Esame di Stato 2007/2008
Liceo Scientifico Aldo Moro,
Rivarolo Cse
Pastore Erica
«La successione di Fibonacci
e la Sezione Aurea.»
Φ
La Successione di Fibonacci
Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci,
matematico italiano, dopo
avere assimilato durante
numerosi viaggi le
conoscenze matematiche
del mondo arabo, pubblicò
intorno al 1202 la sua opera
fondamentale, il Liber
abaci, con cui si propose di
diffondere nel mondo
scientifico occidentale le
regole di calcolo note agli
Arabi, ovvero il sistema
decimale ad oggi in uso in
Europa.
Quante coppie di conigli discendono in
un anno da una coppia?
«Un tale mise una coppia di
conigli in un luogo
completamente circondato da
un muro, per scoprire quante
coppie di conigli
discendessero da questa in un
anno: per natura le coppie di
conigli generano ogni mese
un'altra coppia e cominciano
a procreare a partire dal
secondo mese dalla nascita.»
Liber Abaci
Risoluzione del problema
Fibonacci risolse questo problema con una successione che
prevedeva che le coppie generate ogni mese fossero la somma
di quelle generate nei due mesi precedenti:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Cos’è una Successione?
In matematica, una Successione è un elenco
ordinato di un numero infinito di oggetti, detti
termini della successione, tra i quali è possibile
distinguere un primo, un secondo, un terzo e in
generale un n-mo termine per ogni intero n. A
differenza di quanto avviene per gli insiemi, per
una successione è rilevante l'ordine in cui gli
oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può
comparire più volte.
Formalmente, una Successione viene definita come
una funzione che associa a un numero Naturale n
un numero Reale an.
Rappresentando la Successione sul Piano
Cartesiano, non si ottiene una curva ma un insieme
discreto di punti.
La successione di Fibonacci
an = an-1 + an-2 con n > 1
Fn = 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, 1597, 2584, 4181,
6765, 10946, 17711, 28657,
46368, 75025, 121393...
In particolare, la successione
di Fibonacci è una
successione di numeri interi
definiti dalla coppia 1,1 in
cui l’elemento successivo è
dato dalla somma dei due
precedenti.
Successioni di questo tipo, in
cui ogni termine è definito
come una certa funzione dei
termini precedenti, sono
chiamate successioni
ricorrenti o ricorsive.
Proprietà della Successione
I numeri di Fibonacci godono di una stupefacente gamma di proprietà di
grande interesse:
• Qualsiasi numero della successione e quello che lo precede sono primi
tra loro, ossia non hanno fattori primi comuni.
• Dividendo qualunque numero per il secondo che lo precede nella
sequenza, si ottiene sempre 2 come risultato e come resto il numero
immediatamente precedente il divisore.
an / an-2 = 2 con il resto di an-3
• la somma di tutti i numeri di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è
uguale al numero di Fibonacci situato due posti avanti.
a1+ a2 + a3 + 1 = a5 ovvero 1 + 1 + 2 + 1= 5
• la somma dei quadrati dei numeri della successione, fino ad un punto
qualsiasi, è uguale all’ultimo numero considerato moltiplicato per il
successivo
Proprietà fondamentale
Certamente la proprietà principale e più utile nelle
scienze è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1, al tendere di
n all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale
chiamato numero di Fidia e definito cn la lettera greca Φ.
Applicazioni della Successione di Fibonacci:
MATEMATICA
In matematica, si noti come la successione di Fibonacci sia
strettamente legata al triangolo di Pascal.
Questo triangolo è un metodo, o meglio una costruzione, per
ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo
del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Considerando le diagonali ascendenti, ovvero quelle linee ottenute
spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra, la
somma dei numeri su queste righe è un numero di Fibonacci
Applicazioni della Successione di Fibonacci:
ECONOMIA
Un’applicazione moderna
nell’economia dei numeri di Fibonacci
si può riscontrare presso la borsa
azionistica di Milano. Prendendo
spunto da questa successione, uno dei
più grandi protagonisti della storia
della matematica, Ralph Elson Elliot
elaborò una precisa teoria di previsione
dei mercati finanziari con la quale in
tempi recenti sono stati anticipati i più
grandi rialzi e i più grandi crolli di
borsa. Usando le onde di Elliot, ossia
degli indici che studiano l’andamento
dei prezzi di un titolo, regolati secondo
questo matematico da un principio
naturale, ed i numeri di Fibonacci, il
docente universitario G. Migliorino ha
previsto con incredibile precisione il
punto minimo del drammatico ribasso
dell’estate ‘98.
