CSPfea
11 giugno 2008
Comune di Ravenna
ELEMENTI DI MECCANICA DELLE MURATURE
MODELLI DI COMPORTAMENTO
INDAGINI DI CARATTERIZZAZIONE
prof. ing. Andrea Benedetti
Dip. DISTART, Univ. di Bologna
Viale Risorgimento 2, 40136 BOLOGNA
E-mail: [email protected]
1
Criteri di Valutazione
• Requisiti di sicurezza e verifiche:
– Si applica quanto detto per gli edifici di nuova
costruzione
• Dati necessari e livello di conoscenza:
– Geometria dell’organismo murario
– Dettagli costruttivi
– Proprietà dei materiali
2
Rilievo della geometria
3
•
Rilievo sommario: comprende il rilievo dei principali elementi
strutturali resistenti a taglio, piano per piano, delle volte in
muratura ed una stima a campione dell’andamento e della
rigidezza dei solai.
•
Rilievo completo: comprende il rilievo completo, piano per
piano, di tutti gli elementi in muratura, il rilievo delle volte e della
loro tipologia, il rilievo dell’andamento di tutti i solai, una
valutazione accurata della loro rigidezza ed una valutazione dei
carichi di gravità gravanti su ogni elemento di parete.
Dettagli Costruttivi
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
4
qualità del collegamento tra pareti ortogonali;
qualità del collegamento tra solai e pareti ed eventuale
presenza di cordoli di piano;
esistenza di architravi dotate di resistenza flessionale al
di sopra delle aperture;
presenza di elementi strutturali spingenti e di eventuali
elementi atti ad eliminare la spinta;
presenza di elementi, anche non strutturali, ad elevata
vulnerabilità;
tipologia e qualità della muratura (a un paramento, a due
o più paramenti, con o senza collegamenti trasversali),
eseguita in mattoni o in pietra (regolare, irregolare);
presenza e rappresentazione dell’eventuale quadro
fessurativo.
Fattori di Criticità
a) geometria dell’organismo strutturale
b) proprietà meccaniche dei materiali
c) rappresentatività del modello di calcolo e delle verifiche
5
1) presenza di canne fumarie,
2) tracce che contengono tubazioni e impianti,
3) aperture tamponate senza eseguire
dentellature di continuità delle murature,
4) architravi di lunghezza insufficiente,
5) mancanza di continuità negli spigoli di muri
ortogonali,
6) erroneo collegamento di volte e solai alle
sottostanti pareti,
7) mancanza di catene negli elementi spingenti
della costruzione.
Descrizione del materiale
6
Schematizzazione meccanica base
• Diagramma di comportamento monoassiale
7
Schema analogico di comportamento
8
Fessurazione delle Murature
9
Fasi di Collasso di colonne di mattoni
•
•
•
•
La colonna si fessura in asse nei mattoni che legano i piani di simmetria
Le fessure si propagano nella malta e si estendono a tutta altezza, dividendo la
colonna in quattro parti
La pila di mezzi mattoni sull’angolo più caricato si fessura di nuovo in mezzeria, e
dopo poco si instabilizza collassando
La colonna, ormai di sezione asimmetrica, entra nel ramo discendente e collassa
repentinamente
10
Comportamento sperimentale delle colonne
Normalised Stiffness
2,0
1,6
DC1
DC2
DC3
DC4
DC5
DC6
• percorsi carico
spostamento delle
colonne di tipo
lineare a tratti
• Rigidezza che si
riduce fortemente
dopo la fessurazione
1,2
0,8
0,4
0,0
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
Mean Stress [MPa]
3,0
2,5
4,5
Stress (MPa)
Mean Stress [MPa]
6,0
3,0
1,5
DC1
DC2
DC3
DC4
DC5
DC6
11
2
4
6
Mean Strain [mm/m]
8
1,5
10
\
1,0
0,5
0,0
0
2,0
0,0
-0,4
DC1
DC3
DC5
-0,3
DC2
DC4
DC6
-0,2
Strain (mm/m)
-0,1
0,0
Estrazione di campioni
NDT TESTING
• Il campione più semplice da estrarre è la carota
cilindrica:
– La carota di mattone pieno,
– La carota con il giunto di malta trasversale
all’asse,
– La carota con il giunto di malta sul piano
diametrale
12
Prove NDT per murature
a) Prove correlate con la dissipazione di energia di uno strumento che
penetra nel materiale
b) Prove correlate con la propagazione di un urto o di un onda
c) Prove correlate con la vibrazione stazionaria o transiente
4,0
Mortar Compressive Strength
NDT TESTING
d) Prove correlate con parametri non meccanici quali la temperatura,
la permeabilità elettrica o magnetica, etc.
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
13
1
2
3
4
5
6
7
Core Extraction Position
8
9
10
Effetto dello spessore della malta
MASONRY MECHANICS
fmc [MPa]
14
hm [mm]
Prove di campioni irregolari
Irregular specimens (Drdácký, 2011)
dependency on thickness: role of
confinement
Test con doppio punzone
The loading plates and the material outside the
punch area provide an horizontal confinement
effect.
Numerical simulation of the test to understand the
amount of confinement sh/sv
Confinamento
Linear FE analysis with 20-node solid elements
Es=0.2 GPa, vs=0.25; Em=2000 MPa, vm=0.25
Confinement ratio sh/sv as function of the mortar
specimen thickness (t) and the ratio between
specimen and punch radii (R2/R1)
R2/R1
a) t=15 mm
t (mm)
b) R2/R1=2 (R1=10 mm)
Analisi di sensibilità
considering different specimen thickness (t) and
different ratios between specimen and punch radii
(R2/R1)
sh/sv
t (mm)
R2/R1
Splitting tests on cores with inclined mortar
joint
Extraction of masonry cores including a mortar joint
Test setups: 30º - 45º - 60º
Prova Brasiliana di carote con malta
SPLITTING TEST
• Nello strato di malta:
– Ci sono compressione e taglio combinate
– La risposta dipende dallo spessore
20
s  p  sin 45  0, 707 p
  p  cos 45  0, 707 p
s 
2
5
5
R     
 
