La matematica in un’Università
economico-legale. ABC dei sistemi dinamici.
Lorenzo Peccati
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Introduzione
La Matematica divide
La Matematica è uno strumento come tutti gli altri per capire fenomeni
naturali e sociali.
Obiettivo: vedere la matematica con una prospettiva “strumentale” diversa.
Fare conoscenza con un argomento facile, ma non banale e poco noto, che
dovrebbe mettere un po’tutti sullo stesso piano.
Farete un breve lavoro di gruppo, quindi attenzione!
1
2
Sistemi dinamici unidimensionali
La variabile di stato x descrive lo stato d’un sistema mobile nel tempo alla data
= 0; 1; 2; : : :. Se conosciamo x (t), conosciamo tutto dell’evoluzione del sistema.
Se, per es.:
x (t) = 0:5t
il seguente gra…co ci dà le informazioni rilevanti:
x(t)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1
2
3
4
t
Le ordinate dei punti sulla retta con ascisse t = 0; 1; 2; 3; : : : sono i valori
della variabile di stato x (0) ; x (1) ; x (2) ; x (3) ; : : :
2
Esempio: a un’assemblea sono inizialmente presenti 1000 partecipanti (cioè
un “kilopartecipante”). e, visto l’interesse del raduno, ad ogni quarto d’ora il
numero del partecipanti si dimezza, misurando il tempo in quarti d’ora dopo t
quarti d’ora, il numero di kilopartecipanti è:
x (t) = 0:5t
3
3
La legge del moto
Spesso d’un sistema dinamico non si conosce la funzione x (t), ma ne sono noti:
La posizione occupata a una certa data, tipicamente x (0) = x0 .
Una regola evolutiva, la “legge del moto” che decrive come il sistema che
sia in x (t) alla data t, si sposta in una nuova posizione x (t + 1) :
x (t + 1) = f [x (t) ; t]
Un esempio di legge del moto potrebbe essere:
x (t + 1) = a (t) x (t) + b (t)
4
(1)
Un’interpretazione. Pensiamo al numero d’abitanti d’una data regione,
tipicamente variabile nel tempo. Misuriamo il tempo in mesi.
Sia x (t) la consistenza della popolazione regionale alla data t.
Oggi gli abitanti sono x (0).. L’equazione (1) ci dice che tra un mese (in
t + 1) troveremo un numero d’abitanti determinato dal numero odierno x (t),
che è moltiplicato per il coe¢ ciente a (t) riassuntivo di nascite e morti (il c.d.
movimento naturale) e che dipende da t perché è ben noto che nascite e morti
non sono a¤atto uniformemente distribuite sull’anno solare. L’addendo b (t)
rappresenta il saldo migratorio del mese:
b (t) = immigrati
emigrati, durante il mese numero t
5
Un altro esempio, che nasce nello studio delle popolazioni biologiche, ma
che ha avuto larghe applicazioni in Economia, nel Management e nel Marketing
si chiama modello logistico. Una popolazione biologica vive in un area che
o¤re limitate capacità di sostentamento. La consistenza della popolazione in
0 è x (0).essa cresce velocemente quando la sua dimensione non è né troppo
grande (per cui c’è cibo abbondante per tutti) né troppo piccola (nel qual caso
ci potrebbero essere problemi di riproduzione. La legge del moto potrebbe
essere:
x (t + 1) = x (t) + a (t) x (t) [M (t) x (t)]
(2)
dove M (t) il livello di saturazione del territorio alla data t e a (t) > 0 trasmette
con maggiore o minor forza, potenzialmente in modo variabile nel tempo, l’e¤etto
della dimensione corrente sualla variazione delle popolazione.
8
< se x (t) è piccola, il prodotto a (t) x (t) [M (t) x (t)] è piccolo ) crescita lenta
se x (t) è grande, idem perché [M (t) x (t)] è piccolo ) crescita lenta
:
se x (t) M (t) =2 il prodotto è grande ) crescita veloce
3.1
Traiettorie, soluzione generale, soluzione particolare
Data una legge del moto e basta (senza una condizione iniziale) di solito ci sono
in…nite traiettorie che la rispettano. Di¤eriuscono per il punto di partenza.
