Il Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e
di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 2
1
Il CAPM
Deriviamo il CAPM di base a un periodo.
È un modello dei rendimenti di equilibrio delle
attività ampiamente usato nella letteratura
finanziaria (diversificazione di portafoglio,
misure di rischio e di rendimento, portafoglio di
mercato).
Considereremo solo le azioni, ma il CAPM può
applicarsi anche a tutte le altre attività
finanziarie (es. obbligazioni, attività immobiliari
ecc.).
2
Le principali questioni del CAPM
Il CAPM risponde a una serie di domande:
•
•
•
Perché agli agenti conviene detenere un portafoglio
diversificato che include un gran numero di attività
rischiose piuttosto che, ad esempio, una sola attività
rischiosa o un sottoinsieme di attività rischiose?
Cosa determina il rendimento di equilibrio atteso su
ciascuna attività rischiosa nel mercato, in modo che gli
investitori desiderino detenerla?
Cosa determina le scelta di un investitore individuale
tra detenere l’attività priva di rischio e detenere
l’insieme di attività rischiose?
3
Visione generale del CAPM - 1
Nel CAPM gli agenti:
possono scegliere tra un insieme di attività rischiose (azioni)
e l’attività priva di rischio (depositi bancari o BOT);
possono dare e prendere a prestito quanto desiderano al
tasso di interesse privo di rischio;
sono avversi al rischio (→ il rischio procura loro disutilità)
sia ERi il rendimento (atteso) di un’attività i; il suo rischio è
misurato dalla sua varianza σ2i;
tutti gli individui hanno aspettative omogenee su:
rendimenti attesi, varianze e covarianze (correlazioni)
tra i vari rendimenti;
non ci sono né costi di transazione né tasse.
4
Visione generale del CAPM - 2
Consideriamo il motivo per detenere un portafoglio
diversificato con un insieme di attività rischiose:
Assumiamo, per il momento, che siano già stati fissati i
fondi destinati all’attività sicura;
Investendo tutta la ricchezza nell’attività 1, si ha rendimento
atteso ER1 e rischio σ21; analogamente, se si sceglie solo
l’attività 2, si ha rendimento atteso ER2 e rischio σ22;
Assumiamo covarianza negativa tra i due rendimenti σ12<0,
cioè ER1 cresce se ER2 cala e viceversa: ciò implica un
coefficiente di correlazione negativa tra i rendimenti
poiché ρ12=σ12/(σ1 • σ2)
Perciò, la diversificazione riduce la varianza del portafoglio
5
Visione generale del CAPM - 3
Per semplificare al massimo, assumiamo ER1=ER2 e σ21=σ22
e che quando ER1 aumenta dell’1% ER2 cala dell’1%,
rendimenti perfettamente correlati negativamente ρ=– 1
In queste ipotesi, se dividiamo a metà il portafoglio tra le
due attività il rendimento del portafoglio è ER1=ER2 ma
la diversificazione riduce il rischio del portafoglio a
zero (ogni rendimento sopra la media dell’attività 1
comporta un equivalente rendimento sotto la media
dell’attività 2 dato che ρ=– 1)
L’esempio è ovviamente un caso speciale, ma mostreremo
che, in generale, anche se la covarianza dei rendimenti è
nulla o positiva (ma ρ<1) conviene diversificare
6
Visione generale del CAPM - 4
L’esempio suggerisce il perché ogni investitore potrebbe
detenere un po’ di ognuna delle azioni sul mercato, se
gli permettiamo di dare/prendere a prestito in misura
illimitata al tasso privo di rischio r
Per capirlo meglio, facciamo un contro-esempio. Se una
azione non fosse inizialmente voluta da nessun
investitore allora il suo prezzo dovrebbe calare (tutti la
vendono). Ma (ceteris paribus e assumendo un flusso di
dividendi attesi positivo) il calo del prezzo corrente fa
salire il rendimento atteso futuro. Allora, il prezzo
corrente dovrà scendere finché l’azione divenga
