Tesina Fisica Generale II
Corso di Laurea in Scienza ed Ingegneria dei
materiali
Gruppo IV: Gallo Elia
Russo Adriano
N50000299
N50000286
Il magnetismo
Gli effetti del campo magnetico sono conosciuti dallโ€™uomo da molto prima che questo fosse a
conoscenza dei fenomeni elettrostatici. Probabilmente, nella Cina del XIII secolo a.C. era conosciuta ed
utilizzata la bussola, mentre è certo che fin dallโ€™800 a.C. i Greci conoscevano le proprietà di alcuni
materiali, le magnetiti, capaci di attrarre piccoli pezzi di ferro. Grazie al lavoro svolto negli ultimi secoli
da numerosi scienziati, molte scoperte sono state fatte nel campo del magnetismo.
Oggi sappiamo che i fenomeni magnetici sono dovuti agli spin degli elettroni e alle correnti elettriche.
Queste ultime generano campi magnetici che, a loro volta, determinano forze magnetiche che agiscono
sulle cariche elettriche in movimento e sugli spin degli elettroni.
Il campo magnetico è un campo vettoriale, così come il campo elettrico. Le linee di campo magnetico
sono sempre linee chiuse.
Graficamente si adotta la seguente convenzione per rappresentare le linee di campo magnetico:
. Vettore campo magnetico uscente dal piano
Vettore campo magnetico entrante nel piano
La forza di Lorentz nel caso particolare ๐‘ฌ=0
Consideriamo una carica q in moto con velocità ๐‘ฃ in presenza di un campo
magnetico uniforme ๐ต. Sperimentalmente, si osserva che la carica q è
sottoposta ad una forza magnetica definita dalla seguente legge:
๐‘ญm=q(๐’—×๐‘ฉ)
Fig. 1 Direzione e verso del vettore ๐’—×๐‘ฉ si determinano con la regola della mano destra (fig.1). Il verso è poi
definito dal segno della carica di prova q: se q>0 allora il verso della forza sarà quello in fig. 1, se q<0 il
verso sarà opposto.
Il modulo della forza magnetica è dato dalla seguente equazione:
F = qvBsenฮธ
dove ฮธ è lโ€™angolo compreso tra il vettore ๐‘ฃ e il vettore ๐ต.
La forza magnetica ha come effetto quello di cambiare la direzione del moto di una carica, ma non il
modulo della sua velocità. Il lavoro compiuto dalla forza magnetica, infatti, è nullo.
Forza magnetica e lavoro
La forza magnetica non compie mai lavoro. Infatti,
ฮ”L=๐‘ญ โˆ™ ๐šซ๐ฌ ma, poiché ๐šซ๐ฌ//๐’— e ๐‘ญโ”ด๐’— , il prodotto scalare è nullo e, quindi, ฮ”L=0.
In base al teorema dellโ€™energia cinetica, Kb-Ka=Lab.
Poiché il lavoro è sempre nullo, segue che la forza magnetica non varia mai lโ€™energia cinetica della
particella.
In altri termini, se una particella si muove sotto lโ€™azione della sola forza magnetica, non può cambiare il
modulo della sua velocità, ma solo la direzione del moto.
Espressione generale della forza di Lorentz
Consideriamo una carica q che si muove con velocità ๐‘ฃ sottoposta allโ€™effetto di un campo elettrico ๐ธ e
un campo magnetico ๐ต. La particella risente di una forza totale definita dalla seguente legge:
๐‘ญ = ๐’’(๐‘ฌ + ๐’—×๐‘ฉ)
Unità di misura di ๐‘ฉ
[B]= [B]=
[!]
!
!
!
โˆ™
!
!
=T
La lettera T indica il Tesla, che è unโ€™unità di misura del S.I.
Lโ€™esperimento di Thomson
Thomson utilizzò per i sui esperimenti un tubo di vetro dal quale fu rimossa tutta lโ€™aria, chiamato tubo
catodico, al cui interno era presente un cannoncino elettronico, cioè un dispositivo formato da un
filamento metallico che, surriscaldato, emette elettroni, e da una griglia di accelerazione grazie alla
quale gli elettroni acquistano energia cinetica. Dal cannoncino elettronico parte un fascio di elettroni che
viene sottoposto allโ€™azione di un campo elettrico.
Cannoncino elettronico Il fascio di elettroni sarà deviato di un angolo ฮธ rispetto alla sua traiettoria rettilinea.
๐’•๐’ˆ๐œฝ =
๐’†๐‘ฌ๐’
๐Ÿ๐’Ž๐’—๐Ÿ๐ŸŽ
!
