SISTEMI LINEARI MDOF ANALISI DINAMICA In generale, i sistemi strutturali reali sono caratterizzati da massa distribuita, ma sono modellabili come sistemi a masse concentrate, solitamente con molti gradi di libertà. Es.: Modello a masse concentrate, nel piano, 3 gdl per ogni massa Modelli particolarmente semplici: 1 gdl per ogni massa RISPOSTA DEI SISTEMI LINEARI ALL'ECCITAZIONE SISMICA Nel caso in cui la struttura MDOF sia soggetta ad un'azione alla base, nota ad esempio come andamento dell'accelerazione del terreno nel tempo xG t , le equazioni del moto possono essere scritte: m qt c q t k q t m T xG t Per i sistemi lineari, se le condizioni di ortogonalità possono applicarsi anche alla matrice di smorzamento, può essere applicata l'analisi modale. Si perviene ad n equazioni disaccoppiate, ciascuna per ciascun modo, aventi la forma: u i T m u i i t u i T c u i i t u i T k u i i t u i T m T xG t M ii t C i i t K i i t Li xG t in cui M i ui m ui T Ci ui c ui 2 i i M i T K i ui k ui i2 M i T T Pi t Li xG t ui m T xG t sono rispettivamente massa, smorzamento, rigidezza e carico generalizzati associati al modo i. Le precedenti possono scriversi: i t 2 i i i t i2 i t g i xG t in cui: T u i m T Li gi u i T mu i M i COEFFICIENTE DI PARTECIPAZIONE DEL MODO i-ESIMO e possono essere risolte, ciascuna indipendentemente, con i metodi noti per i sistemi SDOF. In particolare, l'analisi sismica comporta la soluzione delle equaz. del moto nel tempo (time history), quindi richiede la valutazione degli integrali di Duhamel per ciascun modo significativo e per ciascun istante. ANALISI CON SPETTRO DI RISPOSTA Per ridurre l'onere dei calcoli connessi con l'analisi time-history, spesso, ai fini della progettazione, si ricorre alla soluzione tramite gli spettri di risposta, in genere in termini di accelerazione. Per ciascun modo di vibrare della struttura, la risposta massima può essere ottenuta direttamente dallo spettro di risposta come descritto per i sistemi SDOF. Per esempio: i ,max Li S a Ti , i Mi dove Sa(Ti,i) è l'accelerazione spettrale per l'i-esimo modo (funzione del periodo e del coefficiente di smorzamento corrispondenti); pertanto, se i valori max dei contributi di tutti i modi si verificano nello stesso istante, la risposta massima in termini di accelerazione (assoluta) risulta: n qr ,max u r( i ) i 1 Li S a Ti , i Mi e la forza massima: f r ,max f r ,i max n i 1 Poiché è abbastanza improbabile che i valori massimi si verifichino contemporaneamente e tutti con lo stesso segno (se i modi di vibrare hanno frequenze abbastanza diverse fra loro sono in generale sfasati), è più opportuno determinare la risposta massima attraverso combinazioni probabilistiche. Il metodo più diffuso è quello della combinazione mediante radice della somma dei quadrati (SRSS); la massima accelerazione totale è approssimata da: ( i ) Li u r S a Ti , i Mi i 1 n qr ,max 2 Con lo stesso criterio si possono calcolare tutte le grandezze che dipendono linearmente da q. n Così le forze d'inerzia: f r ,max f ri,max 2 i 1 ed il taglio alla base: Y0,max Y n i 1 2 0 ,i max in cui: Y 0 ,i max L2i S a Ti , i Mi Il massimo valore del taglio alla base non è semplicemente la somma delle massime forze ai piani perché queste non sono concorrenti. SISTEMI ELASTICI A TELAIO IPOTESI DI BASE DELLA MODELLAZIONE masse concentrate in un numero finito di punti strutture con un numero finito di gradi di libertà spesso, almeno nei sistemi elastici, la deformazione assiale delle aste è trascurabile, rispetto a quella flessionale nella ipotesi di piccoli spostamenti e di comportamento lineare elastico del materiale, vale il principio di sovrapposizione degli effetti; pertanto, lo stato di deformazione del telaio conseguente ai carichi applicati può essere considerato come somma di una deformazione “locale” delle varie aste considerate perfettamente incastrate e di una deformazione “nodale”, costituita da traslazioni e rotazioni dei nodi. esempio: la deformazione totale può essere vista come somma della deformazione locale (schema a) e delle deformazioni legate alle rotazioni dei nodi (schemi b e c) e alla traslazione del piano (schema d). 