attraente.
7
Visione generale del CAPM - 5
Le preferenze dell’investitore entreranno in gioco, ma vale
il teorema della separazione dei due fondi:
Si può scindere l’investimento in due scelte separate. La
prima, la quota ottimale x*i di attività rischiose da
detenere, dipende solo dalle aspettative sulle variabili di
mercato (rendim, var, covar). Ma aspettative omogenee
tra gli agenti → tutti detengono le stesse proporzioni di
attività rischiose (es. 1/20 di azioni α, 1/80 di β ecc.)
senza riguardo alle loro preferenze rischio-rendimento
Nel 2° stadio, l’agente sceglie quanto prendere (dare) a
prestito così da aumentare (ridurre) la ricchezza
detenuta nel portafoglio di mercato di attività rischiose
8
Visione generale del CAPM - 6
Solo ora entrano in gioco le preferenze rischio-rendimento:
• se l’agente è molto avverso al rischio, investirà quasi
tutto nell’attività sicura (con rendimento r) e destina
solo una piccola parte della sua ricchezza all’attività
rischiosa nelle proporzioni fisse x*i;
• se invece è poco avverso al rischio, userà la ricchezza
(e semmai prenderà a prestito al tasso r) per investire
nell’attività rischiosa nelle proporzioni fisse x*i.
NB: il 2° stadio non influenza le domande relative di attività
rischiose (restano fisse le proporzioni di x*i) → rendim
attesi di equilibrio non dipendono dalle preferenze degli
individui, ma solo da varianze e covarianze di mercato
9
Visione generale del CAPM - 7
Useremo la seguente notazione:
rendimento atteso = μi = ERi
varianza dei rendimenti = σ2i = var(Ri)
covarianza dei rendimenti = σij = cov(Ri , Rj)
Sui rendimenti di equilibrio, il CAPM prevede che il
rendimento in eccesso atteso su un’attività rischiosa
(ERi – r) sia direttamente correlato col rendimento in
eccesso atteso sul portafolgio di mercato (ERm – r) con
la costante di proprzionalità beta di quella attività:
(ERi – r) = βi(ERm – r) ovvero ERi = r + βi(ERm – r)
ove βi = cov(Ri , Rm)/var(Rm)
10
Visione generale del CAPM - 8
ERm è il rendimento atteso del portafoglio di mercato pari al
rendimento atteso “medio” dal detenere tutte le attività
nelle proporzioni ottimali x*i. Poiché i rendimenti
effettivi del portafoglio di mercato differiscono dai
rendimenti attesi, la varianza var(Rm) è nonnulla.
La definizione del βi dell’impresa i indica che dipende da:
(i) la covarianza tra rendimenti dell’attività i e del
portafoglio di mercato cov(Ri , Rm) e che
(ii) è inversamente correlato alla varianza del portafoglio di
mercato var(Rm).
Se in media i rendimenti ex post approssimano quello atteso
ex ante ERi, allora il CAPM spiega il rendimento medio
dell’attività i.
11
Visione generale del CAPM - 9
Cosa ci dice il CAPM sui rendimenti di equilibrio in borsa?
Primo si nota che (ERm – r)>0, altrimenti nessun agente
avverso al rischio detiene il portafoglio di mercato di
attività rischiose potendo guadagnare con certezza r;
Poi, i rendimenti sulle singole attività tendono a muoversi
nello stesso senso e, quindi, cov(Ri , Rm)0 e βi0. Per
il CAPM: se cov(Ri , Rm)=0 (βi=0) l’attività i viene
detenuta solo se ERi=r; se cov(Rj , Rm)>0 (βj>0)
l’attività j è detenuta solo se ERj è abbastanza > r così
da compensare mancata riduzione varianza portafoglio;
se cov(Rk , Rm)<0 (βk<0) l’attività k è detenuta anche se
ERk < r perché riduce la varianza del portafoglio.
12
Visione generale del CAPM - 10
Il CAPM consente anche di misurare la volatilità relativa
dei rendimenti attesi su singole attività in base ai βi:
Il rendimento dovrebbe muoversi: uno a uno col portafoglio
di mercato (cioè ERi= ERm) se βi=1 (azioni neutrali);
più del portafoglio se βi>1 (azioni aggressive); meno
