Il big-bang
e
l’inflazione
di Riccardo Felletti
Metrica di Robertson-Walker
ds2 = (c dt)2 – a(t)
(
dr2
1 – K r2
+ (r dq)2 + (r sinq dj)2
(r, q, j) = coordinate co-moventi
K = parametro di curvatura
a(t) = parametro di espansione
)
Parametro di decelerazione
a(t) = a0 (1 + H0Dt – ½ q0 (H0Dt)2 )
a0 = a(t0)
Dt = t – t0
H0 = å(t0) / a0
ä(t)
q0 = –a0 2
å (t)
Spostamento verso il rosso
e
distanza di luminosità
z = l0/le – 1 = a0/a(t) – 1
dL =
L½
(4pl)½
=
c
H0
( z + ½ (1 – q0) z2 )
Relazione m-z

Modulo di distanza:
m – M = 5 log10(dL) – 5

Relazione m-z:
m(z) = 25 – 5 log10(H0) + 5 log10(cz) + 1,086 (1 – q0) z
Risultato: il big-bang
3
2
 q0
>0
 ä(t0) < 0
1
0
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
Risultato: il big-bang
3
2
 q0
>0
 ä(t0) < 0
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Però l’estrapolazione non è valida…
7
Limite della relatività generale

Tempo Compton:
tc = ħ/mc2

Raggio di Schwarzschild:
rs = 2Gm/c2
(ts = rs/c)

Poniamo tc=ts e otteniamo il tempo di Planck:
tP = 10-43 s
L’universo al tempo di Planck
 tP = 10-43 s
 mP = 10-5 g
 rP = 10-33 cm
 EP = 1019 GeV
TP = 1032 K
 sH,P  1

Termodinamica dei buchi neri
emissione di quanti:
 E = KBT
 T  M-1
 t  M3
posto M = mP:
 E = EP
 T = TP
 t = tP
Problemi del modello
del big-bang caldo
Problema dell’orizzonte cosmologico
 Problema della piattezza (e dell’età)
 Monopoli magnetici
 Costante cosmologica
 Universo prima del tempo di Planck

(1) Il problema dell’orizzonte

Il principio cosmologico

Confronto tra parametro di espansione
e orizzonte cosmologico

Problema dell’isotropia
(2) Problema della piattezza
e dell’età dell’universo

L’unica scala di tempo che emerge dalle equazioni di
Friedmann (applicate a universi radiativi) è il tempo di
Planck.

Perché l’età dell’universo non è comparabile con
essa?

Risposta: a causa della piccola differenza tra i termini
cinetico e gravitazionale delle equazioni.
(2) Dal problema dell’età
al problema della piattezza
Dall’equazione di Friedmann:
å2 + Kc2 = 8/3p Gr a2
dividendo per (Tra)2 otteniamo:
(W – 1) H2 / Tr2 =
Kc2
(a0T0r)2
= cost. < 10-57
(2) Dal problema della piattezza
al problema della densità

Dalla formula precedente risulta:
|W0 – 1|  10-60

Dai dati osservativi:
W0,din = 0,2  0,4
(3) I monopoli magnetici

Le GUT sono descritte da simmetrie SU(5)

Rottura della simmetria a TGUT = 1015 GeV e
creazione dei monopoli magnetici

Nessun monopolo magnetico osservato
(4) La costante cosmologica

Inserendo una costante L0 nelle equazioni di
Einstein:
Rij – (½R + L)gij = -8/3pG Tij/c4

Si ottengono le seguenti equazioni di Friedmann:
ä2 = 8/3pG (r + rL)a2 – Kc2
å/a = – 4/3pG (r + 3p/c2 – 2rL)
(4) La costante cosmologica

Limite superiore per L:
|L| < 10-56 cm-2

Interpretazione: pL e rL rappresentano la pressione e
la densità quantistiche del vuoto.

In recenti teorie delle particelle elementari:
rL= V(F, T(t)) = rL(t)
Soluzione:
il modello inflazionario
(teorizzato inizialmente da Guth nel 1981,
e perfezionato da Linde, Albrecht e Steinhard nel 1982)
Le transizioni di fase

Ad “alte” temperature abbiamo una fase
disordinata caratterizzata da simmetrie.

A temperature “basse” la fase è ordinata,
dove le simmetrie sono minori.

Nella transizione compare un parametro
d’ordine F0.
L’energia libera

Definizione:
F = U – TS

Per un sistema in equilibrio F dev’essere minima.

Nelle transizioni di fase è importante la dipendenza
dal parametro d’ordine:
F = F(F)
Transizioni del 1° ordine

Transizione
non graduale

Sovraraffreddamento
e re-heating
Rottura della simmetria GUT

Alla temperatura critica Tc = 1015 GeV si ha la
transizione:
SU(5)  SU(3) x SU(2) x U(1)
“Falso vuoto”: F=0 prima della transizione.
 “Vero vuoto”: F0 dopo la transizione.

Dinamica della transizione:
“rotolamento lento”

Si creano bolle di vero vuoto nel falso vuoto,
oppure il falso vuoto si frammenta in regioni
di vero vuoto.
 Tali bolle o regioni prendono il nome di
“regioni di fluttuazione”.

Equazione che descrive l’evoluzione di F:
tt2F + 3H tF + FV(F) = 0
Inflazione: le ipotesi

Supponiamo che prima della rottura della simmetria
alcune regioni fossero in equilibrio termodinamico.

Supponiamo inoltre che alcune di esse fossero anche
in rapida espansione, in modo che al loro interno
potessero comparire regioni di fluttuazione.

Supponiamo infine che una fosse abbastanza
omogenea e isotropa da poter essere descritta dalla
metrica di Robertson-Walker.
Inflazione
In tale regione, detta “miniuniverso”, a
causa dell’espansione rapida, la densità
rF prevale.
 Il miniuniverso si evolve secondo il
modello di De Sitter:
a(t)  exp(t/t)

Re-heating del miniuniverso
Durante l’inflazione
si ha il rotolamento
lento di F.
 In seguito, F cade
verso il minimo e si
libera il calore
latente.

(1) L’orizzonte cosmologico
 rH,c(t)
= (å(t))-1

Durante l’inflazione l’orizzonte
delle particelle decresce:

Una regione di dimensioni
maggiori dell’orizzonte tende a
isotropizzarsi spontaneamente.

Il problema dell’orizzonte è
risolto se:
rH,c(ti)>>rH,c(t0)
(2) Problema della piattezza

W si evolve secondo w:
(1 – W(ti)-1)(1 + zi)1+3w = cost.

Durante l’inflazione il parametro
di densità si “riavvicina” al
valore critico.

Il problema della piattezza è
risolto se:
|1 – W(ti)-1| > |1 – W0-1|
(3) I monopoli magnetici

I monopoli si formano ai bordi delle regioni di
fluttuazione.

L’inflazione “diluisce” quindi la loro densità
fino a livelli trascurabili.
Problemi ancora aperti

L’universo prima del tempo di Planck
(richiede una teoria quantistica della
gravitazione).

La costante cosmologica.

Il parametro di densità: |W0 – W0,din| > ½