Applicazioni della Successione di Fibonacci:
INFORMATICA
I numeri di Fibonacci sono
utilizzati inoltre nel sistema
informatico di molti computer.
In particolare vi è un complesso
meccanismo basato su tali
numeri, detto Fibonacci heap
che viene utilizzato nel
processore Pentium della Intel
per la risoluzione di algoritmi,
ossia dei procedimenti che
consentono di ottenere un
risultato atteso eseguendo, in un
determinato ordine, un insieme
di passi semplici corrispondenti
ad azioni scelte solitamente da
un insieme finito.
Rappresentazioni Artistiche della successione
La successione di Fibonacci è
considerata talmente importante
per la matematica e in generale per
la scienza da essere diventata
oggetto di opere d’arte. In Italia,
precismente a Torino,all’angolo tra
Via Montebello e Via Po, fino a
poco tempo fa alzando lo sguardo
verso la grande cupola della Mole
Antonelliana, si poteva ammirare,
ben fissata alle sue pareti dal
progettista Mario Merz, una serie
di grandi caratteri illuminati al
neon, reppresentanti la Successione
di Fibonacci.
La Sezione Aurea
Φ
« Il rapporto Aureo è una dimostrazione
meravigliosa del fatto che l’uomo
creatore e la natura si servono degli
stessi strumenti nel creare le forme per
arrivare alla bellezza.»
Proporzione estrema e media
AB : AC = AC : CB
La prima chiara definizione di questo rapporto fu formulata
tre secoli prima di Cristo, da uno dei padri della geometria:
Euclide, matematico greco vissuto ad Alessandria. In una sua
opera, Elementi (Stoichia), un trattato di tredici volumi sulla
geometria e sulla teoria dei numeri, è presente per la prima
volta il rapporto aureo, chiamato con il nome proporzione
estrema e media, all’interno del libro VI; egli si sofferma su
un particolare rapporto di lunghezze, ottenuto dividendo una
linea secondo la suddetta proporzione. Egli afferma:
«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la
proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla
parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.»
Rettangolo Aureo
Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore
e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a
sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato
generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una
volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal
rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, si otterrà
nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo,
si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma
tutti simili.
Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di
accostare in successione di quadrati che abbiamo per lati i valori
della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una
successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è
bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non
diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero
irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due
grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un
sottomultiplo comune.
Spirale logaritmica
La spirale logaritmica è caratterizzata dal
fatto che le distanze fra i bracci della spirale
aumentano secondo una progressione
geometrica; utilizzando i numeri di
Fibonacci, si può ottenere dunque un
particolare tipo di spirale logaritmica.
Riconsiderando il rettangolo aureo e la sua
suddivisione in figure minori e simili, è
possibile ottenere la creazione di questa
spirale: essa è generata da archi di
circonferenza che hanno come raggi i lati dei
quadrati costruiti sui lati minori. La spirale si
sviluppa intorno a un punto detto «occhio di
Dio», ossia il punto d’incontro tra le due
diagonali che si intersecano in ciascuna
coppia di rettangoli.
Manifestazioni della spirale in natura
La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale
nella fillotassi, ossia la disposizione delle foglie nel
gambo di fiori e piante.
Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami sul tronco
tendono a disporsi in modo tale da avere una massima
esposizione al sole: per questo motivo la loro successione
segue un andamento rotatorio e spiraliforme. Keplero,
luminare della scienza del XVI e XVII secolo, fu il primo
a scoprire intuitivamente il rapporto tra fillotassi e
numeri di Fibonacci; nei suoi scritti egli afferma: «E’ in
modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé
[allusione alla natura ricorsiva della successione di
Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà
di accrescimento.» In effetti analizzando le spirali
formate dalle foglie nei rami di alcuni organismi vegetali,
prima di completare un giro seguendo l’andamento
rotatorio si contano un numero di elementi appartenente
alla serie di Fibonacci.
Uno dei più evidenti esempi di fillotassi
basata sui numeri di Fibonacci è l’ananas.
