Analisi Statistica dei Dati
G.Marsella
Elementi di teoria della
probabilità
Eventi aleatori
• Un evento è aleatorio
(casuale) quando non si
può prevedere con
certezza se avverrà o
meno
• I fenomeni (eventi)
aleatori sono studiati
attraverso la teoria della
probabilità
Probabilità di un evento semplice
Un evento può risultare:
•
Certo (si verifica sempre)
-estrazione di una pallina nera da
un’urna contenente solo palline nere
•
Impossibile(non si verifica mai)
-estrazione di una pallina bianca da
un’urna contenente solo palline nere
•
Probabile(può verificarsi o no)
-estrazione di una pallina bianca da
un’una contenente sia palline nere che
bianche
Eventi e probabilità
impossibile
certo
probabile
P=0
0<P<1
P=1
Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di E
rappresenta l’evento complementare E con la relazione
P(E) = 1 – P(E)
La prova genera l’evento con una certa probabilità
Eventi aleatori
• Evento semplice = singola manifestazione di un
fenomeno (misura,osservazione, risultato) che esclude
altri eventi (eventi incompatibili: testa o croce nel lancio
di una moneta)
• Evento composto = è costituito da una
combinazione di più eventi semplici. Possono verificarsi
simultaneamente ovvero sono compatibili(l’evento testa
di una moneta è compatibile con l’evento croce nel
lancio di due monete)
Eventi aleatori
• L’insieme di tutti gli eventi di un fenomeno
costituiscono l’universo o spazio campione (Ω)
delle possibilità.
• Si usa il termine successo per segnalare che si
è verificato l’evento considerato e insuccesso
in caso contrario. Essi sono eventi incompatibili
o mutuamente esclusivi
Spazio campionario
• Lo spazio campionario associato al lancio di due monete
comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati
•TT
•TC
•CT
•CC
• Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio
campionario
Teoria e calcolo della probabilità
• L’entità di successi in una serie
di osservazioni (prove) può
essere definita come
frequenza relativa o
(percentuale) calcolata come
rapporto tra il numero di eventi
favorevoli rispetto al numero di
casi esaminati
• Il grado di aspettativa circa il
verificarsi di un evento E,
ovvero la probabilità
dell’evento P(E) è
P( E ) 
numero di successi
numero di casi possibili
Concezione classica della probabilità
La probabilità di un evento E
è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli al verificarsi
di E(n) e il numero di casi
possibili (N), purché siano
tutti equi - probabili
n
P(E) 
N
Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08
probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5
Applicazioni della concezione classica
• Probabilità uscita testa
p=
• Probabilità faccia 6 dado
p=
• Qual è la probabilità che
lanciando due volte una
moneta si presenti prima
la faccia testa poi la
faccia croce
1°- TT
2°- TC
3°- CT
4°- CC
p=
1
2
1
6
1
4
Concezione frequentista della probabilità
• La probabilità di un
evento è la frequenza
relativa di successo in
una serie di prove
tendenti all’infinito,
ripetute sotto identiche
condizioni
• Nella concezione
frequentista la probabilità
è ricavata a posteriori
dall’esame dei dati
n
P(E)  lim
N  N
Frequenza relativa su un
gran numero di prove
Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ?
I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventi
Frequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria
Legge dei grandi numeri
• P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si
osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove
m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad
avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E)
La frequenza relativa f al crescere del numero delle
prove, tende, pur oscillando, verso un valore
costante (stabilità della frequenza)
Elementi di statistica
Elementi di statistica
• La statistica è un’estensione del calcolo
delle probabilità
– Si parte dai concetti fondamentali
– Si estende la definizione di probabilità
– Si introducono delle nuove variabili
Estensione del concetto di
probabilità
Estensione del concetto di
probabilità
• La probabilità viene fatta passare
– da un numero razionale ...
– ... ad un numero reale
• La probabilità può essere infinitesima
– Anche se poi si darà significato sempre alla
probabilità finita
– Tramite integrazioni
Estensione del concetto di
probabilità
• Si suppongono valide tutte le leggi delle
probabilità già stabilite
• Non si può più definire la probabilità come
rapporto fra casi favorevoli e casi possibili
Le variabili aleatorie
(variate)
Le variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria è una variabile...
– ... reale
– ... discreta o continua
– ... associata ad una probabilità
Le variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria discreta
– Assume i valori ...
 x1, x2 ,
, xN 
– ... con probabilità
 p1 , p2 ,
, pN 
p
k
k
1
Le variabili aleatorie
• Esempio classico: il dado
– Variata: un numero da 1 a 6
– Probabilità associata: 1/6
• Si definisce
– Valore atteso
– Speranza matematica
– Valore medio
E  x   x  x   xk pk
k
• La variabile aleatoria discreta può essere
definita da una tabella
• Esempio:
– I numeri riportati sulle facce di un dado
• Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi
– Anche le probabilità se il dado fosse truccato...
Il dado
xk
Pk
1
0.167
2
0.167
3
0.167
4
0.167
5
0.167
6
0.167
• Ed ecco una rappresentazione grafica
– Distribuzione
– Spettro
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
3
4
5
6
• Se si conoscono solo valori proporzionali
alle probabilità occorrerà normalizzarli
Ak
pk 
 Ak
k
• Una variata continua
– Assume valori reali in un dominio D con
probabilità infinitesima
 
