POLITECNICO DI MILANO
_____________________
Controllo GMV
(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
Controllo GMV
(Generalized Minimun Variance)
J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]
Esempi e teoria:
 Progetto a modello di riferimento (Q(z) = 0)
 Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1)
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Controllo GMV
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ESEMPI
Contenuti

Esempio 1
(sistema a sfasamento minimo)



Analisi del sistema da controllare
Progetto a modello di riferimento
Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV
4
Contenuti

Esempio 2
(sistema a sfasamento non minimo)

Analisi del sistema da controllare

Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV
5
Contenuti

Esempio 3
(sistema complesso a sfasamento non minimo)


Analisi del sistema da controllare
Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV
6
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Controllo GMV
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ESEMPIO 1
Esempio 1:
Sistema da controllare
equazione nel dominio del tempo:
 y(t) = 0,8y(t – 1) +
+ u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4)
+ e(t) + 0,6e(t – 1)
2
 e∼WN(0,s )
>>> Modello ARMAX (1,1,4)
rappresentazione operatoriale:
A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)

con
A(z) = 1 – 0,8z⁻¹
B(z) = 1 + 1,28z⁻¹ + 0,81z⁻²
Controllo GMV
C(z) = 1 + 0,6z⁻¹

k=2
8
Caratteristiche del sistema

Guadagno:


Zeri di A(z): poli del sistema


z = 0,8
Zeri di B(z):


B(1) / A(1) = 15,45
z = -0,64 ± 0.63i
Zeri di C(z):

z = -0,6
Controllo GMV
9
Posizione delle singolarità nel
piano complesso
Controllo GMV

A(z)
x

B(z)
•

C(z)
∎
10
Simulazione in a.a.:
risposta a gradino

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
11
Progetto a modello di
riferimento

Sistema da controllare:



Caratteristiche del sistema di controllo



A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)
e∼WN(0,s2)
Q(z) = 0
P(z) a scelta del progettista
Cifra di merito

J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²]
Controllo GMV
12
Progetto a modello di
riferimento

Polinomi del controllore




F(z) = F˜(z)
G(z) = PD(z)B(z)E(z)
H(z) = C(z)PD(z)
E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea

PN(z)C(z) = PD(z)A(z)E(z) + z-kF˜(z)
(lunga divisione di PNC per PDA per k passi)
Controllo GMV
13
Scelta del modello di
riferimento

M(z) =
(1 - )ⁿ
(1 - z⁻¹)ⁿ
(Sistema con n poli in  e guadagno 1)

Risposta a gradino

Tempo di assestamento al 90%
(la tabella indica il numero di passi necessari perché il
sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a
scalino, in funzione di  e di n)
Controllo GMV
14
Scelta del modello di
riferimento

n=1
n=2
n=3
0.1
1
2
2
0.2
2
3
3
0.3
2
3
4
0.4
3
4
5
0.5
4
6
7
0.6
5
8
10
0.7
7
11
14
0.8
11
17
23
0.85
15
28
32
0.9
22
37
50
0.95
45
76
131
0.99
230
387
500
Controllo GMV
15
Scelta del modello di
riferimento

Modello di riferimento: sistema del secondo
ordine, con guadagno unitario e con 2 poli
coincidenti (n = 2)
(1 - )²


M(z) = (1 - z⁻¹)²
Tempo di assestamento al 90%


Scelta:  = 0.4
⇒ sono necessari 4 passi per raggiungere la soglia
del 90%
Controllo GMV
16
Determinazione di P(z)

Il modello di riferimento è quindi:


(1 - 0.4)²
M(z) =
(1 – 0.4z⁻¹)²
P(z) = M(z)⁻¹

P(z) = 2.78 – 2.22z⁻¹ + 0.44z⁻²
Controllo GMV
17
Calcolo dei polinomi del
controllore

Effettuare 2 passi della lunga divisione



E(z) = 1 + 2,68z⁻¹ + 2,60z⁻² +1,13z⁻³
F˜(z) = 1,12
Si ottengono così:



F(z) = 0,44 + 0,27z⁻¹
G(z) = 2,77 + 5,22z⁻¹ + 4,38z⁻² + 1,35z⁻³
H(z) = 1 + 0,6z⁻¹
Controllo GMV
18
Schema a blocchi del sistema
di controllo
e(t)
yº(t)
H(z)
+
1 / G(z)
u(t)
+
z⁻ k B(z)
+
-
C
S
C(z)
y(t)
1 / A(z)
F(z)
Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)P (z)
N
Controllo GMV
19
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
20
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Funz. Trasfer. da yo a u:
P(z)A(z)/B(z)
Controllo GMV
21
Progetto a controllo
penalizzato

Sistema da controllare:



Caratteristiche del sistema di controllo



A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)
e∼WN(0,s2) s2 = 0
P(z) = 1
Q(z) a scelta del progettista
Cifra di merito

J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]
Controllo GMV
22
Progetto a controllo
penalizzato

Polinomi del controllore




F(z) = F˜(z)QD(z)
G(z) = B(z)QD(z)E(z) + C(z)QN(z)
H(z) = C(z)QD(z)
E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea

C(z) = A(z)E(z) + z-kF˜(z)
(lunga divisione di C per A per k passi)
Controllo GMV
23
Progetto a controllo
penalizzato

Funzione di trasferimento da y° a y


S(z) =
z⁻k
A(z)
1 + Q(z)
B(z)
Polinomio caratteristico

(z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z))
Controllo GMV
24
Progetto a controllo
penalizzato