Ognuna delle squame che rivestono questo
frutto appartiene a tre spirali diverse,
evidenziate in figura: una che sale da
sinistra verso destra ripidamente (verde),una
con angolazione minore sempre nella stessa
direzione (blu) e un’ultima da destra verso
sinistra (rossa). Le quantità di queste spirali
presenti coincidono con i numeri della
successione di Fibonacci.
Allo stesso modo, anche le squame delle
pigne e i semi del girasole sono disposte con
andamenti spiraliformi secondo la serie di
Fibonacci, in modo da essere
uniformemente sparsi su tutta la corolla e
non troppo ammassati al centro.
Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la
forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile vivente».
Questa definizione indica particolari tipi di organismi, animali o vegetali, con
caratteristiche morfologiche primitive e soggetti ad un processo evolutivo molto
lento: infatti si pensava che questo fossile si fosse estinto al termine del periodo
del Paleozolico, ma dal 1828 è stato osservato nuovamente in vita.
Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce camere
sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili perché troppo
piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in
proporzione,creando la particolare forma a spirale logaritmica e facendo in modo
di non mutare la forma del guscio.
Manifestazioni della spirale nell’Universo
La magia dei numeri di Fibonacci e del loro rapporto aureo non si limita a
“infiltrarsi” nella natura della Terra, ma va ben oltre il nostro mondo. La
spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri, è
riscontrabile nell’ Universo e dona la forma a certi tipi di galassie.
La galassia è un sistema legato gravitazionalmente costituito da stelle, gas
interstellare e polveri cosmiche; esse generalmente si dividono in tre tipi
principali: ellittiche (indicate con la lettera E nello schemadi Hubble),
spirali (S) e irregolari (non presenti nello schema).
Sono proprio le galassie a spirale a essere
caratterizzate dalla forma a spirale
logaritmica. Queste hanno la forma di un
disco, con un nucleo globulare (bulge) e
alcuni bracci a spirale che si avvolgono
attorno ad esso. Il tutto e' in rotazione
attorno all'asse con una velocita' angolare
che varia dal centro alla periferia.
Le galassie a spirali sono piuttosto
numerose, hanno masse comprese tra 1 e
100 miliardi di volte quella del Sole e
diametri tra i 70.000 e i 100.000 anni luce
in media.
Il contenuto di queste galassie e' piuttosto
disomogeneo: la densita' della materia
aumenta dalla periferia verso il centro.
Di questo tipo di galassia fanno parte anche
le spirali barrate, che si indicano con la
notazione SB seguita dalle lettere a, b o c.
Esse sono identiche alle precedenti, salvo
per il fatto che le braccia partono dalle
estremita' di una barra di stelle e gas che
attraversa diametralmente il bulge, anziche'
direttamente da questo. Le SB
rappresetnano circa il 30 % del totale delle
spirali.
La nostra Galassia e' una spirale di tipo
SBb nella classificazione di Hubble e
prende il nome di «Via Lattea».
Come galassia, la Via Lattea è una
gigante, con una massa compresa tra
750 e 1.000 miliardi di masse solari ed
un diametro di circa 100.000 anni luce.
Essa appartiene al Gruppo Locale,
ossia un piccolo gruppo di 3 grandi ed
oltre 30 piccole galassie, nel quale
occupa la seconda posizione per
dimensioni ma la prima per massa. La
sua struttura è caratterizzata da un
bulge attraversato da una struttura
simile ad una barra, circondato da gas e
polveri: da questa partono quattro
strutture a spirale orientate secondo lo
schema delle spirali logaritmiche.
Il Sistema Solare si trova nei pressi del
bordo interno del braccio di Orione, a
circa 8.000 parsec dal centro della Via
Lattea, impiegandoc irca 225-250
milioni di anni per completare
un'orbita attorno alla Galassia.
La sezione Aurea in arte
Da sempre nell’arte si va ricercando
un canone di perfetta proporzione,
che riesca ad infondere all’opera un
senso di armonia e piacere estetico;
che sia proprio la Sezione Aurea il
traguardo?
La Sezione Aurea nel mondo pre-classico
Sia nei Megaliti di Stonehenge sia in alcune steli Babilonesi il Rapporto
Aureo sembra essere individuabile, ma è opportuno precisare che le
misure raggiungono sommariamente questo rapporto e non vi è alcun
documento che assicuri l’individuazione della proporzione aurea in queste
testimonianze antiche; tuttavia il fatto che popolazioni così antiche
fondassero le loro opere d’arte su un canone apparentemente legato al
rapporto aureo è un chiaro segnale di come questo sia indice di
gradimento all’occhio umano in tutte le generazioni.