del portafoglio se βi<1 (azioni difensive)
Così, gli investitori possono usare i βi per classificare la
rischiosità delle varie attività ed eventualmente
prendere posizione; ma, facendo così, non
obbedirebbero il CAPM che, come detto, prescrive che
tutti detengano il portafoglio di mercato composto nelle
stesse proporzioni ottimali x*i previste dal CAPM
13
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 1
Prima di formalizzare il CAPM, vediamo: criterio mediavarianza; concetto di portafoglio efficiente, guadagni
da diversificazione nel ridurre il rischio di portafoglio.
Vediamo relazione tra rendimento atteso μp del portafoglio
diversificato e suo rischio σp. Se si vuole minimizzare il
rischio per ogni (livello) rendimento atteso, i portafogli
efficienti sono sulla frontiera efficiente, non-lineare
nello spazio (μp , σp). Poi esaminiamo la relazione
rischio-rendimento per uno specifico portafoglio di due
attività: una è la somma di attività sicura data o presa a
prestito, l’altra il portafoglio unico di attività rischiose.
Se ne ricava linea di trasformazione rischio-rendimento
14
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 2
Criterio media-varianza (CMV):
Se l’investitore preferisce un rendimento atteso (ER) più
elevato ma è avverso al rischio, secondo il CMV egli
preferirà il portafoglio A (di n attività) al portafoglio B
(con un insieme diverso di n attività) se:
(i) EA(R)  EB(R) e anche
(ii) varA(R)  varB(R) ovvero SDA(R)  SDB(R)
ove SD = deviazione standard. Se vale (i) ma (ii) no, il
CMV non consente di scegliere.
I portafogli che soddisfano CMV sono efficienti:
nel nostro caso B è inefficiente e non sarà mai scelto se
A è disponibile
15
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 3
Diversificazione di portafoglio:
Consideriamo due attività rischiose con rendimenti effettivi
(a un periodo) R1 e R2 e con rendimenti attesi μ1=ER1 e
μ2=ER2. Le varianze dei rendimenti sono σ2i=E(Ri-μi)2
per i=1,2. Il coefficiente di correlazione tra movimenti
nei due rendimenti è
ρ = σ12 / (σ1σ2) ove σ12 = E[(R1– μ1)(R2– μ2)] = cov(R1, R2)
Se ρ=+1 (=–1) i due rendimenti sono perfettamente correlati
positivamente (negativamente) e si muovono sempre
nello stesso senso (in senso opposto). Chiaramente, il
rischio del portafoglio dipende da ρ: diversificazione
annulla il rischio se ρ = –1 e lo riduce per ρ < 1.
16
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 4
Dapprima l’investitore sceglie in modo da minimizzare il
rischio del portafoglio (per ora non si occupa di
prestare/indebitarsi sull’attività sicura). Dovrebbe
mettere tutta la ricchezza in 1 sola delle 2 attività
(tutte le uova in un solo paniere) e assumersi rischio σ21
o σ22 oppure dividerla tra le 2 attività e, se sì, in quali
proporzioni?
Diciamo che sceglie di detenere un proporzione x1 di attività
1 e il restante x2=(1 – x1) di attività 2. Il rendimento
effettivo sul portafoglio diversificato (ex post, non noto
inizialmente) è: Rp= x1R1+x2R2
Rendimento atteso (ex ante): ERp= μp= x1ER1+ x2ER2
= x1 μ1+ x2 μ2
17
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 5
La varianza del portafoglio è:
σ2p= E(Rp – μp)2 = E[x1(R1– μ1) + x2(R2– μ2)]2
= x12 E(R1–μ1)2 + x22 E(R2–μ2)2 + 2 x1x2 E[(R1–μ1) (R2–μ2)]
= x12 σ21 + x22 σ22 + 2 x1x2 σ12
= x12 σ21 + x22 σ22 + 2 x1x2 ρ σ1 σ2
= x12 σ21 + (1 – x1)2 σ22 + 2 x1 (1 – x1) ρ σ1 σ2
Assumendo che le due attività hanno lo stesso rendimento,
l’investitore mira solo a minimizzare il rischio (σ2p):
(σ2p)/(x1) = 2x1σ21 – 2(1 – x1)σ22 + 2(1 – 2x1) ρ σ1 σ2 = 0
da cui: x1 = (σ22 – ρ σ1 σ2)/(σ21 + σ22 – 2 ρ σ1 σ2)
ovvero: x1 = (σ22 – σ12)/(σ21 + σ22 – 2 σ12)
18
