MATLAB Conference 2000
8-9 Febbraio 2000, Bologna
IMPIEGO DI SIMULINK PER LA SIMULAZIONE DEL
COMPORTAMENTO DINAMICO DI AZIONAMENTI MECCANICI
Giorgio Dalpiaz, Gabriele Giuliani, Alessandro Rivola
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Metallurgia.
Facoltà di Ingegneria, Università di Bologna.
Viale Risorgimento 2, 40136 Bologna.
SOMMARIO
Oggetto del presente lavoro è mostrare l’impiego di SIMULINK per la simulazione di azionamenti
meccanici. In particolare vengono trattati gli azionamenti di una macchina rettificatrice per sbarbatori.
La qualità della sbarbatura è strettamente dipendente dalla precisione del coltello sbarbatore, pertanto è
molto importante che gli sbarbatori vengano rettificati con estrema accuratezza.
In questo lavoro il comportamento vibratorio degli azionamenti è analizzato e simulato mediante un
modello matematico che considera il contributo della parte meccanica, di quella elettrica e del controllo
elettronico. I modelli sviluppati per le trasmissioni meccaniche mettono in conto la distribuzione delle
inerzie, la cedevolezza elastica, le azioni dissipative, oltre ad alcuni effetti non lineari quali l’attrito e la
variazione dei parametri con la posizione del meccanismo.
L’integrazione delle equazioni del moto, necessaria per effettuare la simulazione, va condotta per via
numerica a causa delle numerose non-linearità presenti. A tale scopo è stato impiegato SIMULINK in
ambiente MATLAB. I risultati numerici sono stati validati tramite il confronto con rilievi sperimentali.
1. INTRODUZIONE
La sbarbatura prima del trattamento termico è uno dei più importanti processi di finitura degli
ingranaggi [1]; uno dei fattori fondamentali per la qualità della lavorazione è la precisione con cui viene
eseguita la rettifica del coltello sbarbatore. Il presente lavoro riguarda, appunto, un’innovativa
rettificatrice per sbarbatori nella quale, tra l’altro, il moto di generazione è ottenuto affidando al sistema
di controllo il compito di sincronizzare gli assi. Tale scelta progettuale, che vede la sostituzione di
sistemi meccanici per la trasmissione e la sincronizzazione del moto degli assi con azionamenti elettrici
(“assi elettrici”) è sempre più diffusa, grazie alle possibilità offerte dagli attuali sviluppi tecnologici [2].
La precisione di lavorazione, che dipende dalla precisione con cui sono effettivamente eseguite le leggi
di moto assegnate agli assi, è influenzata dalle proprietà dinamiche della trasmissione meccanica, dei
componenti elettromeccanici e del controllo numerico, che vengono a costituire un unico sistema.
In tale contesto, questa ricerca ha l’obiettivo di sviluppare un modello matematico degli assi della
rettificatrice e dei relativi azionamenti che, pur puntando alla semplicità, fornisca un’accurata
simulazione del comportamento dinamico in lavorazione, permettendo di identificare le cause di
fenomeni dinamici indesiderati e individuare possibili soluzioni. In questo studio è posta particolare
attenzione alla modellazione cinetoelastodinamica della trasmissione meccanica, che a volte viene
schematizzata sommariamente nel contesto della modellazione di assi elettrici. In particolare, il modello
sviluppato mette debitamente in conto, oltre alla distribuzione delle inerzie, la cedevolezza elastica degli
organi (in alcuni casi, variabile con la posizione) e le varie azioni dissipative, aspetti che possono
rivestire una grande importanza nel comportamento dinamico di macchine di elevate prestazioni [3-9].
Nella memoria vengono dapprima descritti il modello del sistema meccanico e la relativa validazione;
dopo aver introdotto i modelli completi degli azionamenti, se ne mostra un esempio di impiego per
stimare l’errore di lavorazione e individuarne le cause.