Verso il 2.500 a.C l’epoca delle grandi piramidi raggiunse il suo massimo
splendore con la costruzione della celeberrima triade delle piramidi di Giza, tra
cui La Piramide di Cheope, unica delle Sette Meraviglie del mondo antico a noi
rimasta, serviva ai faraoni della Quarta Dinastia come testimonianza della
potenza del sovrano e dell’efficienza della società Egiziana.
Nei diversi rapporti tra le misure della piramide è noto che il rapporto fra
l'apotema e metà del lato di base è uguale a «phi»
La Sezione Aurea nel mondo classico
La civiltà classica greca si pose come scopo quello di unificare tutte le arti
e le scienze secondo rapporti armonici: gli antichi architetti dunque nei
loro edifici dovevano ricercare l’ «accordo tra le misure» mediante la
ripetizione di rapporti proporzionali privilegiati. In particolare un celebre
esempio di trionfo del rapporto divino come modulo è il Partenone
dell’Acropoli di Atene, progettato dall’architetto Fidia, da cui deriva il
nome Phi del Rapporto: sia in facciata sia in pianta sono numerose le
Sezioni Auree rispettate.
Per quanto riguarda invece il mondo romano, il più alto esempio di interazione tra il
rapporto divino e le opere d’arte del periodo classico è l’Arco di Costantino, costruito
per onorare appunto Costantino I e la sua vittoria su Massenzio. In questo arco a tre
fornici i rilievi di Marco Aurelio sono costruiti con una proporzione armonica di due
terzi, quelli di Traiano sono basati sulla sezione aurea: l’unica possibilità d’accordare le
due proporzioni era, invece di sviluppare totalmente il rettangolo aureo dal punto
mediano del lato, contenerne lo sviluppo entro il quadrato, puntando il compasso sui
due angoli di base, su questo rettangolo, sottounità della sezione aurea, ha impostato poi
la facciata dell’arco
La Sezione Aurea nel mondo Gotico
Il movimento artistico del «Gotico» si diffonde dal
Tredicesimo al Quattordicesimo secolo in tutta Europa con
caratteristiche diverse per Paese. Ma in generale gli edifici di
questo periodo vengono progettati in modo da poter
rappresentare il potere feudale o papale della zone: per questa
ragione le cattedrali e i palazzi gotici si sviluppano in altezza
con le caratteristiche guglie e tendono ad essere composizioni
massicce, ricchi di contrafforti e archi rampanti per infondere
quell’idea di solidità che rispecchia l’imponenza del sovrano
e del vescovo della zona. Per aumentare probabilmente
l’effetto di perfezione stilistica che deve scaturire nello
spettatore che ammira l’edificio, il rapporto aureo viene
costantemente utilizzato nella composizione dei volumi.
Per quanto riguarda il Gotico italiano, uno
dei maggiori palazzi in cui la sezione aurea
è evidente in facciata è situato a Firenze ed
è chiamato Palazzo della Signoria,
costruito appositamente per esaltare il
potere della Signoria, ossia il consiglio
cittadino. Questo edificio, progettato
dall’architetto e scultore Arnolfo di
Cambio, riprende lo stile delle case-torri
medievali assumendo le caratteristiche di
un fortilizio. Per aumentare l’imponenza
della composizione innanzi tutto l’edificio
è costruito con un impianto stechiometrico:
in questo modo le tre dimensioni si
riescono a cogliere da qualsiasi punto si
osservi; ma caratteristica fondamentale
dell’edificio che equilibra l’altezza così
sproporzionata della torre è proprio la sua
posizione: essa divide il ballatoio in due
parti secondo il rapporto aureo. La struttura
è dunque chiaramente imponente e
incombente sullo spettatore, ma l’utilizzo
del bugnato come materiale permette di
alleggerire l’edificio attraverso i giochi di
luce e il chiaro-scuro generato dalla sua
ruvidezza.
Spostandosi in Francia, Notre
Dame di Parigi è un edificio di
particolare rilevanza rispetto alle
figure geometriche che si
desumono dal rettangolo aureo con
la particolarità che ogni elemento
della facciata discende dal rapporto
aureo: infatti esso è calcolato sia
nel primo sia nel secondo ordine
d’altezza e anche nella distanza tra
i due campanili.
