Piano Operativo Nazionale
Azione C2
Piano Lauree
Scientifiche
Matematica-Statistica
Grande sfida in sala giochi: ecco Luca e
Paolo pronti a giocare ciascuno 12 monete
al videogame “PONG”.
Vince l’intera posta delle 24 monete, chi per
primo totalizza 6 punti.
Che il divertimento abbia inizio!!!
I due giocatori, ugualmente abili a tale gioco, si
scontrano.. colpo su colpo.. Quando improvvisamente
un blackout interrompe la
partita sul punteggio di 5 a 3 a favore di Luca.
Come dovrebbe essere ripartita la posta per rispettare
il vantaggio sin qui ottenuto da Luca?
(principio di equità)?
Discussione
Abbiamo affrontato il problema in classe
dividendoci in gruppi di lavoro e siamo
giunti a diverse soluzioni.
Di seguito vi proponiamo
due soluzioni tra quelle
date, una sbagliata e
l’altra corretta.
Soluzione errata
Si è proposto di dividere la posta in modo
proporzionale al punteggio acquisito dai
giocatori al momento dell’interruzione
𝑃𝑜𝑠𝑡𝑎
24
=
=3
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑖𝑜𝑐𝑎𝑡𝑒
8
Pertanto a Luca andranno 5 · 3 = 15 monete,
mentre a Paolo andranno 3 · 3 = 9 monete
Discussione
Luca, pur avendo vinto
due partite in più di
Paolo e pur essendo
ad un solo punto per
vincere l’intera posta,
otterrebbe solo tre
monete delle dodici
puntate dal suo
avversario. Ciò
contravviene
manifestamente al
principio di equità.
Soluzione giusta
Per una suddivisione equa della posta si deve
determinare la probabilità di vittoria di
entrambi i giocatori sulla base del punteggio
acquisito al momento dell’interruzione.
A tale riguardo si può procedere utilizzando
varie rappresentazioni del problema.
Diagramma reticolare
Punteggio Paolo
I sviluppo di gioco
Punteggio Luca
Punteggio Luca
Punteggio Luca
In questa presentazione si utilizza una particolare rappresentazione grafica detta
diagramma reticolare: esso schematizza uno dei possibili sviluppi della partita successivi al
raggiungimento del punteggio di 5 a 3 in favore di Luca.
Sull’asse delle ascisse riportiamo il numero di partite vinte dal giocatore Paolo, sull’asse
delle ordinate il numero di quelle vinte da Luca; perciò ciascun nodo rappresenta un
possibile sviluppo di gioco.
Punteggio Paolo
II sviluppo di gioco
Punteggio Paolo
III sviluppo di gioco
Situazioni di Vincita di Luca
Punteggio Paolo
I sviluppo di gioco
Punteggio Luca
Punteggio Luca
Punteggio Luca
Se la partita non fosse interrotta, Luca avrebbe potuto
vincere l’intera posta con i tre sviluppi di gioco riportati più
sotto; si noti che il primo è costituito da 1 segmento, il
secondo da 2 segmenti e il terzo da tre segmenti.
Punteggio Paolo
II sviluppo di gioco
Punteggio Paolo
III sviluppo di gioco
Vincita di Luca
Punteggio Paolo
I sviluppo di gioco
Punteggio Luca
Punteggio Luca
Punteggio Luca

Punteggio Paolo
II sviluppo di gioco
Punteggio Paolo
III sviluppo di gioco
Probabilità della Vittoria di Luca
Ogni albero di percorso rappresenta un ben determinato modo di
procedere della partita, ossia un ben determinato evento e, poiché tali
eventi sono a due a due incompatibili , la probabilità che a vincere
l’intera posta sia Luca vale:
Punteggio Paolo
I sviluppo di gioco
Punteggio Luca
Punteggio Luca
Punteggio Luca
P(Luca vince) = P((sviluppo 1) ∪ (sviluppo2) ∪ (sviluppo 3))=
=P(sviluppo 1) + P(sviluppo 2) + P(sviluppo3)
Punteggio Paolo
II sviluppo di gioco
Punteggio Paolo
III sviluppo di gioco
Probabilità di punto acquisito da Luca
Siano E1 = punto acquisito da Luca e E2= punto acquisito da Paolo. Si ha:
Sviluppo 1
Sviluppo 2
Sviluppo 3
Spartizione equa

Riflessioni
Ci siamo resi conto che incredibilmente tale problema
risolto da noi nel giro di un’ora è stato motivo di disputa di
famosi uomini di scienze nel corso dei secoli, ed è stato per
noi avvincente ripercorrerne
le soluzioni e compiere un
tuffo nel passato.
Il problema delle parti
Il calcolo delle probabilità è una delle discipline matematiche più
recenti e gli storici della matematica ne fanno risalire la nascita
nella corrispondenza tra Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre
Fermat (1601-1665) in riferimento al problema della ripartizione
equa della posta, noto anche con il nome di “problema delle parti”.