p
4
8
2
2
Interpretazione secondo Mohr - Coulomb
s , 
SPLITTING TEST
c
21

R
0,  
fvk0
fmc
s
2
 f c  ft 
  arcsin 

f

f
 c t

1  max 
arcsin 

1


max 

Splitting tests on cores with inclined mortar
joint
The test induces a shear-compression state to the
mortar.
Representation of the stress state in the inclined
joint in the s Mohr plane:
30º
Angle
Compression
Shear
Circle Radius
45º
60º
30°
45°
60°
This 2D analytical
interpretation do not account
for confinement
Splitting tests on cores with inclined mortar
joint
FE analysis to investigate the role of confinement
Eb=13640 MPa, vb=0.10; Em=1280 MPa, vm=0.10÷0.45
The confinement increases with the Poisson’s ratio
Comparison between numerical
trends and analytical predictions
from Hilsdorf’s theory
sh/sv
Mohr circles
for points
along a 45º
joint
v
Splitting tests on cores with inclined mortar
joint
30º setup: vm=0.35
45º setup: vm=0.25
60º setup: vm=0.15
Plane Stress
Plane Strain
Setup
x
Setup
x
z
30º
22. 8%
30º
39.1%
48.7%
45º
20.7%
45º
27.4%
31.9%
60º
33.4%
60º
35.1%
20.3%
Stress
Plane Strain
x
Setup
x
z
22. 8%
30º
39.1%
48.7%
20.7%
45º
27.4%
31.9%
33.4%
60º
35.1%
20.3%
Confinement leads to the reduction
of the dimensions of Mohr circles
and to their shifting in the direction
of the maximum compression stress
Splitting tests on cores with inclined mortar
joint
Nonlinear FE simulation of the tests
M-C Criterion
fm=35º , cm=0.6 MPa
fb=52.7º ,cb=3.7 MPa
Comparison between
plane strain and plain
stress conditions:
the gap between is
more marked in 30º
setup
Experimental results:
30º setup: Fu=28812 N
45º setup: Fu=18380 N
60º setup: Fu=9139 N
Determination of the mortar failure envelope
An automatic software has been developed.
Obtained M-C parameters : f=36º , c=0.6 Mpa
Obtained M-L parameters: s0 =0.32 MPa, 0=0.6 MPa
Compression parameters: fc=2.81 MPa, fcb=5.62 MPa
Effetto del Confinamento della malta
Criterio triassiale
di Bresler - Pister
Curve biassiali di
Etse - Willam
27
Comportamento elastico di un materiale
composito
• Il modulo elastico di un materiale stratificato
può essere ottenuto mediante la composizione
in serie della rigidezza
Ek 
28
hb  hm
hb hm

