Impianto frenante: primo dimensionamento
9.0
aggiornato 18-6-2015
La dispensa è una guida per le scelte di base riguardanti l’impianto frenante e la
sua interazione con il comportamento dinamico della vettura. Non vengono però
trattati aspetti fondamentali come il dimensionamento termico/energetico delle
masse frenanti ed il relativo raffreddamento, la presenza di dispositivi di
servoassistenza e di controllo della ripartizione di frenata (attivi o passivi).
Anche per i sistemi attivi antibloccaggio (ABS) si rimanda al testo Drivingsafety systems di Bosch-SAE, dal quale sono anche tratte le immagini 2 e 3.
La prima parte è liberamente ripresa dal capitolo 4 del testo di Massimo
Guiggiani The Science of Vehicle Dynamics (2014) al quale si rimanda per una
trattazione completa. Viene poi presentato l’impianto frenante tipico di una
vettura da competizione come “case study” propedeutico ai progetti di Formula
Student.
Definizioni
m=
hCG =
l
a, b
S

Iy
ax , g
R, R%
RMAX
FZA, FZP
FZAs, FZPs
Fz
FXA, FXP
FXA_LIM, FXP_LIM
FXA_MAX, FXP_MAX
r
FPILOTA
FBIL
p
bBIL
c, d
FMC_A, FMC_P
PA, PP
AMC_A, AMC_P
APISTON
FPAD
PAD
MDISC
reff
massa vettura
altezza baricentro vettura da terra
passo
semipassi
scorrimento longitudinale dello pneumatico
coeff. di attrito statico tra pneumatico e fondo stradale
momento d’inerzia del corpo vettura a beccheggio
accelerazione longitudinale e di gravità
ripartizione di frenata, ripartizione percentuale
ripartizione ottima
carichi verticali a terra ant. e post.
carichi verticali statici
trasferimento di carico longitudinale
forze longitudinali di frenata
forze longitudinali di frenata al limite di aderenza
idem, ma con ripartizione ottima RMAX
raggio ruota
forza applicata dal pilota sul pedale del freno
forza scambiata tra pedale freno e bilanciere
lunghezza utile del pedale freno
braccio di FBIL
bracci delle pompe freno sul bilanciere
forze esercitate dal bilanciere sulle pompe freno
pressioni nei circuiti frenanti ant. e post.
aree delle pompe freno ant. e post.
area totale dei pistoni in un singolo lato pinza freno
forza normale scambiata tra disco e singola pastiglia
coeff. di attrito dinamico disco/pastiglia
coppia frenante agente sul singolo disco
raggio efficace della pastiglia
Frenata: obiettivi
Non è superfluo ricordare che l’impianto frenante deve mettere in grado chi
guida di rallentare o arrestare la marcia garantendo feedback intuitivo e comfort,
e in caso di emergenza deve arrestare la vettura nel minore spazio possibile
(panic stop), sempre garantendo stabilità e guidabilità della vettura. Dal punto
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di vista dello pneumatico ciò significa generare uno scorrimento che massimizzi
le forze longitudinali, ovvero
S  0.1  0.2
che in genere corrisponde ad un coefficiente di attrito globale statico (come
spiegato nelle lezioni sulla meccanica dello pneumatico) nel range:
  FX / FZ  0.9  1.2
Fino ad un massimo di 1.8 ca. per pneumatici da competizione.
Frenare generando scorrimenti più elevati va evitato per i seguenti motivi:
 le forze longitudinali si riducono al crescere dello scorrimento a causa
del fenomeno di saturazione e gli spazi di frenata si allungano, come si
intuisce dalla tipica curva Fx vs S;
 in combinato e con scorrimenti elevati, gli pneumatici possono generare
solo forze laterali ridotte e con angoli di deriva particolarmente elevati.
Di fatto, il bloccaggio delle ruote in frenata (S = -1) provoca perdita di
di direzionalità (se anteriore) e perdita di stabilità (se posteriore),
fenomeno particolarmente grave per la sicurezza di marcia.
 infine, il bloccaggio sposta la dissipazione di energia dai freni (area di
contatto disco-pastiglia) agli pneumatici (impronta a terra) con
conseguente danno permanente del battistrada.
Forza longitudinale come funzione dello scorrimento e caso combinato
Figg. 2 e 3: andamento del coefficiente d’attrito longitudinale in funzione del
tipo di fondo stradale e in combinato con angolo di deriva fisso
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Frenata in rettilineo: equilibrio vettura
Riprendendo la parte iniziale della dispensa sugli effetti “anti”, e con
riferimento all’immagine qui sotto, le equazioni di equilibrio della vettura nel
piano laterale sono:
traslazione longitudinale
m  a x   Fx
traslazione verticale
m  a z   Fz
rotaz. attorno al punto a terra posteriore (beccheggio φ) I y   
M
y
ovvero:
m  a x  FXA  FXP
mg  FZA  FZP
I y    m  a x  hCG  mg  b  FZA  l
(A)
Ove in direzione longitudinale le forze di frenata hanno verso considerato
positivo, mentre resistenza aerodinamica e di rotolamento sono considerate
trascurabili. Inizialmente ci si pone in condizione di velocità costante per
calcolare i carichi verticali statici:
ax  0
e
  0
da cui per le tre equazioni si ha
FXA  FXP  0 (ovvero, azioni frenanti nulle)
mg  FZAs  FZPs
mg  b  FZAs  l  0
I carichi verticali statici sono dunque
FZAs 
mg  b
l
e
FZPs  mg  FZAs 
mg  a
l
Ci si pone poi in una condizione di frenata steady-state ovvero con
decelerazione costante, al termine del transitorio di beccheggio, che in ogni caso
viene considerato di entità trascurabile, come in assenza di sospensioni:
a x  kost
e
  0
La terza equazione si può scrivere come:
m  a x  hCG  mg  b  FZA  l  0
da cui il carico verticale anteriore:
FZA 
mg  b m  a x  hCG