Se poi sulla facciata da un
rettangolo aureo si taglia un
quadrato si ottiene sempre ancora
un rettangolo aureo. Questi
rettangoli sono stati usati per
disegnare armonicamente la
facciata e si ripetono poi nella
pianta.
La Sezione Aurea nel mondo Rinascimentale
Il termine Rinascimento designa il periodo storico che va dalla fine
del Medioevo all’inizio dell’epoca Moderna, quindi tra il 1400 e il
1600 d.C, e si riferisce alla rinascita dell’arte e della cultura
classica. Dunque in questo periodo una delle caratteristiche
fondamentali che deve possedere un’opera è quella della
proporzione, oltre che la prospettiva, tecnica che trova il suo
massimo sviluppo proprio in questi secoli.
E’ proprio in questo periodo che si sviluppa un tipo di architettura
basata sul «modulo», ossia una particolare figura riscontrabile in
ogni singolo elemento della costruzione: si noti così il «dado
brunelleschiano», costante di ogni edificio progettato da uno dei
pilastri dell’arte italiana Filippo Brunelleschi; egli cerca sempre di
ottenere una perfetta armonia delle forme nelle sue strutture e
proprio per questo in molti casi il rapporto aureo viene da egli
preso come riferimento.
Considerando in particolare la Cappella Pazzi, progettata sotto commissione della
famiglia che ne da il nome in posizione adiacente alla chiesa di Santa Croce, si
erge su una pianta rettangolare che presenta i due lati in rapporto divino.
Guardando la facciata di questa cappella, ci si rende conto sin da subito
dell’influenza classica dall’inserimento di un pronao retto da sei colonne.
All’interno, lo spazio del rettangolo aureo è diviso in una zona quadrata centrale
dove si erge la cupola ombrelliforme e due ali laterali coperti da volte a botte. La
sensazione che si ha entrando nell’edificio è sempre positiva: si viene avvolti da
un senso di equilibrio e armonia totale
Un secondo grande protagonista del Rinascimento Italiano è Piero della Francesca,
pittore e matematico particolarmente fissato con la ricerca della perfezione formale.
Egli crede di poter ottenere questo equilibrio delle parti attraverso una sintesi
armoniosa tra luce, colore e forma, individuando quindi nelle sue opere un preciso
schema prospettico e perfette proporzioni. Anch’egli ovviamente nella ricerca
dell’ideale di perfezione non può tralasciare la sezione aurea, simbolo di bellezza: in
molte sue opere effettivamente è riscontrabile questo rapporto. Considerando ad
esempio la Flagellazione di Cristo, andando a misurare il rapporto tra la distanza
delle due colonne che reggono l’atrio e la distanza tra la colonna di sinistra e quella
a cui è legato Cristo, si otterrà il numero Φ. Allo stesso modo la divisione tra spazio
interno ed esterno è diviso secondo la sezione aurea.
Questo rapporto affascinò inoltre Sandro Botticelli, uno delle pietre miliari della pittura
italiana rinascimentale. Il quadro in cui è più evidente l’utilizzo della sezione divina è La
nascita di Venere. In questa tela Botticelli cerca di rappresentare il motore che genera
l’Amore e la Bellezza ideale attraverso la donna nuda centrale e per questa ragione il
corpo è disegnato con una linea fortemente sinuosa, che addirittura deforma leggermente
la figura allungandola. Cercando dunque di generare un nudo perfetto, Botticelli non
poteva fare a meno di inserire il rapporto aureo che donasse armonia alla figura della
donna: infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro
rapporto risulterà 0.618, il reciproco di Φ; così anche il rapporto tra la distanza tra il
collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il
gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio presentano come valore il
numero divino.
Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma «la pittura è la regina
delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche, cioè numero e misura, dette
aritmetica e geometria, che trattano con somma verità della quantità discontinua e
continua.» Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo
vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l’ombelico
divide l’uomo in modo aureo.
Non è dunque difficile immaginare come Leonardo in ogni sua opera rimanga legato al
numero Φ; considerando dunque la sua tela più importante, La Gioconda, si noti come il
rettangolo aureo è individuabile in più parti. E’ possibile inserire in questo particolare
rettangolo la disposizione generale del quadro, le dimensioni del viso, l’area che va dal collo
a sopra le mani e ancora quella che va dalla scollatura dell’abito fino alla line inferiore del
braccio sinistro.
