Tesina Fisica Generale II Corso di Laurea in Scienza ed Ingegneria dei materiali Gruppo IV: Gallo Elia Russo Adriano N50000299 N50000286 Il magnetismo Gli effetti del campo magnetico sono conosciuti dallโuomo da molto prima che questo fosse a conoscenza dei fenomeni elettrostatici. Probabilmente, nella Cina del XIII secolo a.C. era conosciuta ed utilizzata la bussola, mentre è certo che fin dallโ800 a.C. i Greci conoscevano le proprietà di alcuni materiali, le magnetiti, capaci di attrarre piccoli pezzi di ferro. Grazie al lavoro svolto negli ultimi secoli da numerosi scienziati, molte scoperte sono state fatte nel campo del magnetismo. Oggi sappiamo che i fenomeni magnetici sono dovuti agli spin degli elettroni e alle correnti elettriche. Queste ultime generano campi magnetici che, a loro volta, determinano forze magnetiche che agiscono sulle cariche elettriche in movimento e sugli spin degli elettroni. Il campo magnetico è un campo vettoriale, così come il campo elettrico. Le linee di campo magnetico sono sempre linee chiuse. Graficamente si adotta la seguente convenzione per rappresentare le linee di campo magnetico: . Vettore campo magnetico uscente dal piano Vettore campo magnetico entrante nel piano La forza di Lorentz nel caso particolare ๐ฌ=0 Consideriamo una carica q in moto con velocità ๐ฃ in presenza di un campo magnetico uniforme ๐ต. Sperimentalmente, si osserva che la carica q è sottoposta ad una forza magnetica definita dalla seguente legge: ๐ญm=q(๐×๐ฉ) Fig. 1 Direzione e verso del vettore ๐×๐ฉ si determinano con la regola della mano destra (fig.1). Il verso è poi definito dal segno della carica di prova q: se q>0 allora il verso della forza sarà quello in fig. 1, se q<0 il verso sarà opposto. Il modulo della forza magnetica è dato dalla seguente equazione: F = qvBsenฮธ dove ฮธ è lโangolo compreso tra il vettore ๐ฃ e il vettore ๐ต. La forza magnetica ha come effetto quello di cambiare la direzione del moto di una carica, ma non il modulo della sua velocità. Il lavoro compiuto dalla forza magnetica, infatti, è nullo. Forza magnetica e lavoro La forza magnetica non compie mai lavoro. Infatti, ฮL=๐ญ โ ๐ซ๐ฌ ma, poiché ๐ซ๐ฌ//๐ e ๐ญโด๐ , il prodotto scalare è nullo e, quindi, ฮL=0. In base al teorema dellโenergia cinetica, Kb-Ka=Lab. Poiché il lavoro è sempre nullo, segue che la forza magnetica non varia mai lโenergia cinetica della particella. In altri termini, se una particella si muove sotto lโazione della sola forza magnetica, non può cambiare il modulo della sua velocità, ma solo la direzione del moto. Espressione generale della forza di Lorentz Consideriamo una carica q che si muove con velocità ๐ฃ sottoposta allโeffetto di un campo elettrico ๐ธ e un campo magnetico ๐ต. La particella risente di una forza totale definita dalla seguente legge: ๐ญ = ๐(๐ฌ + ๐×๐ฉ) Unità di misura di ๐ฉ [B]= [B]= [!] ! ! ! โ ! ! =T La lettera T indica il Tesla, che è unโunità di misura del S.I. Lโesperimento di Thomson Thomson utilizzò per i sui esperimenti un tubo di vetro dal quale fu rimossa tutta lโaria, chiamato