Per misurare è necessario conoscere ๐’—๐ŸŽ . A questo scopo, Thomson introdusse un campo magnetico ๐ต
!
tale da riportare gli elettroni su una traiettoria rettilinea. Si ha dunque:
๐‘ญ๐’•๐’๐’• = ๐’’(๐‘ฌ + ๐’—โ‚€×๐‘ฉ)
0 = ๐’’(๐‘ฌ + ๐’—โ‚€×๐‘ฉ)
๐‘ฌ = โˆ’๐’—โ‚€× ๐‘ฉ
il vettore ๐ต deve essere scelto perpendicolare al piano contenente ๐‘ฃ! e ๐ธ.
Il modulo di ๐ธ è:
๐‘ฌ = ๐’—โ‚€๐‘ฉ Poiché ๐ธ e ๐ต sono noti sperimentalmente, è possibile calcolare la velocità della particella:
๐‘ฌ
๐’—โ‚€ =
๐‘ฉ
!
Sostituendo ๐’—โ‚€ si ricava lโ€™espressione finale di in termini di grandezze note sperimentalmente:
!
๐’†
๐’•๐’ˆ๐œฝ ๐‘ฌ =
๐’Ž
๐‘ฉ๐Ÿ ๐’
Con questo esperimento Thomson ricavò la prima valutazione carica/massa dellโ€™elettrone e riuscì a
capire che si trattava di particelle molto leggere aventi carica negativa. Il fisico Millikan, con i suoi
esperimenti, riuscì a calcolare separatamente la carica e la massa dellโ€™elettrone.
Lโ€™effetto Hall.
Consideriamo una lastrina percorsa da una densità di corrente ๐ฝ. Applichiamo un campo magnetico ๐ต e
studiamo lโ€™effetto di tale campo sulle cariche.
Le cariche subiscono lโ€™effetto della forza di Lorentz ๐น! = ๐‘ž๐‘ฃ×๐ต. Occorre distinguere due casi:
โ€ข
Portatori di carica positivi
Le cariche che entrano nella lastrina sono deflesse verso il basso con un conseguente accumulo
di cariche negative nella parte superiore. Ciò determina il formarsi di un campo elettrico ๐ธ e di
una forza elettrica ๐น! che controbilancia ๐น! .
Fm = Fe
qvB = qE vB = E
Poiché cโ€™è un campo elettrico trasversale ad ๐ธ, cโ€™è una differenza di potenziale VH = EL = vBL
V = !
!"
๐‘‰! = !"#
!"
Lโ€™unica incognita di questa equazione è n, poiché tutte le altre grandezze sono misurabili
sperimentalmente. Calcolando le differenze di potenziale possiamo stimare il numero di
portatori di carica n.
โ€ข
Portatori di carica negativi
La forza magnetica ๐น! è diretta verso il basso poiché q<0.
Diversamente da quanto accaduto nel primo caso, abbiamo un accumulo di cariche negative
nella parte bassa della lastrina.
Lโ€™effetto Hall permette, quindi, di discriminare il segno dei portatori di carica. Ricordiamo, inoltre, che
nellโ€™effetto Hall non cโ€™è potenza dissipata, in quanto:
โ€ข
โ€ข
La forza magnetica ๐น! non compie mai lavoro.
Il campo elettrico ๐ธ è traversale alla velocità ๐‘ฃ a regime. La forza elettrica ๐น! associata al
campo elettrico ๐ธ è, di conseguenza, anchโ€™essa perpendicolare a ๐‘ฃ. Essa, quindi, non compie
lavoro.
Dinamica di una carica in presenza di un campo magnetico
Consideriamo il caso di una carica positiva q che entra in una regione in cui è presente un campo
magnetico uniforme (fig.2) con il vettore della velocità iniziale ๐’—โ‚€ della carica perpendicolare al campo.
Assumiamo che il verso del campo magnetico sia uscente dal piano (fig.2).
q Fig.2 La carica si muove di moto circolare uniforme perché la forza magnetica ๐น! , perpendicolare a ๐‘ฃ
(velocità della carica), si comporta come una forza centripeta.
