Rossella Garuti 12 settembre 2011
LA GEOMETRIA NELLE
PROVE INVALSI:
un’analisi verticale
Rossella Garuti
il piano delle rilevazioni
SNV e PN 2010-2011
II primaria
V primaria
I secondaria
di primo
grado
Rossella Garuti 12 settembre 2011
III sec. di I grado
Prova Nazionale
Noi
siamo
qui
II secondaria
di secondo
grado
V secondaria di
secondo grado
2
Matematica: la struttura del Quadro di Riferimento
Quadro di riferimento
per la valutazione
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Quadro di riferimento
per i curricoli
Prassi scolastica
Quadri di riferimento
per le valutazioni
internazionali
Esiti delle rilevazioni
precedenti
3
Struttura del Quadro di riferimento
AMBITI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
PROCESSI
CONTENUTI OGGETTO DELLA
VALUTAZIONE
COMPITI
4
Matematica: i contenuti
Dalle Indicazioni per il
curricolo 2007
Numeri
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Spazio e figure
Relazioni e funzioni
Misura dati e previsioni
5
PROCESSI
1. Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica
(oggetti matematici, proprietà, strutture ...)
Rossella Garuti 12 settembre 2011
2. Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito
aritmetico, geometrico ...)
3. Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della
matematica (individuare e collegare informazioni utili, confrontare
strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento
risolutivo, ...)
4. Conoscere e utilizzare diverse forme di rappresentazione e saper
passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare,
...)
PROCESSI
5. Riconoscere in contesto il carattere misurabile di oggetti e fenomeni
e saper utilizzare strumenti (stimare una misura, individuare l’unità di
misura appropriata, …)
Rossella Garuti 12 settembre 2011
6. Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo
dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e
sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una
descrizione di un fenomeno con strumenti statistici o funzioni, costruire un
modello ...)
7. Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico
(congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, …)
8. Saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse
rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o
rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da
una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano
una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative
7
posizioni, …).
ESEMPIO 1 SNV 2011 Classe 2 primaria
Rossella Garuti 12 settembre 2011
AMBITO: Spazio e figure
PROCESSO PREVALENTE :
Sapere risolvere problemi utilizzando
gli strumenti della matematica
(individuare e collegare le informazioni
utili, confrontare strategie di soluzione,
individuare schemi risolutivi di problemi
come ad esempio sequenza di
operazioni, esporre il procedimento
risolutivo,…)
OGGETTO DI VALUTAZIONE:
Mappe, piantine e orientamento
Omiss
0,4
A
B
54,1 34,9
COMPITO: Saper riconoscere,
C descrivere e confrontare un percorso
10,6 dato
ESEMPIO 2 SNV 2011 Classe 2 primaria
AMBITO: Spazio e figure
Rossella Garuti 12 settembre 2011
PROCESSO PREVALENTE :
Conoscere e padroneggiare
diverse forme di
rappresentazione e sapere
passare da una all'altra (verbale,
scritta, simbolica, grafica, ...)
OGGETTO DI VALUTAZIONE:
Figure geometriche
Omiss
A
B
C
1,8
21
56,7
1,8
COMPITO: Individuare relazioni
topologiche (dentro fuori)
La percentuale di risposte corrette 2011
(sul campione)
CLASSE
ITALIANO
MATEMATICA
II primaria
69,2
(0,31)
73,1
(0,20)
62,4
(0,20)
60,3
(0,31)
68,4
(0,15)
46,6
(0,31)
66,4
(0,46)
69,8
(0,26)
56,1
(0,31)
47,9
(0,32)
V primaria
Rossella Garuti 12 settembre 2011
I sec. di I gr.
III sec. di I gr.
II sec. di II gr.
* Fra parentesi l’errore standard
10
SPAZIO E FIGURE
Media delle percentuali di risposte
corrette in SF
60
58
56
54
Rossella Garuti 12 settembre 2011
52
50
48
46
44
42
liv 2
liv 5
liv 6
CLASSE
liv 8
liv 10
SPAZIO E FIGURE
In generale le domande che mettono gli allievi
in difficoltà sono quelle che riguardano l’ambito
SPAZIO E FIGURE e, subito dopo, quelle di
Rossella Garuti 12 settembre 2011
RELAZIONI E FUNZIONI .
