Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
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Una sistemazione superficiale (spianamento) è l’insieme delle
operazioni di movimento di masse terrose necessarie per
trasformare la superficie fisica di un terreno in una superficie piana,
orizzontale o inclinata.
Il piano che si ricava dalla trasformazione superficiale del terreno viene
detto piano di progetto; la sua giacitura spaziale può essere:
al disotto del terreno (spianamento con sterri);
al disopra del terreno (spianamento con riporti);
parte al disopra e parte al disotto del terreno (spianamento misto).
Nel caso di spianamenti misti, in relazioni ai volumi delle masse
terrose coinvolte, si hanno:
spianamenti di compenso (uguaglianza tra i volumi delle masse di
sterro e di riporto);
spianamenti con piano assegnato (senza uguaglianza tra i volumi
delle masse di sterro e di riporto).
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3
Gli
spianamenti
riguardano
piccole
porzioni
di
territorio,
pertanto la rappresentazione per il
loro studio è, in generale, il piano
quotato.
Il volume dello spianamento è
quello del solido compreso tra il
terreno e il piano di progetto.
La quota del piano di progetto in
corrispondenza
della
verticale
condotta da un punto A del terreno
è definita quota di progetto dello
stesso punto (QPA)
qA
A
QAT
QAP
La differenza tra la quota di
progetto (QPA) di un punto A, e la
corrispondente quota del terreno
(QTA) è detta quota rossa del
punto A (qA):
qA  QAP  QAT
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4
Il calcolo dei volumi delle masse interessate a uno spianamento,
studiato su un piano quotato, deve seguire la sequenza delle
seguenti fasi temporali:
1. Definizione del piano di progetto.
2. Calcolo delle quote di progetto di ciascun punto del terreno.
3. Calcolo delle quote rosse di ciascun punto del terreno (spigoli dei prismi
individuati dal piano quotato).
4. Definizione dei punti di passaggio (di quota rossa nulla) in
corrispondenza dei lati del piano quotato che agli estremi presentano
quote rosse di segno opposto.
5. Definizione delle linee di passaggio come collegamento dei punti di
passaggio appartenenti alla stessa falda.
6. Calcolo delle aree delle sezioni normali triangolari in corrispondenza di
ciascun prisma individuato.
7. Calcolo dei volumi con la formula del prisma a sezione triangolare,
tenendo separati quelli di sterro da quelli di riporto.
Negli spianamenti tutti in sterro o tutti in riporto non saranno effettuate le fasi
connesse alla ricerca dei punti e delle linee di passaggio.
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5
Quando si studia uno spianamento su un piano quotato, si immagina
di conoscere, o comunque di poter calcolare, tutti gli elementi planoaltimetrici del terreno.
E’
A’
C’
D’
B’
Q
T
B
Q
Q
Vista planimetrica
A
d
T
E
a
S3
T
C
b
QDT
A
g
B
S2
e
C
D
c
S1
E
B
E
f
C
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D
6
Il piano di progetto orizzontale costituisce di fatto una
semplificazione del problema degli spianamenti, in quanto tutti i punti
del terreno presentano la stessa quota di progetto QP (tanto che si
parla impropriamente di quota del piano di progetto).
E’
A’
E’
A’
C’
C’
D’
B’
Q
T
B
Q
T
C
Q
Q
B’
T
E
QP
T
D
QP
A
Q
P
C
QP
QP
E
E
B
qE
qD
qC
qB
D’
D
Q  Q  Q  Q  ......
P
P
A
P
B
P
C
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Piano di progetto
orizzontale
7
PROBLEMA: determinare i volumi connessi allo spianamento orizzontale posizionato alla QP=10 m.
