CONDUZIONE
IN REGIME VARIABILE
Conduzione in regime variabile
CORPO SOTTILE 1/5
volume V, superficie A
y
h = costante
z
x
T ambiente = T
T uniforme
Corpo in quiete, T all’istante τ=0 pari a Ti
Conduzione in regime variabile
CORPO SOTTILE 2/5
L’assunzione principale è che il solido si mantenga
a temperatura uniforme durante l’evolversi del
fenomeno. La conseguenza è che all’interno del
corpo non ci sono gradienti di temperatura.
Tale ipotesi si avvicina alla realtà quanto più la
resistenza superficiale convettiva è elevata rispetto
alla resistenza per conduzione:
V 1
hLC
A
k
Bi 

 0,1
1
k
h
Bi = numero di Biot (1774 -1862)
Conduzione in regime variabile
CORPO SOTTILE 3/5
Bilancio energetico
dU dQ

d
d
dT
CV
  hAT ( )  T 
d
Conduzione in regime variabile
CORPO SOTTILE 4/5
  T TTi 
d dT
dt

dt
VC 
t
ln
hAs  i
(5.5)




hA

T

T

s
La condizione
 iniziale fornisce:
exp   
t
 i Ti  T 
  VC  
Qi = Ti-T
d dT
Conduzione
in regime variabile

dt
dt
CORPO SOTTILE 5/5
VC 
t soluzione
ln particolare
(5.5) è dunque:
La
hAs  i
  hAs  
 T T

 exp   
t
 i Ti  T 
  VC  
Il gruppo
CV
(5.6)
ha le dimensioni di un tempo
hAs
e rappresenta il tempo necessario affinchè il
valore di q raggiunga il 36,8% di qi
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 1/10
V 1
Bi = numero di Biot
Bi  A k  0.1
1
h
LASTRA PIANA INDEFINITA
• Effetti ai bordi trascurabili;
• mezzo omogeneo ed isotropo;
• assenza di sorgenti di calore:
 T T
a 2 

x
2
2L
k
a
C
x
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 2/10
Si ipotizza che la funzione T=T(x,τ) possa esprimersi
come prodotto di funzioni ad una sola variabile:
T x,   X x  Y  
L’equazione di Fourier diventa:
Separando le variabili:
d2X
dY
aY
X
2
d
dx
1 d2X
1 dY
2




X dx 2
aY d
La soluzione costante è l’unica possibile poichè ogni
membro è funzione di una sola variabile, il segno negativo
garantisce la soluzione decrescente nel tempo.
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 3/10
2
dY
  2 aY  0  Y    C1' e  a 
d
d2X
2
'
'




X

0

X
x

C
sin

x

C
cos x
2
3
2
dx
La soluzione generale può dunque esprimersi come:
C sin x  C cos x
ed introducendo la funzione
x,   T x,   T
T x,   e
 a 2
''
1
''
2
si ottiene l’espressione seguente:
x,   e
 a 2
C1 sin x  C2 cos x
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 4/10
A. CONDIZIONE AL CONTORNO CON T IMPOSTA SULLE SUPERFICI ESTERNE
1) τ= 0 0 ≤ x ≤ 2L
θ = θi = Ti – T 

 i   C n sin  n x 
n 1
2) τ> 0
x=0
3) τ> 0
x = 2L
C2 = 0
θ=0
θ=0
2μL = nπ
1
 nx 
C


sin

dx
Il II membro della 1 è lo svil. in serie di Fourier del I: n
i

L 0
 2L 
2L
4 i

1
 x,   
e

 n 1 n
 n 

 a
 2L 
2
 nx 
sin 

 2L 
per n  1, 3, 5, ......
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 5/10
B. CONDIZIONE AL CONTORNO CONVETTIVA SULLE SUPERFICI ESTERNE
τ< 0 Tlastra = Tfluido = Ti
1) τ = 0
2) τ > 0
3) τ> 0
τ 0
Tfluido = T 
0 ≤ x ≤ L θ = θi
x=0
x=L

0
x

h
 
x
k
h
h
2L
0
x
  
 a 2
C1 cos x  C2 sin x  C1  0


e


x 0
 x  x 0
h  a 2
k
 a 2
L 
C 2  sin L   e
C 2 cos L  ctgL 
La condizione 3 fornisce:  e
k
hL
La condizione 2 fornisce:
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 6/10
Fissato L, esistono infiniti valori di μ = μn che soddisfano l’equazione:

 x,    C n e  a n cos  n x
2
n 1

 i   C n cos  n x
La condizione 1 fornisce:
0 xL
n 1
Attraverso alcuni passaggi analitici si ottiene la soluzione totale:

x,   2i  e
n 1
 a n2
sin n L
cos n x
n L  sin n L cos n L
Con μn n-esima radice dell’equazione
 n L  tan  n L  hL  0
k
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 7/10
CILINDRO INDEFINITO
T f  T
T(0,r) = Ti
Introducendo
T  Ti

T  Ti
l’equazione del transitorio si esprime come:
1      2  1 
r
 2 
r r  r  x
a 
h
h
con la condizione iniziale:
2R0
R
x
x, r,0  0
e la condizione al contorno di convezione imposta:
k

 h1   
r
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 8/10
CILINDRO DI DIMENSIONI FINITE
R0
2L
Alle
condizioni
al
contorno del cilindro
indefinito si aggiunge la
convezione sulle basi:

k
  h1   
x
Il cilindro di lunghezza 2L e raggio R0 è prodotto dall’intersezione
di una lastra piana indefinita ed un cilindro indefinito
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 9/10
La combinazione delle due soluzioni base si esplicita esprimendo la funzione
θ attraverso la separazione delle variabili:
x, r,   Px,   Cr, 
Sostituendo nell’equazione generale si ottengono due formulazioni:
 2 P 1 P

2
a 
x
con Px,0  0 e  k
1   C  1 C
C
con - k
r

r r  r  a 
r
P
x
 h1  P L, 
LASTRA PIANA
xL
 h1  C r0 , 
CILINDRO
r  r0
Entrambe sono note, il loro prodotto fornisce la soluzione generale.
Conduzione in regime variabile
transitori in sistemi a T non uniforme 10/10
Allo stesso modo possono ricavarsi le soluzioni per altri corpi ottenibili come
combinazioni di solidi indefiniti
2L1
2L2
Il parallellelepipedo, ad esempio
può pensarsi come l’intersezione di
tre lastre indefinte di spessore 2L1,
2L2, e 2L3
2L3
Tale metodo è applicabile quando:
- tutte le superfici sono soggette alle stesse condizioni convettive;
- le superfici esterne sono tra loro ortogonali.
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