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corso tecniche di rappresentazione dello spazio
A.A. 2009/2010
docente Arch. Emilio Di Gristina
appunti di geometria descrittiva - I
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l’oggetto fondamentale delle geometria proiettiva si riconosce nel concetto di corrispondenza in base è
possibile passare senza eccezioni dalla figura reale alla sua proiezione e viceversa
Teorema di Talete
In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un
fascio di rette parallele.
Enunciato
Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali
Il teorema afferma in pratica che se prese tre parallele a b c taglianti due rette trasversali r e r’ 1 - rispettivamente nei punti A B C e
A’B’C’ - allora il rapporto tra i segmenti omologhi dell’una e dell’altra è sempre costante.
nelle trasformazioni del piano il teorema di Talete è anche il grado di spiegare trasformazioni come l’omotetia sia in grado
di mantenere invariate le proporzioni delle figure.
BCD e B’C’D’ sono figure simili, tutti loro lati omologhi hanno lo stesso rapporto, se infatti prendiamo per esempio la coppia
BC e B’C’ rispetto ad A li possiamo concepire come i terzi lati di due triangoli simili, dove A rappresenta il centro
dell’omotetia e AB/AB’ come il rapporto della stessa.
postulati di Euclide
1. tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
2. si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.
3. dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
4. tutti gli angoli retti sono uguali.
5. se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due
angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti
è soprattutto sulla violazione di quest'ultimo postulato che si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica infatti la
geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele
dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani:
Per un punto passano infinite rette
Per due punti distinti passa una ed una sola retta
Per una retta nello spazio passano infiniti piani
Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
si definiscono quindi altre nozioni:
due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta questa sarà dotata di un'origine, ma
non di una fine.
la parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.
gli enti geometrici fondamentali
in geometria proiettiva l’insieme di punti, rette e piani prende il nome di figura o forma geometrica
punti generalmente indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino – A, B, C etc.
rette generalmente indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto latino – a, b, c etc.
piani generalmente indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco – α , β, g etc.
gli enti impropri
due rette parallele hanno in comune una direzione e si incontrano all’infinito, tale punto è detto “punto improprio”
tale direzione viene indicata generalmente con ∞
l’insieme delle infinite direzioni delle rette su un piano costituisce la “giacitura del piano” , all’infinito la retta costituita da
una punteggiata di punti impropri è detta “retta impropria” del piano
l’insieme delle direzioni e giaciture dello spazio, ovvero l’insieme dei punti delle rette improprie definiscono il “piano
improprio” dello spazio
gli enti geometrici
segmento è una parte di una retta compresa fra due punti consecutivi indicati con lettere maiuscole A B
due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune e nessun altro punto
due segmenti si dicono congruenti se con un movimento rigido si possono sovrapporre in modo che coincidano punto per
punto
due segmenti consecutivi sono adiacenti se appartengono alla stessa retta.
due segmenti sono sovrapposti se hanno un estremo in comune e tutti i punti di uno (quello minore) sono in comune con i
punti dell'altro segmento.
due segmenti si dicono incidenti quando hanno in comune un singolo punto, detto di intersezione.
punto
in geometria il punto è un concetto primitivo
intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una
posizione, come una coordinata
alcuni lo considerano che possa rappresentare una figura geometrica; perché come è noto , una figura è un insieme di punti
Punti in geometria euclidea
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in
generale tranne la sua posizione
i postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti
se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe
tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta
tre o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano
nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano
per ogni punto nel piano passano infinite rette
per due punti passa una e una sola retta
per tre punti non allineati passa un solo piano
per tre punti non allineati passa una sola circonferenza
una linea o una retta sono una successione infinita di punti
retta
Una retta può giacere, e quindi essere contenuta, nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano in uno e un solo punto
parallele se non si intersecano
Due rette nello spazio possono essere:
complanari se esiste un piano che le contiene entrambe, in questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele
altrimenti
sghembe se non sono contenute in un piano comune
perpendicolari quando le due rette, incontrandosi in un unico punto, formano quattro angoli retti
la retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:
per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette
per due punti passa una e una sola retta
due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali
nello spazio, per una retta passano infiniti piani
le prime tre proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio
piano
Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non
necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito
il piano è un ente geometrico che non ha spessore ma ha 2 dimensioni, la larghezza e la lunghezza è possibile descrivere un
piano servendosi degli strumenti forniti dal calcolo vettoriale e dalla geometria differenziale
è inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla
combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P
dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.