1
2. DESCRIZIONE DEL SISTEMA MECCANICO
La macchina utensile in esame è la rettificatrice per sbarbatori RSB 18 della ditta Samputensili,
progettata per eseguire la rettifica per generazione dei denti di sbarbatori con estrema precisione ed
ottima finitura superficiale. Come è noto, nella rettifica per generazione lo sbarbatore in lavorazione e la
mola - la cui sezione è assimilabile al dente di una dentiera - si muovono uno rispetto all’altro come una
ruota dentata che ingrana con una dentiera; in tal modo viene lavorata per inviluppo la superficie dei
denti. La mola possiede moto di taglio rotatorio attorno ad un asse fisso; il moto di generazione è il
moto di puro rotolamento della circonferenza primitiva dello sbarbatore sulla linea primitiva della
‘dentiera’ fissa, equivalente alla sezione della mola. Con riferimento allo schema di fig. 1, tale moto è
realizzato conferendo allo sbarbatore un moto di rotazione attorno al proprio asse, indicato come asse z,
ed uno di traslazione in direzione dell’asse x, con velocità legate dalla condizione di puro rotolamento.
MOTORE
SLITTA
ENCODER
LINEARE
x
α
MS
VITE A RICIRCOLAZIONE
DI SFERE
SLITTA
E
θE
MOLA
θ
MOTORE
MANDRINO
E ENCODER
P
x
P
MANDRINO
z
R
PEZZO
x
Fig. 1 - Schema degli assi della rettificatrice per sbarbatori
La macchina in esame possiede, pertanto, due assi - rotatorio e traslatorio - azionati da motori brushless
sinusoidali e CNC Siemens 840 D “full digital”. L’asse traslatorio presenta una slitta, posta su guide
con pattini a rulli e lardoni di registrazione, mossa dal motore tramite una vite a ricircolazione di sfere
di precisione; i supporti della vite sono realizzati in modo tale da scaricare le forze assiali praticamente
per intero sul supporto del lato motore. Sulla slitta é alloggiato l’asse rotatorio, costituito da un
mandrino collegato al proprio motore da un manicotto calettatore; il mandrino é sostenuto da due
supporti, costituiti da gruppi di cuscinetti a sfere obliqui montati a contrasto; all’estremità del mandrino
é presente una flangia di collegamento ad una prolunga di forma tubolare che porta gli organi di
afferraggio dello sbarbatore.
I segnali di retroazione per il controllo di posizione vengono forniti da un encoder lineare sulla slitta
(xE), per l’asse traslatorio, e da un encoder sull’albero motore del mandrino (θE), per l’asse rotatorio,
mentre il controllo di velocità impiega segnali di retroazione forniti da encoder interni ai motori.
3. MODELLAZIONE DEL SISTEMA MECCANICO
La particolare configurazione del sistema e l’ipotesi di trascurare le forze di taglio tra mola e pezzo,
hanno permesso di disaccoppiare le equazioni che descrivono i fenomeni vibratori dei due assi. Si sono
così potuti realizzare due modelli cinetoelastodinamici distinti delle trasmissioni meccaniche.
Le equazioni dinamiche dei due assi si possono così scrivere:
2
M x x + Cx x + K x x = fx
, M z θ + Cz θ + K z θ = f z
(1)
dove x e θ sono i vettori delle coordinate generalizzate, e descrivono: gli spostamenti lungo l’asse x per
il primo asse e le rotazioni attorno all’asse z, per il secondo.
M(x,z)), K(x,z)) e C(x,z)) rappresentano rispettivamente la matrice massa, rigidezza e smorzamento del
sistema, ed f(x,z)) il vettore costituito dalle forze esterne. La matrice smorzamento mette in conto gli
smorzamenti strutturali e gli altri fenomeni dissipativi approssimandoli con uno smorzamento viscoso
proporzionale: in particolare, si è posta C proporzionale alla matrice rigidezza: C(x,z)) = β(x,z)) K(x,z)).
3.1 Asse traslatorio
Il modello dell’asse traslatorio, a dieci gradi di libertà (gdl), tiene conto delle principali caratteristiche
dinamiche che causano le vibrazioni del pezzo in direzione x, tra cui la cedevolezza della vite a sfere, la
cedevolezza radiale dei cuscinetti del mandrino e la cedevolezza flessionale del mandrino stesso.
Con riferimento alle figg. 1 e 2, la rotazione αMS del motore della slitta, che muove la vite a sfere, è stata
ridotta all’asse x tramite il passo della vite h, per omogeneità con le altre coordinate del modello: è stata
pertanto impiegata la coordinata lineare xMS = αMS⋅h/2π, a cui è associata la massa MMS, equivalente al
momento d’inerzia del motore, della vite e di tutte le altre parti rotanti insieme al motore. La coordinata
xS è lo spostamento della slitta rispetto alla sua posizione di fine corsa dal lato motore (che coincide con
la lettura dell’encoder lineare xE); la corrispondente massa MS è relativa alla slitta e a tutte le parti
traslanti con essa, escludendo tutti gli organi rotanti attorno all’asse mandrino. La rigidezza k1 è
variabile con la posizione xS della slitta, vedremo in seguito come, questa non lineartità, sia stata
modellata.