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 6
Dalla formula di σ2p notiamo che la varianza del portafoglio
è minima se ρ =–1 ed è massima se ρ =+1.
Facciamo un esempio. Se σ21=(0,4)2 , σ22=(0,5)2 e ρ = 0,25
allora il valore ottimale di x1 è:
x1 =[(0,5)2–0,25(0,4)(0,5)]/[(0,4)2+(0,5)2–2(0,25)(0,4)(0,5)]
ovvero: x1 = 20/31 e, sostituendo, σ2p=12,1% che è minore
della varianza che si ha investendo tutto nell’attività 1
[(0,4)2=16%] o tutto nell’attività 2 [(0,5)2=25%]
Usare le formule sopra per mostrare che con ρ=–1, σ2p=0.
Intuizione: anche attività molto rischiose (alta σ2i) servono
a ridurre σ2p se hanno covarianza negativa con altre
attività già nel portafoglio
19
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 7
Infine, si può mostrare che anche quando i rendimenti
delle attività sono totalmente incorrelati, la loro
aggiunta al portafoglio riduce σ2p.
Con n attività incorrelate (ρij=0), la varianza di portafoglio è
σ2p= (x12σ21 + x22σ22 + … + xn2σ2n)
Se tutte le varianze sono uguali (σ2i=σ2) e tutte le attività
sono detenute nella stessa proporzione (1/n), allora:
σ2p= (n σ2) / n2 = σ2 / n
da cui si vede che limn σ2p = 0, cioè attività incorrelate
riducono in ogni caso il rischio del portafoglio e,
pertanto, ci si può aspettare che non richiedano
rendimenti oltre il tasso privo di rischio.
20
Diversificazione, frontiera, trasformazione - 8
Sin qui l’investitore si concentrava sul solo rischio poiché i
rendimenti erano uguali, ma come muta la scelta se si
rimuove tale ipotesi? Nell’esempio con due attività, se
μ1=10; μ2=20; ρ=–0,5; σ1=100; σ2=900; allora si ha:
valore x1 rendimento atteso μp varianza (SD) portafoglio σ2p
0
1/5
2/5
3/5
4/5
1
20
18
16
14
12
10
900 (30,0)
532 (23,1)
268 (16,4)
108 (10,4)
52 (7,2)
100 (10,0)
Rappresentare in figura (anche per n>2) relazione (μp , σp) e
anche riduzione di σp al crescere di n.
21
Diversificazione, frontiera, trasformazione -9
La frontiera efficiente:
Se abbiamo N attività, è assai grande il numero di portafogli
che si possono costruire variando xi (i=1,2, …N) ma
solo alcuni di questi sono efficienti (figura), gli altri
sono dominati da questi secondo il CMV
Per calcolare gli xi ottimali (quelli sulla frontiera efficiente)
l’investitore fronteggia n rendimenti attesi μi e varianze
σ2i nonché n(n–1)/2 covarianze σij, ove:
n
[1]
 p  i 1 xi i
n
[2]
n
   x   i 1;i  j  j 1 xi x j ij   xi2 i2  i 1;i  j  j 1 xi x j ij i j
2
p
2
i
i 1
2
i
n
n
n
n
i 1
22
Diversificazione, frontiera, trasformazione -10
La frontiera efficiente mostra tutte le combinazioni
(μp , σp) che minimizzano il rischio (la DS del
portafoglio σp) per ogni livello di rendimento
atteso μp.
L’investitore fronteggia il vincolo di bilancio Σxi=1
(per ora non è consentito né prendere/dare a
prestito sull’attività sicura né vendere allo
scoperto, cioè xi<0).
23
Diversificazione, frontiera, trasformazione -11
Il problema dell’investitore può essere così rappresentato:
1. Sceglie arbitrario rendimento obiettivo μ*p (es. 10%);
2. Sceglie arbitrari (xi)1 in modo da avere μ*p (dalla [1]);
3. Calcola (σp)1, DS portafoglio con (xi)1 (dalla [2]);
4. Ripete passi 2–3 con (xi)2; elimina (xi)2 se (σp)1<(σp)2;
5. Itera passi 2–4 finché ottiene quell’insieme di valori xi*
che: (i) soddisfa vincolo di bilancio (Σxi*=1); (ii) dà
μ*p; (iii) ha la DS minima del portafoglio (σp)*. Le
attività detenute nelle proporzioni xi* danno portafoglio
efficiente, un punto nello spazio (μp , σp) (A in fig.);
6. Sceglie altro obiettivo arbitrario μ**p (es. 9%) e ripete
passi 1–5 per ottenere xi** e (σp)** (B in fig.).
24
Diversificazione, frontiera, trasformazione -12
μ *p
A
μ *p =10%