L’insieme di tutte le traiettorie, compatibili con la legge del moto, si chiama
soluzione generale per il sistema dinamico. Ciascuna di queste, caratterizzata
da un punto di partenza si chiama soluzione particolare.
Esempio — La legge del moto sia:
x (t + 1) = ax (t)
Supponiamo che x (0) = x0 . Scriviamo l’equazione sopra per t = 1; 2; : : : ; t
1:
x (1) = ax0
x (2) = ax (1)
x (t) = ax (t
1)
Montiplichiamo membro a membro:
x (1) x (2)
x (t) = at x0 x (1) x (2)
x (t
1)
da cui:
x (t) = x0 at
Fissando x0 s’individua una soluzione particolare, lasciandolo indeterminato si
ha la soluzione generale.
6
4
Sistemi autonomi
Riprendiamo il modello logistico (2). La dinamica temporale della consistenza
della popolazione dipende dal tempo attraverso due canali:
la presenza a secondo membro della variabile di stato in t, che fatalmente
dipende dal tempo (si chiama dipendenza endogena);
la presenza a secondo membro dei due coe¢ cienti a (t) :M (t), che abbiamo
introdotto come potenzialmente variabili nel tempo (si chiama dipendenza
esogena).
Quando la legge del moto esibisce entrambe le dipendenze il sistema si dice
non autonomo.
Se, per contro, nella legge del moto non v’è dipendenza esogena (per esempio
se a (t) a costante e M (t) M ), per cui la (2) decade nella:
x (t + 1) = x (t) + ax (t) [M
x (t)]
(3)
abbiamo un primissimo esempio di sistema dinamico autonomo.
In generale, la legge del moto d’un sistema autonomo è del tipo:
x (t + 1) = f [x (t)]
D’ora in avanti ci occuperemo solo di sistemi dinamici autonomi.
7
(4)
5
Equilibrio per un sistema dinamico
E’interessante di per sé, soprattutto nella teoria economica, ma, più in generale,
per capire il suo comportamento, se un sistema dinamico ha soluzioni (particolari
costanti):
x (t) x = costante
Esse possono anche caratterizzarsi scrivendo:
x (t + 1) = x (t)
x = costante
(5)
Sistemi non autonomi
Partiamo dalla legge del moto:
x (t + 1) = f [x (t) ; t]
e, tenendo conto della (5), abbiamo una equazione d’equilibrio con due
incognite:
x = f (x ; t)
(6)
Se anche risolvessimo rispetto a x , in generale, non ci darebbe una costante.
Prendiamo, per esempio:
x (t + 1) = (t + 1) x (t) + 1
La (6) diventa:
x = (t + 1) x + 1
da cui:
x =
1
t
che è inaccettabile.
Sistemi autonomi
Partiamo dalla legge del moto:
x (t + 1) = f [x (t)]
e, tenendo conto della (5), abbiamo una equazione d’equilibrio in una sola
incognita:
x = f (x )
(7)
La prospettiva è decisamente migliore.
Prendiamo, per esempio la (3):
x (t + 1) = x (t) + ax (t) [M
La (7) diventa:
x = x + ax (M
x )
da cui:
ax (M
x )=0
che ci fornisce due equilibri:
x1 = 0
x2 = M
8
x (t)]
6
Diagrammi di fase
Il motore evolutivo d’un sistema dinamico autonomo è la funzione f che de…nisce
la legge del moto:
x (t + 1) = f [x (t)]
Il diagramma nel piano cartesiano ove:
ascissa = stato corrente (cioè x (t) = X);
ordinata = stato successivo (cioè x (t + 1) = Y )
e nel quale rappresentiamo le due funzioni:
Y =X
Y = f (X)
si chiama diagramma di fase.