2 2 La deformazione locale è facilmente determinabile in quanto ogni asta è perfettamente incastrata; così come le deformazioni legate a rotazioni e spostamenti unitari; lo studio del sistema consiste perciò nella determinazione dello stato di deformazione nodale, cioè delle rotazioni e spostamenti nodali, che risultano quindi le effettive incognite del problema. 7 Nelle ipotesi di cui sopra (masse concentrate a livello dei nodi, deformazione assiale trascurabile) un modello rappresentativo di telaio piano è, ad esempio, un modello in cui le coordinate incognite sono le rotazioni dei nodi e gli spostamenti di piano. 8 9 5 4 1 6 82 3 Talvolta, nei telai è accettabile anche l’ipotesi di traversi infinitamente rigidi rispetto ai pilastri. In tal caso il modello si semplifica ulteriormente essendo i nodi impediti di ruotare: le coordinate incognite si riducono, nel caso dell’esempio, ai 3 spostamenti dei piani. L’analisi dinamica di un modello siffatto viene condotta secondo le linee generali per le strutture ad n gradi di libertà. In generale, per un telaio ad n piani, nel sistema di equazioni differenziali: mqt cq t k qt Qt si ha: 1 qt 2 ... n vettore degli spostamenti dei piani ANALISI SISMICA Infine, nel caso di analisi sismica della struttura a telaio piano, nel sistema: mqt cq t k qt mTx G t 1 1 T ... 1 si ha: L’analisi modale conduce alla scrittura di n equazioni disaccoppiate del tipo: i t 2 i ii t i2 i t g i xG t n in cui: gi m u r 1 n r (i ) r mr u r(i ) r 1 2 La soluzione di tali equazioni permette di determinare le forze elastiche relative a ciascun piano: n f p t f p,i t i 1 in cui: f t mu g V t p ,i i i i i f p ,i t m p u pi g i iVi t fp,i(t) può essere visto come il contributo fornito da ciascun modo alla forza di piano. Attraverso i metodi statici, per ciascun istante t, si può poi valutare qualsiasi forza risultante. Per esempio, il taglio alla base in un generico telaio a traversi rigidi, e ad N piani (numero dei gradi di libertà n = numero dei piani N) è dato dalla somma delle forze ai piani, cioè: L T T 0 t f p t 1 f p t 1 mu i iVi t p 1 Mi N Poiché per questo caso si ha T 1 , risulta: L u T m1 LT 1T mu e la precedente può essere scritta: 0 t L T La quantità L2i Mi L i iVi t M i N 2 Li 0 t iVi t i 1 M i ha le dimensioni di una massa e viene chiamata massa modale efficace relativa al modo i-esimo, perché può essere interpretata come la quota parte della massa totale che risponde al terremoto secondo il modo i-esimo, (questa interpretazione è valida a rigore solo per strutture con masse concentrate lungo un asse verticale). Quindi il contributo di ciascun modo al taglio alla base può essere visto come la reazione della massa modale efficace alla accelerazione modale efficace del terreno iVi t . Per semplificare l'analisi della risposta al terremoto, può essere lecito tenere conto solo dei primi Z modi di vibrare (Z<N), che sono quelli che danno il maggior contributo alla vibrazione totale e che di solito sono anche quelli meno smorzati. Per giudicare se l'approssimazione introdotta tenendo conto di un numero limitato di modi è accettabile, di solito si confronta il contributo al taglio alla base fornito dai modi considerati, rispetto al taglio che si otterrebbe considerando tutti i modi. Se si considerano solo i primi Z modi di vibrare, tale valore è pari al rapporto della somma delle masse modali efficaci relative agli Z modi considerati rispetto alla stessa somma estesa a tutti gli N modi: L2n n 1 M n Z L2n n 1 M n N Si dimostra che, per strutture con masse concentrate lungo un asse verticale, la somma di tutte le masse modali efficaci è uguale alla massa totale: L2n MT n 1 M n N Perciò si può scrivere: Z L2n L2n n 1 M n n 1 M n N MT L2n n 1 M n Z Utilizzando tale espressione, si può quindi valutare la quota del taglio totale che si prende in conto quando si limiti l’analisi ai primi Z modi di vibrare. ANALISI MODALE CON SPETTRO DI RISPOSTA Per l’esempio considerato, l’analisi modale con spettro di risposta porta ai seguenti risultati. • in termini di coordinate generalizzate: 1,max g1 S a T1 , 1 2,max g 2 S a T2 , 2 3,max g 3 S a T3 , 3 • in termini di accelerazioni: q1,max q2,max q3,max • in termini di forze di piano: u u u (1) 1 (1) 2 (1) 3 g S T , u g S T , u u u g S T , g S T , g1 S a T1 , 1 u1( 2 ) g 2 S a T2 , 