Lezione 1
Vettori e cinematica
1.1
Vettori
Serway, Cap 1
Componenti dati modulo e direzione:
Ax = |A| cos θ
Ay = |A| sin θ
Modulo e direzione date le componenti:
q
|A| = Ax2 + A2y
θ = arctan
Ay
Ax
I.411
Una particella è sottoposta a due sopstamenti. Il primo ha un modulo di 150 cm
e forma un angolo di 120◦ con le x positive. Lo spostamento risultante ha un
modulo di 140 cm e forma un angolo di 35◦ con le x positive. poiché |v1 | = 150
cm e θ1 = 120◦ si ha:
v1,x = 150 × cos 120◦ = −75cm
v1,y = 150 × sin 120◦ = 129.9cm
e per la risultante ~v3 , essendo |v3 | = 140 cm e θ3 = 35◦ si ha:
v1,x = 140 × cos 35◦ = 114.7cm
v1,y = 140 × sin 35◦ = 80.3cm
1 I numeri dei problemi e i capitoli si riferiscono alla seconda edizione del Serway. Per
esempio I.41 è il problema 41 del primo capitolo.
1
Dalla relazione ~v1 + ~v2 = ~v3 si ricava:
v1,x + v2,x = v3,x
v1,y + v2,y = v3,y
quindi:
v3x = v3x − v1x = 114.7 + 75 = 181.7cm
v3y = v3y − v1y = 80.3 − 129.9 = −49.6cm
e
infine, modulo e direzione di ~v2 si trovano con:
q
2 + v 2 = 195.9cm
|v2 | = v2x
2y
θ3 = arctan
1.2
v2y
= −14◦ .6
v2x
Cinematica in una dimensione
Velocità costante:

 a=0
v = v0

s = vt
Accelerazione costante:

 a = a0
v = v0 + at
2

s = v0 t + at2
II.20
Un pilota parte da fermo e accelera uniformemente a 10m/s2 per una distanza
di 400m. Determinare il tempo impiegato e la velocità dell’auto alla fine.
2
Poiché si parte da fermi e si prosegue con accelerazione costante s = at2
(infatti vi = 0); il tempo impiegato a percorrere s è quindi:
s
r
√
2s
800m
t=
=
= 80s2 = 8.94s
2
a
10m/s
La velocità finale è data da:
vf = at = 10m/s2 8.94s = 89.4m/s = 321.84km/h
2
Serway, Cap 2
II.22
Una locomotiva rallenta da 26.0 m/s a zero in 18.0 s. Quale distanza ha percorso?
Poiché alla fine ci fermiamo (vf = 0) si ha (vf = vi = at) vi = −at. Quindi
l’accellerazione è
−26m/s
−vi
=
' −2.6m/s2
a=
t
10s
(Negativa, perché stiamo rallentando!). Lo spazio percorso è:
s = vi t +
1.3
2.6
at2
= 26.0 × 18.0 + −
(18.0)2 = 46.8s
2
2
Cinematica in due dimensioni
III.8
Una particella posta nell’origine ha accellerazione ~a = (3.0m/s2 )~j e velocità
iniziale ~v0 = (5.0m/s)~i Trovare il vettore posizione ad un generico istante t e
quello particolare per t = 2sec.
Scomponendo velocità e accelerazione lungo le componenti cartesiane ci si
convince che nella direzione x (ossia ~i) il moto è rettilineo uniforme ( infatti,
ax = 0) con velocità iniziale 5.0m/s, mentre nella direzione y (ossia ~j) il moto
è uniformemente accelerato (ay = 3.0m/s2 ) con velocità iniziale nulla.
quindi le componenti dello spostamento sono:
sx = t5.0m/s
t2
(3.0m/s2 )2
2
quindi, tornando alla notazione del problema:
sy =
t2
~s(t) = t5.0m/s~i + (3.0m/s2 )~j
2
in particolare, per t = 2 sec si ha:
~s(t) = 10.0m~i + 6.0m~j
le componenti sono dunque:
sx = 10.0m
sy = 6.0m
il modulo dello spostamento
p
|s| = 10.02 + 6.02 m = 11.66m
e la direzione:
θ = arctan
6.0
= 30◦ .96
10.0
3
Serway, Cap 3
III.10
Uno studente vuole misurare la velocità iniziale dei pallini sparati da un fucile.
