IEEE-754 Calculators
http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/
Doing the Math and Making an Impact
http://www.ima.umn.edu/newsltrs/updates/summer03/
Disatri attribuiti al cattivo calcolo numerico
http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/
Introduzione Matlab
Carla Guerrini
1
Introduzione all’ambiente
Matlab
Introduzione Matlab
Carla Guerrini
2
1
Riferimenti bibliografici
• Guida per l’utente (http://www.mathworks.com)
• G. Naldi, L. Pareschi, Matlab concetti e progetti,
Apogeo ed.(2007)
• Tutorials e programmi disponibili in rete:
http://www.dti.supsi.ch/~bucher/matlab.pdf
http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/21d-s99/matlab-primer.html
http:// www.dm.unibo.it/~guerrini/html/primer.ps
• Lucidi delle lezioni nella pagina web del corso
Introduzione Matlab
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3
Che Cosa è MATLAB
• Matrix Laboratory
• Un ambiente di calcolo scientifico con
routines altamente specializzate
• Un ambiente grafico
• Un linguaggio di programmazione
Introduzione Matlab
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4
2
La storia di Matlab
• Inizia con la costruzione di libreria matematiche
(scritte inizialmente in FORTRAN) LINPACK,
EISPACK riguardanti la soluzione di problemi di
algebra lineare.
• Nel 1980 Moler scrisse la prima versione di
Matlab per sviluppare un calcolatore matriciale
interattivo.
• Nel 1985 con la fondazione della società
Mathworks Matlab è diventato un linguaggio
orientato alle matrici con importanti aggiunte per
l’analisi dei dati e la visualizzazione scientifica
Introduzione Matlab
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5
La storia di Matlab: I Toolbox
A partire da un nucleo base si sono sviluppate
diverse librerie per applicazioni specifiche:
- Statistica
- Reti Neurali
- Ottimizzazione
- Analisi di Immagini
- Matematica Finanziaria
- Symbolic
- Simulink
- Signal processing
- ………….
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6
3
Cos’è Matlab?
• La struttura di base è la matrice per la quale
sono già predefinite numerosi tipi elementari
(identità, matrice nulla, matrice unità,..) funzioni
algebriche e di manipolazione
• Matlab fa largo uso di librerie di calcolo (in
particolar modo di algebra lineare)
• E’ uno dei programmi scientifici di maggior
diffusione, usato nella ricerca e per il calcolo
tecnico e scientifico
Introduzione Matlab
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7
MATLAB fornisce un ambiente di calcolo, visualizzazione
e programmazione scientifica, in cui è possibile:
• calcolare direttamente espressioni matematiche
>> ((tan(pi/5)+2)*exp(2.3)-0.01)/log(2)
ans =
39.2197
•
sfruttare algoritmi di base già implementati - built-in function –
>> mean([1.5 2.5 3.5])
ans =
2.5000
•
utilizzare il semplice ambiente di programmazione per costruire
i propri algoritmi (Parte II)
Introduzione Matlab
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8
4
Altre funzionalità di MATLAB includono:
•
•
•
•
•
•
•
Matematica e calcolo
Sviluppo di procedure e applicazioni
Modellistica, simulazione e costruzione di prototipi
Analisi di dati, esplorazione e visualizzazione
Disegno industriale e scientifico
Costruzione di interfacce utente
TOOLBOX vari
• Con il comando demos è possibile vederne alcuni
esempi.
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9
Introduzione Matlab
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10
5
Programmare in MATLAB
• MATLAB ha anche un linguaggio proprio per programmare.
• E’ un linguaggio interpretato e non compilato: questo significa che le
istruzioni vengono tradotte in linguaggio macchina (il linguaggio
“capito” dal processore) e subito eseguite una per volta.
• Utilizzando C, Fortran, C++, la traduzione da linguaggio ad alto
livello a linguaggio macchina avviene invece nel processo di
compilazione, in cui tutto il programma viene tradotto in linguaggio
macchina e poi eseguito.
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11
Per iniziare….
• Per lanciare MATLAB da ambiente Linux basta digitare
da shell il comando matlab o cliccare due volte con il
mouse sull’icona corrispondente (K menu->Dipartimento
Matematica->Matlab).
