Seconda Lezione
Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss
Riassunto della lezione precedente




Struttura dell’atomo
Legge di Coulomb per cariche discrete (nel
vuoto)
Legge di Coulomb per distribuzioni di cariche
Definizione di intensità del campo elettrico
Stiamo per fare un po’ di conti su
una struttura composta da due
cariche, il dipolo: perché?




Alcune strutture ed alcune molecole si comportano
da dipolo
Vedremo nelle prossime lezioni che il campo
irradiato da una antenna avrà anche un contributo
di tipo “dipolo”
E’ un utile esercizio per la natura vettoriale delle
grandezze
I passaggi che seguono sono un po’ “macchinosi”;
vedrete in seguito come è possibile ottenere lo
stesso risultato grazie a un potente strumento
dovuto a Laplace, il potenziale
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
Il problema ha simmetria cilindrica: il campo non dipende da f
Useremo le
P
coordinate sferiche
z
r( )
d
2
d

2
( )

r
x
r( )
()
E(r , ) 
E ( ) 
q
r()
4 0 r(2) r()
E(r,, f )  E() (r,)  E() (r, )
(q)
r(  )
4 0 r(2 )
r(  )

q
r()
4 0 r(2) r()
E() 
q
r(  )
4 0 r(2 ) r(  )
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
u
r
P
z
q
r( )
d
2
d

2
E(r , ) 
u
( )

()
r()
4 0 r(2) r()

q
x
E(r , ) 
q
4 0 r(3)
r
( )

 du z 
q
4 0 r(3)
3
3

q  r(  )  r(  )
d


r

u
z

4 0  r(3 ) r(3 ) (  ) r(3 )


r()
4 0 r(2) r()
r(  )  r( )  d u z
r
r()
q
r( )
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
u
r
Tuttavia vale
P
z
r( )
d
2
d

2
( )

r
r()
()
d
u
r   r  cos
2
d


 r 1 
cos 
2r


Se P è molto lontano (d<<r):
d
x

3
3
 r   r 1  3
cos 
2r


q
d
d

 

 r 3  r 3   r 3  3r 2 cos    r 3  3r 2 cos   3r 2 d cos
2
2

 


q  3r 2 d cos
d

E( r ,  ) 
r

u
z

4 0  r(3 ) r(3 ) ( ) r(3 )


Campo Elettrico prodotto da un dipolo
u
In coordinate sferiche
P
u z  cos u r  sin u
u
r
z
z
u
q
r( )
d
2
d

2
( )

Inoltre r  r
 
r
x
r()
()
Infatti
u
u
r
z
u
 90
q
r   ru r
(ricordate?…siamo lontani)
 3r 2 d cos

d

 E(r , ) 
ru r  3 cosu r  sinu 
6


4 0 
r
r

q
E( r ,  ) 
q
4 0 r
3
2d cosu r  dsinu 
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
Se definiamo

p  qd Momento di dipolo elettrico
E( r ,  ) 
p
4 0 r
3
2 cosu r  sinu 
E dipende solo da p: se per es. raddoppiamo q e
dimezziamo d, il campo non cambia
p si definisce anche come un vettore orientato lungo uz
Dipolo ancorato in un campo elettrico uniforme
Momento di torsione t
d
τ  2(  F )  p  E
2
t fa ruotare il dipolo in senso orario
fino ad allinearlo al campo
Le molecole d’acqua sono dipoli
Il forno a microonde...
Il campo esterno varia periodicamente
Esperienza di Millikan


Raggi X ionizzano dell’olio minerale
Una gocciolina può mantenersi
sospesa quando forza gravitazionale
e campo elettrico si compensano
mg m  V
4 3
mg  qE  q 
V  r
E
3

4
F peso   goccia r 3 g
3
Il raggio della goccia r si può
determinare dalla velocità di caduta della
goccia quando il campo è nullo:
4
Farchimede    ariar 3 g Fatt.viscoso  6 rv
3
dv
m  4 / 3r 3 g  6 rv E condizione iniziale v(0)=0
dt
Esperienza di Millikan
Soluzione tipo

Sostituendo nella om. (eq caratt.)

Sostituendo nella complessiva

Imponendo condizione iniziale

Quindi:
Expérience de Millikan.mht
vom  Aet
v  vom  vf

  6 r / m
4 3
r g
vf  3
6 r
A  vforzata
6r 

t
4 / 3r g 

m
v
1 e

6 r 


3
goccia=800 kg/m3
aria=1.29 kg/m3
=1.29 Ns/m2
Materiali: prima classificazione



Conduttori : sostanze nelle quali alcune o tutte le cariche
elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di
forze elettriche (elettroni di conduzione nei metalli, ioni
nelle soluzioni acquose).
Isolanti (dielettrici): gli elettroni sono vincolati agli atomi
(es.: vetro, ebanite).
Semiconduttori: classe di materiali intermedia tra i
conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre
elettricità (es. : silicio, germanio). In realtà in questi la
conduzione avviene in modo piuttosto peculiare
Altri materiali


Superconduttori (scoperti nel 1911; recenti scoperte
nel 1997)
Nanotubi e nanofili(scoperti nel 1991)
Modalità di conduzione nei solidi