Eb Em
•
•
•
Equilibrio
s hm khm  s hb hb
Congruenza
1
1
1  m  s hm  ms v    1  b  s hb  bs v 

Em
Eb
s hm 
tensioni
b
m 

1  m  1  b 
A
shb
29
shb
A
s hb
B
shm
Section A-A
k hm
 hb
sv
hm
 s hm k
hb
B
shm
Section B-B
Distribuzione
delle tensioni
trasversali
nella
muratura
Calcolo della resistenza a compressione
• Normativa Italiana: tabella
• Eurocodice 6: formula di regressione
s u  0,6 fbc0,75 f mc0,25
• Teoria della rottura fragile
f wc
(1)
fbc fbt

fbt   fbc

• Teoria della rottura totalmente plastica
f wc
30
(3)
fbt   f mt
fbt   f mt


fbt
f
  mt  b   m
fbc
f mc
hm
hb
Murature eterogenee
•
31
Tutte le
murature reali
presentano
misture di
mattoni,
inclusioni,
lesene,
listature, ecc.
Material
Elastic
Modulus
Tension
Strength
Compression
Strength
Adobe bricks
100
0.3
1.5
Baked bricks
2100
0.6
16.0
Silty mortar
100
0.3
1.5
MPa
MPa
MPa
Programma sperimentale - tessiture casuali
• Sono stati
testati 13
pannelli con
misture
casuali di
mattoni e
proporzioni
variabili tra
0% e 100%
32
Resistenza di misture di mattoni
Le misture di mattoni
presentano resistenze
assai simili a quella del
mattone peggiore
8
6
  
E  

 E 
4
1
i
2
b
i
b ,i
0
0
20
40
60
80
 
m

0.3
0.25
E

E
m
b
E h
1   1   
E h
m
0.2
b
m
m
b
b
b
0.15
0.1
fk 
0.05
0
0
33
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
f
i
bc ,i
1
hm i
 
i hb ,i f bt ,i
Comportamento a taglio - compressione
• Il taglio che la muratura può sopportare dipende
dalla compressione presente
0.25
0.2

  f vko 1 
Formula (15)
fk
Analisi
Limite
0.15
0 
Formula (14)
0.1
s
0.05
fk
0.2
34
0.4
0.6
0.8
1
s
fk
 s0  s0 
1   1 

fk  
f mt 

1
1

f k f mt
Degrado dovuto a Sali
– Localmente, ove le condizioni sono favorevoli, i Sali
possono distruggere massa nella muratura
35
Verifiche di Sicurezza (SLU)
• PRESSOFLESSIONE
• momento ultimo resistente calcolato assumendo la muratura
non reagente a trazione ed una opportuna distribuzione non
lineare delle compressioni
L2ts 0 
s0 
Mu 
1 

2  k fd 
Mu
L
t
s0
momento corrispondente al collasso per pressoflessione,
larghezza complessiva della parete (inclusiva della zona tesa),
spessore della zona compressa della parete,
tensione normale media, riferita all’area totale della sezione
(=P / Lt)
Se P è di trazione, Mu=0,
fd = fk/gm resistenza a compressione di calcolo della muratura.
36
In caso di analisi statica non lineare lo spostamento ultimo potrà essere
assunto pari allo 0.8% dell’altezza del pannello.
Resistenza flessionale di setti murari
37
Il calcolo del momento flettente resistente può essere condotto
considerando una distribuzione eccentrica di sforzi normali plastici
Verifiche di Sicurezza (SLU)
• TAGLIO
• La verifica a taglio di ciascun elemento strutturale si
effettuerà considerando la parte di sezione compressa
Vt 
L’
t
fvk
L ' t f vk
gM
larghezza della parte compressa della parete
spessore della parete
definito al punto 2.3.2.1 del D.M. 20.11.87, calcolando la
tensione normale media sulla parte compressa della sezione
(sn = P/l’t).
fvk  fvk 0  0.4s 0  min 1.4 fbk ;1.5 MPa 
38
In caso di analisi statica non lineare lo spostamento ultimo potrà
essere assunto pari allo 0.4% dell’altezza del pannello
Maschi murari pressoinflessi
39
Comportamento in fase elastica
L V  Me
e
Me  N
H
6
 
e
M
e
EI
Ve  H
Me  4  H 2
H2
6 
 e  e 





3 1.2  G  A t  L  E  L2 5  G 
K
40
tL
H 4 H

E L
1
2
5



 6G
Comportamento in fase fessurata
• Lo spostamento in fase fessurata è ottenuto integrando la
curvatura sull’altezza del pannello
 L y 
My  N   
2 3 
 L V z 
 ( z)  3  