tubo catodico, al cui interno era presente un cannoncino elettronico, cioè un dispositivo formato da un filamento metallico che, surriscaldato, emette elettroni, e da una griglia di accelerazione grazie alla quale gli elettroni acquistano energia cinetica. Dal cannoncino elettronico parte un fascio di elettroni che viene sottoposto allโazione di un campo elettrico. Cannoncino elettronico Il fascio di elettroni sarà deviato di un angolo ฮธ rispetto alla sua traiettoria rettilinea. ๐๐๐ฝ = ๐๐ฌ๐ ๐๐๐๐๐ ! Per misurare è necessario conoscere ๐๐ . A questo scopo, Thomson introdusse un campo magnetico ๐ต ! tale da riportare gli elettroni su una traiettoria rettilinea. Si ha dunque: ๐ญ๐๐๐ = ๐(๐ฌ + ๐โ×๐ฉ) 0 = ๐(๐ฌ + ๐โ×๐ฉ) ๐ฌ = โ๐โ× ๐ฉ il vettore ๐ต deve essere scelto perpendicolare al piano contenente ๐ฃ! e ๐ธ. Il modulo di ๐ธ è: ๐ฌ = ๐โ๐ฉ Poiché ๐ธ e ๐ต sono noti sperimentalmente, è possibile calcolare la velocità della particella: ๐ฌ ๐โ = ๐ฉ ! Sostituendo ๐โ si ricava lโespressione finale di in termini di grandezze note sperimentalmente: ! ๐ ๐๐๐ฝ ๐ฌ = ๐ ๐ฉ๐ ๐ Con questo esperimento Thomson ricavò la prima valutazione carica/massa dellโelettrone e riuscì a capire che si trattava di particelle molto leggere aventi carica negativa. Il fisico Millikan, con i suoi esperimenti, riuscì a calcolare separatamente la carica e la massa dellโelettrone. Lโeffetto Hall. Consideriamo una lastrina percorsa da una densità di corrente ๐ฝ. Applichiamo un campo magnetico ๐ต e studiamo lโeffetto di tale campo sulle cariche. Le cariche subiscono lโeffetto della forza di Lorentz ๐น! = ๐๐ฃ×๐ต. Occorre distinguere due casi: โข Portatori di carica positivi Le cariche che entrano nella lastrina sono deflesse verso il basso con un conseguente accumulo di cariche negative nella parte superiore. Ciò determina il formarsi di un campo elettrico ๐ธ e di una forza elettrica ๐น! che controbilancia ๐น! . Fm = Fe qvB = qE vB = E Poiché cโè un campo elettrico trasversale ad ๐ธ, cโè una differenza di potenziale VH = EL = vBL V = ! !" ๐! = !"# !" Lโunica incognita di questa equazione è n, poiché tutte le altre grandezze sono misurabili sperimentalmente. Calcolando le differenze di potenziale possiamo stimare il numero di portatori di carica n. โข Portatori di carica negativi La forza magnetica ๐น! è diretta verso il basso poiché q<0. Diversamente da quanto accaduto nel primo caso, abbiamo un accumulo di cariche negative nella parte bassa della lastrina. Lโeffetto Hall permette, quindi, di discriminare il segno dei portatori di carica. Ricordiamo, inoltre, che nellโeffetto Hall non cโè potenza dissipata, in quanto: โข โข La forza magnetica ๐น! non compie mai lavoro. Il campo elettrico ๐ธ è traversale alla velocità ๐ฃ a regime. La forza elettrica ๐น! associata al campo elettrico ๐ธ è, di conseguenza, anchโessa perpendicolare a ๐ฃ. Essa, quindi, non compie lavoro. Dinamica di una carica in presenza di un campo magnetico Consideriamo il caso di una carica positiva q che entra in una regione in cui è presente un campo magnetico uniforme (fig.2) con il vettore della velocità iniziale ๐โ della carica perpendicolare al campo. Assumiamo che il verso del campo magnetico sia uscente dal piano (fig.2). q Fig.2 La carica si muove di moto circolare uniforme perché la forza magnetica ๐น! , perpendicolare a ๐ฃ (velocità della carica), si comporta come una forza centripeta. Per la seconda legge di Newton: ๐น!"