dp  f  x  dx
– La f x è la funzione di distribuzione
(spettro)
• Funzione densità
• Il dominio D sarà per noi, praticamente
sempre, uno dei seguenti insiemi
– Tutto l’asse reale
– Il semiasse reale positivo
– Un intervallo (e di solito chiuso)
• Indicheremo in ogni caso l’estremo inferiore con
low e quello superiore con high
• Ecco degli esempi
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
Binomiale
1
1.5
2
2.5
3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
Uniforme
0
1
2
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2.5
Poissoniana
0
2.5
5
7.5
10
• In ogni caso vale la condizione di
normalizzazione

D


f  x  dx   pk   1
k


• ...ed in generale un valore atteso
(“speranza matematica”) vale...


D G  x  f  x  dx  k G  xk  pk 
 E G  x    G  x 
• Il momento di ordine 0 corrispnde alla
condizione di Normalizzazione
Funzioni di distribuzione
• In sintesi, le principali caratteristiche di
una funzione di distribuzione sono:
Le distribuzioni in generale
Le distribuzioni in generale
• Di solito hanno quindi dei picchi
– Il picco più alto si chiama moda della
distribuzione
– Un picco: unimodale
• Poi bimodale, multimodale...
Le distribuzioni in generale
• Si definisce la mediana
M
high
low
M
 f  x  dx   f  x  dx
• È definita con un’equazione integrale
• Non gode di proprietà di linearità
• Molto utile e potente soprattutto nell’analisi
delle serie temporali
Le distribuzioni in generale
• Poi ci sono i quartili
• Mediane della mediana
• Poi i percentili ...
Le distribuzioni in generale
• Quasi sempre di una distribuzione si
fornisce
 x
– La media
2

x
– La standard deviation
– La moda
– A volte anche il momento secondo (o la sua
radice)


» Valore quadratico medio
» È il caso delle velocità in un gas
Le distribuzioni in generale
• Attenzione a non confondere
2
x
x
2


   x f  x  dx 
D

2
  x f  x  dx
2
D
• Facili a confondere se si usa il simbolo
x x
Distribuzioni discrete e
continue
Le principali distribuzioni
discrete
Le principali distribuzioni
discrete
• Veramente importanti solamente due
– Distribuzione di Bernoulli e binomiale
– Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari
La distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson
• È la distribuzione di eventi rari
• È ciò che diviene la binomiale quando
n  
  np    cost
p  0
• Legge della distribuzione
e 
P k   
k!