Spara puntando il fucile in direzione orizzontale verso un bersaglio posto su di
un muro verticale a distanza x. I pallini colpiscono il bersaglio ad una distanza
verticale y più in basso rispetto alla posizione del fucile. (a) Dimostra che la
traiettoria di un pallino è y = Ax2 dove A è una costante. (b) Esprimi la
costante in termini della velocità iniziale e dell’accelerazione di gravità g. Se
x = 3.0m e y = 0.210m qual’è la velocità iniziale dei pallini?
Poiché la velocità iniziale è orizzontale, si ha:
v0x = |v~0 |
v0y = 0
le accelerazioni sono date scomponendo la accelerazione di gravità:
ax = 0
ay = −g
dunque il moto lungo x è unforme, quello lungo y è uniformemente accelerato:
x(t) = v0x t = v0 t
g
ay 2
t = t2
2
2
Ricaviamo una relazione che da il tempo in funzione della x percorsa:
x
t=
v0
y(t) = v0y t +
e sostituendola nella y si ha:
y(x) = −
g 2
x = Ax2
2v02
il moto è quindi parabolico, e la costante A è data da:
g
A=− 2
2v0
Se x e y sono date, possiamo determinare A dalla relazione
g
y
A= 2 =− 2
x
2v0
e da questa v0 invertendo:
v0 =
s
gx2
−2y
che per x = 3.0m e y = −0.21m da:
r
9.8m/s2 9m2
= 14.49m/s
v0 =
0.42m
4
III.14
Una garnata viene sparata ad una velocità iniziale 300 m/s con un angolo di
55.0◦ sull’orizzontale. Espolode contro una montagna dopo 42.0 sec. Trova
le coordinate del punto in cui esplode, relativamente al punto in cui è stata
sparata.
Le accelerazioni sono date scomponendo la accelerazione di gravità:
ax = 0
ay = −g
Il moto dunque uniforme lungo x e lungo y è uniformemente accelerato;
x(t) = v0x t
g
y(t) = v0y t − t2
2
le componenti iniziali della velocità sono date dalla scomposizione di ~v0 ;
Le coppie di punti (x(t), y(t)) descrivono le successive posizioni del corpo, a
t diversi (sono chiamate la taiettoria). poichè |v0 | = 300m/s e θ = 55◦ si ha:
v1,x = 300 × cos 55◦ = 171m/s
v1,y = 300 × sin 55◦ = 245.7m/s
quindi la traiettoria è:
x(t) = (171m/s)t
y(t) = (245.7m/s)t +
9.8m/s2 2
t
2
che per t = 42s da il punto:
x(t) = (171m/s)(42s) = 7.18km
y(t) = 1.67km
III.48 Gittata e altezza
Serway, Par 3.3
Una ragazza lancia una palla con gittata massima di 40.0 m su un campo pianeggiante. A quale altezza essa lancerà la stessa palla verticalmente verso l’alto?
Assumere che le velocità iniziali siano uguali. (I muscoli imprimono la stessa
velocità nei due casi.)