l
l
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Ecco quindi identificato il trasferimento di carico (vedi equazione (E) nella
dispensa sugli effetti “anti”), che in frenata va a caricare l’asse anteriore
sommandosi al carico statico, e a scaricare quello posteriore in egual misura:
FZ 
m  a x  hCG
l
con
FZA  FZAs  FZ
FZP  FZPs  FZ
e
Frenata al limite di aderenza
Ipotizzando una condizione di attrito statico Coulombiano  tra impronta a terra
degli pneumatici e fondo stradale, la decelerazione massima ottenibile con un
veicolo sprovvisto di carico aerodinamico sarà legata al coefficiente di attrito e
al peso:
da cui
a xMAX  g
m  a xMAX  F XA _ MAX  F XP _ MAX    mg
Pneumatici per autovettura in buone condizioni su asfalto asciutto offrono in
genere un coefficiente d’attrito
da cui
a xMAX  1g
(B)
 1
Condizione antiribaltamento
Il sollevamento delle ruote posteriori in frenata (e, in caso estremo, il
ribaltamento in avanti) va preso in considerazione per veicoli che abbiano un
passo corto rispetto alla quota del baricentro; tipicamente, le moto. La ruota
posteriore si solleva quando il trasferimento di carico è tale da annullare il
carico statico. Per evitare questa situazione di pericolo va quindi rispettata la
condizione:
FZP  FZPs  FZ  0
anche e soprattutto in caso di frenata al limite, ovvero
mg  a m  a xMAX  hCG

