Problemi sul
parallelogramma
con le incognite
Quante altezze ha un
parallelogramma
• Il concetto di altezza rimanda
direttamente a quello della distanza di in
punto da una retta
• La distanza di un punto da una retta è
data dalla lunghezza del segmento
perpendicolare che unisce il punto alla
retta
• Perciò l’altezza è la lunghezza del
segmento perpendicolare che unisce un
punto al lato opposto
pp o
sto
o
unt
al p
A
Se vi sembra strano basta ruotare la figura e a
questo punto vi sembrerà strano ciò che prima
vi sembrava normale: l’altezza h
oo
Lat
Consideriamo il
seguente
parallelogramma
Il lato opposto al punto
C è il lato a
Il lato opposto al punto
A è il lato b
Quante altezze
abbiamo?
Per quanto abbiamo
detto prima 2
Queste sono le 2
perpendicolari che
possiamo tracciare
E queste le due altezze
Perimetro del parallelogramma
2P = 2 x (b + l)
dove
b = base
l = lato obliquo
Formule inverse
b=P-l
P è il semiperimetro
P= 2P : 2
l=P-b
Area del parallelogrammo
Consideriamo il seguente
parallelogrammo
Lo possiamo suddividere in un
triangolo e in un trapezio
rettangolo
Otteniamo un rettangolo la cui
base e altezza coincidono con
quelle del parallelogramma
In pratica il rettangolo DEFC è
equivalente al parallelogrammo
ABCD
Immaginiamo di spostare il
triangolo ADE facendo coincidere Perciò l’area del
il lato e col lato l
parallelogrammo sarà …..
A = l1 x h1
A = l2 x h2
Formule inverse
A
___
l1 =
h1
A
___
h1 =
l1
A
___
l2 =
h2
A
___
h2 =
l2
La somma della base e dell’altezza ad essa relativa è di 65
cm, la differenza è di 15 cm. Trovare l’area. (tipo la
somma di due dimensioni è …. La loro differenza è di…
vedere rettangoli)
b + h = 65 cm b – h = 15 cm
2h = 65 cm – 15 cm = 50 cm
h = 50 cm : 2 = 25 cm
b = 25 cm + 15 cm = 40 cm
A = b x h = 25 cm x 40 cm = 1000 cm2
La somma della base e dell’altezza ad essa relativa è di 192
cm, la prima è il doppio della seconda. Trovare l’area. (tipo
la somma di due dimensioni è …. Una è multiplo di un’altra
vedere rettangoli)
b + h = 192 cm
b = 2h
b + h = 3; 3 = 192 cm
 = 192 : 3 = 64 cm



h = 64 cm
b = 2 x  = 2 x 64 cm = 128 cm
A = b x h = 64 cm x 128 cm = 8192 cm2
La differenza della base e dell’altezza ad essa relativa è di
68 cm, la prima è il triplo della seconda. Trovare l’area. (tipo
la differenza di due dimensioni è …. Una è multiplo di
un’altra vedere rettangoli)
b=3h
Quando faccio b – h debbo
eliminare una  perciò ne
rimangono 2
2  = 68 cm




b = 3 x  = 3 x 34 cm = 102 cm
 = 68 cm : 2 = 34 cm
h = 34 cm
A = b x h = 34 cm x 102 cm = 3468 cm2
• In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza
•
•
•
•
ad essa relativa è di 80 cm, la differenza è di 24 cm.
Trovare l’area.
In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza
ad essa relativa è di 35 cm, la differenza è di 11 cm.
Trovare l’area.
In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza
ad essa relativa è di 124 cm, la prima è il triplo della
seconda. Trovare l’area
In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza
ad essa relativa è di 39 cm, la prima è il doppio della
seconda. Trovare l’area
In un parallelogramma la differenza della base e
dell’altezza ad essa relativa è di 24 cm, la prima è il
doppio della seconda. Trovare l’area.
Quando vado a considerare
il perimetro mi
debbo ricordare
che il lato obliquo non
coincide con l’altezza
come avveniva
nel rettangolo!!!!
La differenza dei due lati di un parallelogramma è di 42
cm, uno è il quadruplo dell’altro. Trovare il perimetro. (tipo
la differenza di due dimensioni è …. Una è multiplo di
un’altra vedere rettangoli)
l1 = 4l2
Quando faccio l1 - l2
debbo eliminare una
 perciò ne
rimangono 3
3  = 42 cm





l2 = 14 cm
l1 = 4 x 14 cm = 64 cm
 = 42 cm : 3 = 14 cm
2P = (l1 + l2) x 2 = (14 + 64) cm x 2 =156 cm
90
cm
La somma dei lati di un parallelogramma è di 230 cm, il lato
maggiore supera il minore di 50 cm. Sapendo che l’area è di
2520 cm2, trova le altezze relative ai due lati (tipo somma e
differenza di dimensioni vedere rettangoli)
l2
l2 90 cm
50 cm
l1 + l2 = 230 cm = FD l1 – l2 = 50 cm =
2l2 = FG = 230 cm – 50 cm
GD
2l2 = 180 cm l2 = 180 cm : 2 = 90 cm l1 = 90 cm + 50 cm = 140 cm
h1 = A : l1 = (2520 : 140) cm = 18 cm
h2 = A : l2 = (2520 : 90) cm = 28
cm
La differenza dei lati di un parallelogramma è di 54 cm, uno è il
quadruplo dell’altro. Calcola le altezze relative a ciascun lato sapendo
che la sua area è di 720 cm2 (tipo la differenza di due dimensioni è
…. una è multipla di un’altra vedere rettangoli)
l1 = 4
l2
l1 – l2 = 4  -  = 3 
3  = 54 cm
 