N 
2

L N
L  N  2 H V
N3
 (V )  
9 Em tV 2
41
y 
2 N
t  f mk
 ( z) 

Vy 
My
H
2 N
Em  t   ( z ) 2
H V
L  N  2 H V

 2  


6


2
ln



3



2N 2
 (V )  
 2  12 
9 Em t LV
 V 
hcr (V )  H  1  e 
 V 
 (V )   e
Ve
M
  (V ) e  (V )
V
V
Comportamento in fase plastica
• Il comportamento in fase plastica è caratterizzato
da un impulso di curvatura plastica alla base
uN
1
N
u 

t f mk 1  0.5 D 1 t f mk
L

M u  N    j u 
2

u
 Vy 
hpl (V )  H 1  
 Vu 
1
 u   y   hpl   H  hpl 
2
 (V )   e
42
3D 2  3D  1
j
6 D 2  3D
(V  Vy )
Ve
M
  (V ) e  (V )   u
V
V
(Vu  Vy )
Confronto con gli esperimenti
Ref.
Fantoni
Fantoni
Fantoni
Fantoni
Callerio
Callerio
Giambanco
Motta
Wall
1A-08
1B-10
2C-03
2D-07
Short
Tall
-
Restraint
C–C
C–C
C–C
C–C
C–C
C–C
C–F
C–F
N
358
360
343
355
150
150
311
242
[kN]
Experimental
Ref.
Wall
Fantoni
Fantoni
Fantoni
Fantoni
Callerio
Callerio
Giambanco
Motta
1A-08
1B-10
2C-03
2D-07
Short
Tall
-
Vu
190.90
219.20
202.00
240.00
76.10
100.00
65.56
84.44

6.00
5.20
6.00
9.38
12.46
5.33
21.6
1.31
average
[kN]
43
[mm]
B
1.25
1.25
1.25
1.25
1.00
1.00
1.20
0.98
[m]
H
1.85
1.84
1.82
1.83
1.35
2.00
2.40
0.98
[m]
T
0.50
0.50
0-50
0.50
0.25
0.25
0.50
0.29
[m]
Error Bilinear Model
V
22.92
6.07
6.40
16.09
25.41
10.99
9.56
14.39
13.97
[%]
d
20.11
61.20
1.71
37.99
47.95
71.53
56.18
22.51
39.89
[%]
Em
1290
785
1118
1125
1910
1910
726
4880
[MPa]
fk
3.69
5.50
6.00
6.00
6.20
6.20
4.50
3.40
[MPa]
Error Present Model
V
6.78
20.47
15.47
5.19
11.41
13.38
7.09
5.95
10.71
[%]
d
21.94
27.87
13.94
15.96
35.51
47.40
17.73
35.15
26.94
[%]
Curve sperimentali e teoriche - 1
44
Curve sperimentali e teoriche - 2
45
Discontinuità Murarie
– Presenza di canne
fumarie che
interrompono la
tessitura muraria
– La resistenza a flessione
e taglio dipende dalla
lunghezza dei pezzi
separati dalla
discontinuità
2N
 L TH 