! = m๐ Notiamo che in direzione tangenziale non agisce nessuna forza e, di conseguenza, la velocità è costante in modulo. In direzione centripeta, invece, agisce la forza ๐น! . Possiamo, quindi, scrivere qvB = mac dove ac è lโaccelerazione centripeta ๐ฏ๐ ac = = ฯv ๐ซ sostituendo ac nellโequazione precedente, otteniamo: qB = mฯ da cui possiamo ricavare la pulsazione di ciclotrone ฯ: ฯ = ๐ช๐ ๐ฆ È importante considerare che ฯ non dipende dalla velocità della particella, ma soltanto dalla carica , dalla massa e dal campo magnetico. Questo significa che, se osserviamo due particelle cariche uguali aventi velocità diverse che entrano nella regione in cui è presente il campo magnetico B, esse usciranno fuori dal campo magnetico nello stesso istante perché il tempo impiegato per percorrere una semicirconferenza è legato alla velocità angolare ฯ. Il raggio della semicirconferenza dipende, invece, dalla velocità della carica v = ฯr r= ๐ฏ ๐ = ๐ฆ๐ฏ ๐ช๐ Moto elicoidale Se una carica, avente il vettore velocità che forma un angolo diverso da quello retto con ๐ต, si muove in un campo magnetico uniforme, il suo percorso è unโelica. Possiamo verificare questa affermazione in base alla seconda legge di Newton, proiettando lโequazione Ftot = ma su tre assi; otteniamo così tre equazioni: ๐ = ๐๐๐ ๐๐๐ฉ๐๐๐๐ฝ = ๐๐๐ ๐ = ๐๐๐ Questo moto elicoidale è una composizione di due moti, quello rettilineo uniforme in direzione dellโasse x e quello circolare uniforme nel piano yz. Le equazioni parametriche sono: r = cost ฮธ = ฯt x = v xt Notiamo che le particelle cariche si muovono seguendo eliche che si avvolgono intorno alle linee di campo magnetico e che le particelle aventi carica negativa ruoteranno in senso opposto rispetto alle particelle con carica positiva. Bottiglia magnetica e aurore boreali Quando una carica si muove in un campo magnetico non uniforme, il moto è più complesso. Per esempio, in un campo magnetico che è forte agli estremi e debole al centro, la carica può oscillare avanti ed indietro tra gli estremi. Una carica posta ad un estremo compie una spirale lungo le linee di campo fino a che non raggiunge l'estremo opposto, dove inverte il suo percorso e compie una spirale inversa. Questa configurazione è nota come bottiglia magnetica, poiché le cariche possono venire intrappolate al suo interno. La bottiglia magnetica è usata come barriera per intrappolare i plasmi e gioca un ruolo cruciale nel controllo della fusione nucleare. Le particelle, intrappolate dal campo magnetico non uniforme terrestre, compiono una spirale intorno alle linee di campo da polo a polo, coprendo la distanza in qualche secondo. Queste particelle sono originate in maggior parte dal Sole. Per