MOTORE
SLITTA
M
MS
x MS
k1
T
MS
SLITTA
k2
xS = x E
JP
k3
MOTORE
MANDRINO
J
MM y
M
MM
y
MP
z
1
2
3
xP
Fig. 2 - Modello dell’asse traslatorio
Per quanto riguarda il mandrino se ne sono studiate le proprietà modali, limitatamente alle vibrazioni
flessionali nel piano x-z, tramite un modello ad elementi finiti a 52 gdl. Da questo, considerando che
solo i primi modi di vibrare del mandrino influenzano significativamente il comportamento dell’asse
traslatorio, è stato derivato un modello flessionale costituito da tre elementi trave di Bernoulli- Eulero. Il
motore del mandrino ed il pezzo con i relativi organi di afferraggio sono stati modellati tramite elementi
inerziali concentrati, rispettivamente, nel primo e nell’ultimo nodo. Il modello del mandrino con soli 8
gdl è stato poi assemblato alle parti del modello precedentemente descritte. Le due molle, di rigidezza k2
e k3, che collegano questi nodi alla massa MS (slitta), rappresentano le rigidezze radiali dei supporti del
mandrino. L’attrito coulombiano T che agisce sulle guide della slitta, è stato riprodotto con una forza di
intensità costante e verso opposto alla velocità della slitta. Si è invece trascurato l’attrito nei cuscinetti
3
della vite, in quanto ritenuto poco rilevante. Il modello è, pertanto, non lineare, a causa della variabilità
della rigidezza della vite k1 e della presenza dell’attrito coulombiano.
3.2 Asse rotatorio
Per realizzare il modello torsionale dell’asse rotatorio con un numero limitato di gradi di libertà, si è
proceduto in maniera analoga a quanto illustrato per il modello flessionale del mandrino: si sono
dapprima studiate le proprietà modali tramite un modello ad elementi finiti a 26 nodi, impiegando poi
queste informazioni per sviluppare e verificare un modello a 6 gdl, atto a simulare il comportamento
vibratorio torsionale dell’asse in condizioni di lavorazione.
θ MM = θ E
θP
k
JMM
1
2
z
4
3
JP
z
z
Fig. 3 - Modello dell’asse rotatorio
Con riferimento alle figg. 1 e 3, tutte le coordinate di questo modello sono rotazioni attorno all’asse del
mandrino, z; più in dettaglio, θMM rappresenta la rotazione del motore del mandrino (coincidente con la
lettura dell’encoder θE), a cui è associato il relativo momento d’inerzia rispetto all’asse z, JMMz, che
congloba anche il contributo inerziale del manicotto calettatore. La rigidezza torsionale concentrata k è
relativa al manicotto calettatore e alla porzione di mandrino su cui é montato. La restante parte del
mandrino e la prolunga che porta gli afferraggi del pezzo sono stati modellati con quattro elementi trave
torsionali: il primo nodo del primo elemento è connesso alla molla torsionale di rigidezza k; nel secondo
nodo del quarto elemento, di coordinata θP, è stato concentrato il momento d’inerzia rispetto all’asse z
del pezzo e degli afferraggi, Jpz.
4. VALIDAZIONE DEI MODELLI
I parametri di inerzia e rigidezza e la forza di attrito coulombiano sono stati dapprima valutati sulla
base dei disegni della macchina e dei dati di catalogo dei componenti commerciali; i coefficienti di
proporzionalità tra le matrici smorzamento e rigidezza sono stati preliminarmente fissati secondo le
indicazioni date in letteratura [6-8]. Al fine di assicurare una buona rispondenza dei modelli al
comportamento dinamico reale della macchina, i valori dei parametri sono stati modificati, sulla scorta
dei risultati delle prove sperimentali. Tra le numerose misure di vibrazione eseguite sulla macchina,
sono rilevanti, per la validazione dei modelli, le misure di Funzione di Risposta in Frequenza (FRF)
puntuali, ottenute con il rilievo dell’eccitazione e della risposta nella posizione in cui viene montato il
pezzo in lavorazione, relative sia all’asse traslatorio sia a quello rotatorio.