l
l
a xMAX  g
con
la condizione quindi diventa
a

hCG
a
1
hCG
e in base alle considerazioni in (B)
Frenata al limite di aderenza: ripartizione ottima e grafico FXP vs FXA
È possibile ottenere la condizione di frenata al limite solo quando entrambi gli
assi frenano al limite di aderenza disponibile, come visto sopra:
m  a xMAX  F XA _ MAX  F XP _ MAX    mg
con
F XA _ MAX    FZA _ MAX    ( FZAs  FZ _ MAX )
F XP _ MAX    FZP _ MAX    ( FZPs  FZ _ MAX )
e la ripartizione ottima
R MAX  FXP _ MAX / FXA _ MAX
corrisponde alla pendenza della retta
FXP  RMAX  FXA
che lega le forze generate dai due assali.
Come si vedrà in seguito, l’entità delle forze frenanti dipende dalla forza
applicata al pedale del freno da chi guida, dalla geometria meccanica/idraulica
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del sistema, dall’interazione tra disco e pastiglia in termini di coefficiente
d’attrito e dall’eventuale “boost” ottenuto mediante il servofreno. Vitale sarà
poi lo sviluppo di forze longitudinali adeguate da parte degli pneumatici, a loro
volta legate agli scorrimenti. In questa dispensa si procede però con l’ipotesi di
attrito statico Coulombiano (dunque indipendente dallo scorrimento) tra
impronta a terra degli pneumatici e fondo stradale.
Il grafico delle forze longitudinali di frenata FXP vs FXA consente una visione
sintetica del problema. Viene presa in considerazione una vettura con le
caratteristiche seguenti:
massa m = 1400 kg al 58% sull’anteriore, passo l = 2600 mm, altezza baricentro
hCG = 450 mm
Le tratteggiate a 45° sono i luoghi dei punti corrispondenti alla decelerazione
massima:
FXA  FXP  m  a xMAX    mg
per valori di  pari a 1, 0.8 e 0.6.
Per  = 1 la ripartizione ottima vale RMAX = 0.33 (75.3% anteriore), che è la
pendenza della retta R_MAX(1).
P
grafico 1
Zona delle ripartizioni ammissibili
È possibile ottenere la condizione di frenata al limite solo quando entrambi gli
assi frenano al limite di aderenza, ad esempio nel punto P del grafico 1, che
però è ottenibile solo nelle ipotesi fatte.
Qualora cambino le condizioni di aderenza, oppure la ripartizione dei pesi e la
quota del baricentro (ad esempio con il veicolo a pieno carico), le condizioni
“ottime” non sono più verificate. Si traccia dunque la zona delle ripartizioni
ammissibili per indagare i casi più generici.
Si esprime la forza longitudinale posteriore come funzione di quella anteriore:
FXP    FZP    ( FZPs  FZ )    ( FZPs 
dalla (A) a x 
m  a x  hCG
)
l
FXA  FXP
m
sostituendo e raccogliendo FXP a sinistra si ha
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h


 FZPs  CG  FXA 
l

FXP  FXP _ LIM  f FXA     
hCG


 1  

l


che esprime la forza di frenata posteriore al limite di aderenza in funzione della
forza di frenata anteriore oltre che del coefficiente di attrito.
Nel punto P sul grafico si ha
FXA  FXA _ MAX
FXP _ LIM FXA _ MAX   FXP _ MAX
Mentre frenando solo con l’asse posteriore si ottiene il punto B nel grafico 2:
FXA  0

 F
ZPs
FXP _ LIM 0     
 1    hCG
l






B
P
A
grafico 2
La retta BP è dunque il limite superiore della zona delle ripartizioni ammissibili,
intersecando la quale si avrebbe bloccaggio delle ruote posteriori, con
conseguente perdita di stabilità.
In modo analogo è possibile esprimere la forza longitudinale anteriore in
funzione di quella posteriore:
h

 FZAs  CG  FXP
l
FXA  FXA _ LIM  f FXP     
hCG

 1  
l

Nel punto P si ha
FXP  FXP _ MAX






FXA _ LIM FXP _ MAX   FXA _ MAX
Mentre frenando solo con l’asse anteriore si ottiene il punto A nel grafico 2:
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FXP  0