All’avvio appare il Desktop di Matlab che contiene le
finestre:
• dei comandi (command window) il prompt >> indica che
il calcolatore è pronto a ricevere istruzioni e ad eseguirle
• dello spazio di lavoro (workspace window)
• della directory corrente (current directory)
• della storia dei comandi (command history)
Per terminare la sessione di lavoro basta digitare
>>quit
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12
6
Il Desktop di MATLAB
WORKSPACE WINDOW
CURRENT DIRECTORY
Elenca le variabili presenti nello spazio di lavoro
insieme ad alcune informazioni su di esse:
Mostra il contenuto della directory in cui
l’utente sta lavorando.
Tipo, dimensioni, memoria occupata…
Esempio:(windows)
C:\Documents and Settings\guerrini\Documenti\MATLAB
E’ possibile modificare il valore di una variabile
utilizzando l’apposito workspace editor
Esempio: (linux)
……
E’ possibile spostarsi tra le directory come
con un qualsiasi file manager
COMMAND HISTORY
COMMAND WINDOW
Istruzioni elementari:
Contiene la lista dei comandi digitati con
funzioni di copia e incolla
>>2+3 % utlizzo come calcolatrice
Ans
5
>>A=3 % assegnaz. del valore 3 alla variabile A
>>B=A^2 % valutazione di una espressione
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13
Introduzione Matlab
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14
7
Come ottenere aiuto: il manuale o Help
• Si accede al manuale o tramite il menu Help
• help (in command window, help generale di tutte
le funzioni)
>> help sin
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X See also asin, sind
Reference page in Help browser
doc sin.
• Digitando
lookfor <keyword> si attiva invece la ricerca
di funzioni basate su una parola chiave.
Help Desk: Un help in HTML molto completo e di facile
navigazione fornito anche di svariati esempi
• Attraverso il comando doc si accede direttamente alla
documentazione online di MATLAB.
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15
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16
8
MATLAB Editor
L’ Editor : è la finestra in cui si scrivono i programmi
MATLAB (M files, cioè file con estensione “.m”). Per
richiamarla digitare
>> edit
o semplicemente utilizzare il menu
File->New->Blank M-File
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17
Introduzione Matlab
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18
9
Gestione dei files
>> dir - visualizza il contenuto della directory corrente
>> ls
>> what – visualizza i files di tipo Matlab nella directory
corrente
>> cd – permette di spostarsi nell’albero delle directory
>> pwd – riporta la directory corrente
>> path stampa l’albero di ricerca
>> type nomefile – visualizza il contenuto del file
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19
Le informazioni e la memoria
• Le informazioni (dati in forma numerica o alfanumerica)
vengono memorizzati nella RAM utilizzando “variabili”
Variabili (scalari, vettori, matrici): ha due caratteristiche:
– Il nome, che la identifica (I nomi scelti possono
contenere lettere, cifre e il carattere “_”, non possono
iniziare con una cifra, non si possono utilizzare parole
riservate di MATLAB). La variabile di default è ans
– Il valore, cioè il dato che essa rappresenta e che
viene memorizzato nella RAM.
Matlab è un linguaggio case sensitive, ossia distingue
fra lettere maiuscole e minuscole, quindi la variabile A
è diversa dalla variabile a
Per controllare se un nome è una parola riservata:
vedere il comando iskeyword
Introduzione Matlab
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20
10
Le variabili in Matlab
>> a=5-2
a=
3
>> 3+5
ans
8
>> a=10;
>> b=15;
le variabili a,b,c,d
>> c=31;
contengono i valori
>> d=30;
10,15,31,30
>> media=(a+b+c+d)/4
media =
21.5
Il valore della media aritmetica tra 10,15,31,30 è stato memorizzato nella variabile media
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21
Tipi di dati
Double
Complex Double
Logical Double
Char
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Numeri reali
nell’intervallo
[10^(-308) 10^(308)]
8 byte
Numeri Complessi
16 byte
Risultato di una
operazione logica
(1=vero, 0=falso)
carattere
Carla Guerrini
8 byte
2 byte
22
11
Le variabili Matlab (II)
•
•
Matlab memorizza tutte le variabili definite durante la sessione di lavoro
L’insieme delle variabili attive costituisce il workspace di Matlab
>>who
Your variable are:
a b c d
>>whos
Name
Size
bytes
a
1x1
8
Class
double
b
1x1
8
double
c
1x1
8
double
• Il comando whos dà maggiori informazioni sulle variabili in memoria
Il comando clear cancella il contenuto del workspace
• Il comando clear seguito dai nomi di alcune variabili (non separati dalla
virgola) cancella soltanto quelle variabili
• >> clear
Introduzione Matlab
>> clear a b
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23
Le variabili Matlab (IV)
>> a =sqrt(3)
>> c=-2+i*3.2
>> t=a<1
>> k= ‘c’
Double
Complex double
Logical double
Char
>> v_testo=‘ questa stringa viene
assegnata’
Char array
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24
12
Variabili predefinite
• ans
most recent answer
• eps
accuratezza relativa per i numeri in doppia
precisione. Ritorna la distanza fra 1.0 e il numero (> di 1.0) più
vicino ad 1.0. Viene usato come tolleranza in molte funzioni
numeriche.