Le matrici delle inertanze relative al modello dell’asse traslatorio, Hx(ω), e di quello rotatorio, Hz(ω),
sono state calcolate analiticamente, tramite le relazioni seguenti, dopo aver linearizzato il primo
modello: trascurando l’attrito coulombiano ed assegnando a k1 il valore costante corrispondente alla
posizione della slitta in cui sono state eseguite le misure:
j
1


H x (ω ) =  M x − Cx − 2 K x 


ω
ω
−1

; H z (ω ) =  M z −

j
1

Cz − 2 K z 

ω
ω
−1
(4)
dove ω è la pulsazione e j l’unità immaginaria.
I confronti fra i risultati sperimentali e quelli numerici hanno fornito le indicazioni necessarie per la
validazione dei modelli [10]. Dato il limitato numero di gdl dei modelli, ciò è possibile limitatamente al
campo di frequenza contenente le prime risonanze, risultato comunque generalmente sufficiente a
permettere una soddisfacente simulazione elastodinamica [6-8].
4
Per quanto riguardo l’asse traslatorio, descritto da un modello a 10 gdl, è stato possibile far
corrispondere le prime tre frequenze proprie nella banda 0-300 Hz. Per l’asse rotatorio, descritto da un
modello a 6 gdl, si è ottenuto un ottimo accordo tra le FRF, sia in termini di frequenza sia di ampiezza,
nel campo fino a 3000 Hz, comprendente le prime due risonanze.
I valori finali dei parametri dei modelli sono riportati in tab. 1.
Tab. 1 - Parametri dei modelli dei due assi della macchina
Asse traslatorio
Asse rotatorio
MMS
= 3075 kg
M1
= 0.0208 kg
JMMz
= 0.554 kgm2
MS
= 774 kg
M2
= 0.0122 kg
JPz
= 6.23·10-2 kgm2
MMM
= 63.9 kg
M3
= 0.0615 kg
k
= 9.95·106 Nm/rad
MP
= 22.4 kg
KF1
= 9.48·108 N/m
J1
= 7.96·10-3 kgm2
JMMy
= 0.420 kgm2
KF2
= 6.44·108 N/m
J2
= 7.96·10-3 kgm2
JPy
= 0.091 kgm2
KF3
= 8.16·108 N/m
J3
= 4.50·10-3 kgm2
k1C
= 1.73·107 N/m
J4
= 4.50·10-3 kgm2
k1V
= 2.55·107 N
l1
= 0.176 m
KT1
= 4.37·106 Nm/rad
k2
= 1.40·109 N/m
l2
= 0.120 m
KT2
= 4.37·106 Nm/rad
k3
= 2.70·109 N/m
l3
= 0.298 m
KT3
= 2.39·107 Nm/rad
KT4
= 2.39·107 Nm/rad
βz
= 8·10-8 s
T
= 27 N
βx
= 2.5·10-5 s
4. IMPLEMENTAZIONE DEI MODELLI IN SIMULINK
Per simulare il comportamento cinetoelastodinamico della macchina in condizioni di lavorazione, sono
stati realizzati i modelli degli assi, comprendendo sia la parte meccanica che i rispettivi azionamenti. I
sistemi di equazioni differenziali, delle equazioni del moto, sono integrati numericamente tramite il
software SIMULINK®.
Fig. 4 - Schema del modello di un asse e del relativo azionamento
La macchina in esame è composta da due assi azionati da motori brushless sinusoidali e CNC Siemens
840 D "full digital", entrambi i sitemi prevedono tre anelli di controllo: rispettivamente in posizione,
velocità e corrente. Due encoder, montati sulla slitta e sull’albero del motore mandrino, forniscono i
valori di posizione ai controlli, rispettivamente dell’asse traslatorio e rotatorio. Altri due encoder, questa
volta interni ai motori brushless, forniscono le misure di velocità.
Nello schema di fig. 4 è riportato il modello sviluppato per uno dei due assi. Il primo sottosistema
rappresenta l’input del meccanismo: la “Legge di moto” fornisce la posizione di riferimento dell’asse (xR
o θR) per ogni istante di integrazione. Seguono i regolatori di posizione e di velocità, viene poi il
5
sottosistema “motore elettrico”, comprendente anche l’anello di corrente, l’uscita di questo blocco
rappresenta la coppia che fornisce il lavoro motore al “Modello meccanico”.