Polinomio caratteristico


Poli del sistema di controllo



(z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z))
Poli fissi:
zeri di C(z)
Poli mobili: zeri di B(z)QD(z) + A(z)QN(z)
La stabilità del sistema di controllo
dipende dai poli mobili
Controllo GMV
25
Scelta di Q(z)

Scelte tipiche di Q(z) sono:

Q(z) = l costante

Q(z) = l(1 - z⁻¹)

Q(z) = l 1 - z⁻¹
1 – gz⁻¹
Controllo GMV
26
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l

Poli mobili: B(z) + lA(z) = 0


l = 0 : zeri di B(z)
l → ∞ : zeri di A(z)
Controllo GMV
27
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di B(z) + lA(z)
l ≃ 8,57
l=0
l→∞
Controllo GMV
28
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
29
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
30
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 8,57)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
31
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 8,57)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
32
Guadagno del sistema di
controllo

S(1) =
1
1+l

A(1)
B(1)
l ≠ 0 ⇒ errore a transitorio esaurito
non nullo
Controllo GMV
33
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹)

Poli mobili: B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) = 0


l = 0 : zeri di B(z)
l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV
34
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z)
l→∞
l=0
Controllo GMV
35
Guadagno del sistema di
controllo

S(z) =
1
1 + l(1 - z⁻¹)

A(z)
B(z)
valutato per z = 1 vale 1
In questo caso è garantito un guadagno
unitario per il sistema di controllo
Controllo GMV
36
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
37
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
38
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 50)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
39
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 50)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
40
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.9z⁻¹)

Poli mobili:


l = 0 : zeri di (1 – 0.9z⁻¹)B(z)
l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV
41
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z)
l=0
l→∞
Controllo GMV
42
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
43
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
44
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 7,3)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
45
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 7,3)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
46
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.8z⁻¹)

Poli mobili:


l = 0 : zeri di (1 – 0.8z⁻¹)B(z)
l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV
47
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z)
l=0
l→∞
Controllo GMV
48
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 6,1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
49
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 6,1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
50
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 6,1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2= 10-4
Controllo GMV
51
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 6,1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2= 10-4
Controllo GMV
52
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Controllo GMV
(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
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ESEMPIO 2
Esempio 2:
sistema a sfasamento non minimo

Modello ARMAX (1,2,3)
A(z) = 1 - 0,5z⁻²
 B(z) = 1 – 2z⁻¹ + 2z⁻² + z⁻³
k=1
 C(z) = 1 – 1,4z⁻¹ + 0,7z⁻²
(rappresentazione operatoriale):
 A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)

Controllo GMV
54
Caratteristiche del sistema

Guadagno


Zeri di A(z): poli del sistema



z = 0,71
z = -0,71
Zeri di B(z):



B(1) / A(1) = 4
z = -0,35
z = 1,18 ± 1,20i
Zeri di C(z):

z = 0,70 ± 0,46i
Controllo GMV
55
Posizione delle singolarità nel
piano complesso
Controllo GMV

A(z)
x

B(z)
•

C(z)
∎
56
Simulazione in a.a.:
risposta a gradino

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
57
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0,5z⁻¹)

Poli mobili:


l = 0 : zeri di (1 – 0.5z⁻¹)B(z)
l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV
58
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di (1 – 0.5z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z)
l=0
l→∞
Controllo GMV
59
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1,5)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
60
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 1,5)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
61
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 2,1)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
62
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 2,1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
63
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 19)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
64
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 19)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
65
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 19)

Andamento dell’uscita y(t) con s2= 10-4
Controllo GMV
66
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 19)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2= 10-4
Controllo GMV
67
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ESEMPIO 3
Esempio 3:
sistema complesso a sfasamento non minimo


L’esempio viene costruito a partire dalle
singolarità desiderate dei polinomi A(z)
B(z) C(z)
Si impone sfasamento non minimo (zeri
esterni alla regione di stabilità) e
comportamento oscillante (poli con
parte reale negativa vicini al bordo
della regione di stabilità)
Controllo GMV
69
Singolarità

Zeri di A(z): poli del sistema



Zeri di B(z):



z = - 0,95 ± 0,1i
z = -0,5 ± 0,6i
z=1±i
z = 0,2 ± 0,6i
Zeri di C(z):

z = -0,7
Controllo GMV
70
Modello ARMAX

Modello ARMAX (4,1,4)

A(z) = 1 + 2,9z⁻¹ + 3,422z-2 + 2,072z-3 + 0,557z4




B(z) = 1 – 2,4z-1 + 3,2z-2 – 1,6z-3 + 0,8z-4
C(z) = 1 + 0,7z⁻¹
ritardo ingresso/uscita: k = 1
Equazione nel dominio del tempo


y(t) = -2,9y(t-1) - 3,422y(t-2) - 2,072y(t-3) - 0,557y(t-4) +
+ u(t-1) - 2,4u(t-2) + 3,2u(t-3) - 1,6u(t-4) + 0,8u(t-5) +
+ e(t) + 0,7e(t-1)
e∼WN(0,s2)
s2 = 0
Controllo GMV
71
Posizione delle singolarità nel
piano complesso
Controllo GMV

A(z)
x

B(z)
•

C(z)
∎
72
Simulazione in a.a.:
risposta a gradino

Andamento dell’uscita y(t) con s2=0
Controllo GMV
73
Scelta di Q(z)

Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹)/(1 + 0,3z-1)

Poli mobili:


l = 0 : zeri di (1 + 0,3z-1)B(z)
l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV
74
Andamento dei poli mobili

Luogo delle radici di (1 + 0,3z-1)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z)
l→∞
l=0
Controllo GMV
75
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 30)

Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0
Controllo GMV
76
Simulazione in a.c.:
risposta a gradino (l = 30)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0
Controllo GMV
77
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