 F

ZAs

FXA _ LIM 0     
hCG 

1  

l 

La retta AP chiude la zona delle ripartizioni ammissibili. Intersecandola si
avrebbe bloccaggio delle ruote anteriori, con conseguente perdita di
direzionalità, situazione da evitare ma -come già scritto- considerata meno
grave della perdita di stabilità.
Effetto del carico
Ipotizzando di caricare 300 kg di bagaglio interamente sull’asse posteriore della
vettura la ripartizione della massa passa da 58% a 44%. La ripartizione ottima
RMAX passa da 0.33 (75.3% anteriore) a 0.62 (61.7% anteriore), e la zona delle
ripartizioni ammissibili cambia come in grafico 3:
grafico 3
grafico 4
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Effetto del coefficiente di aderenza
Ripartizione ottima e zona delle ripartizioni ammissibili dipendono fortemente
anche dal livello di aderenza o grip. Un coefficiente di attrito inferiore riduce la
decelerazione massima ottenibile in proporzione, ma richiederebbe anche una
RMAX spostata verso il posteriore, a causa del minor trasferimento di carico
longitudinale FZ, vedere grafico 4.
Ne consegue che la ripartizione di frenata va scelta in base alla ripartizione
ottima in condizioni di
 vettura scarica
 grip elevato
perché scostandosi da queste condizioni sarà l’asse anteriore ad arrivare prima
al bloccaggio, allontanando il rischio di instabilità durante un panic stop o
frenata al limite di aderenza. Chiaramente ciò si ottiene a spese della
performance massima di frenata in condizioni non “ottime”.
Case study: impianto frenante “racing”
L’impianto frenante tipico di una vettura da competizione si contraddistingue
per due caratteristiche principali: l’assenza di servofreno (pesante ed
ingombrante) e la ripartizione di frenata regolabile da parte del pilota, cosa che
rende possibile l’adattamento di R alle condizioni atmosferiche, allo stato degli
pneumatici e più in generale alle condizioni di aderenza disponibile.
Il pedale amplifica la forza impressa dal pilota grazie al braccio di leva, ed
aziona due pompe freno (cilindri idraulici a stantuffo o master cylinders)
tramite un bilanciere regolabile dal posto di guida con un sistema realizzato con
un cavo Bowden a torsione ed una manopola. Le pompe comandano due circuiti
separati, uno per l’asse anteriore ed uno per il posteriore. Spostando di fatto il
bilanciere rispetto al proprio perno (che rimane solidale con il pedale) viene
modificata la proporzione tra i bracci di leva agenti sulle pompe e dunque la
ripartizione della forza. A valle di questo semplice sistema meccanico sarà poi
l’idraulica a controllare la forza normale scambiata tra ciascun disco freno e le
relative pastiglie. Nell’ordine:
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forza agente sul perno del bilanciere: FBIL  FPILOTA 
forze sui master cylinders: FMC _ A  FBIL 
pressioni nei circuiti ant. e post.: PA 
p
bBIL
d
cd
FMC _ P  FBIL 
FMC _ A
PP 
AMC _ A
c
cd
FMC _ P
AMC _ P
Prendendo poi in considerazione il solo asse anteriore, la forza normale
scambiata tra la singola pastiglia e il disco è
FPAD  PA  APISTON _ A  FMC _ A 
APISTON _ A
AMC _ A
Ove APISTON_A è la superficie totale del pistone o dei pistoni che premono sulla
pastiglia in un lato della pinza freno anteriore. Il coefficiente di attrito dinamico
all’interfaccia tra disco e pastigliaPAD dipende fortemente dalla temperatura e
anche dalla velocità relativa, che a sua volta varia lungo il raggio della
superficie di contatto. Per gli accoppiamenti tra disco freno inox di tipo
motociclistico e pastiglia con mescola “racing” i produttori comunque
dichiarano un coefficiente di attrito medio
 PAD  0.4  0.5
Il momento frenante esercitato dalla coppia di pastiglie sul disco sarà
proporzionale alla forza tangenziale applicata al disco ed al raggio efficace di
azione della pastiglia, spesso considerato pari al raggio medio della fascia
frenante:
M DISC  2 FPAD   PAD  reff
Variazione della velocità relativa sulla fascia frenante e raggio efficace
La forza frenante complessiva sull’assale sarà
FXA  2 
M DISC
r
Da cui è evidente che la ripartizione di frenata effettiva
R  FXP / FXA
dipende dalla geometria del sistema, dal rapporto idraulico
RHYDR 
APISTON
AMC
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per ogni asse, dal coefficiente di attrito dinamico disco/pastiglia e infine dai
bracci delle pompe freno c e d, dunque dalla posizione del bilanciere, in genere
ampiamente regolabile dal pilota.
Pinza anteriore con 4 pistoni 24 mm, vettura FSAE Brixia2
Master cylinder, in questo caso con sensore di corsa integrato
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