Entrando più nei dettagli possiamo analizzare i sottosistemi principali del modello dell’asse traslatorio
nella cui parte meccanica sono considerate le non lineartità: dovute all’attrito coulumbiano sulla slitta ed
alla rigidezza variabile della vite a ricircolazione di sfere.
4.1 Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità
Il sottosistema “Legge di moto”, descritto in fig. 5, fornisce, istante per istante, il valore della posizione
di riferimento. L’orologio, insieme alla funzione f(u), forniscono la variabile temporale a meno di
multipli interi del periodo di un ciclo (3.15 s), permettendo così di simulare più cicli di lavorazione. La
legge di moto, fornita come andamento della velocità, è di forma trapezoidale, con due tratti a velocità
costante nei quali viene eseguita la lavorazione del dente dello sbarbatore. Il sucessivo integratore
genera il segnale di posizione di riferimento utilizzato dal regolatore di posizione.
Encoder di velocità
Legge di moto
Filtro
passa-basso
2
1
f(u)
s
Clock rem(u,3.15)
diagramma
della velocità
PID
Regolatore
Filtro
di posizione Passa-basso
1
Coppia
PID
1
Regolatore
di velocità
Filtro
blocca banda
Encoder di posizione
Fig. 5 - Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità
I regolatori di posizione e di velocità, schematizzati con due regolatori proporzionale-integralederivativo (PID), implementano rispettivamente un regolatore proporzionale (P) ed uno proprzionaleintegrale (PI). Per ripetere fedelmente l’architettura del sistema di controllo realizzato sulla macchina
sono inseriti anche alcuni due di tipo passa-basso ed un blocca-banda.
4.2 Motore elettrico
L’uscita del regolatore di velocità rappresenta il primo ingresso dell’anello di corrente (fig. 6), questo
segnale è proporzionale ad una coppia, moltiplicandolo per l’inverso della costante di coppia del motore
si ricava la corrente di riferimento (Iq_rif) del sistema; il regolatore di corrente è di tipo proporzionaleintegrale (PI). L’ingresso del motore elettrico, schematizzato come un sistema LR, è dato dall’output del
regolatore di corrente meno il termine, dovuto alle perdite, proporzionali alla velocità di rotazione del
motore. La coppia motrice esercitata sull’albero motore si ottiene moltiplicando la corrente Iq, utilizzata
anche come retroazione nell’anello di corrente, per la costante di coppia.
tra sf.co p p ia
/co rre n te
1
-K-
Iq _ rif
PI C o n tro lle r
c o rre n te
PI
In p u t
d a re g o la to re
d i ve lo cità
1
Iq
L s+R
tra sf.c o rre n te
/co p p ia
-K -
1
C o p p ia
mo trice
Iq _ re a le
C o e f. co p p ia
2
-K-
v e lo cità d i
ro ta zio n e
d e l mo to re
Fig. 6 - Anello di corrente
4.3 Modello meccanico
Il modello del sistema meccanico, riportato in figura 7, prevede come ingressi la coppia motrice
(ingresso 1) e la forza resistente agente sul pezzo in lavorazione (ingresso2), le uscite sono invece: la
posizione della slitta (1), quella del pezzo (2) e la velocità del motore (3). La forza di attrito è una
funzione della velocità della slitta ed agisce sulla slitta stessa. Gli altri sottosistemi si suddividono in due
6
categorie: i blocchi massa, nei quali, partendo dalle forze agenti sulla massa concentrata vengono
calcolati lo spostamento, la velocità e l’accelerazione della massa stessa; ed i blocchi forze elasticoviscose (k_c) dove conoscendo lo spostamento e la velocità relativa di due punti adiacenti si calcolano le
forze elastiche e viscose che ne conseguono.
La schematizzazione mediante i blocchi masse e molle-smorzatori è particolarmente adatta per i modelli
a parametri concentrati, in quanto anche nell’implementazione in simulink rimane visibile la “struttura”
del sistema. Nel caso di modelli ad elementi finiti, come per il “mandrino”, che al suo interno descrive il
comportamento flessionale del mandrino, questo tipo di approccio è meno agevole, e per comodità è
stata utilizzata un’implementazione in forma matriciale. Questo modo di procedere, tuttavia,
compromette la possibilità di fare delle analogie tra il modello fisico ed il modello matematico, ridotto,
in pratica, ad una serie di operazioni sulle matrici massa, rigidezza e smorzamento.