k
La distribuzione di Poisson
f  k n, p  

n  n  1
n  n  1
 n  k  1 p k
n!
 n  k  1  m 
n!
n  1  2 
 1   1  
n  n  n 
k
 m
  1  
n
n 
1  p 
nk
nk
m
k 
 k 1  1
1 
  m  1  
n  n!
n


nk
La distribuzione di Poisson
 1  2 
lim 1  1  
n 
 n  n 
1 k
 m
 m lim 1  
k ! n 
n
m
k 
 k 1  1
1 
  m  1  
n  k!
n


nk
1 k m
 me
k!
nk

La distribuzione di Poisson
k 
• Media
• Varianza
 
2
 
La distribuzione di Poisson
• Ed infine un grafico per   2 e
 5
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
5
10
15
20
Le principali distribuzioni
continue
Le principali distribuzioni
continue
• Molte hanno interesse limitato
• Qui studiamo solo quelle di maggiore
interesse per la misura
• Definite
– In un intervallo (solo la uniforme)
– Semiasse reale positivo
– Tutto l’asse reale
La distribuzione uniforme
La distribuzione uniforme
• Definita fra –1/2 e 1/2
• Di solito però fra 0 e 1
– Il calcolatore estrae “numeri a caso” in questo
intervallo
– In realtà i numeri sono pseudocasuali
– Estratti con un formalismo causale si verifica a posteriori
che rispettino la casualità
• Il caso di p
– Sono la base per simulazioni statistiche
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
1
0
1
2
La distribuzione uniforme
• Definizione della distribuzione
• In generale
x  0

x  1
x  0

x  0

x  1
x  0

x0
 0  x 1
 x 1
xm
m xM
xM
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
La distribuzione uniforme
• Media
mM

2
• Varianza
M  m

 
2
12
2
1

 M  m
12
UN PROBLEMA
INTERESSANTE
Un problema interessante
• Visto che il calcolatore mi dà solo numeri
(pseudo)casuali fra 0 ed 1, posso (e se sì
come) ottenere dei numeri distribuiti fra A
e B con una distribuzione f(x) ?
• La risposta è affermativa
Metodo di reiezione
Un problema interessante
• Uno schizzo grafico...
Un problema interessante
Ricetta
1. Calcoliamo anzitutto il massimo della
funzione nel


M

1.05

max
f
x


a b 

nostro intervallo
*
1. Poi calcoliamo
X
2. Estraiamo un numero fra 0 ed 1
3. Calcoliamo
X  a  b  a  X
*
Un problema interessante
• Ora estraiamo un secondo Y numero fra 0
ed 1, e moltiplichiamolo per M:
– Quindi una distribuzione
uniforme fra 0 ed M
• Siamo ora in possesso di due numeri
(pseudo)casuali
– X fra a e b
– Y fra 0 ed M
Un problema interessante
• Calcoliamo la f  X 
• Terremo per buono il valore X
se è f  X   Y
• Rigetteremo il valore X
se è f  X   Y
Un problema interessante
• Il metodo è usatissimo e garantito
• Funziona a spese di estrazioni a vuoto
– In pratica
• Si riempie uniformemente il rettangolo verde di
punti
• Si tengono per buoni solo quelli sotto la curva
– Funziona anche per più dimensioni
• ...e si allungano i tempi...
La distribuzione gaussiana
La distribuzione gaussiana
• Noi ci limiteremo alle variate normali
• Sono le più utili
• Coprono l’assoluta maggioranza dei casi pratici
– Quando occorre qualcosa di più si è nei guai
• In questo caso bastano due momenti
– Media e SD
La distribuzione gaussiana
Caso importante “fuori dal coro”
i conteggi
Seguono la statistica di Poisson
Però
Regola a spanne
Quando μ > 10 usate pure Gauss con
 
La distribuzione gaussiana
• La funzione di distribuzione
1
G  x  ,  
e
 2p
1  x 

2 2
2
La distribuzione gaussiana
• Media
• Varianza


2

La distribuzione gaussiana
• Definiremo a partire da una variata
normale x
– La variata centrata (detta anche scarto)
xc  x  x
– La variata ridotta (detta anche scarto ridotto)

x x

• Vediamo degli esempi grafici
0.4
0.3
0.2
0.1
-2
2
4
La distribuzione gaussiana
• Una proprietà importante:
– Le probabilità di stare dentro un certo numero
N di SD sono sempre le stesse
 N 
P  x    N   1  erf 