QET  22
QAT  17
Quote del terreno
A (17)
QCT  16
Q  12
T
B
Q P  10
QDT  14
(22)
E
S3
A
(12)
E
B
C
D
S1
S2
B
C (16)
D (14)
VOLUME DELLO SPIANAMENTO
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8
Calcolo delle quote rosse (q=QP–QT):
QET  22
QAT  17
Quote del terreno e quote rosse
qA=–7
qE=–12
(–12)
Q P  10
qC=–6
(22)
qD=–4
qB=–2
E
S3
QCT  16
QDT  14
QBT  12
(–2)
A
(12)
E
B
A (17) (–7)
C
D
S1
S2
B
C (16) (–6)
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D (14) (–4)
9
Calcolo dei volumi:
V1sterro  S1 
V2sterro  S 2 
A (17) (7)
(12)
(22)
V3sterro  S3 
qA  qB  qC
3
qA  qC  qD
3
q A  qD  q E
E
3
 S1 
726
3
 S2 
764
3
 S3 
7  4  12
3
S3
(2)
(12)
B
S1
S2
C (16) (6)
D (14) (4)
sterro
VTOT
 V1sterro  V2sterro  V3sterro
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10
PROBLEMA: determinare i volumi connessi allo spianamento orizzontale posizionato alla QP=15 m.
Q P  15
Quote del terreno
A (17)
(22)
QAT  17
QBT  12
Q  22
(12)
E
C
S3
QDT  14
QCT  16
A
B
E
T
E
D
S1
S2
B
C (16)
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D (14)
11
Calcolo delle quote rosse (q=QP–QT).
Q P  15
Quote del terreno e quote rosse
qA=–2
qB=+3
qC=–1
QAT  17
QBT  12
E
Q  22
S3
(+3)
(12)
E
C
(22)
T
E
QDT  14
QCT  16
(–7)
qD=+1
A
B
A (17) (–2)
qE=–7
D
S1
S2
B
C (16) (–1)
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D (14) (+1)
12
Calcolo dei punti di passaggio (q=0, sui lati con estremi di quote
rosse di segno opposto) e delle linee di passaggio.
AB
–2
B
x

2
1
x
1
A
3

2
Quote del terreno e quote rosse
+3
A (17) (–2)
B
x1
x2
+3
(–7)
(22)
(0)
x3
E
(0)
x5
(+3)
(12)
D
+1
D
+1
(0) x
2
C
(16)
(–1)
x4 (0)
D
(14)
(+1)
x2 
BC
1
3 1
–2
x3 
AD
2
1 2
x4 
CD
1
11
x5 
ED
7
7 1
x3
A
x4
–1
C
(0)
B
–1
C
–7
D
+1
x5
E
Le linee di passaggio uniscono punti
di passaggio appartenenti alla stessa
falda.
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13
Calcolo dei
triangolare).
volumi
(individuando
prismi
omogenei
a
sezione
Volumi di riporto
V1R 
A (17) (–2)
x3
B
S’’3
S’1
S’3
S’’’1
(0) x
2
C
(16)
(–1)
S’’2
S’2
x4 (0)
1  0  0 ''
 S2
3
V3R 
1  0  0 '''
 S3
3
Volumi di sterro
E
(0)
S’’’2
(+3)
(12)
(–7)
(22)
S’’’3
S’’1
V2R 
R
VTOT
 V1R  V2R  V3R
x1
(0)
3 0 0 '
 S1
3
D
V1S 
2  1  0 ''
 S1
3
V2S 
1  0  0 '' '
 S2
3
V3S 
1  0  0 ''
 S2
3
V4S 
2  1  0 '''
 S2
3
V5S 
1  0  0 ''
 S3
3
V6S 
2  7  0 '''
 S3
3
x5
(0)
S
VTOT
 V1S  V2S  V3S  ... V6S
(14)
(+1)
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14
Negli spianamenti di compenso i volumi di sterro devono eguagliare quelli di
riporto. Perché ciò avvenga è necessario che il piano orizzontale sia collocato a
una altezza ben definita.
Per determinare la quota di progetto
a cui collocare il piano orizzontale,
affinché si realizzi il compenso tra sterri e
riporti, è necessario utilizzare un piano
orizzontale di riferimento collocato a una
quota arbitraria QRIF più bassa rispetto a
quelle dei punti del terreno in modo che,
rispetto a questo piano, vi sia un volume
VRIF solo di sterro.