Nell’opera L’ultima cena il rapporto aureo viene utilizzato con
una particolare funzione: essendo Gesù l’unica figura divina,
Leonardo lo inscrive in un rettangolo dal rapporto dei lati pari
a Φ.
La Sezione Aurea nel mondo moderno
Sicuramente il maestro dell’arte moderna per quanto riguarda l’uso della sezione
aurea nelle opere è Pierre Mondrian, maestro della corrente astrattista sviluppatasi
nel XX secolo.
In una delle sue affermazioni più famose l’autore ci rivela la sua concezione
dell’arte:
«Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni
artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori
e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.» Come ci insegna la storia
dell’arte, la ricerca dell’armonia coincide spesso con l’utilizzo del rapporto aureo.
In effetti, analizzando l’operato dell’autore, molte sono le tele composte di
rettangoli, per la maggior parte delle volte aurei.
Le Corbusier è colui che dona une immortale
contributo all'architettura moderna, concependo
la costruzione di abitazioni ed edifici come fatti
per l'uomo e costruiti a sua misura: è in questa
concezione che egli inserisce il Modulor.
La parola che designa il sistema di rapporti
deriva dalla vicinanza di due concetti
fondamentali: module, ossia unità di misura e
or, che indica la sezione aurea. Da questa
associazione possiamo dunque dedurre che il
Modulor è una scala dimensionale in cui
confluiscono aspetti antropometrici, vista la
figura dell’uomo con il braccio alzato, e
principi matematici, risconrtabili nel nome
stesso. Attraverso questa schematizzazione del
corpo umano Le Corbusier afferma che queste
misure devono essere usate da tutti gli architetti
per costruire non solo spazi ma anche ripiani,
appoggi, accessi che siano perfettamente in
accordo con le misure standard.
Osservando la figura, i punti di riferimento
presi per il calcolo delle proporzioni sono la
pianta del piede, l’altezza dell’ombelico, la
sommità del capo e infine la punta del dito della
mano alzata verso l’alto: questi originano tre
intervalli decrescenti in reciproco rapporto
aureo.
Phi in the University of Cambridge
The University of Cambridge contains a park completely devoted to the
Golden Spiral: Quincy Square. The collaborators organized the
configuration of amenities and landscape elements around a golden spiral
form: there is a statue of a golden spiral in the middle, which continues
along the ground as a metal curve through the brick for quite a distance
where the statue ends. The bricks change direction according to the golden
rectangle that contains the spiral.
The peculiarity of this park is the
presence of references to the
Golden Number in every corner, as
these figures let us see: we can find
spiral bushes, a long fence with
spirals along the top, two different
types of nautilus shells at the
connection points and also
cuorious bicycle racks theat bear
the image of the greek letter Phi
(Φ). There is also a plaque with
infos about the Golden Ratio and
the designer.
Phi in the United Nations Building
The United Nations is an
international organisation that
works in order to facilitate
cooperation in international
relationships. The head office of
the UN is situated in 760 United
Nations Plaza, New York and is
called United Nations
Headquarters. Though it is in New
York City, the land occupied is
considered "international territory".
The complex includes a number of
major buildings but the central
office is the Secretariat Tower.
The stucture of the tower is quite
simple: it is a parallelepiped
formed by Golden rectangles in
order to give armony to the
composition.
Phi in everyday life
Detaching from the artistic point of view, the Golden Section can
be found in strange places, that we may not ordinarily have thought
to look for it. For example, look at these three rectangles: most
people tend to think that the third rectangle is the most appealing:
the ratio of its length to its width is the Golden Ratio. It has long
been said that beauty is a personal sensation and that it varies by
race, culture or era. However, it has been demonstrated that our
perception of physical beauty is hardly based on the Golden
Number.
Dr. Stephen Marquardt has studied human beauty for years :
through his research, he discovered that beauty is not only related to
phi, but can be defined for all races, cultures and eras with a special
beauty mask which he developed through the Golden Ratio and
pentagon and decagon that embody Φ in all their dimensions.
In conclusion, the Golden Section
has to be considered as a really
important and basic element of the
Creation, since the huge amount of
examples in which we can find it:
some people have tried to elevate the
golden section beyond what we can
verify scientifically. For this reason
it’s wrong to create an adoration too
close to that number.