B
μ **p =9%

C

D

σ *p
σ **p
x
I portafogli efficienti si trovano solo sulla
porzione superiore della curva XABCD,
cioè sul tratto XABC: questa è la frontiera
efficiente
σp
25
Diversificazione, frontiera, trasformazione -13
Il nostro investitore ha percorso i seguenti passi:
1. Dati rendimenti attesi, varianze e covarianze, ha
costruito la (unica) frontiera efficiente;
2. Ha così scelto le proporzioni ottimali xi* che
soddisfano vincolo di bilancio e minimizzano rischio
portafoglio per ogni dato livello rendimento atteso μp;
3. Ha ripetuto la procedura per calcolare il valore minimo
di σp per ogni dato livello di rendimento atteso μp; e ha
quindi mappato la frontiera efficiente in spazio (μp , σp);
4. Ogni punto lungo la frontiera efficiente corrisponde a
un diverso insieme di proporzioni ottimali x1*, x2* ….
1–4 è la prima scelta in applicazione del teorema della
separazione dei due fondi.
26
Diversificazione, frontiera, trasformazione -14
Dare/prendere a prestito: la linea di trasformazione
Permettiamo ora all’investitore di dare e prendere a prestito
sul mercato dell’attività sicura, con rendimento r; tale
rendimento è sicuro e quindi la sua var è 0 così come la
sua covar con tutte le n attività rischiose. L’agente può:
i) investire tutta la sua ricchezza in attività rischiose
(senza dare né prendere a prestito);
ii) investire meno della sua ricchezza in attività rischiose,
dando a prestito il resto nell’attività sicura con tasso r;
iii) investire più della sua ricchezza in attività rischiose,
prendendo a prestito a tasso r.
27
Diversificazione, frontiera, trasformazione -15
La linea di trasformazione, è la relazione tra il rendimento
atteso e il rischio di uno specifico portafoglio composto
di: (i) attività sicura; (ii) portafoglio di attività rischiose
Costruiamo un portafoglio K composto da un’attività
rischiosa (ER1, σ21) e dall’attività sicura. Possiamo
mostrare che vale la relazione: μk = a + bσk ove μk e σk
sono il rendimento atteso e la DS del nuovo portafoglio
Ma possiamo anche creare un altro nuovo portafoglio N che
consta di q attività rischiose in proporzioni xi (i=1,2,
…q) e dell’attività sicura avendo μN = δ0 + δ1σN
Come sceglie l’investitore quanto dare/prendere a prestito
sull’attività priva di rischio?
28
Diversificazione, frontiera, trasformazione -16
La scelta la fa considerando un nuovo portafoglio, mix di
una quota di ricchezza y investita nell’attività sicura e
(1–y) nel portafoglio di attività rischiose con:
rendimento effettivo RN = yr + (1–y)R
rendimento atteso
μN = yr + (1–y)μR
Se y=1 investe tutta la ricchezza nell’attività sicura e μN=r;
se y=0 investe tutta la ricchezza in azioni e μN=μR; se
y<0 prende a prestito al tasso r per investire più della
sua ricchezza in azioni (es. se ricchezza=€100 e y=–0,5
prende a prestito €50 per investire €150 in azioni)
Poiché r è noto e fisso, DS nuovo portafoglio dipende solo
da σR (DS attività rischiose): σN = (1–y)σR
29
Diversificazione, frontiera, trasformazione -17
Da cui deriviamo: (1–y) = σN/σR ovvero y = 1 – (σN/σR)
e, sostituendo: μN = r + [(μR –r)/σR] σN = δ0 + δ1σN
ove δ0 = r e δ1= (μR –r)/σR
Per cui, per ogni portafoglio mix di attività sicura e attività
rischiose, la relazione tra rendimento atteso e DS del
portafoglio è lineare con pendenza δ1 e intercetta = r.
Dato che ER > r, per far crescere μN l’investitore deve far
aumentare σN/σR ovvero deve investire una quota
maggiore in azioni, riducendo y. Quando tutta la
ricchezza è in azioni y=0 e σN=σR (punto X nella
figura); quando y=1, μN=r e σN/σR=0; ma l’agente può
anche prendere a prestito per investire in azioni più
della sua ricchezza iniziale (punto Z nella figura).
30
Diversificazione, frontiera, trasformazione -18
La linea di trasformazione
μN
prende a prestito

