Risoluzione algebrica
di sistemi lineari
di due equazioni in due
incognite
di Maria Di Iulio
I.T. Nautico di Termoli
Impareremo:
• Il metodo del confronto
• Il metodo di sostituzione
• Il metodo di addizione o sottrazione
Il metodo del confronto
Consideriamo il seguente sistema:
 y  3x  1

 y  2x 1
Le due espressioni a destra del segno di
uguaglianza sono entrambe uguali ad y e quindi
uguali tra loro:
3x 1  2x  1
Abbiamo ottenuto un’equazione nella sola
incognita x …
e risolvendola otteniamo
3x  1  2 x  1 
x2
Sostituiamo ora il valore di x in una qualsiasi
delle due equazioni del sistema per determinare
il valore di y
 y  3x  1

 y  2x 1
Sostituendo, ad esempio, nella prima
equazione del sistema si ha:
 y  3x  1

 y  2x 1
 y  3  2 1  y  5
La soluzione del sistema è
la coppia ordinata (2;5)
N.B. Sostituendo nella seconda equazione
del sistema si ottiene lo stesso risultato:
 y  3x  1

 y  2x 1
 y  2  2 1  y  5
La soluzione del sistema è sempre
la coppia ordinata (2;5)
Risolviamo il sistema:
2 x  y  1

3x  y  2
• Esplicitiamo entrambi le equazioni rispetto ad y:
2 x  y  1

3x  y  2

 y  1 2x

 y  3x  2
• Confrontiamo le due espressioni a destra dell’uguale:
3
3x  2  1  2 x  5 x  3  x 
5
• Sostituiamo il valore di x nella prima equazione:
3
6
1
y  1 2 
 y  1
 y
5
5
5
3 1
• La soluzione del sistema è la coppia ordinata:  ; 
5 5
Il metodo di sostituzione
1.
Esplicitiamo una delle due equazioni rispetto
all’incognita che è più semplice ricavare;
sia ad esempio y
2. Sostituiamo l’espressione trovata, al posto di
y, nell’altra equazione
3. Risolviamo l’equazione così ottenuta nella sola
incognita x
4. Sostituiamo il valore trovato per x
nell’equazione che avevamo esplicitato
rispetto ad y
Risolviamo il sistema:
2 x  3 y  1

2 x  y  3
2 x  3 y  1
1. Esplicitiamo la seconda equazione rispetto ad y: 
 y  3  2x
2. Sostituiamo l’espressione trovata, al posto di y, nella prima
equazione:
2 x  33  2 x   1

 y  3  2x
3. Risolviamo l’equazione così ottenuta nella sola incognita x:
2 x  9  6 x  1
 4 x  8
x  2
 
 

 y  3  2x
 y  3  2x
 y  3  2x
4. Sostituiamo il valore trovato per x nella seconda equazione, che è
esplicitata rispetto ad y:
x  2
x  2
 

y  3 2 2
 y  1
x  y  1
Risolviamo il sistema: 
2 x  3 y  0
Esplicitiamo la prima equazione rispetto ad x e sostituiamo
l’espressione trovata nella seconda equazione:
x  1  y

2 x  3 y  0


x  1  y


2  2 y  3 y  0

x  1  y

2

y

5


x  1  y

2  1  y   3 y  0
x  1  y

2  5 y  0
2

x

1



5

y  2

5




x  1  y

5 y  2
3

x



5

y  2

5


Il metodo di addizione o
sottrazione
Questo metodo si basa sul principio che partendo da
due uguaglianze si ottengono altre due uguaglianze
addizionando o sottraendo membro a membro le prime
due:
A=B
C =D
A+C=B+D
A-C=B-D
x  2 y  3
Risolviamo il sistema: 
3x  2 y  1
Addizionando membro a membro le due equazioni
otteniamo:
x  2y  3
3x  2 y  1
4x
 4  x 1
Sostituendo in una delle due equazioni, ad esempio nella
prima, il valore trovato per x, si ottiene il valore di y:
1 2 y  3

2y  2

y 1
La soluzione del sistema è la coppia ordinata (1;1)
Addizionando tra loro
i termini a sinistra e quelli a destra
delle due equazioni,
abbiamo ottenuto un’equazione
in una sola incognita
x  5 y  3
Risolviamo il sistema: 
3 x  2 y  1
Questa volta, se addizioniamo o sottraiamo le
due equazioni così come si presentano, non
otteniamo un’equazione in una sola incognita.
x  5 y  3

3x  2 y  1
x  5 y  3

3x  2 y  1
4x  7 y  4
 2x  3y  2
Proviamo a fare qualche modifica …
Moltiplichiamo la prima equazione per -3
-3
x  5 y  4

3x  2 y  1

 3x  15 y  12

3x  2 y  1
E ora addizioniamo membro a membro
 3 x  15 y  12

 3x  2 y   1
 13 y  13  13 y  13  y  1
Sostituendo il valore trovato per y in una delle
due equazioni del sistema, possiamo ottenere il
valore di x.
Nel nostro caso è conveniente sostituire ad y il
valore 1 nella prima equazione, così come si
presenta prima della moltiplicazione per -3.
x  5 y  4  x  5 1  4  x  1
La soluzione del sistema è (-1;1)
2 x  5 y  1
Risolviamo il sistema: 
3x  2 y  1
Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per -2
3
-2
2 x  5 y  1

3x  2 y  1
 6 x  15 y  3
 
 6 x  4 y  2
Addizionando membro a membro otteniamo:
 6 x  15 y  3

 6 x  4 y  2
19 y  1

y  1 / 19
Possiamo determinare il valore di x procedendo
in modo analogo a quanto fatto per y
Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 5
2
5
2 x  5 y  1

3x  2 y  1

 4 x  10 y  2

15 x  10 y  5
Addizionando membro a membro otteniamo:
 4 x  10 y  2

15 x  10 y  5
19 x
 7

7 1
La soluzione del sistema è  ; 
 19 19 
x  7 / 19