CONDUZIONE IN REGIME VARIABILE Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 1/5 volume V, superficie A y h = costante z x T ambiente = T T uniforme Corpo in quiete, T all’istante τ=0 pari a Ti Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 2/5 L’assunzione principale è che il solido si mantenga a temperatura uniforme durante l’evolversi del fenomeno. La conseguenza è che all’interno del corpo non ci sono gradienti di temperatura. Tale ipotesi si avvicina alla realtà quanto più la resistenza superficiale convettiva è elevata rispetto alla resistenza per conduzione: V 1 hLC A k Bi 0,1 1 k h Bi = numero di Biot (1774 -1862) Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 3/5 Bilancio energetico dU dQ d d dT CV hAT ( ) T d Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 4/5 T TTi d dT dt dt VC t ln hAs i (5.5) hA T T s La condizione iniziale fornisce: exp t i Ti T VC Qi = Ti-T d dT Conduzione in regime variabile dt dt CORPO SOTTILE 5/5 VC t soluzione ln particolare (5.5) è dunque: La hAs i hAs T T exp t i Ti T VC Il gruppo CV (5.6) ha le dimensioni di un tempo hAs e rappresenta il tempo necessario affinchè il valore di q raggiunga il 36,8% di qi Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 1/10 V 1 Bi = numero di Biot Bi A k 0.1 1 h LASTRA PIANA INDEFINITA • Effetti ai bordi trascurabili; • mezzo omogeneo ed isotropo; • assenza di sorgenti di calore: T T a 2 x 2 2L k a C x Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 2/10 Si ipotizza che la funzione T=T(x,τ) possa esprimersi come prodotto di funzioni ad una sola variabile: T x, X x Y L’equazione di Fourier diventa: Separando le variabili: d2X dY aY X 2 d dx 1 d2X 1 dY 2 X dx 2 aY d La soluzione costante è l’unica possibile poichè ogni membro è funzione di una sola variabile, il segno negativo garantisce la soluzione decrescente nel tempo. Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 3/10 2 dY 2 aY 0 Y C1' e a d d2X 2 ' ' X 0 X x C sin x C cos x 2 3 2 dx La soluzione generale può dunque esprimersi come: C sin x C cos x ed introducendo la funzione x, T x, T T x, e a 2 '' 1 '' 2 si ottiene l’espressione seguente: x, e a 2 C1 sin x C2 cos x Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 4/10 A. CONDIZIONE AL CONTORNO CON T IMPOSTA SULLE SUPERFICI ESTERNE 1) τ= 0 0 ≤ x ≤ 2L θ = θi = Ti – T i C n sin n x n 1 2) τ> 0 x=0 3) τ> 0 x = 2L C2 = 0 θ=0 θ=0 2μL = nπ 1 nx C sin dx Il II membro della 1 è lo svil. in serie di Fourier del I: n i L 0 2L 2L 4 i 1 x, e n 1 n n a 2L 2 nx sin 2L per n 1, 3, 5, ...... Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 5/10 B. CONDIZIONE AL CONTORNO CONVETTIVA SULLE SUPERFICI ESTERNE τ< 0 Tlastra = Tfluido = Ti 1) τ = 0 2) τ > 0 3) τ> 0 τ 0 Tfluido = T 0 ≤ x ≤ L θ = θi x=0 x=L 0 x h x k h h 2L 0 x a 2 C1 cos x C2 sin x C1 0 e x 0 x x 0 h a 2 k a 2 L C 2 sin L e C 2 cos L ctgL La condizione 3 fornisce: e k hL La condizione 2 fornisce: Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 6/10 Fissato L, esistono infiniti valori di μ = μn che soddisfano l’equazione: x, C n e a n cos n x 2 n 1 i C n cos n x La condizione 1 fornisce: 0 xL n 1 Attraverso alcuni passaggi analitici si ottiene la soluzione totale: x, 2i e n 1 a n2 sin n L cos n x n L sin n L cos n L Con μn n-esima radice dell’equazione n L tan n L hL 0 k Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 7/10 CILINDRO INDEFINITO T f T T(0,r) = Ti Introducendo T Ti T Ti l’equazione del transitorio si esprime come: 1 2 1 r 2 r r r x a h h con la condizione iniziale: 2R0 R x x, r,0 0 e la condizione al contorno di convezione imposta: k h1 r Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 8/10 CILINDRO DI DIMENSIONI FINITE R0 2L Alle condizioni al contorno del cilindro indefinito si aggiunge la convezione sulle basi: k h1 x Il cilindro di lunghezza 2L e raggio R0 è prodotto dall’intersezione di una lastra piana indefinita ed un cilindro indefinito Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 9/10 La combinazione delle due soluzioni base si esplicita esprimendo la funzione θ attraverso la separazione delle variabili: x, r, Px, Cr, Sostituendo nell’equazione generale si ottengono due formulazioni: 2 P 1 P 2 a x con Px,0 0 e k 1 C 1 C C con - k r r r r a r P x h1 P L, LASTRA PIANA xL h1 C r0 , CILINDRO r r0 Entrambe sono note, il loro prodotto fornisce la soluzione generale. Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 10/10 Allo stesso modo possono ricavarsi le soluzioni per altri corpi ottenibili come combinazioni di solidi indefiniti 2L1 2L2 Il parallellelepipedo, ad esempio può pensarsi come l’intersezione di tre lastre indefinte di spessore 2L1, 2L2, e 2L3 2L3 Tale metodo è applicabile quando: - tutte le superfici sono soggette alle stesse condizioni convettive; - le superfici esterne sono tra loro ortogonali.