2 u1( 3) g 3 S a T3 , 3 2 2 1 a 1 1 2 1 a 1 1 2 ( 2) 2 g 2 S a T2 , 2 ( 2) 3 g 2 S a T2 , 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 3 2 2 3 a 3 3 2 3 a 3 3 f1,max m1 q1,max f 2,max m2 q2,max f 3,max m3 q3,max • in termini di taglio alla base: 2 Y0,max 2 L1 2 L2 2 L3 2 S a T1 , 1 S a T2 , 2 S a T3 , 3 M1 M2 M3 2 ANALISI STATICA LINEARE In condizioni molto particolari, l'analisi sismica di una struttura intelaiata può essere condotta senza effettuare l'analisi dinamica, ma semplicemente effettuando una analisi statica con forze orizzontali applicate ai piani. Supponiamo di considerare solo la prima forma modale e che questa sia lineare con l'altezza (ciò è abbastanza ben approssimato per edifici a telai molto regolari in pianta ed in altezza); allora: 1 hn ui ui hi hi hn n i t 2 i i i t i2 i t g i xG t gi m u r 1 n r (i ) r mr u r(i ) r 1 2 1 t 121 t m1u1 m 2 u 2 m3 u 3 3 m u i 1 1,max hn i m h m h xG hn 2 i i i 2 m1 h1 m 2 h2 m3 h3 m1 h1 m 2 h2 m3 h3 2 2 2 xG hn m h m h i i 2 i i xG Sa i i xi ,max ui1,max mi hi mi hi hi hn S a hi Sa 2 2 hn m h m h ii ii Le forze di piano valgono: 1x m h S m h m h S h m h m h S h m h f1,max m1x u1x 1x ,max f1,max m1 h1 hn hn f 2,max m2 x u 21xx 1x ,max f 2,max m2 f 3,max m3 x u 31xx 1x ,max h1 hn f 3,max m3 h1 hn f i ,max mh mh m h j i i j j j 2 Sa i i 2 i i a n i i 2 i i a n i i 2 i i a m h S m h m h S m h m h m h S mh m h m1h1 i i 2 i i a 2 2 i i 2 i i a 3 3 i i 2 i i a ANALISI STATICA SECONDO LA NORMATIVA In particolari condizioni, l'analisi sismica può essere condotta per via statica applicando ad ogni piano dell'edificio forze orizzontali valutate attraverso le seguenti formule: Fi Fh ziWi z W j j Fh S d T1 Wl g Fi è la forza da applicare al piano i-esimo Wi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamente zi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioni Sd(T1) è l'ordinata dello spettro di progetto T1 può essere valutato in modo approssimato W è il peso complessivo della costruzione l è un coefficiente che tiene conto del numero dei piani e del periodo proprio In definitiva, tali espressioni risultano simili alle espressioni trovate e, rispetto a queste ultime, forniscono valori più elevati per le forze di piano: Wi Fi zi g W S d T1 l z jW j f i ,max mi hi m h m h j j j j 2 Sa L'analisi statica costituisce uno strumento molto efficace per effettuare un predimensionamento della struttura e per il controllo dei risultati forniti dall'analisi eseguita con i codici di calcolo. • La struttura tridimensionale può essere scomposta in telai piani. • Per ciascun telaio piano viene effettuata l'analisi dei carichi verticali secondo il criterio delle zone di competenza. • In base ai pesi di piano calcolati, si valutano le forze sismiche di piano. • La somma delle forze di piano fornisce il taglio totale alla base. • Con procedimenti approssimati, si possono stimare le sollecitazioni sforzo normale, taglio e momento flettente negli elementi strutturali (travi e pilastri) e le forze trasmesse alle fondazioni. PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE Metodi approssimati per carichi verticali Per i carichi verticali, i telai possono essere considerati a nodi fissi. Ogni trave può essere analizzata come trave continua, incastrata o semiincastrata ai pilastri di riva e appoggiata a quelli interni. I pilastri, salvo quelli di riva, possono essere considerati soggetti solo a sforzo normale. Metodi approssimati per azioni orizzontali Si valutano le forze di piano secondo l'analisi statica; la ripartizione fra i telai può essere fatta secondo le aree di competenza. Si può pensare che le travi abbiano rigidezza molto maggiore rispetto alla rigidezza laterale dei pilastri. Perciò le travi rimangono rettilinee e la deformata del telaio è del tipo taglio. Per ciascun telaio si valuta il taglio a ciascun piano. FN Fi F1 T Il taglio a ciascun piano si ripartisce fra i pilastri proporzionalmente alle rigidezze flessionali. FN Fi T1 Ti Tn Jn Tn T Ji T n*h/2 Il diagramma del momento flettente su ciascun pilastro sarà antisimmetrico perché la deformata è antisimmetrica. Sempre in via approssimata, si possono calcolare i tagli alle basi dei pilastri, utili per verificare l'output del calcolo automatico.