nota:
nella grafica digitale e nella modellazione tridimensionale si esaminino le mesh generate da patch poligonali o da N.U.R.B.S.
forme geometriche fondamentali
Jakob Steiner nei sui trattati individuò alcune forme geometriche che denominò fondamentali
in ogni forma geometrica si distinguono la forma propriamente detta ed il sostegno della forma, la forma è costituita da infiniti
enti della stessa specie, il sostegno da un ente di specie diversa
si distinguono:
forme fondamentali di prima specie o spazi lineari ad una dimensione
forme fondamentali di seconda specie o spazi lineari a due dimensioni
lo spazio a tre dimensioni dove “collochiamo” le figure geometriche e l’osservatore stesso è detto:
forma fondamentale di terza specie o spazio lineare a tre dimensioni
forme geometriche fondamentali
forme di prima specie
retta punteggiata è l’insieme degli infiniti punti che la costituiscono e che ha come sostegno la retta stessa, si ottiene ad
esempio sezionando un fascio di rette
fascio di rette è l’insieme delle infinite rette che appartengono ad un piano ed ad un punto, centro del fascio; sono sostegni
della forma in questo caso il punto ed il piano
fascio di piani è l’insieme di tutti gli infiniti piani che appartengono alla stessa retta, asse del fascio, che rappresenta il
sostegno della forma
forme geometriche fondamentali
forme di seconda specie
piano punteggiato è l’insieme di tutti i punti appartenenti ad esso, il piano è il sostegno della forma
piano rigato è l’insieme di tutte le rette appartenenti ad esso, il piano è il sostegno della forma
stella di rette è l’insieme di tutte le rette dello spazio appartenenti ad un punto, che è il sostegno della forma
stella di piani è l’insieme di tutti i piani dello spazio appartenenti ad un punto, che è il centro della stella e sostegno della
forma
forme geometriche fondamentali
forme di terza specie
spazi punteggiato è l’insieme di tutti i punti dello spazio, lo spazio è il sostegno della forma
spazio di piani è l’insieme di tutti i piani dello spazio, lo spazio è il sostegno della forma
proposizioni fondamentali
due punti distinti individuano sempre una retta cui essi appartengono – se uno dei punti è improprio la retta è quella passante
per il punto proprio e la direzione del punto improprio, se i punti sono entrambi impropri anche la retta sarà impropria
due piani, non coincidenti, individuano sempre una retta a cui appartengono, propria se i piani sono incidenti, impropria se i
piani sono paralleli o uno di essi è improprio
tre punti, non allineati, individuano sempre un piano a cui essi appartengono
tre piani, non appartenenti alla medesima retta, individuano sempre un punto cui essi appartengono
un punto ed una retta, che non si appartengono, individuano sempre un piano a cui essi appartengono
una retta e un piano, che non si appartengono, individuano sempre un punto A cui essi appartengono
postulati di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità
Nel disegno delle proiezioni ortogonali sovente, alcuni punti o rette sono apparentemente coincidenti, mentre visti nello spazio
risultano separati e distanti tra di loro
Per comprendere l’esatta conformazione geometrica di un oggetto nello spazio è necessario imparare a leggere, attraverso le
proiezioni ortogonali, gli elementi geometrici per determinare se in una figura vi siano delle condizioni che stabiliscono le
relazioni particolari tra gli enti rappresentati
In generale un ente geometrico appartiene ad un altro o ad altri enti geometrici, quando li contiene o ne è contenuto,
l’appartenenza è un rapporto biunivoco e privo di gerarchia
condizioni di appartenenza
appartenenza di un punto ad una retta
un punto ed una retta si appartengono se le immagini del punto appartengono alle immagini omonime della retta
appartenenza di una retta ad un piano
una retta appartiene ad un piano se e solo se le sue tracce appartengono rispettivamente alle tracce omonime del piano
appartenenza di un punto ad un piano
un punto appartiene ad un piano se le proiezioni del punto appartengono alle rispettive proiezioni di una retta qualsiasi del
piano.
rette incidenti
due rette sono incidenti se hanno un punto in comune e se le proiezioni di quel punto si trovano nel punto comune delle
proiezioni delle due rette
postulati di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità
Nel disegno delle proiezioni ortogonali sovente, alcuni punti o rette sono apparentemente coincidenti, mentre visti nello spazio
risultano separati e distanti tra di loro
Per comprendere l’esatta conformazione geometrica di un oggetto nello spazio è necessario imparare a leggere, attraverso le
proiezioni ortogonali, gli elementi geometrici per determinare se in una figura vi siano delle condizioni che stabiliscono le
relazioni particolari tra gli enti rappresentati
In generale un ente geometrico appartiene ad un altro o ad altri enti geometrici, quando li contiene o ne è contenuto,
l’appartenenza è un rapporto biunivoco e privo di gerarchia
problemi grafici di appartenenza
retta congiungente di punti
dati due punti Q e P, una retta r passa per i rispettivi punti se le proiezioni della retta passano per le omonime proiezioni dei
punti.