questa ragione il flusso di tale cariche è conosciuto come โvento solareโ. La maggior parte delle particelle che fanno parte del vento solare vengono deviate dal campo magnetico terrestre e non raggiungono l'atmosfera. Tuttavia, alcune cariche vengono catturate; quando le particelle si trovano ai poli, qualche volta collidono con gli atomi presenti nell'atmosfera, causando l'emissione da parte di questi ultimi di luce visibile. Collisioni come questa originano le Aurore Boreali (nell'emisfero settentrionale) e le Aurore Australi (nell'emisfero meridionale). Lo spettrometro di massa. Uno spettrometro di massa è uno strumento che separa gli ioni secondo il loro rapporto massa/carica. In questo modo è possibile riconoscere un materiale ignoto. Il materiale oggetto di studio viene ionizzato e vaporizzato. Il fascio di ioni che si ottiene entra in una regione con campo magnetico uniforme ๐ต. A causa della forza magnetica che agisce su di essi, gli ioni percorrono traiettorie semicircolari per poi urtare una lastra fotografica che resterà impressionata in un certo punto a seconda del tipo di ioni che compone il fascio. Questa descrizione corrisponde al funzionamento del primo spettrometro di massa, ideato e realizzato dal fisico Demster. q ๐ต ๐๐ Lastra fotografica Conoscendo il raggio r della semicirconferenza percorsa dagli ioni r= ๐๐๐ ๐๐ฉ possiamo capire di che ione si tratta determinando il loro rapporto ๐ ๐ = ๐๐ฉ ๐๐ . Il campo magnetico ๐ต! e il raggio r sono noti sperimentalmente, occorre quindi determinare ๐ฃ! . Una tecnica per determinare ๐ฃ! è quella di preparare un fascio di ioni con un cannoncino elettronico. Grazie alla griglia di accelerazione del cannoncino elettronico determiniamo lโenergia cinetica degli ioni del ๐ fascio ๐๐๐๐ = ๐โ๐ฝ da cui possiamo ricavare: ๐ ๐๐๐ = ๐๐โ๐ฝ ๐๐ = ๐ ๐๐โ๐ฝ ๐ Sostituendo ๐๐ otteniamo: ๐ ๐ = ๐๐ต !! !! ๐ ๐ ๐ ๐๐โ๐ฝ = ๐ ! ๐ต ! = ๐ ๐๐โ๐ฝ ! !!! ๐โ๐ฝ Con questa tecnica il rapporto massa/carica è determinato con unโequazione non lineare; per ottenere unโequazione lineare occorre utilizzare un selettore di velocità. Il selettore di velocità è uno strumento che determina la velocità delle particelle. È costituito da un campo elettrico uniforme, generato da un condensatore a facce piane e parallele, e da un campo magnetico uniforme perpendicolare al campo elettrico, in cui viene fatto passare un fascio di particele cariche. Se si scelgono in modo opportuno il campo elettrico e il campo magnetico, in modo che la forza totale ๐ญ๐๐๐ = ๐ ๐ฌ + ๐๐ ×๐ฉ๐ che agisce sulle particelle sia nulla, il fascio di particelle si muoverà lungo una traiettoria rettilinea. Conoscendo ๐ฌ e ๐ฉ๐ otteniamo il valore della velocità ๐๐ ๐๐ = ๐ฌ ๐ฉ๐ ๐ต ๐๐ ๐ธ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐กà ๐ฉ๐ Sostituendo ๐๐ nellโequazione ๐ ๐ = ๐๐ฉ ๐๐ otteniamo il rapporto massa/carica espresso con unโequazione lineare ๐ ๐๐ฉ๐ ๐ฉ = ๐ ๐ฌ Forza di Laplace Consideriamo una sezione di filo percorsa da corrente. Su di essa agisce una forza magnetica complessiva โ๐น che prende il nome di forza di forza di