 2
• Attenzione: la funzione d’errore è
(storicamente) definita per una gaussiana
non normalizzata...
La distribuzione gaussiana
• Definizione
erf  x  
2
p
x
e
dt

t
2
2
p
0
2
p

e

t 2
dt  2

e
0
t 2
dt  1
La distribuzione gaussiana
• In realtà a noi serve
1
2p
t2

2
 x 
 x e dt  erf  2 
x
La distribuzione gaussiana
1
P  x    N 
0.317
2
0.0455
N
3
4
5
0.0027  2.7 10
5
6.33 10
7
3
5.73 10  0.573 10
6
Curva di Gauss
Caratteristiche
• E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore
superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla
probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità
• L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse
( da +  a -  ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario
• Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella
distribuzione
• La frazione di area compresa tra due valori della variabile è
assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una
misura entro tale intervallo
Le aree sottese alla curva normale
• Spesso è necessario determinare la
probabilità di riscontrare casualmente una
misura entro tale intervallo
• Proprietà della curva normale: l’area sottesa
alla porzione di curva che vi è tra le media e
una ordinata posta a una distanza data,
determinata in termini di una o più
deviazione standard, è costante
Applicazione curva di Gauss
• Se una popolazione di unità classificate secondo un certo
carattere X si distribuisce normalmente, la conoscenza di
media e varianza (o loro stime) consente di calcolare (o di
stimare) la frequenza relativa delle unità che presentano un
valore di X compreso in un certo intervallo
• Calcolare la probabilità che, estraendo da tale popolazione
un’unità questa abbia un valore di X compreso in un certo
intervallo
Distribuzione gaussiana standardizzata
• Per agevolare il ricercatore la variabile x viene
trasformata in una nuova variabile
z
x

• La distribuzione standardizzata presenta il vantaggio di
consentire la predisposizione di tabelle che permettono
di calcolare porzioni di area della distribuzione e di
stabilire la probabilità statistica di riscontrate valori in
relazione a determinati valori z
Valori notevoli della distribuzione z
z
area compresa
nell’intervallo
(-z + z)
area esterna all’intervallo
(- z + z) (code della distribuzione)
(-1<z<+1)
0.683 (≈ 68%)
0.317 (≈ 32%)
1.96 (-1.96<z<+1.96)
0.95 (≈ 95%)
0.05 (≈ 5%)
2.58 (-2.58<z<+2.58)
0.99 (≈ 99%)
0.01 (≈ 1%)
1
Esempio di utilizzazione della
distribuzione z
•
•
Qual è la probabilità che un
individuo estratto a caso da una
popolazione con peso medio
72 Kg e deviazione standard
25 Kg pesi tra i 60 e 80 Kg:?
Occorre calcolare la porzione di
area compresa tra 60 e 80 Kg.
ai cui valori corrispondono
rispettivamente i valori
z 60
(60  72) Kg

 0.48
25 Kg
(80  72)kg
z 80 
 0.32
25kg
Esempio di utilizzazione della distribuzione Z
• Facendo riferimento alla
tabella z
per z=0.48 nelle due code è
0.631
• L’area di interesse tra -0.48
e 0 è 0.5 - 0.631
2
• Con analogo procedimento
si calcola la porzione di
area tra 0 e 0.32
P(60kg<peso<80kg=P(z60<z<z80) =
=P(-0.48<z<0) + (P(0<z<+0.32) =
 0.5 
0.631
0.749
 0.5 

2
2
=1-0.3155 - 0.3745=0.310
31,0%
0,5 
v
2
0,5
v
2
0
z
Ripartizione delle aree di probabilità della distribuzione z
Esempio di utilizzazione della
distribuzione z
•
1.
2.
1R
Una popolazione di bambini presenta valori di statura distribuiti in modo
gaussiano con media = 120 cm. e deviazione standard = 16 cm.
Quale è la probabilità che un bambino scelto a caso presenti una statura
inferiore a 132 cm.?
Quale è la probabilità che l’altezza sia maggiore di 116 cm., ma inferiore
a 132 cm.?
z132
(132  120)cm

 0.75
16cm
0.453
0,5  (0,5 
)  1  0.2265  0.7735  77.4%
2
Esempio di utilizzazione della
distribuzione z
•
2R
z116
(116  120)cm

 0.25
16cm
0.803
 0.4015
2
• P(Z116<Z<Z132)0.7735-0.4015=0.3720
37.20%