retta comune a due piani
una retta è comune a due piani quando le tracce delle retta r sono nei punti di intersezione delle tracce dei piani α e β
piano determinato da due rette incidenti.
una retta appartiene ad un piano α quando le tracce della retta si trovano sulle tracce del piano
condizioni di parallelismo ed ortogonalità
due rette sono parallele se sono parallele le rispettive proiezioni
due piani sono paralleli se sono parallele le rispettive tracce.
operazioni geometriche fondamentali
le operazioni di cui si avvale la geometria descrittiva e la scienza della rappresentazione sono la proiezione e la sezione
Proiettare un punto P da un punto S detto “centro di proiezione” significa costruire la retta r SP detta “retta proiettante”
analogamente per proiettare una retta r da un punto S, centro di proiezione, è necessario costruire un piano Sr detto “piano
proiettante”
Invarianza – birapporto (cenno)
Il birapporto di quattro punti è invariante per ogni trasformazione proiettiva, da questo fatto generale seguono le invarianze
in geometria euclidea possono infatti essere interpretate come trasformazioni proiettive le trasformazioni seguenti del
piano euclideo:
tutte le trasformazioni affini, come traslazioni, rotazioni, omotetie, riflessioni nel piano euclideo
proiezione fra due rette centrata in un punto (una prospettività in geometria proiettiva)
inversione circolare
trasformazioni proiettive le trasformazioni seguenti del piano euclideo
traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa
direzione
rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso
almeno un punto (l'origine dello spazio) I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo
insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione
riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un
punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione)
prospettività In geometria descrittiva una è una relazione simmetrica tra due piani distinti che ne mette in corrispondenza
biunivoca i rispettivi punti; si ottiene come risultato di una proiezione rispetto a un centro e di una sezione con un piano: due
piani legati da una prospettività vengono detti prospettivi
inversione circolare, nella geometria piana, è una particolare trasformazione che "specchia" i punti rispetto ad una data
circonferenza; la trasformazione non è una trasformazione geometrica piana in senso stretto, perché sposta il centro della
circonferenza "all'infinito": si tratta piuttosto di una trasformazione della sfera ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano
tramite proiezione stereografica
omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo
invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine), venne utilizzato per la prima volta nel 1827 da Michel
Chasles
Omotetia: il termine deriva dal greco come composto da omos che vuol dire “simile” e da tìthemi che significa “porre”.
costruzioni geometriche di base
costruzioni geometriche di base – uso delle squadrette
il disegno a mano libera, gli appunti e gli schizzi
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il disegno a mano libera
lo schizzo a mano libera sia di che sia di un’idea sia che riproduca la realtà è il primo approccio per
l’esplorazione dello spazio e delle forme che ci circondano o immaginiamo
segni tracciati rapidamente consentono di fissare nero su bianco un’idea o l’immagine di una realtà
percepita da uno sguardo veloce, per i pittori vedutisti e per i viaggiatori di un tempo era uno strumento per
conservare nella memoria l’eco di immagini e luoghi
Il disegno a mano libera essendo scevro da costruzioni geometriche ha il pregio ed al contempo il limite di
rappresentare una visione soggettiva del singolo
è una lettura personale dell’osservatore che indaga la realtà in modo critico ponendo l’accento su alcuni
elementi della visione o degli oggetti
lo schizzo a mano libera
lo schizzo a mano libera deve essere sintetico , pochi segni devono garantire una lettura chiara della relatà
e degli elementi essenziali di essa, nonché contenere tutte le informazioni in modo razionale e finalizzato,
ad esempio: uno disegno prospettico potrebbe contenere ombreggiature, personaggi posta a misura degli
oggetti, e scendere in dettaglio con finalità diverse da quelle di uno schizzo di campagna finalizzato ad un
rilievo metrico.
se possibile in questi ultimi è meglio evitare un graficismo fine a se stesso e piuttosto mirare ad un disegno
estremamente comprensibile
l’economicità di segni ed il non finito nello schizzo non sono un limite alla rappresentazione del reale, lo
sforzo deve essere quello di far corrispondere ad un ridotto numero di linee il maggior significato e
informazioni.