Alla risoluzione di tale problema, già a partire dai primi anni del
‘400, si erano dedicati alcuni matematici. Sebbene i risultati da
questi ottenuti o si riferiscono a casi particolari o sono non corretti,
il loro sforzo risulta comunque interessante dal punto di vista
storico. Infatti, da una attenta analisi ed interpretazione di tali
erronei risultati ne scaturisce una giustificazione che, quasi
sempre, trova i suoi fondamenti logici nell’atteggiamento psicologico degli autori. Ed è proprio quest’ultimo uno fra gli elementi da
non sottovalutare quando si procede alla ricerca delle cause del
ritardo dello sviluppo del calcolo delle probabilità.
Il problema delle parti
La prima versione del problema di cui si ha traccia, presente in un manoscritto del
1400, è ad opera di un autore anonimo. In essa si tratta di ripartire la posta costituita da
un ducato tra due giocatori, A e B, in un gioco, costituito da partite a scacchi, che è
interrotto sul punteggio di 2 a 0 a favore di A e che doveva terminare quando uno di
essi raggiungeva il punteggio 3.
Per risolvere il problema l’Anonimo, espone e traduce algebricamente le seguenti
considerazioni.
- Se il gioco si interrompe quando A e B hanno lo stesso punteggio, questi
hanno diritto alla stessa parte, ossia ½ della posta in gioco.
- Se il gioco si interrompe prima della fine, quando A ha diritto ad una certa parte y del
ducato, allora a B spetta la parte rimanente ( complementare ); ciò verrà espresso
dicendo che ad un certo punto del gioco le parti di A e B sono y e 1-y rispettivamente; le
parti della posta, almeno nel caso in cui ad un giocatore manchi una sola partita per
vincere, si incrementano in pari misura indipendentemente da quale dei due giocatori
si aggiudica il punto successivo.
- Se il gioco si interrompe quando A si trova ad un unico punto per vincere l’intera posta,
detta y la parte di posta a lui spettante, la vittoria di un’ulteriore ipotetica partita
comporterebbe l’aggiunta della parte complementare a y, ovvero 1-y. Pertanto, in base
al punto precedente, se è B (a cui spetta la parte 1-y della posta) a vincere questa
ipotetica ulteriore partita, lo stesso importo 1-y deve essere aggiunto alla sua parte di
posta, che quindi raddoppia.
Il problema delle parti
Siano ora y e 1-y le parti di posta che A e B hanno accumulato rispettivamente con 2
e con zero punti.
Se A vince una ulteriore ipotetica partita, vince l'intero ducato cioè ad y, aggiunge 1–y.
In caso contrario, questo ultimo importo, si aggiunge alla parte di B, che quindi
raddoppia da 1 – y a 2 - 2y, portando così la quota di A al complementare, cioè a:
1 - (2-2y).
Con il nuovo punteggio, 2 punti per A e 1 per B, si ripete il ragionamento.
Se A vince, aggiunge il complementare 2-2y, che, in caso contrario, fa raddoppiare la
quota di B da 2-2y a 4 - 4y, portando così quella di A a 1 - (4-4y). Poiché ora si
trovano entrambi con 2 giochi vinti, si possono uguagliare questi due ultimi importi
ottenendo: 4 - 4y = 1 - (4 - 4y) da cui 8y = 7, cioè y=7/8 che è la quota che spetta ad
A nella situazione di partenza.
Il difetto di questa soluzione è quello di non indicare alcun procedimento di carattere
generale; il suo pregio è quello di avere fornito, nel caso particolare descritto, la
stessa soluzione di Pascal e Fermat con un anticipo di circa duecento anni.
Il problema delle parti
Cardano
Dopo l'anonimo del 1400, è
l'autore più interessante per il
problema della divisione della
posta in gioco (PDPG). Le sue
argomentazioni però sono meno
chiare e precise e sono errate
nella conclusione anche se viene
inserito qualche innovativo concetto di tipo probabilistico.
Il problema delle parti
Pacioli
Il metodo usato da Pacioli nel
risolvere il problema della
divisione equa della posta fra
due o più contendenti in un
gioco, consiste nel dividere
banalmente la posta in modo
proporzionale al punteggio
acquisito dai giocatori al
momento dell’interruzione.
Dunque, Pacioli basa il suo
ragionamento sulle partite già
giocate.
In effetti la soluzione errata mostrata in una nostra
precedente diapositiva, ripercorre quella del Pacioli.
Critica di Tartaglia a Pacioli
Il metodo proporzionale
proposto da Pacioli è
aspramente criticato da
Tartaglia con la seguente ineccepibile obiezione:
« Chi ha zero punti non
riceve nulla!!».
Il problema delle parti
Pascal
POSIZIONI
-Si indichi con S l’intera posta.