 3 

t fc
2
2
N


46
NL  4 N 
T
 1 

H  3 Np 
Discontinuità di Tessitura
– Parete sdoppiata per effetto di una linea di sutura
N
N
T
T
H
L/n
L

fc
fc
NL  4 N 
Tn   Ti 
1 

nH  3 N p 
1
n
47
n
U n  U i 
1
5 GLt
6 H
1
n2 H 2
1
2 L2
Prove di piattabande
48
Relazioni di Mohr Coulomb
fc ft
c
2
f c  ft
tan  
2 fc ft
1
fk 
1  hm Em

fbc fbt hb Eb
ft    f c
49
f c  0,6  fbk0,75 f mk0,25
• Si possono calcolare i
parametri della
relazione costitutiva a
partire dalla
resistenza a trazione
e compressione del
materiale
cos 
f c  2c 
1  sin 
cos 
ft  2c 
1  sin 
Calcolo dei parametri della muratura
s  
2P
D
s , 
5
5
s 
R     2 
 
p
4
8
2
2
c
 f c  ft 
 1  
  arcsin 

arcsin

1  
 f c  ft 
c
max
R
0,  
s
2
 5  sin  
R
s
 tan   
 
cos  2
 2 cos  
f mt 
50

2c  cos 
1  sin 
f mc 
2c  cos 
1  sin 
fbc
Analisi numerica delle carote
51
Dati ricavati dalle prove dirette
•
•
•
•
•
Mattone (carota da 70 mm)
- parametri di resistenza:
– fbc = 12 MPa, Eb = 7000 MPa, b = 0,125
- mod. Mohr – Coulomb:
– c = 2,30 MPa, f = 55°
Malta (carota da 70 mm con giunto di 10 mm)
- parametri di resistenza:
•
•
- mod. Mohr – Coulomb:
•
52
fmc = 3,2 MPa, Em = 1000 MPa, m = 0,375
c = 1,00 MPa, f= 27°
Dati ricavati dalle prove numeriche
Carico Applicato [N/mm]
300
250
Carota con malta
Carota di mattone
200
150
100
50
0
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
Accorciamento totale [mm]
Pu   Df mc
53


5  1  



5 1
Modelli non lineari di muratura
• Il pannello può essere
modellato usando malta e
mattoni e adottando
relazioni costitutive di
Mohr - Coulomb
54
Modelli Semplificativi
•
•
A) modelli omogeneizzati (mattoni + malta) bidimensionali
B) modelli equivalenti discretizzati di elementi uniassiali
1,0
2,0
0,0
0,6
Tensione Normale [MPa]
moltiplicatore del carico
0,8
0,4
0,2
-2,0
-4,0
Mattoni e Malta
Mattoni e Malta
-6,0
Muratura
Muratura
Letto di MolleLetto di Molle
-8,0
-10,0
-12,0
0,0
0,0
1,0 -14,0
2,0
4,0
5,0
6,0
7,0
spostamento [mm]
-16,0
0
55
3,0
200
400
600
800
1000
spostamento [mm]
1200
1400
1600
1800
Analisi con metodi non lineari finalizzati
all’analisi push – over
• Metodi numerici ed analisi sperimentali di edifici prototipo
portati a rottura
MAGENES, G., KINGSLEY, G.,
CALVI, G.M. “Static testing of a
full-scale, two storey masonry
building: test procedure and
measured experimental
response”. In “Experimental and
numerical investigation on a
brick masonry building
prototype –Numerical prediction
of the experiment”. CNR-GNDT,
Report 3.0, 1995.
56
Metodo SAM – Magenes & Calvi
• La parete
viene
suddivisa in
elementi
deformabili e
offset rigidi
57
Calcolo della parete D
• Il confronto della parete D
calcolata con il metodo
SAM e con gli elementi
elasto – fragili Gambarotta
- Lagomarsino mostra un
buon accordo
58
Parete D - modalità di collasso
•
59
La parete con
porte (D) presenta
un collasso al
piano terra di tipo
flessionale
mentre in quella
con finestre (B) si
attiva un
meccanismo per
taglio
Confronto
dei risultati in
termini di
spostamento
e taglio
• Il
rapporto
tra sforzo
assiale e
taglio nei
setti è
circa
costante
60
Parete B –
rottura da taglio
• Il punto
angoloso
nella
deformata
mostra che
il piano
basso ha
raggiunto il
collasso
per taglio
61
Calcolo della parete agli E. F.
• La parete è calcolata con 1430 E.F. tipo plane stress in
12 incrementi di carico, materiale di tipo elasto plastico
con superficie limite di Mohr Coulomb e non linearità
geometrica
Parete D
160.0
F140.0
(kN)
120.0
100.0
80.0
Parete D
60.0
40.0
20.0
62
0.0
0.0000
 (m)
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
Calcolo elasto plastico E.F.
s (kPa)
500.0600.0
0.0500.0
-500.0400.0
-1000.0300.0
-1500.0
200.0
63
 (kPa)
Colonna 1
Colonna 2
Colonna 3
Colonna 1
Colonna 2
-2000.0
Colonna 3
100.0
-2500.0
0.0
-3000.0
-100.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.00
1.00
2.00
x (m)
4.0
3.00
5.0
4.00
x (m)
6.0
5.00
6.00
Verifica semplificata - parete D
VTK  Dt
VMC
ft
s
1  0  186 kN
1.5
ft
 s 0  s 0 
1  f 1  f 
c 
t 