Co p p ia
->
fo r za
1
Co p p ia
mo tr ice
-K -
F o r za r e s iste n te
su l p e zzo
Slitta
A1
B1
2
A2
2
A3
B2
mo to r e
slitta
Po sizio n e
p e zzo
M an d r in o
De mu x
3
Ve lo cità
mo to r e
T
F o r za d i
attrito
1
Po s izio n e s litta
Fig. 7 - Modello meccanico dell’asse traslatorio
La rigidezza k1 risulta dalla composizione della rigidezza assiale e di quella torsionale (ridotta ad
assiale) della trasmissione tra il motore e la slitta. Si noti che k1 è variabile con la posizione xS della
slitta, che determina la lunghezza del tratto di vite effettivamente sollecitato a sforzo normale e torsione;
pertanto, indicando con k1C il valore massimo di k1, calcolato per xS=0, e con k1V la composizione della
rigidezza assiale e torsionale (ridotta ad assiale) di un tratto di vite di lunghezza unitaria, il valore
corrente di k1 viene calcolato con la seguente espressione:
k1 =
1
.
1
1
+
⋅ xS
k1C k1V
(2)
5. SIMULAZIONE DEGLI AZIONAMENTI
I parametri di inerzia e rigidezza e la forza di attrito coulombiano sono stati dapprima valutati sulla
base dei disegni della macchina e dei dati di catalogo dei componenti commerciali; i coefficienti di
proporzionalità tra le matrici smorzamento e rigidezza sono stati preliminarmente fissati secondo le
indicazioni date in letteratura [6-8]. Al fine di assicurare una buona rispondenza dei modelli al
comportamento dinamico reale della macchina, i valori dei parametri sono stati modificati, sulla scorta
dei risultati delle prove sperimentali.
Con riferimento alla fig. 4, l’errore di posizione commesso da ciascun asse è definibile come la
differenza tra la posizione di riferimento assegnata al controllo e la posizione del pezzo, cioè xR−xP e
θR−θP, rispettivamente per l’asse traslatorio e quello rotatorio. Tale errore può essere scisso in una parte
imputabile al sistema meccanico ed in una imputabile al sistema di controllo; più precisamente, la prima
parte, differenza tra la posizione misurata dall’encoder e quella del pezzo (xE−xP o θE−θP), è il
contributo del sistema meccanico che si trova a valle dell’encoder e che inevitabilmente presenta delle
vibrazioni che non vengono rilevate dal sistema di controllo; la seconda parte, differenza tra la posizione
di riferimento e quella misurata dall’encoder (xR−xE o θR−θE), è l’errore noto al sistema di controllo, che
7
tende a minimizzarlo.
Le figg. 8 e 9 riportano gli andamenti dei due tipi di errore sopra definiti, durante il periodo di
lavorazione del fianco di un dente, nel quale l’asse del mandrino compie una corsa di andata ed una di
ritorno ad una tipica velocità di lavoro; non sono stati rappresentati gli andamenti nella fase di divisione,
necessaria a posizionare gli assi per la lavorazione del dente successivo. La lavorazione ha luogo
durante le due fasi di moto a velocità teoricamente costante, cioè approssimativamente negli intervalli di
tempo 0.45÷1.1 s e 1.9÷2.55 s; pertanto è solo in queste fasi che gli errori di posizione si ripercuotono
sulla precisione della lavorazione. I risultati della simulazione indicano che, nelle fasi di lavorazione,
l’errore imputabile al sistema meccanico (fig. 8) è estremamente piccolo, per entrambi gli assi, e di
alcuni ordini di grandezza inferiore a quello imputabile al sistema di controllo (fig. 9). Quest’ultimo
denuncia un ritardo del moto degli assi rispetto alla legge prevista; durante la fase di rettifica, l'errore
rimane pressoché costante per entrambi gli assi ad un valore di circa 1.5 mm, per l’asse traslatorio, e di
circa 0.013 rad per l’asse rotatorio.