Se, per esempio, la legge del moto fosse:
2
x (t + 1) = [x (t)]
la funzione f sarebbe:
Y = X2
Il diagramma di fase sarebbe allora:
y 24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
9
2
3
4
5
x
La retta:
Y =X
si chiama retta d’equilibrio perché la sua equazione equivale a:
x (t + 1) = x (t)
La parabola:
Y = X2
si chiama curva di fase. Essa ci mostra come l’oggi (in ascissa) è trasformato
nel domani (in ordinata). La curva di fase taglia la retta d’equilibrio in corrispondenza a:
x1 = 0
x2 = 1
che sono gli equilibri di questo sistema dinamico. Da:
2
x = (x )
si trae, lasciando perdere gli asterischi:
x
x2 = 0 ossia x (1
x) = 0
che ha le due soluzioni:
x1 = 0
x2 = 1
Abbiamo scoperto che: il diagramma di fase ci mostra gra…camente gli equilibri d’un sistema dinamico.
7
Stabilità d’un equilibrio
Acuni equilibri d’un sistema dinamico sono particolarmente interessanti per
capire quale sarà il suo comportamento nel lungo andare (ossia, quando t è
abbastanza grande).
Riconsideriamo l’esempio d’apertura:
x (t) = 0:5t
La sua genesi dovrebbe essere ora piuttosto chiara:
x (0) = 1
condizione iniziale
x (t + 1) = 0:5x (t)
legge del moto
soluzione particolare:
x (t) = 0:5t
soluzione geenrale, partendo da x (0) = a:
x (t) = a 0:5t
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onde, in particolare, se x (0) = 0:
x (t)
0
che è un equilibrio.
L’equazione d’equilibrio:
x = 0:5x
ha l’unica soluzione x = 0, che ci garantisce che 0 è il solo equilibrio. Possiamo
riscrivere l’equazione che descrive l’evoluzione:
x (t) =
a
2t
E’ ovvio che, qualunque sia a, per t abbastanza grande x (t)
0 = x . Ciò
signi…ca che, indipendentemente dal punto di partenza, per t abbastanza grande,
il sistema è praticamente in equilibrio.
Se per ogni x (0) accade che al divergere di t la variabile di stato x (t)
s’approssima inde…nitamente all’equilibrio x , dicialo che l’equilibrio x è globalmente stabile.
Ci sono casi in cui questa bella proprietà non succede per tutti i punti di
partenza x (0), ma solo per i punti di partenza non troppo lontani da x . Per
esempio, se:
x
1 < x (0) < x + 1
Esempio — Riprendiamo il sistema dinamico:
2
x (t + 1) = [x (t)]
Sia x (0) tra 1 e +1, estremi esclusi. Sono i numeri in modulo minori di 1.
Prendiamo, per es.:
1
x (0) =
2
si ha:
1
1
1
x (1) = ;
x (2) =
;
x (3) =
; :::
4
16
256
con ovvio inde…nito avvicinamento a 0. Facciamo un altro esperimento:
x (0) =
si ha:
x (1) =
1
;
4
x (2) =
1
2
1
;
16
x (3) =
1
; :::
256
e la storia è la stessa.
Se però partissimo da x (0) = 2 avremmo:
x (1) = 4;
x (2) = 16;
x (3) = 256; :::
e la variabile di stato non s’avvicinerebbe inde…nitamente all’equilibrio.
In casi come questo diciamo che l’equilibrio è localmente stabile.
11
8
Diagnosi di stabilità attraverso i diagrammi di
fase
I diagrammi di fase non solo sono utili per “vedere”gli equilibri, ma ne possono
rivelare la possibile stabilità (globale o locale).