Per la seconda legge di Newton:
๐น!"! = m๐‘Ž
Notiamo che in direzione tangenziale non agisce nessuna forza e, di conseguenza, la velocità è costante
in modulo. In direzione centripeta, invece, agisce la forza ๐น! . Possiamo, quindi, scrivere
qvB = mac
dove ac è lโ€™accelerazione centripeta
๐ฏ๐Ÿ
ac = = ฯ‰v
๐ซ
sostituendo ac nellโ€™equazione precedente, otteniamo:
qB = mฯ‰
da cui possiamo ricavare la pulsazione di ciclotrone ฯ‰:
ฯ‰ = ๐ช๐
๐ฆ
È importante considerare che ฯ‰ non dipende dalla velocità della particella, ma soltanto dalla carica ,
dalla massa e dal campo magnetico. Questo significa che, se osserviamo due particelle cariche uguali
aventi velocità diverse che entrano nella regione in cui è presente il campo magnetico B, esse usciranno
fuori dal campo magnetico nello stesso istante perché il tempo impiegato per percorrere una
semicirconferenza è legato alla velocità angolare ฯ‰.
Il raggio della semicirconferenza dipende, invece, dalla velocità della carica
v = ฯ‰r
r=
๐ฏ
๐›š
=
๐ฆ๐ฏ
๐ช๐
Moto elicoidale
Se una carica, avente il vettore velocità che forma un angolo diverso da quello retto con ๐ต, si muove in
un campo magnetico uniforme, il suo percorso è unโ€™elica.
Possiamo verificare questa affermazione in base alla seconda legge di Newton, proiettando lโ€™equazione
Ftot = ma su tre assi; otteniamo così tre equazioni:
๐ŸŽ = ๐’Ž๐’‚๐’•
๐’’๐’—๐‘ฉ๐’”๐’†๐’๐œฝ = ๐’Ž๐’‚๐’„
๐ŸŽ = ๐’Ž๐’‚๐’™
Questo moto elicoidale è una composizione di due moti, quello rettilineo uniforme in direzione dellโ€™asse
x e quello circolare uniforme nel piano yz.
Le equazioni parametriche sono:
r = cost
ฮธ = ฯ‰t
x = v xt
Notiamo che le particelle cariche si muovono seguendo eliche che si avvolgono intorno alle linee di
campo magnetico e che le particelle aventi carica negativa ruoteranno in senso opposto rispetto alle
particelle con carica positiva.
Bottiglia magnetica e aurore boreali
Quando una carica si muove in un campo magnetico non
uniforme, il moto è più complesso. Per esempio, in un campo
magnetico che è forte agli estremi e debole al centro, la
carica può oscillare avanti ed indietro tra gli estremi. Una
carica posta ad un estremo compie una spirale lungo le linee
di campo fino a che non raggiunge l'estremo opposto, dove
inverte il suo percorso e compie una spirale inversa. Questa
configurazione è nota come bottiglia magnetica, poiché le
cariche possono venire intrappolate al suo interno. La
bottiglia magnetica è usata come barriera per intrappolare
i plasmi e gioca un ruolo cruciale nel controllo della fusione
nucleare.
Le particelle, intrappolate dal campo magnetico non
uniforme terrestre, compiono una spirale intorno alle
linee di campo da polo a polo, coprendo la distanza in
qualche secondo. Queste particelle sono originate in
maggior parte dal Sole. Per questa ragione il flusso di
tale cariche è conosciuto come โ€œvento solareโ€. La
maggior parte delle particelle che fanno parte del vento
solare vengono deviate dal campo magnetico terrestre e
non raggiungono l'atmosfera. Tuttavia, alcune cariche
vengono catturate; quando le particelle si trovano ai
poli, qualche volta collidono con gli atomi presenti
nell'atmosfera, causando l'emissione da parte di questi
ultimi di luce visibile. Collisioni come questa originano
le Aurore Boreali (nell'emisfero settentrionale) e le Aurore Australi (nell'emisfero meridionale).
Lo spettrometro di massa.
Uno spettrometro di massa è uno strumento che separa gli ioni secondo il loro rapporto massa/carica. In
questo modo è possibile riconoscere un materiale ignoto. Il materiale oggetto di studio viene ionizzato e
vaporizzato. Il fascio di ioni che si ottiene entra in una regione con campo magnetico uniforme ๐ต. A
causa della forza magnetica che agisce su di essi, gli ioni percorrono traiettorie semicircolari per poi
urtare una lastra fotografica che resterà impressionata in un certo punto a seconda del tipo di ioni che
compone il fascio. Questa descrizione corrisponde al funzionamento del primo spettrometro di massa,
ideato e realizzato dal fisico Demster.
q ๐ต ๐’—๐ŸŽ Lastra fotografica Conoscendo il raggio r della semicirconferenza percorsa dagli ioni
r=
๐’Ž๐’—๐ŸŽ
๐’’๐‘ฉ
possiamo capire di che ione si tratta determinando il loro rapporto
๐’Ž
๐’’
=
๐’“๐‘ฉ
๐’—๐ŸŽ
.