  Dt
 193 kN
1 1

f c ft
Vu 
2 M u ,i
H

 Ni Di
H

Ntot  Di2
H  Di
f k  7900 kPa, ft  200 kPa
173
2
2
173

2

1.15

1.82

  117 kN
s0 
=168 kPa
V

4.12  0.25
M
64
D   Di  4.12 m
2.14  (2 1.15  1.82)
Verifica semplificata - parete B
VTK
ft
s0
 Dt
1
 146 kN
1.5
ft
VMC
 s 0  s 0 
1  f 1  f 
c 
t 

 Dt
 211 kN
1 1

f c ft
Vu 
2 M u ,i

 Ni Di

Ntot  Di2
H
H
H  Di
f k  7900 kPa, ft  200 kPa
173
2
2
173

2

0.6

0.9

  108 kN
s0 
=230 kPa
V

3.0  0.25
M
65
D   Di  3.0 m
1.25  2  (0.6  0.9)
Analisi parametrica piana
Sd (T )  2.5
B
q
B
   Gk   Qk   tg b
i
fL
N S ( x)   L( H  x)
H
pe
L
t
66
ag S
2

Sd H
 x 
VS ( x)  
1    
g 2   H  
Sd
x
2
M S ( x)  
 H  x  2  
6g
H

Formule di calcolo
• Si esamina una parete singola per evidenziare le
prerogative della resistenza sismica della muratura
VR ( x) 
tLf vk 0  0.4 N S ( x)
gM
L  N S ( x) 
M R ( x)  N S ( x) 1 

2
kf d Lt 

67
Si possono ricavare i valori dei parametri che
consentono di ugluagliare le azioni alle resistenze
Lunghezza minima delle pareti
14
14
L (m)
L (m)
12
10
12
10
H=12.0 m
8
6
6
H=9.0 m
4
H=6.0 m
4
H=6.0 m
H=3.0 m
0.2
0.3
H=3.0 m
2
2
0.4
0.5
t (m)
t (m)
0.6
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
B = 5.0 m, II cat.
B = 5.0 m, III cat.
10
6
L (m)
L (m)
8
H=9.0 m
8
B=10.0 m
5
I cat.
B=7.5 m
4
6
II cat.
3
4
B=5.0 m
2
III cat.
2
B=2.5 m
1
t (m)
t (m)
0.2
68
0.3
B = 5.0 m, H = 6.0 m
0.4
0.5
0.6
0.2
0.3
H = 6.0 m, II cat.
0.4
0.5
0.6
Variazione del taglio con l’altezza
• Il taglio si mantiene circa costante nella parte bassa
della parete e quindi la sezione critica a taglio è
sempre spostata verso l’alto rispetto alla fondazione
1
V/Vmax
0.8
0.6
0.4
0.2
x/H
0
0
69
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Riduzioni a taglio
1
1
f
f
0.8
0.8
H=3.0 m
0.6
H=3.0 m
0.6
H=6.0 m
H=6.0 m
0.4
0.4
H=9.0 m
H=9.0 m
0.2
0.2
x (m)
0
2
4
6
x (m)
8
t = 0.375 m, B = 5 m, L = 9.0 m, II cat.
1
0
2
4
6
t = 0.75 m, B = 5 m, L = 9.0 m, II cat.
1
f
0.8
f
0.8
H=3.0 m
0.6
H=3.0 m
0.6
H=6.0 m
H=6.0 m
0.4
0.4
H=9.0 m
H=9.0 m
0.2
0.2
x (m)
0
70
8
2
4
6
8
t = 0.75 m, B = 5 m, L = 9.0 m, I cat.
x (m)
0
2
4
6
8
t = 0.75 m, B = 10 m, L = 9.0 m, II cat.