dà a prestito

r
Q
x
Z

L
tutta la ricchezza
nell'attività rischiosa
tutta la ricchezza
nell'attività sicura
σR
σN
31
Derivazione del CAPM - 1
Linea del Mercato dei Capitali (LMC):
Variando le caratteristiche dello specifico portafoglio di
attività rischiose, vi saranno più linee di trasformazione
(fig.): quella tangente alla frontiera efficiente è la linea
del mercato dei capitali (LMC)
Le sue preferenze determinano solo a che punto lungo la
LMC l’investitore si colloca:
se poco avverso al rischio andrà su K (ove si indebita al
tasso r per aumentare l’investimento in azioni);
se molto avverso andrà su A (ove presta al tasso r per
ridurre l’investimento in azioni)
ma ambedue rispettano le proporzioni xi* per ciò che
investono in azioni
32
Derivazione del CAPM - 2
Z'
I2
K
μN

M
A
α
r



Y
μm - r
I1

Z
Q
L
σm
σN
33
Derivazione del CAPM - 3
Principio di separazione:
Dunque, l’investitore compie due scelte separate:
1. In base a rendimenti attesi, var e covar calcola quote
efficienti portafoglio azioni (xi*) su frontiera efficiente.
Poi trova il punto M tangenza linea di trasformazione
xi* non dipende da preferenze: stesso mix di azioni per
tutti gli investitori
2. Poi, in base alle sue preferenze, ciascun investitore
sceglie dove posizionarsi sulla LMC (quanto investire
in azioni vs. attività sicura) data da:
μN = r + [(μR –r)/σm] σN
34
Derivazione del CAPM - 4
Come il mercato prezza il rischio:
In equilibrio, per ciascun investitore, la pendenza della
LMC [(μR –r)/σm] (spesso chiamata il prezzo di mercato
del rischio) deve uguagliare la pendenza della curva di
indifferenza (il TMS tasso marginale di sostituzione,
cioè l’aumento al margine del rendimento atteso che
l’investitore richiede per accettare un aumento del
rischio al margine)
 siccome la pendenza della LMC è la stessa per tutti, in
equilibrio tutti gli investitori hanno lo stesso TMS
Il prezzo di mercato del rischio può anche scriversi in
termini di varianza: m = [(μR –r)/σ2m]
35
Derivazione del CAPM - 5
L’equilibrio:
Affinché la frontiera efficiente sia la stessa per tutti, tutti gli
investitori debbono avere aspettative omogenee sulle
variabili di mercato (rendimenti attesi, var e covar)
Come si determinano gli xi*:
Sappiamo che tutti gli investitori detengono il mix xi* del
punto M (ultima fig.), ma come si calcolano gli xi*?
Sappiamo che per ogni linea di trasformazione e ogni
portafoglio azionario p, tan  = [(ERp –r)/σp]. Per
raggiungere il punto M, si massimizza questa equazione
rispetto a xi, soggetto al vincolo di bilancio Σxi=1 e, se
non sono ammesse vendite allo scoperto, a xi0
36
Derivazione del CAPM - 6
Derivazione dei rendimenti di equilibrio:
Il rendimento atteso e la DS di un portafoglio p (mix di n
attività rischiose e dell’attività sicura) sono:
n
n

