Si chiama sezione aurea di un segmento AB, quella parte del
segmento AM media proporzionale tra l'intero segmento AB e la
parte restante,essendo AM > MB.
(a – x) = MB
a = AB x = AM
AB : AM = AM : MB
a : x = x : (a - x)
x² = a(a – x)
x² + ax – a² = 0
Si ricava un'equazione di 2°grado. Svolgiamola:
x₁,₂ = -a ± √a²+ 4a² = -a ± √5a² = -a ± a√5 = a(±√5-1)
2
2
2
2
Tralasciamo il segno negativo poiché non può
rappresentare la misura di un segmento nella geometria
euclidea.
La sezione aurea di un segmento = (√5-1)a
2

Il triangolo OBA è isoscele
poichè i due lati OB e OA sono
i due raggi della circonferenza
goniometrica.BȎH=18°e
BȎA=36°; in quanto decima
parte di un angolo giro, la base
del triangolo AB è il lato di un
decagono regolare inscritto in
un circonferenza goniometrica
di centro O e di raggio OB= 1.
Dalla geometria si sa che il
lato di un decagono regolare è
la sezione aurea del raggio:
AB = l = √5-1 = 0,618
2
Il seno dell'angolo di 18 ° sarà la misura del segmento BH il quale
è la metà di AB poiché il triangolo è isoscele. BH=sen(18°)= ½ AB,
AB= √5 -1 BH=½√5-1; sen (18°)= √5-1.
4
2
Per ricavarci il coseno dell‘angolo,ovvero la misura di OH,
dobbiamo prendere in considerazione
1 la 1° relazione
fondamentale: cos²(18°)+(√5-1)²=1,
6
cos(18°)=√1-(√5-1)²= √10+2√5
16
4
Per calcolare la tangente dell’angolo di 18°, utilizziamo la seconda
relazione fondamentale:
sen18

tg18 

cos18
cos 18

cot g18 

sen 18
5 1
4

10  2 5
4
5 1
10  2 5
10  2 5
10  2 5
4


5 1
5 1
4

25  10 5
5
52 5
=
A livello storico vi sono varie questioni: non si sa ,con sicurezza, se la sezione
aurea fosse conosciuta e praticata prima dei greci,popolo che la utilizzava nelle
sue opere. La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno il VI secolo
a.C, ad opera della scuola pitagorica . La definizione del rapporto aureo viene
ricondotta allo studio del pentagono regolare , il cui numero dei lati
simboleggiava l'amore e il matrimonio, dovuto all'unione del principio maschile e
quello femminile(rispettivamente il 2 e il 3). Inoltre, il simbolo della setta
pitagorica era la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare. Le
diagonali che formano la stella si intersecano in modo da formare un altro
pentagono più piccolo e capovolto rispetto al primo. Se si tracciano le diagonali
di quest'ultimo, ne viene fuori un altro pentagono ancora e così via fino
all'infinito.
Intersecandosi l’un con l'altra, due qualsiasi di queste
diagonali si dividono in due parti disuguali; il rapporto
dell'intera diagonale con il segmento più lungo è
uguale al rapporto di quest'ultimo con il segmento più
breve, e questi rapporti si trovano in tutte le diagonali
successive. Tale rapporto è detto sezione aurea e, da
come abbiamo calcolato precedentemente, è un
numero irrazionale uguale a 1,618. Infatti 5 +1 = 1,61
2
Quindi ,la sezione aurea è connessa con la geometria
del pentagono: il rapporto aureo è pari al rapporto fra
il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche fra AB e BD,
fra AD e AC'e, a sua volta, fra AD e DC', e in un'infinità
di relazioni simili. Euclide, intorno al 300 a.C, lasciò la
più antica testimonianza scritta sull'argomento. La se
zione aurea è strettamente legata alla successione di Fibonacci
che è una successione di numeri interi naturali in cui un numero
è il risultato della somma dei due precedenti. E’ una successione ricorsiva per cui per
determinare l’n-esimo termine è necessario conoscere quelli che lo precedono. All’
aumentare di n il rapporto tra ogni termine ed il termine che lo precede tende ad avvicinarsi a 1,618..ovvero alla sezione aurea.
.
Esistono in geometria dei poligoni definibili
aurei, poiché presentano, in alcune delle loro parti, il rapporto aureo.Il
caso più emblematico è il rettangolo aureo. Se si disegna un rettangolo
con i lati,che stanno in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un
quadrato e in un altro rettangolo, simile a quello grande poiché anche i
suoi lati stanno in rapporto aureo fra di loro.A
questo punto,il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e in un rettangolo avente, anch'
esso, i lati in rapporto aureo, e così via fino all'infinito. Per costruire il rettangolo aureo,si disegna
un quadrato di lato ai cui vertici sono AEFD. Il lato lo si divide in due, ove A'é il punto medio. Uti
lizziamo il compasso, puntato in A'per disegnare un
arco che da E intersechi il prolungamento DF in C.
Con un squadra si disegna il segmento BC lare a DF e il segmento EB perpendicolare a EF.
EB:AE=AE:AB
Tale rapporto è stato ritrovato, tra l'altro,nella dimensione delle foglie,nella distribuzione dei rami negli alberi,
nella disposizione dei semi di girasole, perfino nel corpo
umano. Infatti, la forma del pentagono è riscontrabile,
molto spesso, in natura, come, ad esempio,in alcune pian
te grasse(come nella foto). La spirale logaritmica non cambia aspetto nel
corso della crescita, un fatto che spiega come mai si trovi così spesso in natura:
nella morfologia della conchiglia del Nautilus e di alcuni mi
crorganismi e perfino nella forma delle galassie!!
Quindi in natura esistono organismi a
forma di spirale fatta secondo i numeri
di Fibonacci. Infatti, già dai tempi dell'
antico Egitto, si assumeva l'organici
smo della Natura e le sue leggi numeriche come fattori essenziali che
preesistono a tutti gli eventi i quali seguono sempre lo stesso divenire.
I greci pensavano che il rapporto aureo rappresentasse la proporzione “ideale”tra parti del corpo come
il viso e il torso, o tra gli arti il corpo intero. Diversi
dipinti sono stati effettuatati secondo la sezione aurea.
In realtà è dimostrato che la percezione umana mostra una naturale preferenza e predisposizione verso
le proporzioni in accordo con la sezione aurea.
Gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui
Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e
Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla
sezione aurea.Allora essa era considerata
una “divina proportione”. In particolare,Leonardo incorporò
la sezione aurea in tre suoi capolavori:
La gioconda, L'ultima cena e L'uomo di Vitruvio.
Nell'architettura del XX secolo, una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla
nascita del Modulor, letteralmente “modulo d'oro”.
L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si
prefisse di utilizzare la sezione aurea e la
successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi, con
l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle
esigenze del vivere quotidiano. Lo stesso Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in di
versi suoi progetti.
La sezione aurea è già presente come ideale di bellezza nel Partenone diAtene;
il rapporto fra lunghezza e larghezza nel Partenone corrisponde alla sezione aurea.
nella grande piramide di Giza, costruita molti secoli prima del
Partenone, il rapporto tra l'altezza di una facciata e la me
tà di un lato della base corrisponde ancora una volta alle se
zione aurea.
FINE
Francesca De Agostino V I