Il campo magnetico ๐ต! e il raggio r sono noti sperimentalmente, occorre quindi determinare ๐‘ฃ! . Una
tecnica per determinare ๐‘ฃ! è quella di preparare un fascio di ioni con un cannoncino elettronico. Grazie
alla griglia di accelerazione del cannoncino elettronico determiniamo lโ€™energia cinetica degli ioni del
๐Ÿ
fascio ๐’Ž๐’—๐Ÿ๐ŸŽ = ๐’’โˆ†๐‘ฝ da cui possiamo ricavare:
๐Ÿ
๐’—๐Ÿ๐ŸŽ =
๐Ÿ๐’’โˆ†๐‘ฝ
๐’—๐ŸŽ =
๐’Ž
๐Ÿ๐’’โˆ†๐‘ฝ
๐’Ž
Sostituendo ๐’—๐ŸŽ otteniamo: ๐’Ž
๐’’
= ๐‘Ÿ๐ต
!!
!!
๐’Ž
๐’’
๐’Ž
๐Ÿ๐’’โˆ†๐‘ฝ
= ๐‘Ÿ ! ๐ต !
= ๐’Ž
๐Ÿ๐’’โˆ†๐‘ฝ
! !!!
๐Ÿโˆ†๐‘ฝ
Con questa tecnica il rapporto massa/carica è determinato con unโ€™equazione non lineare; per ottenere
unโ€™equazione lineare occorre utilizzare un selettore di velocità.
Il selettore di velocità è uno strumento che determina la velocità delle particelle. È costituito da un
campo elettrico uniforme, generato da un condensatore a facce piane e parallele, e da un campo
magnetico uniforme perpendicolare al campo elettrico, in cui viene fatto passare un fascio di particele
cariche. Se si scelgono in modo opportuno il campo elettrico e il campo magnetico, in modo che la forza
totale ๐‘ญ๐’•๐’๐’• = ๐’’ ๐‘ฌ + ๐’—๐ŸŽ ×๐‘ฉ๐ŸŽ che agisce sulle particelle sia nulla, il fascio di particelle si muoverà lungo
una traiettoria rettilinea. Conoscendo ๐‘ฌ e ๐‘ฉ๐ŸŽ otteniamo il valore della velocità ๐’—๐ŸŽ
๐’—๐ŸŽ =
๐‘ฌ
๐‘ฉ๐ŸŽ
๐ต ๐’—๐ŸŽ ๐ธ ๐‘†๐‘’๐‘™๐‘’๐‘ก๐‘ก๐‘œ๐‘Ÿ๐‘’ ๐‘‘๐‘– ๐‘ฃ๐‘’๐‘™๐‘œ๐‘๐‘–๐‘กà ๐‘ฉ๐ŸŽ Sostituendo ๐’—๐ŸŽ nellโ€™equazione
๐’Ž
๐’’
=
๐’“๐‘ฉ
๐’—๐ŸŽ
otteniamo il rapporto massa/carica espresso con unโ€™equazione
lineare
๐’Ž ๐’“๐‘ฉ๐ŸŽ ๐‘ฉ
=
๐’’
๐‘ฌ
Forza di Laplace
Consideriamo una sezione di filo percorsa da corrente. Su di essa agisce una forza magnetica
complessiva โˆ†๐น che prende il nome di forza di forza di Laplace.
Su una sola carica abbiamo la forza magnetica:
๐‘ญ๐’Ž = q๐’—×๐‘ฉ
Su ฮ”N cariche avremo, invece, la forza magnetica totale:
โˆ†๐‘ญ = ฮ”Nq๐’—×๐‘ฉ
Indicando con n il numero di cariche per unità di volume,
troviamo:
ฮ”N = nฮฃฮ”l
La forza totale โˆ†๐น sarà:
โˆ†๐‘ญ = nฮฃฮ”l q๐’—×๐‘ฉ
Poiché il prodotto nq๐‘ฃ è la densità di corrente ๐ฝ, possiamo scrivere:
โˆ†๐‘ญ = ฮฃฮ”l ๐‘ฑ×๐‘ฉ
Da questa espressione possiamo ricavare la formula della forza per unità di volume, sapendo che
ฮ”V=ฮฃฮ”l:
โˆ†๐‘ญ/ฮ”V = ๐‘ฑ×๐‘ฉ
Considerando ora che โˆ†๐‘™ // ๐ฝ, possiamo riscrivere la formula:
โˆ†๐‘ญ = ฮฃ ฮ”l ๐‘ฑ×๐‘ฉ
โˆ†๐‘ญ = ฮฃ J โˆ†๐’ × ๐‘ฉ
Infine, essendo lโ€™intensità di corrente i = ฮฃJ, otteniamo:
โˆ†๐‘ญ = i โˆ†๐’ ×๐‘ฉ
Forza totale su un circuito percorso da corrente
Consideriamo un circuito immerso in un campo magnetico ๐ต e calcoliamo la forza totale Ftot che agisce
su di esso:
๐น!"! = ! ฮ” F!