È poi necessario determinare questo
volume VRIF rispetto al piano arbitrario
scelto come riferimento. Esso viene
calcolato
come volume relativo a uno
spianamento a quota assegnata, ed è
fornito dalla somma dei volumi dei singoli
prismi a sezione triangolare:
QP
Q RIF
V RIF  V1  V2  V3  ...
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15
Successivamente viene calcolato di
quanto
occorre
spostare
il
piano
arbitrario di riferimento per ottenere il
piano orizzontale che genera compenso
tra sterro e riporto. Indicando con h tale
quantità e con STOT l’area complessiva del
terreno (STOT=S1+S2+S3…), considerando
poi che il solido che si viene a creare ha le
basi orizzontali e parallele, si ha:
h
V RIF
STOT
QP
Q RIF
h
La quota di progetto QP a cui collocare
il piano orizzontale di compenso sarà:
Q P  Q RIF  h
S1
S2
S3
A questo punto si procede come illustrato
in precedenza per gli spianamenti a
quota assegnata (in questo caso QP).
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16
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Quando dalla sistemazione superficiale del terreno si ricava un piano
inclinato si è nell’ambito di spianamenti in cui il piano di progetto è
un piano inclinato.
La procedura di calcolo degli spianamenti inclinati si discosta da quella vista
per gli spianamenti orizzontali per la sola (ma significativa) seguente
differenza:
negli spianamenti orizzontali tutti i punti del terreno (piano quotato)
hanno la stessa quota di progetto QP;
negli spianamenti inclinati, invece, a ogni punto del terreno K corrisponde
una diversa quota di progetto QKP, che pertanto deve essere calcolata per
ciascun punto del terreno.
Per tutti gli altri aspetti (calcolo quote rosse, punti e linee di passaggio, calcolo
dei volumi) la procedura è analoga a quella degli spianamenti orizzontali.
In questo ambito, l’identificazione dei piani inclinati nello spazio avverrà con i
parametri della retta di massima pendenza dei piani stessi. Tale tecnica non
è la più efficiente, tuttavia non richiede la conoscenza della geometria
analitica dello spazio, e si adatta bene a problemi su piani quotati con un
limitato numero di falde triangolari.
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18
Nel nostro contesto il modo più conveniente di assegnare un piano è quello
di definire tre punti appartenenti a questo piano. Nella pratica sul terreno
vengono individuati tre punti su cui fare passare il piano di progetto, che
successivamente verranno rilevati ottenendo le relative coordinate spaziali.
Immaginiamo di dover spianare il piano quotato ABCDE costituito da tre
falde triangolari, con un piano inclinato di progetto passante per i punti i tre
punti ACD (dunque coincidente con la falda ACD).
QBT  30
QCT  20
QDT  18
QET  4
C
Q AT  10
D
E
B
A
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Il primo passo per lo studio dello spianamento è quello di determinare i
parametri della retta di massima pendenza del piano di progetto ACD,
necessari per poter calcolare le quote di progetto dei punti del terreno.
Essa è una retta perpendicolare a una orizzontale; nel nostro caso
possiamo utilizzare come orizzontale la congiungente i due punti a quota 18,
cioè il punto D e il punto H sul lato opposto AC.
QBT  30
Q  Q  20
T
C
T
C
Retta di massima
pendenza di ACD
QDT  QDP  18
QET  4
C
H
QAT  QAP  10
B
D
E
A
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20
La posizione del punto H su AC di quota 18, che con D forma l’orizzontale
HD di quota 18, può essere ottenuta sia per via grafica che analitica.
Tracciando la perpendicolare a HD dal punto A otteniamo una delle rette di
massima pendenza del piano ACD. Per il calcolo della sua pendenza pmax, è
necessario ricavare l’angolo φ dal triangolo risolvibile ADH.