il disegno dal vero
In genere si distingue il mero schizzo dal “disegno dal vero”
il primo è una rappresentazione immediata estemporanea e essenziale
il secondo ha un approccio mimetico e figurativo alla realtà, utilizzando eventualmente prospettive con un
disegno ricco magari anche di dettagli e effetti chiaroscurali
lo schizzo
essenzialmente ritroviamo due modalità di rappresentazione nel disegno a schizzo:
schizzi prospettici, disegni a mano libera tesi a riprodurre la percezione dello spazio, riportandone i caratteri
figurativi
schizzi di studio e/o proporzionamento a vista, disegni a mano libera, in proiezione ortogonale
(generalmente pianta, fronti, sezioni o in assonometria cavaliera) che analizzano la realtà nella definizione
anche dimensionale/metrica delle diverse parti
nello schizzo di rilievo, è necessario preliminarmente osservare e valutare cioè la realtà da rappresentare
con attenzione al fine di:
comprendere e selezionare le parti e gli elementi significativi che costituiscono la struttura e la geometria
dell’oggetto o architettura da rappresentare
individuare i rapporti tra le parti e gli elementi osservati, definendo griglie ed eventualmente matrici
geometriche di riferimento
definire un sistema di segni e notazioni utili a precisare tutte le informazioni
a supporto dello schizzo di rilievo lo schizzo prospettico potrà essere l’ausilio grafico per le annotazioni
relative agli elementi costitutivi dell’oggetto rappresentato
lo schizzo di studio
In generale è buona norma seguire le seguenti fasi per la stesura di una serie di elaborati/schizzo di studio:
osservare la realtà e valutare l’oggetto da rappresentare circoscrivendo l’attenzione su di esso
trascrivere sul foglio di carta il perimetro dell’oggetto da rappresentare
disegnare con tratto sottile le proporzioni generali attraverso e eventualmente rimarcare i contorni con segno più
deciso
suddividere l’oggetto esaminato in parti (ad esempio nel caso di un manufatto: basamento, fronte, copertura)
individuandone i diversi elementi/componenti
tracciare sul foglio la posizione e l’ingombro degli elementi principali facendo se possibile riferimento a schemi
proporzionali e matrici geometriche – un foglio quadrettato può essere d’ausilio
disegnare nel dettaglio i singoli elementi e specificarne la posizione nell’insieme
procedere con il rilievo grafico dell’apparato decorativo o degli elementi minori
si può in questa fase anche tentare di ritrovare elementi modulari, griglie, rapporti proporzionali insiti
nell’oggetto/manufatto da rappresentare che possono aiutare la redazione tgli schizzi
nel caso di manufatti architettonici potrà essere evidenziato l’impianto attraverso l’indicazione dei percorsi e della
successione degli ambienti principali, per esempio: portale di accesso, il corte, elementi di risalita
l’eidotipo
uno schizzo a mano libera che riproduce la realtà in uno schema in proiezione ortogonale viene definito
come eidotipo (dal greco: eidos vedere) esso rende visibili e conoscibili gli aspetti fondativi della realtà che
verranno successivamente analizzati attraverso la misurazione ed il disegno geometrico.
L’eidotipo deve essere disegnato in proiezione ortogonale e in genere deve rappresentare:
•pianta di tutti i piani dell’edificio compresi i piani superiori, quelli interrati e le coperture
•i prospetti
•sezioni verticali ritenute significative
•dettagli architettonici e costruttivi
•deve mettere in evidenza gli elementi in vista e le parti sezionate,
•deve segnalare la posizione e il tipo di gradini e scale e/o rampe e cambi di quota
•deve fornire indicazioni sui materiali utilizzati
•deve consentire la comprensione anche degli oggetti posti al di sopra del piano di sezione come ad esempio nel caso di
architetture travature, lucernari, o sistemi di copertura: tetti, volte, cupole etc.
•deve contenere tutte le annotazioni metriche e testuali utili a descrivere la realtà rappresentata nonché contenere la quota
altimetrica di riferimento
•le misure potranno indicarsi come assolute o progressive
•nela caso di oggetti/strutture complesse una rappresentazione assonometrica potrà supportare la comprensione di tutti gli
elaborati.
cara Jenny, per disegnare bene, bisogna essere molto cattivi, ricordatelo
bisogna smontare il mondo, per ricostruirlo poi pezzo a pezzo, con infinita pazienza
Giorgio Bassani