L’idea è piuttosto semplice. Prendiamo la legge del moto:
x (t + 1) = x2 (t)
di cui già abbiamo visto il diagramma di fase, che ora zumiamo:
y
4
3
2
1
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
-1
-2
-3
-4
Immaginiamo di partire da x (0) = 1:1, cioè alla destra del punto d’equilibrio
x2 = 1. Possiamo gra…camente costruire questa storia del sistema cos’. Fissimo
x (0) = 1:1 sull’asse delle ascisse (punto (1:1; 0)). Moviamo verticalmente alla
ricerca della curva di fase: troviamo x (1) = x2 (0) = 1:21. moviamo poi orizzontalmente alla ricerca della bisettrice e, incontratala, scendiamo di nuovo sull’asse
delle ascisse su cui riportiamo x (1). Da lì cerchiamo di nuovo verticalmente la
curva di fase: x (2) = x2 (1) = 1:212 = 1:4641, e così via. Il seguente schema ci
mostra che x (t) crescerà inde…nitamente.
Immaginiamo ora di partire da x (0) = 0:9. Otteniamo il seguente diagramma:
12
,01 0
f()X
sh
Y
600
400
200
30
20
13
,201 .2
f()X
sh
Y
0.8
0.6
0.4
.5
14
,201 .2
f()X
sh
Y
0.8
0.6
0.4
.5
Esso rivela che il sistema “scappa” dall’equilibrio x2 = 1, sia verso destra
(gra…co precedente), sia verso sinistra, gra…co corrente
Fermiamo ora la nostra attenzione sull’altro equilibrio x1 = 0. Facciamo
partire il sistema un po’alla sua destra, per esempio x (0) = 0:3. Costruiamo
la solita “scalinatella”:
Il responso è chiaro: si va a morire a 0.
Partiamo un po’ alla sinistra di 0, per esempio x (0) = 1. Il diagramma
riesce:
e, ancora una volta si va a morire in 0.
Partiamo ora, “molto a sinistra”, rispetto all’equilibrio 0. Per esempio
x (0) = 2. Il solito diagramma riesce:
e di nuovo si ha divergenza:
x1 = 0
è localmente stabile.
15
02 .5
,−
f()X
sh
1Y
16
,
f()X
sh
104Y
2−
17
9
Parlando di pesci
Un paio di modelli, presi dall’economia delle risorse danno ulteriore spessore.
Pensiamo a una …shing farm, un braccio di mare in cui pesci, per esempio
acciughe, nascono, vivono, sono catturate e muoiono.
Ragioniamo su due modelli:
(A) — crescita naturale con cattura costante;
(B) — crescita naturale, con cattura proporzionale e ripopolamento.
Modello (A) — Il numero d’acciughe in t è x (t). Il tasso % di crescita è
g. I pescatori catturano c acciughe per periodo. La legge del moto è:
x (t + 1) = (1 + g) x (t)
c
Il possibile equilibrio del sistema è x , che risolve l’equazione:
x = (1 + g) x
onde:
x =
c
c
g
Investighiamo la sua stabilità. Con g = 0:1 e c = 100, la legge del moto è:
x (t + 1) = 1:1x (t)
100
L’equilibrio è allora sul numero d’acciughe:
x =
100
= 1000
0:1
Il diagramma di fase i fase, partendo da x (0) = 500, è agghiacciante.
Sparisce l’acciuga e, con essa, la bagna cauda...
Se, per contro, il punto di partenza sta oltre l’equilibrio, per esempio x (0) =
1050, troviamo l’acciuga-coniglio: la consistenza della popolazione esplode:
18
05000
500
10
,3211.5
f()X
sh
Y
×
×
×
×
×
×
50
0
500
10
1.5
1
,32
f()X
sh
Y
00
×
×
×
×
×
×
Modello (B) — Il numero d’acciughe in t è x (t). Naturalmente cresconoa
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tasso g, come sopra. I pescatori catturano la percentuale k della popolazione
stessa. Magari k > g, ma la fattoria è ripopolata con r nuove acciughe. La legge
del moto è:
x (t + 1) = (1 + g) (1 k) x (t) + r
Sempli…cando, poniamo:
(1 + g) (1
k) = 1
con = k g + gk = k g (1 k). Se > 0, la pendenza della retta di fase è
minore di 1. Guardiamo i diagrammi di fase con = 5% e r = 100.
L’equazione d’equilibrio è:
x = (1
0:05) x + 200
onde:
x = 4000
20