-Si indichi con (-a,-b) la situazione al
momento dell’interruzione del gioco: per la
vincita di S, al primo giocatore A mancano a
punti e al secondo giocatore B mancano b
punti.
-L’aggiudicazione di un punto è un evento
indipendente rispetto al punteggio acquisito
e la sua probabilità vale ½ per entrambi i
giocatori.
Il problema delle parti
Pascal
Caso (-1,-2)
Il primo giocatore può asserire di avere diritto a S/2
con certezza: infatti se il gioco continuasse con
l’assegnazione di un punto a B il gioco sarebbe in
parità. Dopo di ciò A dice di aver diritto ancora a
S/4 in quanto, se il gioco continuasse,
con
probabilità ½ potrebbe vincere l’intera posta S. In
definitiva ad A spettano i 3/4 di S.
Caso (-1,-3)
Il primo giocatore può asserire di avere diritto, con
la stessa probabilità ½, o all’intera posta S oppure
alla ripartizione della partita precedente, ossia 3S/4.
Quindi ad A spettano i 7/8 di S.
Caso (-1,-4)
Il primo giocatore può asserire di avere diritto, con
la stessa probabilità ½, o all’intera posta S oppure
alla ripartizione della partita precedente, ossia 7S/8.
Quindi ad A spettano i 15/16 di S.
Il problema delle parti
Pascal
Il problema delle parti
Pascal
Il problema delle parti
Fermat
POSIZIONI
-Si indichi con S l’intera posta.
-Si indichi con (-a,-b) la situazione al
momento dell’interruzione del gioco: per la
vincita di S, al primo giocatore A mancano a
punti e al secondo giocatore B mancano b
punti.
-Si indichi con m il numero massimo di
partite necessarie al completamento del
gioco. Risulta:
m = a + b -1
Il problema delle parti
Fermat
Il problema delle parti
Fermat
Fermat, nel 1654, risolve il
caso (-2;-3) con p = 1/2.
Quest’ultima
posizione
gli
permette di usare il solo
calcolo combinatorio al modo
seguente.
Osservato che
m=2+3–1=4
e, indicando con + e – le
vittorie A e di B, enumera tutti i
2⁴ = 16 possibili risultati:
Il problema delle parti
Fermat
1++++ 2+++- 3++-+ 4+-++ 5-+++
6++-- 7+-+- 8-++- 9+--+ 10-+-+ 1--++
12---+ 13--+- 14-+-- 15+--- 16---Di queste 16 eventualità, 11 (da 1 a 11) sono
favorevoli ad A per vincere il gioco e le
rimanenti 5 a B. Quindi in (-2;-3) le
probabilità di vittoria e quindi le parti della
posta, per A e per B sono 11/16 e 5/16.
Roberval
contesta
questa
soluzione
criticando
la
“finzione
matematica”
consistente nel dover analizzare sempre 4
partite anche se, ad esempio, il gioco può
finire dopo due sole vittorie poiché ad A
mancano solo 2 punti per aggiudicarsi la
posta.
Il problema delle parti
Huygens
Sebbene Pascal sia riuscito a dare
una soluzione corretta del PDPG,
tuttavia, va al matematico e fisico C.
Huygens il merito di aver risolto,
appena due anni dopo, con
considerazioni che sono davvero
inquadrabili in una visione ormai
moderna. Infatti, Huygens nel 1656,
generalizza il metodo di Pascal in un
PDPG, con un numero qualsiasi di
giocatori aventi uguale probabilità di
conseguimento di un punto.
De Moivre
La soluzione del problema riguardante due
giocatori aventi differenti probabilità di
conseguimento di un punto (erroneamente
attribuita a Montmort che ne era venuto a
conoscenza attraverso una lettera di Johann
Bernoulli) è pubblicata per la prima volta da De
Moivre nel 1711 (assieme alla soluzione del
problema con tre giocatori) e poi è di nuovo
riportata nella seconda edizione del volume
Essai d'analyse sur les jeux de hasard, di
Montmort del 1713.
De Moivre successivamente approfondisce la
soluzione del caso generale di un
numero qualsiasi di giocatori con diverse probabilità di vittoria nel 1756.
Per completezza si citano Lagrange e Laplace i quali in anni successivi ritrovano le
stesse soluzioni di De Moivre sottacendo, non si sa quanto in buona fede, la
legittima paternità.
Raffaele Cusano
Giorgio Barone
Francesco Esposito
Emanuele Marino
Nino Mollo
Alfonso Claudio Campaniello
Martina Falzarano
Martina Esposito
Romina Guetta
Stefano Ciaravino
Gina Di Costanzo
Laura Guidotti
Mattia Di Gennaro
Alfonso Simone Cuccaro
Ornella Serpino
Giancarlo D’Ago
Francesco Fenderico
Nunzio Marrone
Flavia Peluso
Alessia Verniero
Andrea Arletti
Francesca Masturzo