Banda di
conduzione
Energia degli elettroni

Ciascun elettrone in un solido possiede una
energia potenziale (livello energetico)
Risultato fondamentale della meccanica
quantistica è che non tutte le energie sono
possibili: esse sono raggruppate in bande
le bande sono separate da regioni che
indicano energie che gli elettroni non
possono avere: bande proibite
In un solido gli elettroni più esterni sono
quelli che formano i legami: elettroni di
valenza; banda di valenza
La conduzione avviene se possiamo
mettere in moto elettroni (energeticamente:
dobbiamo disporre di elettroni in banda di
conduzione [energia cinetica])
Banda di
valenza
Modalità di conduzione nei solidi
O
Si
O
O
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
O
Energia degli elettroni
Conduttori: “mare” di
elettroni liberi
Si
Gap piccolo:
salto termico
(rottura
legame)
Isolanti (SiO2)
Semiconduttori
In presenza di materiale: conduttori
Un qualunque campo elettrico
interno o tangente alla superficie
produrrebbe correnti
Le cariche si spostano (correnti)
e producono a loro volta un
campo, fin quando all’equilibrio
non c’è nessuna forza e nessun
campo
All’equilibrio il campo elettrico interno a un
conduttore e quello tangente alla superficie
DEVONO essere nulli
In presenza di materiale: Dielettrici
Nuvola elettronica in un
atomo in assenza di campo
Elettrico: l’atomo è neutro
In presenza di un oggetto
carico, ovvero di un campo
elettrico, la nuvola si distorce
e l’atomo diviene polare
Induzione elettrostatica
In presenza di materiale
E
-
+-
E pol
Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la
sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto
dalle cariche di polarizzazione:
il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del
campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la
costante dielettrica relativa r
E
+
In presenza di materiale

Definiamo una quantità che non
1 q1 q2 
F
u r dipende dal mezzo: il vettore
2
4 r
Spostamento Elettrico o Densità

di Flusso Elettrico [C/m2]
 F0


r   1
D E
F
Nota: questa espressione è vera se il materiale è
   r 0
“lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il
campo di polarizzazione è proporzionale al campo
che induce la polarizzazione. Se non lineare, 
dipende da E

q 
D
u
r
2
4r
Per una carica puntiforme:
Definizione di FLUSSO in
elettromagnetismo
S’
E
E
q
n
S



E SE
Campo Uniforme e
Ortogonale ad S

S
n



 
 E  S ' E  S E cos(q )  S E  n
Campo Uniforme ma NON
Ortogonale ad S
Definizione di FLUSSO
Ei
ni
dsi


 
 E   ds E  n superficie aperta

S

 
 E   ds E  n superficie chiusa
S
M
Il flusso di un campo vettoriale così
definito è una quantità scalare. Tale
definizione è quella adottata da
Maxwell: “In the case of fluxes, we have to take
the integral, over a surface, of the flux through every
element of the surface. The result of this operation is
called the surface integral of the flux. It represents the
quantity which passes through the surface"
Carica puntiforme: flusso attraverso una sfera

E
q
4 0 r

 ( E) 
2

ur
q
4 0 r
4r 
2
2
q
0
Carica puntiforme: flusso attraverso una
superficie chiusa arbitraria
d E 

q
4 0 r
2
dW
dA cosq
Nota che dA cos(q) è anche la proiezione di dA su una sfera
di raggio r: poniamo dA’ (del resto per una sfera centrata sulla carica
tutto il campo è ortogonale….)

l’elemento di angolo solido è per definizione (in steradianti)
dW 
dA'
r2
  d E 


dA
r2
q
cosq
dW

4 0
dW
 d E  q
4 0
q Poiché l’angolo solido
 E 
sotteso da una sfera è 4
0
steradianti
Se nella regione vi sono diverse cariche, la procedura è
analoga e i contributi di flusso si sommeranno linearmente:
pertanto q può essere considerata la carica netta totale
Osservazioni
 
q
 E   E  dA 
0






Legge di Gauss
in forma
Integrale
La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere
che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume
racchiuso dalla superficie di Gauss
Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo
quelle interne da quelle esterne alla superficie)
Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad
eventuali cariche esterne
però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne
entra quanto ne esce)
La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di
Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche
per cariche in moto
Legge di Gauss per D
 
 D   D  dA  qlibera

Legge di Gauss in forma
Integrale
Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le
cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella
definizione di D: vediamo come

Applichiamo il Th. Di Gauss per il
Cariche indotte
campo elettrico ad una carica +Q
circondata da un guscio
dielettrico

Q'
Q
2
1
Q'
Legge di Gauss per D

Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per r<=R1
E    ds E  n 
1
Q'
Q
3
2
Q
0
 Er 
Q'
1
Superficie di Gauss
Q
4 0 r
2
Legge di Gauss per D

Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R1<r<=R2
E    ds E  n 
2
Q
3
2
1
Q'
Q - Q'
0
Q'
 Er 
Q  Q'
4 0 r
2
Legge di Gauss per D

Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R3<=r
E    ds E  n 
Q - Q' Q'
3
Q
3
2
1
Q'
0
Q'
 Er 
Q
4 0 r
2
Legge di Gauss per D

Utilizzando il Teorema di Gauss per D invece
D   ds D  n  Q  Dr 

4r 2
r
Nel Dielettrico in particolare, confrontando le due espressioni:
 0 Er 

Q
Q  Q'
4r
2
 Dr 
Q '
4r
2
 Dr   0 E r 
Q'
4r 2
Per mezzi lineari possiamo ipotizzare che la carica indotta Q’
sia proporzionale al campo

Q'
4r
2
  e 0 E r

 e Si definisce Suscettività Elettrica
A cosa serve D

D legato alle sole cariche libere
D/0 Campo elettrico in assenza di dielettrico
Per mezzo isotropo, lineare ed omogeneo

Si definisce anche vettore Polarizzazione P





D   0 (1   e )E   0 r E


P   0 eE