(1) ERp   xi ERi  1   xi  r
i 1
(2)
p 
n

i 1

 xi2 i2  2i 1;i  j  j 1 xi x j ij
n
n
i 1
ove xi=quota ricchezza in attività i. il CAPM è la soluzione
al problema di minimizzazione di σp soggetto a un dato
livello di rendimento atteso ERp.
37
Derivazione del CAPM - 7
Il lagrangiano è il seguente:
n

(3) C   p    ERp   xi ERi

i 1
n

 
 1   xi r 
i 1

 
i (i =1,2, … n) si sceglie xi per minimizzare C con la CPO:
(4)
n


1
C / xi  ( p2 )1/ 2 2 xi  i2  2  xi  ij   ( ERp  r )  0
2
j 1; j i


Differenziando rispetto a  si ottiene:
(5)
n


C /   ERp   xi ERi  1   xi r  0
i 1
i 1


n
38
Derivazione del CAPM - 8
Moltiplicando per xi (per ciascun i) la (4) e sommando tutte
le equazioni (4) per i=1,2, …n, dà:
n
n
(6)
 n

 n



 p    xi ERi   xi r     xi ERi  1   xi r  r 
 i 1
i 1

 i 1

i 1


e nel punto in cui Σxi=1 si ottiene:
(7) m = (ERm – r)
ovvero (8) 1/ = (ERm – r)/m
ove ERm=Σ(xi ERi) ed m indica il portafoglio di mercato.
Dalla (8) si nota che 1/ è la pendenza della LMC, prezzo
di una unità di rischio, uguale per tutti gli investitori.
Siccome la CPO (4) vale per tutti gli investitori (non
contano le preferenze), possiamo derivare l’espressione
del CAPM per i rendimenti di equilibrio quando Σxi=1:
39
Derivazione del CAPM - 9
1
ERi  r 
 m
 2 2
 xi  i 


x j ij 

j 1;i  j

n
(9)
ovvero, sostituendo dalla (8) nella (9) per 1/:
n
(10) ERi  r  ERm  r  xi2 i2   x j ij 
 m2

j 1;i  j

NB:
(11) im = cov[Ri,(x1R1+x2R2+…xnRn)]= xii2 + Σij xiij
e sostituendo la (11) nella (10) otteniamo l’espressione
CAPM per il rendimento di equilibrio nell’attività i:
(12) ERi = r + (ERm – r)i
ove, ricordiamo: i = cov(Ri , Rm)/m2
40
Derivazione del CAPM - 10
Si ricordi che rendimento equilibrio si ha con gli x*i ottenuti
per frontiera efficiente tangente a LMC, ove pendenza:
(1) (μm –r)/σm .
Per vedere che M e solo M (e quindi x*i) è l’equilibrio, si
ragiona per assurdo. Costruiamo portafoglio artificiale
p, ottenuto sottraendo un po’ dei fondi di M e
investendoli nell’attività i: p consta di xi in attività i e
(1–xi) nel portafoglio M ed ha rendimento atteso e DS:
(2) p = xi i + (1 – xi) m
(3) p = [xi22i + (1 – xi)22m + 2xi(1 – xi)im]1/2
p si trova sulla curva AMB in fig. che è tangente in M a
LMC e frontiera efficiente. Si mostrerà che l’equilibrio
richiede xi=0 per cui p degenera al portafoglio M 41
Derivazione del CAPM - 11
μN
Y

M
B
μm - r
A
r
L
σm
σN
42
Derivazione del CAPM - 12
Sappiamo nel punto M le curve LMY (frontiera efficiente) e
AMB coincidono poiché xi=0 ove pendenza LMY è:
(3)  p / xi    p / xi   p / xi 1
x 0
con derivate valutate a xi=0. Da (1) e (2) sappiamo:
(4)  p / xi x 0  i  m
(5)  / x   21 2 x   2(1  x )  2  4 x  
eliminando i termini in xi (xi=0) e notando che a M p=m:
(6)  p / xi x o   im   m2 /  m
sostituendo la (4) e la (6) nella (3) si ottiene:
(7)  /    (    )
i
i
p
i
2
i
i
i
2
m
im
i
im
p
i
i
p
p x 0
i
m
im
m
2
m
ma in M la pendenza della frontiera efficiente (7) uguaglia
quella della LMC (1) e quindi
43
Derivazione del CAPM - 13
(8)
( i   m ) m
m  r