-7
1.5
-7
x 10
6
4
0.5
2
rad
1
m
0
0
-0.5
-2
-1
-4
-1.5
0
0.5
1
1.5
s
2
-6
2.5
x 10
0
0.5
1
1.5
s
2
2.5
(a)
(b)
Fig. 8 - Errore di posizione imputabile al sistema meccanico: (a) asse traslatorio; (b) asse rotatorio
-3
2
x 10
0.02
0.01
rad
m
1
0
-1
-2
0
-0.01
0
0.5
1
1.5
s
2
-0.02
2.5
0
0.5
1
1.5
s
2
2.5
(a)
(b)
Fig. 9 - Errore di posizione imputabile al sistema di controllo: (a) asse traslatorio; (b) asse rotatorio
In base a questi risultati si può affermare che le scelte operate dalla ditta costruttrice nella progettazione
meccanica degli assi appaiono pienamente adeguate dal punto di vista dinamico e, di conseguenza, la
precisione di lavorazione della macchina viene a dipendere in modo sostanziale dalle caratteristiche dal
sistema di controllo. A questo proposito si tenga presente che l’errore di forma del dente lavorato non
dipende tanto dagli errori di posizione dei singoli assi, quanto dall’errore di rotolamento; in altri termini,
il moto di generazione è eseguito correttamente se viene rispettata la seguente condizione di puro
rotolamento della circonferenza primitiva dello sbarbatore, di raggio R, sulla linea primitiva della
dentiera equivalente alla mola: xP = θP⋅R.
Quindi l’errore di rotolamento, che si può definire come xP−θP⋅R, dipende soltanto dalla combinazione
delle due coordinate che determinano la posizione del pezzo; pertanto, è possibile che errori di posizione
dei singoli assi, anche se di rilevante entità, possano essere combinati opportunamente, al fine di
8
ottenere un valore ridotto dell’errore di rotolamento. E’ ciò che accade nel caso in esame grazie ad una
scelta opportuna dei parametri del controllo; infatti, come mostrato in fig. 10, l’errore di rotolamento si
mantiene ad un valore dell’ordine del millesimo di millimetro durante le fasi di lavorazione, anche in
presenza di elevati errori di posizione dei singoli assi. A questo scopo un controllo bi-asse, ovvero che
minimizzi direttamente l’errore di rotolamento, potrebbe ulteriormente migliorare le prestazioni del
sistema attuale.
-5
1.5
x 10
1
m
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
s
2
2.5
Fig. 10 - Errore di rotolamento in corrispondenza delle primitive
6. CONCLUSIONI
I modelli cinetoelastodinamici degli assi di una macchina utensile sono stati sviluppati e
soddisfacentemente validati tramite opportune prove sperimentali. Il lavoro svolto conferma le
potenzialità di questo tipo di modellazione nello studio del comportamento dinamico delle macchine. La
metodologia proposta consente di connettere in modo semplice i modelli dei sistemi meccanici a quelli
dei rispettivi azionamenti, ottenendo una modellazione sufficientemente accurata dell’intero sistema
dinamico. La scelta di utilizza re SIMULINK® come ambiente di sviluppo del modello matematicosi è
dimostrata proficua; sia per il suo grado di usabilità sia per l’accuratezza dei risultati.
Nella attuale fase della ricerca, sono state trascurate le forze di taglio tra mola e pezzo. I modelli sono
stati impiegati per simulare il comportamento dinamico degli assi durante il ciclo di lavorazione; si sono
così determinati gli errori di posizione dei singoli assi (separando i contributi imputabili al sistema
meccanico e a quello di controllo) e l’errore di rotolamento, che dipende dalla combinazione di questi e
che incide direttamente sulla precisione di lavorazione.
Nel caso in esame, si è rilevato che il sistema meccanico ha un comportamento dinamico pienamente
soddisfacente, cosicché la precisione della macchina dipende sostanzialmente dalla caratteristiche del
sistema di controllo. A questo proposito, una valida alternativa al sistema attuale potrebbe essere
costituita da un controllo bi-asse.
RINGRAZIAMENTI
Gli autori desiderano ringraziare gli ingegneri Balletti, Cocchi e Freddi della Società Samputensili e la
società stessa per le informazioni fornite e per la fattiva collaborazione nell’esecuzione dei rilievi
sperimentali. Il presente lavoro è stato parzialmente finanziato con fondi per la Ricerca fondamentale
orientata (ex-quota 60%).
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