Laplace. Su una sola carica abbiamo la forza magnetica: ๐ญ๐ = q๐×๐ฉ Su ฮN cariche avremo, invece, la forza magnetica totale: โ๐ญ = ฮNq๐×๐ฉ Indicando con n il numero di cariche per unità di volume, troviamo: ฮN = nฮฃฮl La forza totale โ๐น sarà: โ๐ญ = nฮฃฮl q๐×๐ฉ Poiché il prodotto nq๐ฃ è la densità di corrente ๐ฝ, possiamo scrivere: โ๐ญ = ฮฃฮl ๐ฑ×๐ฉ Da questa espressione possiamo ricavare la formula della forza per unità di volume, sapendo che ฮV=ฮฃฮl: โ๐ญ/ฮV = ๐ฑ×๐ฉ Considerando ora che โ๐ // ๐ฝ, possiamo riscrivere la formula: โ๐ญ = ฮฃ ฮl ๐ฑ×๐ฉ โ๐ญ = ฮฃ J โ๐ × ๐ฉ Infine, essendo lโintensità di corrente i = ฮฃJ, otteniamo: โ๐ญ = i โ๐ ×๐ฉ Forza totale su un circuito percorso da corrente Consideriamo un circuito immerso in un campo magnetico ๐ต e calcoliamo la forza totale Ftot che agisce su di esso: ๐น!"! = ! ฮ F! Se B è uniforme allora Ftot=0 ๐น!"! = ! i ฮSk x ๐ต=i( ma in un circuito chiuso ! ฮSk)x ๐ต ! ฮSk = 0 e, di conseguenza, ๐น!"! = 0. ๐ฅ๐ Consideriamo, ora, un circuito rettangolare immerso in un campo magnetico ๐ต. ๐ฅ๐น! . ๐ฅ๐น! . ๐ฅ๐น! . ๐น!"! = ! โ๐น! = 0 Nonostante ๐น!"! = 0, le singole forze โ๐น! tendono a stirare il circuito. Per questo motivo, se il circuito non è rigido, esso si deformerà. ๐ฅ๐น! . ๐ต ๐ฅ๐น! . ๐ฅ๐น! . Per avere una forza netta ๐น!"! โ 0 sul circuito, occorre immergerlo in un campo magnetico non uniforme. Sul circuito agirà una forza netta ๐น!"! = โ๐น! . ๐ฅ๐น! . Momento magnetico Un circuito rettangolare percorso da corrente immerso in un campo magnetico ๐ต e che forma un angolo ฮธ con la normale al circuito ๐ (che si determina stabilendo il verso di percorrenza positivo della corrente e utilizzando la regola della mano destra), subisce un momento torcente ๐: ฮs2 ๐น 2 ๐น 1 ๐ต ๐ ๐ ๐น 3 ฮs1 ฮs3 ๐น 4 ฮs4 Le forze ๐น 2 e ๐น 4 sono uguali in modulo e hanno stessa direzione, ma verso opposto e, quindi, non hanno alcun effetto; anche le forze ๐น 1 e ๐น 3 sono uguali ed opposte. Ne segue che la forza totale ๐น!"! che agisce sul circuito è nulla. Le forze ๐น 1 e ๐น 3, però, agiscono su due rette parallele formando una coppia di forze di cui si può misurare il momento meccanico totale ๐ tot, dato dal prodotto tra la forza F1 ed il braccio b. ๐ ๐๐๐๐ = ๐๐ญ๐ Poiché F1 = iฮs1B: ๐๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ฉ Il braccio b vale: ๐ = ๐๐๐ ๐๐๐๐ฝ Sostituendo ricaviamo lโequazione: ๐๐๐๐ = ๐ ๐๐๐ ๐ฉ ๐๐๐ ๐๐๐๐ฝ Il prodotto ฮs2 ฮs1 corrisponde allโarea ฮฃ del rettangolo. Definiamo il momento magnetico m come il prodotto tra lโintensità di corrente i e lโarea del circuito ฮฃ: ๐ = ๐๐ฎ Quindi possiamo scrivere ฯ in relazione al momento magnetico: ๐ = ๐๐ฉ๐๐๐๐ฝ Questa formula può essere scritta sotto forma di prodotto vettoriale: ๐ = ๐×๐ฉ definendo il vettore ๐ come: ๐=iฮฃ๐ Il momento magnetico di un circuito di forma qualsiasi si calcola in questo modo: ๐ ๐ Dividiamo la superficie del circuito in piccole parti. Possiamo, così, calcolare il momento magnetico di ciascuna parte: ๐k = ik ฮฮฃk ๐ Il momento magnetico totale ๐tot è uguale alla somma dei momenti magnetici ๐k: ๐tot = ๐ ๐๐