Filtri Semplici
Legame tra zeri/poli e risposta in frequenza
Filtri passa-basso ad un solo polo
H ( z) 

0
1
Magnitude (dB)

0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
-0.2
Phase (degrees)

Guadagno unitario ω=0
Guadagno massimo per ω=0
Guadagno minimo per ω=π
Larghezza di banda variabile con “a”
Imaginary Part

1 a
1  az 1
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
-10
-20
-30
Filtri passa-basso zero/polo
1  a 1  z 1
H ( z) 
2 1  az 1

20
1
Magnitude (dB)

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-20
-40
-60
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
Phase (degrees)

Guadagno unitario ω=0
Guadagno massimo per ω=0
Guadagno nullo per ω=π
Larghezza di banda variabile con “a”
Imaginary Part

-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
-50
-100
Filtri passa-alto zero/polo
Basta ruotare di 2π il cerchio unitario, ovvero sostituire
z-1  –z-1
0
Magnitude (dB)
1
0.8
0.4
-5
0.2
-10
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
30
Phase (degrees)
Imaginary Part
0.6
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
20
10
0
1
20
Magnitude (dB)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-20
-40
-60
0
100
-0.2
Phase (degrees)
Imaginary Part

-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
50
0
Filtri Selettivi (a 2 poli)
G
H ( z) 
(1  re j0 z 1 )(1  re  j0 z 1 )


Guadagno massimo per ω=ω0
Larghezza di Banda Δω=2(1-r)
0
Magnitude (dB)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-20
-40
-60
2
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
50
Phase (degrees)

Presentano due poli prossimi al cerchio unitario
Se r è prossimo all’unità
Imaginary Part

-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
0
-50
-100
-150
Filtri Selettivi (a 2 poli)

La frequenza di risonanza e’ piu’ correttamente
(specie se r risulta discosto dall’unita’)

 1 r2
r  cos 
cos 0 
 2r

1
quando r →1:
ωr→ω0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Filtri Selettivi (a 2 poli + 2 zeri)
G(1  z 2 )
H ( z) 
(1  re j0 z 1 )(1  re j0 z 1 )

si puo’ migliorare la risposta (lontano dal picco)
inserendo due ulteriori zeri in +1 e -1
50
Magnitude (dB)
1
0.8
0.4
0.2
-50
-100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
100
-0.2
Phase (degrees)
Imaginary Part
0.6
0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
50
0
-50
-100
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Filtri Notch (elimina banda) all-zeros

Per eliminare certe frequenze basta porre degli zeri sul
cerchio unitario
H ( z )  (1  e jo z 1 )(1  e jo z 1 )

Il risultato manca di selettivita’
20
Magnitude (dB)
1
0.8
0.4
0.2
-20
-40
-60
2
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
150
Phase (degrees)
Imaginary Part
0.6
0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
100
50
0
-50
Filtri Notch (elimina banda)

Se alla stessa frequenza si aggiungono dei poli si
migliora la risposta
(1  e j0 z 1 )(1  e j0 z 1 )
H ( z)  G
(1  re j0 z 1 )(1  re  j0 z 1 )

Possono essere considerati quali filtri duali dei selettivi
ovvero un all-pass meno un selettivo
10
Magnitude (dB)
1
0.8
0.4
0.2
-10
-20
-30
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
1
100
Phase (degrees)
Imaginary Part
0.6
0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
50
0
-50
-100
Filtri Comb

Si ottengono annullando la risposta in frequenza in punti
equispaziati dello spetto
12
1
h=[1 1 1 1 1 … 1 1]
1 z

1  z 1
10
0.6
Imaginary Part
H ( z )  n  0 z
N 1  n
N
0.8
0.4
8
0.2
10
0
6
-0.2
4
-0.4
-0.6
2
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1
1
h=[1 0 0 0 0 …0 1]
0.8
0.6
Imaginary Part
H ( z)  1  z
 ( N 1)
0.9
0.8
0.7
0.4
0.6
0.2
12
0
0.5
-0.2
0.4
-0.4
0.3
-0.6
0.2
-0.8
0.1
-1
0
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
Filtri Comb
Piu’ comunemente si ottiene un filtro comb da qualunque
filtro attraverso la sostituzione
zz
L
H L ( z)  H ( z L )
ovvero:
H L (e j )  H (e jL )
8
1
Imaginary Part

0.8
7
0.6
6
0.4
5
0.2
63
0
4
-0.2
3
-0.4
-0.6
2
-0.8
1
-1
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Filtri all-pass

Guadagno unitario su tutta la banda
H ( e j )  1

Filtro banale FIR: (puro ritardo)
H ( z)  z n

Filtro tipico IIR:
n
a
z
n0 n
N
H ( z) 
 N n
a
z
n0 n
N
a0  a1z 1  a2 z  2  ...  aN z  N

aN  aN 1z 1  aN  2 z  2  ...  a0 z  N
Filtri all-pass
in pratica
se
A( z )  n0 an z
N
H ( z)  z N
n
A( z )
A( z 1 )
quindi
2
1
H (e )  H ( z )H ( z )
z  e j
da un punto di vista pratico
per ogni polo in z deve
esistere un polo in 1/z
1.5
1
1
Imaginary Part
j
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Part
0.5
1
1.5