 = 54 cm : 3 = 18 cm
l2 =  = 18 cm
l1 = 4 x 18 cm = 72 cm
h1 = A : l1 = (720 : 72) cm = 10 cm
h2 = A : l2 = (720 : 18) cm = 40 cm
• La somma delle altezze di un
parallelogramma è pari a 112 cm e una
supera l’altra di 18 cm. Sapendo che l’area
del parallelogramma è di 6110 cm2,
calcolane il suo perimetro.
• La differenza dei lati di un
parallelogramma è di 12 m, uno è il
doppio dell’altro. Trovare le due altezze
sapendo che la sua area è di 240 m2
La somma della base e dell’altezza di un
parallelogramma è di 84 cm. L’altezza è i ¾ della base.
Trovare l’area del parallelogramma (tipo la somma di
due dimensioni è …. Una è una frazione dell’altra
vedere rettangoli)
h = 3 ; b = 4 
b+h=3+4=7
7  = 84 cm
 = 84 cm : 7 = 12 cm
h = 3 x 12 cm = 36 cm
b = 4 x 12 cm = 48 cm
A = (b x h) = (36 x 48) cm2 = 1728 cm2
La differenza fra la base e l’altezza di un parallelogrammo
è di 26 cm una è i 3/5 dell’altra. Trovare l’area del
parallelogramma (tipo la differenza di due dimensioni è
…. una è una frazione dell’altra vedere rettangoli)
h = 3 ; b = 5 
b–h=5–3=2

2  = 26 cm
 = 26 cm : 2 = 13 cm
h = 3 x 13 cm = 39 cm
b = 5 x 13 cm = 65 cm
A = (b x h) = (39 x 65) cm2 = 2535 cm2
La differenza fra i due lati di un parallelogrammo è di 14
cm una è i 5/7 dell’altra. Trovare il perimetro del
parallelogramma (tipo la differenza di due dimensioni è ….
una è una frazione dell’altra vedere rettangoli)
l1 = 7  l2 = 5 
l1 – l2 = 7  - 5  = 2 
2  = 14 cm
 = 14 cm : 2 = 7 cm




 
l1 = 7  = 7 x 7 cm = 49 cm

 l2 


14 cm

l2 = 5  = 5 x 7 cm = 35 cm
2P = (l1 + l2) x 2 = (49 + 35) cm x 2 =168 cm
La differenza fra i due lati di un parallelogrammo è di 5
cm una è i 3/4 dell’altra. Trovare il perimetro del
parallelogramma e le due altezze sapendo che l’area è di
225 cm2 (tipo la differenza di due dimensioni è …. una è
una frazione dell’altra vedere rettangoli)
l1 – l2 = 5
cm
l1 – l2 = 4u – 3 u = u
u = 5 cm
15
cm
20 cm
u
l1 = 4u = 4 x 5 cm = 20 cm 2P = (15 + 20) cm x 2 = 70 cm
l2 = 3u = 3 x 5 cm = 15 cm h1 = (225 : 20) cm = 11,25
cm
h2 = (225 : 15) cm = 15 cm
La somma della base e dell’altezza di un
parallelogramma è di 96 cm. La base è i 5/7
dell’altezza. Trovare l’area del parallelogramma.
La somma della base e dell’altezza è di 40 cm.
L’altezza è i 3/5 della base. Trovare l’area del
parallelogramma
La differenza fra la base e l’altezza di un
parallelogramma è di 34 cm. Una è i 3/5 dell’altra.
Trovare l’area
La differenza fra la base e l’altezza di un
parallelogramma è di 17 m. le base è il doppio
dell’altezza. Trovare l’area
La differenza fra i lati di un parallelogramma è di 7,6
cm. Uno è i 5/9 dell’altro. Trovare il perimetro del
parallelogramma
In un parallelogramma l’altezza è i 6/7 della base,
sapendo che l’area è di 2688 cm2 trovare la lunghezza
della base e dell’altezza del parallelogramma (problemi
del tipo l’area è… una dimensione è una frazione di
un’altra vedere rettangoli)
b = 7u
h=6u
u
u
A = b X h = 7u x 6u = 42 u2
L’area risulta così
suddivisa in 42
quadratini pari a u2
u
u
u
42 u2 = 2888 cm2
u2 = 2888 cm2 : 42
u2 = 64 cm2
u = √64 cm2 = 8 cm
u u u
u u
u
2
u u
b = 7 u = 7 x 8 cm = 56 cm
h = 6 u = 6 x 8 cm = 48 cm
In un parallelogramma l’altezza è i 2/3 della base,
sapendo che l’area è di 135 cm2 trovare la lunghezza
della base e dell’altezza del parallelogramma
In un parallelogramma l’altezza è i 3/4 della base,
sapendo che l’area è di 432 cm2 trovare la lunghezza
della base e dell’altezza del parallelogramma
In un parallelogramma l’altezza è i 2/9 della base,
sapendo che l’area è di 1800 cm2 trovare la lunghezza
della base e dell’altezza del parallelogramma
In un parallelogramma l’altezza è i 6/5 della base,
sapendo che l’area è di 3630 cm2 trovare la lunghezza
della base e dell’altezza del parallelogramma