  quantità di moto
m 2
 V  energia cinetica
2
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
p è un vettore!
7
Principio di inerzia - I legge della dinamica
Una particella libera resta nel suo stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme
Aff.
Una particella libera si muove con velocità costante
Principio di conservazione della quantità di moto
p = m V = costante
m = massa inerziale
è un attributo del corpo
8
Principio di inerzia alla Galileo
1
piano completamente “liscio”
2
3
4
In assenza di forze il corpo prosegue indefinitamente
con velocità V
9
Estensione del principio di conservazione di p
p = cost
m1
particella isolata
p 1’
particella non isolata
m1
p1
p 1’
m1
Può accadere solo che
p1
m2
La particella m2 si mette in
moto con velocità V2
p2
p2 = m V2
La quantità di moto di m1 non si è conservata!
p1
p1’  Δ p1
ma si è “creata” una nuova quantità di moto p2
10
Concetto di Forza - II legge della dinamica
Δp
p1
p’
Chiamiamo forza la rapidità di variazione con il
tempo della quantità di moto
p
F
t
F
t  0
F
dp
dt



 dp dmV

dV
F

m
 ma
dt
dt
dt

a
F   Newton


F  ma
La accelerazione di un corpo è
proporzionale alla risultante delle forze
che agiscono su di esso, ed inversamente
proporzionale alla sua massa
11
L’impulso


Fdt  dp
 dp
F
dt

t
0

p 
Fdt   dp
p0
t 

p   Fdt
impulso di una forza: I
0
 t 

I   Fdt  p
0
L’impulso di una forza produce una variazione della quantità di moto
m

I   kg  
s

12
Quantità di moto di un sistema
ptot
pt  p1  p2
prima
dopo
Sistema isolato
p2
m1
p1
p1’
m2
Sono possibili solo
interazione fra m1 ed m2
pt  p1  p2  cost
ptot

 
pt  p'1  p'2  cost
p2’
p1  p2  p1' p2 '
La quantità di moto totale si conserva se i
punti materiali sono soggetti solo alla loro
mutua interazione ossia il sistema è isolato.
13
III legge della dinamica
p1  p2  p1' p2 '
p1 ' p1  p2  p2 '


p1  p2


p1
p 2

t
t
C’è uno scambio di
quantità di moto fra le
particelle


F12   F21
Principio di azione e reazione: ogni qualvolta un corpo esercita una forza su di
un secondo corpo, il secondo eserciterà una forza sul primo uguale e contraria.
14
La Forza
at
p
moto vario
F  0.,.a  0
p
Moto uniforme
a
an
F  ma
F  m  at  m  an
dV
V2
F  m
 uˆ y  m   uˆ x
dt
R
p
Moto uniform.
accelerato
F  .........,
cost .a  cost
F
a
m
Fn determina la variazione
della direzione della velocità
Ft determina la variazione
del modulo della velocità
Fn si chiama forza centripeta
15
Applicazione
mb  500kg


 F  ma
FRx  FAx  FBx  40 N cos(45)  30 N cos(37)  52.2 N
FRy  FAy  FBy  40 Nsen(45)  30 Nsen(37)  10.3N
tan( ) 
FRy
FRx

10.3 N
 0.2
52.2 N
  arctan( 0.2)  11.5o
a

2
2
F  FRx  FRy  51N
51N
 0.1m/s 2
500kg
16
La reazione Vincolare
N
Se F1  F2
F1
F2
F1
 F  0
mg
Il corpo è in equilibrio
In generale la condizione di equilibrio è:
Poiché il punto è in equilibrio
deve esserci F2 !
 Fy  0
 Fx  0
Reazione vincolare N
N
F2
17
Forza peso
Osservazione di Galileo: Tutti i corpi, se lasciati liberi, sono attratti verso
il suolo con la stessa accelerazione “g”
Forza di attrazione terrestre:
P  ma  m g
Attenzione a non confondere “peso” con “massa”
Il nostro “peso” è la forza con cui veniamo spinti verso il basso P
P
La nostra “massa” è m 
g
m g
Bilancia
La bilancia misura N
 N  m g
N
18
Forza di attrito radente (attrito statico)
Proviamo a mettere in moto il corpo m
Si muove solo se
s 
FA  s N
coeff. d’attrito statico
Dipende dalla superficie
N  Dipende dalla massa del corpo e dalle
condizioni di vincolo
a0
FA   s N
a0
FA   s N
19
Forza di attrito radente (attrito dinamico)
Se il corpo è già in moto
x
FA  Fatt  ma
FA  d N  ma
Fatt  d N
d  coefficiente di attrito dinamico
d   s
sempre
e s  1
d ......
20
Forza elastiche


F  Kx u x
K = costante elastica
d2x k
 x0
dt m
d 2x F
K
a 2   x
dx
m
m
Eq. moto armonico

ux
Con pulsazione

K
m

ux
x(t)  A cos(t   )
T
2

 2
m
K
21
Tensione dei fili
Fb
Fa
T
Filo inestendibile di massa
trascurabile in quiete.
-T
Se il filo è teso, ogni suo elemento
subisce due forze uguali e contrarie
| Fa | = | Fb |
Fb
Fa
T
| Fb | = | T |
T
| Fa | = | T |
Principio di
azione e reazione
T
F
T
F
Situazione
statica
T
F2
T
F1≠ F2
F1
La puleggia ruota
22
23
Applicazione
Diagramma di corpo libero

a2
x1
y2

T
y1

a1

N

T


m2 g

m1 g
m1=10kg e m2=20kg.
 

m2 g  T  m2 a2  m2 g  T  m2 a2

T  m1 gsen  m1a1
 

T  m1 g  N  m1a1  
 m1 g cos   N
T  m2 g  m2 a
m2  m1sen g  (m1  m2 )a
a
T
m2  m1sen g
(m1  m2 )
m1m2
(1  sen ) g
(m1  m2 )
24