2
 im   m
m
Dalla (8) si ottiene relazione di equilibrio del CAPM:
(   r )
(9) i  r  m 2 im
ovvero: (10)
m
( ERm  r )  cov( Ri , R m )
ERi  r 
var( R m )
quindi, l’attività i è detenuta solo se soddisfa la CAPM (10).
Definiamo il beta di i: (11) i = cov(Ri , Rm) / var(Rm)
e la relazione CAPM:
(12) ERi = r + i(ERm – r)
che si può pure scrivere: (13) ERi = r + m cov(Ri , Rm)
Le (10), (12) e (13) sono modi equivalenti di esprimere la
condizione di equilibrio del rendimento atteso CAPM
44
Derivazione del CAPM - 14
Il beta e il rischio sistematico:
Il risk premium (rpi) è il rendimento di un’attività rischiosa
in eccesso all’attività sicura:
(14) ERi  r + rpi
da cui, in base al CAPM: (15) rpi = i(ERm – r)
ovvero:
(16) rpi = m cov(Ri , Rm)
NB: secondo il CAPM, il rendimento in eccesso dell’attività
i dipende solo dalla sua cov col portafoglio di mercato
e rendimento atteso in eccesso di i rispetto a j da i/j:
(17) (ERi – r)/(ERj – r) = i/j
Il portafoglio di mercato ha =1; j=1 azioni neutrali; j>1
azioni aggressive; j<1 azioni difensive.
45
Derivazione del CAPM - 15
Il rischio sistematico (o non diversificabile) è quel rischio
che non può essere diversificato aggiungendo altre
attività al portafoglio
 anche portafogli molto diversificati avranno comunque
un rischio sistematico (perché, si potrebbe mostrare, al
crescere del numero di attività si riesce a diversificare
al varianza dei singoli rendimenti ma non la covarianza
tra rendimenti)
 il i misura il contributo al rischio del portafoglio intero
dato dall’attività i: se i=0 l’attività i non muta la
varianza del portafoglio (Ri=r); se i>0 l’aumenta
(Ri>r); se i<0 la riduce (Ri<r).
46
Derivazione del CAPM - 16
Prevedibilità dei rendimenti di equilibrio:
Il CAPM è coerente col fatto che i rendimenti di equilibrio
siano sia variabili che prevedibili. Infatti i rendimenti
attesi (in eccesso) del portafoglio sono:
(18) EtRmt+1 – rt =  Et[2m,t+1]
cioè i rendimenti di equilibrio variano nel tempo se la
varianza condizionata dell’errore di previsione dei
rendimenti non è costante nel tempo.
Questo non è un punto teorico ma empirico: in borsa tende
a esservi persistenza nella volatilità (turbolenza segue
turbolenza; calma segue calma): ciò aiuta a prevedere i
rendimenti futuri
47
Derivazione del CAPM - 17
Il modo più semplice di rappresentare la persistenza nella
volatilità è con un processo autoregressivo AR(1).
Quando il secondo momento della distribuzione (cioè la
varianza o volatilità) è autoregressivo, il processo si
chiama Autoregressive Conditional Heteroschedasticity
(ARCH):
(19) 2t+1 = 2t + t
ove t è un termine di errore distribuito con media nulla
(white noise) e indipendente da 2t. La migliore
previsione di 2t+1 è:
(20) Et2t+1 = 2t
48
Derivazione del CAPM - 18
Il CAPM con processo (ARCH) dà:
(21) EtRmt+1 – rt =  2t
per cui i rendimenti di equilibrio attesi: (i) variano nel
tempo; (ii) dipendono dalle informazioni disponibili al
tempo t, cioè 2t.
La varianza condizionata 2t è la migliore stima del
rischio sistematico di mercato al periodo successivo e,
in equilibrio, questi rischi sono remunerati con
rendimenti attesi corrispondentemente più elevati
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