• pi
π, 3.14159265...
• i,j
unità immaginaria
• NaN
“Not-a-Number” (l’espressione calcolata non è un numero
macchina, si ottiene come risultato di operazioni aritmetiche
indefinite, ad esempio la divisione 0/0)
• inf,-inf
si ottengono per overflow, o divisione per zero
• realmax massimo numero macchina positivo
• realmin minimo numero macchina positivo
• beep
fa suonare un beep al computer
• nargin
dentro il body di una function riporta il numero di
argomenti di input che sono stati usati per chiamare la function
• nargout numero di argomenti di output di una function
Introduzione Matlab
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25
Tipi di variabili
Tipi interi definiti in Matlab:
int8, int16, int32, int64 (interi con segno)
uint8, uint16, uint32, uint64 (interi senza segno)
Tipi floating point
Single (32 bits), double (64bits)
• ATTENZIONE! Le operazioni aritmetiche vengono eseguite
solo fra elementi double. Per fare delle operazioni matematiche
su dati interi o in singola precisione, si devono convertire in
doppia precisione usando la funzione double.
>>s=3 ; us=uint8(s);
>>us+4
??? Error using +
Function '+' is not defined for
For values of class ‘uint8’
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26
13
Formati di visualizzazione delle variabili
Matlab di deafult visualizza una variabile numerica con 4 cifre decimali:
>>pi
ans=
3.1416
Per modificare il formato di visualizzazione, Sintassi del comando:
>> format tipoformato
>> format long
>>pi
ans=
3.14159265358979
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27
Formati di visualizzazione
Introduzione Matlab
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28
14
Formato di visualizzazione
Introduzione Matlab
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29
Esempi
>>y = 8/6
>>format short
1.3333
>>format short e
1.3333E+000
>>format short g
1.3333
>>format long
1.33333333333333
>>format long e
1.333333333333333E+000
>>format long g
1.33333333333333
>>format rat
4/3
Introduzione Matlab
DEFAULT
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30
15
Workspace
L’insieme delle variabili mantenute in memoria durante la
sessione MATLAB viene chiamato spazio di lavoro
(workspace)
Il workspace puo essere così manipolato:
• Visualizzare e/o modificare le variabili dell’area di lavoro
• Cancellare le variabili di lavoro
• Rappresentare graficamente le variabili di lavoro
• Salvare l’area di lavoro
• Caricare un’area di lavoro precedentemente salvata
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31
Sessione di lavoro
diary <nome_file>
memorizza nel file <nome_file> la sessione di lavoro, in formato ASCII
(comandi, dati e workspace) da quel punto in poi tutto quanta
l’attività svolta nella working area viene salvata ed e’ possibile
consultare in seguito il contenuto con un qualsiasi editor di testo
Non è possibile utilizzare questo file per ricaricare il lavoro fatto per
continuare a lavorarci, è solo un diario di lavoro.