Se B è uniforme allora Ftot=0
๐น!"! = ! i ฮ”Sk
x ๐ต=i(
ma in un circuito chiuso
! ฮ”Sk)x
๐ต
! ฮ”Sk =
0 e, di conseguenza, ๐น!"! = 0.
๐›ฅ๐‘  Consideriamo, ora, un circuito rettangolare immerso in un campo magnetico ๐ต.
๐›ฅ๐น! . ๐›ฅ๐น! . ๐›ฅ๐น! . ๐น!"! = ! โˆ†๐น! =
0
Nonostante ๐น!"! = 0, le singole forze โˆ†๐น! tendono a stirare il circuito.
Per questo motivo, se il circuito non è rigido, esso si deformerà.
๐›ฅ๐น! . ๐ต ๐›ฅ๐น! . ๐›ฅ๐น! . Per avere una forza netta ๐น!"! โ‰  0 sul circuito, occorre immergerlo
in un campo magnetico non uniforme.
Sul circuito agirà una forza netta ๐น!"! = โˆ†๐น! .
๐›ฅ๐น! . Momento magnetico
Un circuito rettangolare percorso da corrente immerso in un campo magnetico ๐ต e che forma un angolo
ฮธ con la normale al circuito ๐‘› (che si determina stabilendo il verso di percorrenza positivo della corrente
e utilizzando la regola della mano destra), subisce un momento torcente ๐‰: ฮ”s2 ๐น 2 ๐น 1 ๐ต ๐‘– ๐‘› ๐น 3 ฮ”s1 ฮ”s3 ๐น 4 ฮ”s4 Le forze ๐น 2 e ๐น 4 sono uguali in modulo e hanno stessa direzione, ma verso opposto e, quindi, non hanno
alcun effetto; anche le forze ๐น 1 e ๐น 3 sono uguali ed opposte. Ne segue che la forza totale ๐น!"! che
agisce sul circuito è nulla. Le forze ๐น 1 e ๐น 3, però, agiscono su due rette parallele formando una coppia di
forze di cui si può misurare il momento meccanico totale ๐œ tot, dato dal prodotto tra la forza F1 ed il
braccio b.
๐‘› ๐‰๐’•๐’๐’• = ๐’ƒ๐‘ญ๐Ÿ Poiché F1 = iฮ”s1B:
๐‰๐’•๐’๐’• = ๐’ƒ ๐’Š ๐œŸ๐’”๐Ÿ ๐‘ฉ Il braccio b vale:
๐’ƒ = ๐œŸ๐’”๐Ÿ ๐’”๐’†๐’๐œฝ Sostituendo ricaviamo lโ€™equazione:
๐‰๐’•๐’๐’• = ๐’Š ๐œŸ๐’”๐Ÿ ๐‘ฉ ๐œŸ๐’”๐Ÿ ๐’”๐’†๐’๐œฝ Il prodotto ฮ”s2 ฮ”s1 corrisponde allโ€™area ฮฃ del rettangolo.
Definiamo il momento magnetico m come il prodotto tra lโ€™intensità di corrente i e lโ€™area del circuito ฮฃ:
๐’Ž = ๐’Š๐œฎ Quindi possiamo scrivere ฯ„ in relazione al momento magnetico:
๐‰ = ๐’Ž๐‘ฉ๐’”๐’†๐’๐œฝ Questa formula può essere scritta sotto forma di prodotto vettoriale:
๐‰ = ๐’Ž×๐‘ฉ
definendo il vettore ๐’Ž come:
๐’Ž=iฮฃ๐‘›
Il momento magnetico di un circuito di forma qualsiasi si calcola in questo modo:
๐‘› ๐‘› Dividiamo la superficie del circuito in piccole parti. Possiamo, così, calcolare il momento magnetico di
ciascuna parte:
๐’Žk = ik ฮ”ฮฃk ๐‘›
Il momento magnetico totale ๐’Žtot è uguale alla somma dei momenti magnetici ๐’Žk:
๐’Žtot =
๐’Œ ๐’Ž๐’Œ
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Relazione gruppo 4 - INFN Sezione di Napoli