QCT  QCP  20
C
2
QDT  QDP  18
QHT  18
Q  30
T
B
H
AH 
AC
8
82
p AC 
QC  Q A
AC
D
φ
orizzontale
B
S1
pmax 

S2
p AC
sen
E
QET  4
8
A
QAT  QAP  10
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21
Dato che il piano assegnato deve passare per i punti ACD, le quote di
progetto per questi punti coincidono con le quote del terreno.
Per calcolare le quote di progetto dei restanti punti B e E, è necessario
tracciare da questi punti le perpendicolari alla retta di massima pendenza
(cioè le orizzontali), quindi ottenere le distanze che i piedi delle perpendicolari
formano con l’origine AT della
retta di massima pendenza.
P
QC  QC  20
C
QDT  QDP  18
pmax
D
QBT  30
B
A’
QBP  14
AA"  AE  cos"
QEP  Q AP"  Q AP  AA" pmax
Es. 12 m
A”
AA'  AB  cos '
QBP  QAP'  QAP  AA' pmax
Es. 14 m
’
”
A
QAT  QAP  10
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E
QET  4
QEP  12
22
Le quote rosse nei vertici ACD, naturalmente, sono nulle.
Le quote rosse nei vertici B e E vengono calcolate dalla differenza tra le
quote di progetto e le quote del terreno. Non essendoci punti di passaggio oltre
a quelli che definiscono il piano di progetto, esse consentono di calcolare i
volumi di sterro e di riporto:
qB  QBP  QBT ; qE  QEP  QET
QBT  30
qC  0
QCT  QCT  20
qD  0
QDT  QDP  18
qB  16
QEP  12
qE  8
QBP  14
C
D
QET  4
B
VOLUME DI STERRO
qA  0
AQ
T
A
 Q  10
VOLUME DI RIPORTO
E
P
A
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In questo esempio il volume di sterro è costituito dal solo prisma ABC;
analogamente quello di riporto dal solo prisma ADE.
Per il loro calcolo, dopo aver ottenuto le aree della sezione retta con normali
operazioni planimetriche sui triangoli ABC e ADE, si applica direttamente la
formula del prisma a base triangolare.
QCT  QCP  20
(0)
C
QDT  QDP  18
D (0)
Q  14
Q  30
P
B
T
B
V R  S2 
B
(–16)
800
3
S1
S2
(+8)
E
16  0  0
V  S1 
3
S
QET  4
(0)
A
QAT  QAP  10
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QEP  12
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Negli spianamenti inclinati di compenso la procedura ricalca esattamente
quella adottata nell’ambito degli spianamenti con piani orizzontali. Ricordiamo
brevemente i passaggi fondamentali.
Determinazione dei parametri del piano inclinato di progetto (posizione e
pendenza della retta di massima pendenza).
Adozione di un piano di riferimento, parallelo a quello di progetto, collocato
in un certo punto K e a una quota arbitraria QKRIF. A questo proposito occorre
considerare che (come per le quote di progetto) le quote su questo piano
variano in ogni punto, pertanto la quota QKRIF andrà scelta sufficientemente
bassa da rendere tutte le quote rosse relative a questo piano negative.
È poi necessario determinare il volume VRIF rispetto al piano arbitrario scelto
come riferimento. Esso viene calcolato come volume relativo a uno
spianamento a quota assegnata, ed è fornito dalla somma dei volumi dei
singoli prismi a sezione triangolare:
V RIF  V1  V2  V3  .......
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Successivamente viene calcolato di quanto occorre TRASLARE
parallelamente a se stesso il piano arbitrario di riferimento, per ottenere il
piano che genera compenso tra sterro e riporto. Indicando con h tale quantità
e con STOT l’area complessiva del terreno (STOT=S1+S2+S3…), si ha:
h
V RIF
STOT
La quota di progetto QiP, che i generici punti i assumeranno sul piano
inclinato di compenso, sarà:
QiP  QiRIF  h
A questo punto si procede come illustrato in precedenza sia per gli
spianamenti inclinati che per quelli orizzontali, determinando prima le quote
rosse, quindi i punti e le linee di passaggio, e infine i volumi dello
spianamento.
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