Per proseguire in un secondo tempo l’attività occorre utilizzare altri
comandi come save e load che memorizzano in file binari
save <nome_file>
e ricaricato in ambiente MATLAB
load <nome_file>
Per visualizzare poi la lista delle variabili attive who oppure whos
Introduzione Matlab
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32
16
Sessione di lavoro
clear <nomevariabile> cancella la vaiabile
clear cancella tutto
clc
pulisce il desktop
clf
pulisce la finestra di una figura
pwd visualizza la directory in cui si sta lavorando
what elenca gli m-files memorizzati nella pwd
cd
permette di cambiare directory
path o matlabpath elenca i possibili percorsi delle directory
MATLAB
addpath aggiunge la directory ai path già esistenti
pathtool permette di accedere alla finestra degli strumenti
per la gestione dei percorsi
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33
Operatori
Operatori aritmetici
+ addizione
- sottrazione
/ divisione a destra
1 / 4 = 0.25
\ divisione a sinistra
4 \ 1 = 0.25
^ elevamento a potenza
* moltiplicazione
Operatori logici
&
and
|
~
or
not
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34
17
Operatori
Operatori relazionali:
~=
<=
<
>=
>
==
diverso
minore uguale
minore
maggiore uguale
maggiore
uguale logico
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>> x = ‘a’;
>> y = 3;
>> rep = x==y
rep
0
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35
Esempi
>> a=1; x=0; y=0;
z=
Inf
ans =
NaN
>> whos
Name
Size
a
ans
x
y
z
1x1
1x1
1x1
1x1
1x1
Introduzione Matlab
z=a/x,
y*a/x
Bytes Class
Attributes
8 double
8 double
8 double
8 double
8 double
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36
18
>> a=magic(3)
a=
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> b=i*ones(3,3)
b=
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
0 + 1.0000i
>> z=a+b
z=
8.0000 + 1.0000i 1.0000 + 1.0000i 6.0000 + 1.0000i
3.0000 + 1.0000i 5.0000 + 1.0000i 7.0000 + 1.0000i
4.0000 + 1.0000i 9.0000 + 1.0000i 2.0000 + 1.0000i
>> whos
Name
Size
Bytes Class Attributes
a
ans
b
x
y
z
3x3
1x1
3x3
1x1
1x1
3x3
72 double
8 double
144 double
8 double
8 double
144 double
Introduzione Matlab
complex
complex
Carla Guerrini
>> whos
Name
Size
Bytes
a
ans
l
p
rep
u
v_testo
x
y
z
5x5
1x1
5x5
5x5
1x1
5x5
1x29
1x1
1x1
5x5
200
8
200
200
1
200
58
2
8
400
Class
37
Attributes
double
double
double
double
logical
double
char
char
double
double complex
>>
Introduzione Matlab
Carla Guerrini
38
19
Scalari, vettori e matrici
•
Una matrice ha dimensione nxm (n righe, m colonne).
•
Un vettore ha dimensione nx1 (vettore colonna) o 1xn (vettore
riga).
•
Uno scalare ha dimensione 1x1.
a=1
(scalare, ovvero matrice 1x1)
a = [0 1 2 3 4], a = [0,1,2,3,4] ed anche a = [0:4]
b = [0, .5, 1, 1.5, 2, 2.5] ed anche b = [ 0:.5:2.5]
c = [.1, .1, .1, .1, .1] ed anche c = ones(1,5) * 0.1
Costruire vettori
» a = [1 2 3 4]
a =
1
2
3
4
» size(a)
ans =
1
4
fornisce la dimensione di “a”
usato per i vettori indica
la loro lunghezza
»length(a)
ans =
4
» a'
ans =
1
2
3
4
Definisce un vettore “a”
(le parentesi quadre indicano un
vettore o matrice)
» [1;2;3;4]
ans =
1
2
3
4
» size(a')
ans =
4
1
» length(a')
ans =
4
trasposta di “a” (ha dimensioni
“invertite” rispetto ad “a”)
20
Costruire matrici
» c =[1 2 3 4 ; 5 6 7 8]
c =
1
2
3
4
5
6
7
8
Per fare riferimento ad un elemento della matrice “c”:
» c(1,1)
ans =
1
» c(2,3)
ans =
7
Usare “:” per indicare tutte le righe o tutte le colonne, esempio:
•
•
•
c(1,:) indica la prima riga, tutte le colonne
c(:,2) indica tutte le righe, e la seconda colonna
c(:,2:4) indica tutte le righe, dalla seconda alla quarta colonna
» c(1,:)
ans =
1
2
3
4
» c(:,2)
ans =
2
6
» c(:,2:4)
ans =
2
3
4
6
7
8
Funzioni di matrici
» c =[1 2 3 4 ; 5 6 7 8]
c =
1
2
3
4
5
6
7
8
» sum(c)
ans =
6
8
10
12
» sum(c')
ans =
10
» sum(sum(c))
ans =
36
26
La funzione sum calcola la somma degli elementi di una matrice per colonne; il
risultato è un vettore.