Teoria:
Data la velocità iniziale v0 e θ si determini la gittata R e l’altezza h raggiunta
dal corpo. Le equazioni del moto del corpo sono
x(t) = v0x t
5
g
y(t) = v0y t − t2
2
La gittata è data dal punto ove il corpo ritorna a terra (cioè ad altezza zero)
ossia y = 0: Risolvendo
g
0 = v0y t − t2
2
si hanno le due soluzioni per t: t = 0 (che è chiaramente l’istante della partenza
del corpo, quando è a y = 0) e
t=
2v0y
= tArrivo
g
(ossia l’istante di arrivo del corpo a terra, ove y = 0) La gittata è data dalla
distanza orizzontale totale percorsa, quindi dalla x al tempo di arrivo:
R = x(tArrivo ) = v0x tArrivo =
2v0y v0x
g
Per esprimere R in funzione del modulo e dell’angolo basta usare le relazioni:
v0,x = |v0 | × cos θ
v0,y = |v0 | × sin θ
e la relazione trigonometrica 2 sin θ cos θ = sin(2θ) e ottenere:
R=
2|v0 |2 sin θ cos θ
|v0 |2 sin(2θ)
=
g
g
il seno è massimo (e vale 1) per 2θ = 90◦ , ossia θ = 45◦ . quindi la gittata
massima si ottiene partendo a 45◦ e vale:
Rmax =
|v0 |2
g
L’altezza massima viene raggiunta a metà volo, ossia al tempo:
tPicco =
v0y
1
tArrivo =
2
g
quando la y vale:
h = y(tPicco ) =
2
2
2
v0y
v0y
v0y
−
=
g
2g
2g
Tornando alla ragazza del prob. 48, poichè la gittata è massima (quindi ha
lanciato a 45◦ ) si ha:
|v0 |2
40m = RMax =
9.8m/s2
quindi:
|v0 | =
p
9.8m/s2 × 40m = 19.7m/s
6
se avesse lanciato verso l’alto (θ = 90c irc) con lo stesso modulo della velocità,
allora le componenti della velocità iniziale sarebbero state:
vx0 = |v0 | cos 90 = 0
vy0 = |v0 | sin 90 = |v0 |
e quindi:
(19.7m/s)2
= 20m
29.8m/s2
h=
1.4
Cinematica rotazionale
∆θ
∆t
Velocità angolare: ω = (lim∆t→0 )
€ 
Velocità tangenziale: v = ∆s
∆t = ωr
Moto circolare uniforme: ω = ω0 costante
2
Accelerazione centripeta: a = ω 2 r = vr
III.26
Un pneumatico di raggio 0.5 m ruota con una velocità angolare costante di 200
giri al minuto. Trovare la velocità e l’accelerazione di un sassolino posto nel
battistrada.
Poiché un giro ha un angolo di 360◦ = 2π, 200 giri hanno un angolo di
2π × 200, quindi la velocità angolare è:
ω=
400π
= 20.94Hz
60sec
ne segue:
v = 20.940.5m/sec = 10.47m/sec
a=
v2
= 219.310m/sec2
r
III.27
Il giovane Davide, che uccise Golia, provò varie fionde, prima di affrontare il
gigante. Trovò che con una fionda lunga 0.6 m poteva mettere in rotazione il
sasso ad una frequenza di 8.00 giri/sec. Con una seconda fionda lunga 0.9 m
la frequenza era solo di 6.00 giri/sec. Determina (a) quale fionda produce la
maggiore velocità lineare. (b) l’accelerazione per entrambe le fionde.
La relazione tra velocità angolare e velocità tangenziale è: v = ωR La velocità angolare della prima fionda è:
ω1 = 8.0 × 2π
rad
rad
= 50.25
s
s
7
Serway, Cap. 3
anche: Serway,
Par. 10.3
cosicchè, essendo R1 = 0.6m si ha
v1 = ω1 × R1 = 30.1m/s
per la seconda:
ω2 = 6.0 × 2π
rad
rad
= 37
s
s
cosicchè, essendo R2 = 0.9m si ha
v2 = ω2 × R2 = 33.9m/s
Dunque la seconda fionda produce la maggior velocità.
L’accelerazione è data da: a = v 2 /R quindi:
a1 = v12 /R1 = 1.51km/s2
a2 = v22 /R2 = 1.27km/s2
8