EQUAZIONI
EQUAZIONI
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Si dice equazione un’uguaglianza tra due espressioni
algebriche, contenenti una o più lettere.
Si chiama soluzione di un’equazione quel numero che
sostituito all’incognita la rende un’identità.
Un’equazione si dice impossibile, determinata o
indeterminata se ha rispettivamente nessuna, un numero
finito o un numero infinito di soluzioni.
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni.
Sommando o sottraendo ad ambo i membri di
un’equazione una stessa quantità si ottiene un’equazione
equivalente (I PRINCIPIO DI EQUIVALENZA).
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione
per una stessa quantità non nulla si ottiene un’equazione
equivalente (II PRINCIPIO DI EQUIVALENZA).
EQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
Data l’equazione di secondo grado
ax2 + bx + c = 0
con a≠0
la sua formula risolutiva è
x1/2 = -b ± √b2 – 4ac
2a
dove  = b2 – 4ac è detto discriminante.
 Se  > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali
distinte;
 Se  = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali
coincidenti;
 Se  < 0 l’equazione non ammette alcuna
soluzione reale.

Equazione pura (b=0): ax2 + c = 0
x1/ 2

Equazione spuria (c=0):ax2 + bx = 0
x1  0
x2

c
 
a
b
 
a
Equazione monomia (b=c=0): ax2=0
x1  x2  0
RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI E
I COEFFICIENTI DI UN’EQUAZIONE DI II
GRADO
Data l’equazione di II grado:
ax2 + bx + c = 0
con a≠0
b
x1  x2  s  
a
c
x1  x2  p 
a
x  sx  p  0
2
In ogni equazione di secondo grado con il
primo coefficiente uguale a 1, la somma delle
soluzioni è uguale al coefficiente del secondo
termine cambiato di segno ed il prodotto è
uguale al termine noto.
REGOLA DI CARTESIO
In ogni equazione di secondo grado avente Δ
positivo o nullo, a ogni variazione corrisponde una
soluzione positiva e a ogni permanenza una
soluzione negativa. Quando le soluzioni sono
discordi, è maggiore in valore assoluto quella
positiva se la variazione precede la permanenza,
mentre è maggiore in valore assoluto quella
negativa se la permanenza precede la variazione.
In un polinomio ordinato si dice permanenza la
successione di due coefficienti di segno uguale, si
dice variazione la successione di due coefficienti di
segno opposto.
TEST
7) L’equazione 9 = 3x / 4 ha come
soluzione:
A) x = 12/9
B) x = 3
C) x = 27/4
D) x = 12
E) x = 108
8) Relativamente alla soluzione dell’equazione
algebrica di primo grado Ax – B = 0 quale
delle seguenti affermazioni è CORRETTA?
A) l’equazione non ha soluzioni reali se:
A>0, B<0
B) l’equazione non ha soluzioni reali se:
A<0, B<0
C) l’equazione non ha soluzioni reali se:
A>0, B=0
D) l’equazione non ha soluzioni reali se:
A>0, B>0
E) l’equazione ha soluzioni reali sempre
(purché A sia diverso da 0)
9) Per a diverso da 0, l’equazione
ax+b=0 ha soluzione:
A) x = a-b
B) x = -b/a
C) x = -a/b
D) x = a/b
E) x = b/a
10) L’equazione di secondo grado ax2+b=0
ha radici reali, quando:
A) a < 0 e qualunque sia il segno di b
B) b < 0 e qualunque sia il segno di a
C) a e b sono entrambi positivi
D) a e b hanno segni opposti
E) a e b sono entrambi negativi
11) Nell’equazione completa e ordinata 3x2
-7x +2 = 0 si hanno:
A) due variazioni
B) due permanenze
C) una variazione e una permanenza
D) una permanenza e una variazione
E) nessuna variazione
12) Data l’equazione 2x2 + bx + c = 0, qual
è la coppia di valori di b e c che produce le
soluzioni 11 e 3?
A) b=-28
B) b=14
C) b=-28
D) b=-7
E) b=14
c=-33
c=-66
c=66
c=33/2
c=-33
13) Le radici dell’equazione
(x - a)(x + b)(x - c) = 0 sono:
A) –a, b, -c
B) a, -b, c
C) 1/a, 1/b, 1/c
D) a2, b2, c2
E) a, b, c
14) Uno studente ha sostenuto N esami. Se
ne avesse sostenuti il triplo, ne avrebbe 6 in
meno del suo amico, che ne ha sostenuti 18.
Quanto vale N?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
TEST DI AUTOVALUTAZIONE
4) L’equazione algebrica di secondo grado:
Ax2 + 2Bx + C = 0 in uno dei seguenti casi
NON ha soluzioni nel campo reale. In quale
caso?
A) A>0, B=0,
B) A>0, B=0,
C) A=0, B>0,
D) (B2 - AC) > 0
E) (B2 - AC) = 0
C<0
C>0
C<0
5) Un padre ha 50 anni e il figlio 26. Quando
l’età del padre è tripla di quella del figlio?
A) mai
B) 14 anni fa
C) fra 14 anni
D) non è possibile stabilirlo
E) quando il padre avrà 78 anni
7) Un’equazione binomia è:
A) un’equazione che ammette una duplice
soluzione
B) un’equazione che ammette una doppia
denominazione
C) un’equazione che può essere risolta
secondo due differenti metodi
D) un’equazione che comprende in tutto due
termini, di cui almeno uno contiene
l’incognita
E) non esiste
8) Quali fra le seguenti equazioni sono
equivalenti fra loro?
1) 6x – 4 = 8
2) 6x – 1 = 2
3) x (6x – 4) = 8x
4) 3x – 6 = 0
A) la 1) e la 4)
B) la 1) e la 2)
C) la 1) e la 3)
D) la 2) e la 4)
E) la 3) e la 2)