Se la matrice è un vettore 1 x m (come sum(c)) , allora la somma è calcolata
sugli elementi del vettore.
» mean(c)
ans =
3
4
5
6
» max(c)
ans =
5
6
7
8
» min(c)
ans =
1
2
3
4
mean fornisce la media per colonne; max e min il massimo e il minimo ancora per
colonne.
21
Concatenazione di matrici (I)
» A = [2,0; 0,1; 3,3]
» A(1:2,1:2)
A =
ans =
2
0
3
0
1
3
2
0
» A =[A,[1;2;3]]
A =
2
0
1
0
1
2
3
3
3
0
1
» A =[A;[1 2]]
A=
2
0
0
1
3
3
1
2
Equivale a cat(1,A,[1 2])
Equivale a cat(2,A,[1;2;3])
Concatenazione di matrici (II)
» a = [1 2 3 4]; b = [5 6 7 8];
c =
1
2
3
4
5
6
7
8
c = [a; b]
Definiamo una matrice “c” come concatenazione dei vettori “a” e “b”.
Nota: l’uso di “;” dentro [….] indica la fine della riga.
» size(c)
ans =
2
4
Definiamo la matrice “d” ponendo “a” e “b” a fianco: notare il risultato diverso
da “c”
» d = [a b]
d =
1
2
3
4
5
6
7
8
22
Condizioni logiche su matrici
» d = c(1,:)
d =
1
2
3
4
Possiamo definire un vettore “e” che è una funzione logica di d
» e = d>2
e =
0
0
1
1
Possiamo ora usare “e” per trovare gli elementi di d>2
» d(e)
ans =
3
4
Matrici speciali
» ones(2,3)
» ones(2)
ans =
1
1
ans =
1
1
1
1
1
1
» zeros(2,1)
ans =
0
0
» zeros(1,4)
ans =
0
0
0
1
1
0
» rand(3,3)
ans =
0.2176
0.4909
0.8985
0.4054
0.1294
0.5943
0.5699
0.5909
0.3020
» eye(2)
ans =
1
0
0
1
23
Operazioni aritmetiche su vettori e matrici
» a = [1 2 3]
a =
1
2
3
Operatori:
+ - * /
» b = [4 5 6]
b =
4
5
6
» a + b
ans =
5
Somma/sottrazione (purchè le dimensioni siano
compatibili)
7
9
Moltiplicazione tra matrici: moltiplicare una matrice
n x m con una matrice m x p si ottiene una
matrice n x p
» a*b'
ans =
32
(qui moltiplichiamo una matrice 1 x 3 per una
3 x 1 otteniamo 1 x 1 (scalare))
Operatori su elementi di vettori e matrici
Gli operatori su elementi indicano operazioni aritmetiche tra elementi
corrispondenti: .*
./
.\
.^
» f =[1 2 3];
g= [4 5 6];
% Definiamo i vettori 1x3 f e g.
Nota: usando “;” alla fine della linea si elimina la stampa del risultato.
» h=f.*g
h = 4 10
» h=f.\g
h = 4.0000
» h=f./g
h = 0.2500
» h=f.^2
h = 1
4
18
2.5000
0.4000
9
2.0000
0.5000
Valido per vettori e matrici.
24
Variabili complesse
Un complex double array è visto come la somma di due double array.
Con le variabili 'i' o 'j' si indica l'unità complessa
i = −1
• Numeri complessi
(o
>>z = 3 + 4 * i
z = 3 + 4 * j )
•Array di variabili complesse
>>B=[ 1
2 ; 3
4 ]+i*[ 5
6 ; 7
8 ]
o equivalentemente
>>B=[ 1+5*j
Introduzione Matlab
2+6*j ; 3+7*j
Carla Guerrini
4+8*j ]
50
25