E’ una tendenza generale che trova riscontro
anche nelle ricerche internazionali e in molti
paesi dell’area OCSE. (dal rapporto nazionale
A.S. 2010-2011 www.invalsi.it )
Quali domande sono andate peggio?
SNV 2011 Liv. 2
Omiss
0,8
Rossella Garuti 12 settembre 2011
4,4
8
A
B
15,5 18,1
corr
29,2
C
65,6
err
66,4
Quali domande sono andate peggio?
Rossella Garuti 12 settembre 2011
SNV 2011 Liv. 2
L’alunno deve interpretare la rappresentazione
di un oggetto tridimensionale
e
immaginare
Omiss
A
B
C
l’evoluzione dello stesso oggetto con una
0,8
15,5 18,1 65,6
variante posta.
corr
err
Oltre ad immaginare la soluzione il bambino
4,4
29,2
66,4
deve porre attenzione alla domanda
che chiede
“quanti mattoncini in più” e non “quanti
mattoncini in tutto” come facilmente l’alunno
potrebbe essere indotto a pensare.
8
Rossella Garuti 12 settembre 2011
SNV 2011 Liv. 5
Lo studente deve
saper leggere uno
strumento di misura
(righello) e tener
conto che in una
parte della linea
spezzata il righello
non è posizionato
sullo zero.
Omissioni
A
B
C
D
0,3
6,5
14,3
40,5
38,3
Rossella Garuti 12 settembre 2011
SNV 2011 Liv. 6
Omissioni
A
B
C
0,2
9,7
39,3
26,4
L’uso degli strumenti (riga,
compasso, ecc.)
per disegnare figure piane
è previsto fin dalla scuola
primaria. Per rispondere
correttamente lo studente
deve aver usato il
compasso per disegnare
cerchi e sapere che
l’apertura del compasso
corrisponde al raggio del
cerchio.
D
24,3
SNV 2011 Liv. 6
Omiss
Rossella Garuti 12 settembre 2011
1,1
A
B
43,4 12,1
C
D
33,2
10,2
Lo studente deve cogliere che unendo i
punti sulla cartina corrispondenti a Faro,
Lisbona e Portoalegre si ottiene un triangolo
e che quindi la distanza tra le due città sarà
sicuramente minore di 370 km e maggiore di
50 km, in quanto in un triangolo un lato è
sempre minore della somma degli altri due e
maggiore della loro differenza.
La risposta C implica una conoscenza di
natura geometrica e non semplicemente la
stima di una distanza
SNV 2011 Liv. 6
180 °
Rossella Garuti 12 settembre 2011
11:15
Omiss
corretta
errata
10,5
41,2
48,4
6,2
31
62,7
Lo studente deve prima di
tutto saper leggere l’ora su
un orologio analogico e
conoscere l’idea di
angolo come rotazione
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
PN 2011 Liv. 8
Omiss
corretta
errata
19,6
29,0
51,4
22
24,9
53,1
Lo
studente
deve
misurare, eventualmente
tracciandola,
l’altezza
relativa ad uno dei lati (si
noti che in questo caso
due delle altezze sono
esterne al triangolo), e poi
effettuare
calcoli
con
numeri decimali.
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Rossella Garuti 12 settembre 2011
ESEMPI DALLE CLASSI
Su 120 fascicoli
analizzati (5 classi)
NESSUNO disegna
e considera le
altezze esterne al
triangolo!
Rossella Garuti 12 settembre 2011
PN 2010 Liv. 8
La GIUSTIFICAZIONE deve
fare necessariamente
riferimento (anche molto
schematico) sia a “AC=BD” sia
a “AC=r” (anche molto
semplicemente nella forma
“AC=BD=r”). Non è necessario
che venga motivato che
“AC=BD” perchè diagonali di un
rettangolo. Non si richiede un
calcolo ma conoscenze di
natura geometrica
Omiss
36,2
corr
37,2
err
26,6
45,9
18,3
35,8
Rossella Garuti 12 settembre 2011
PN 2011 Liv. 8
Omiss
4,8
corr
84,2
err
11,2
NON è una domanda legata
alla prassi didattica.
Lo studente deve collegare
due rappresentazioni diverse:
la rappresentazione
prospettica di un oggetto
tridimensionale (armadio) e la
rappresentazione dall’alto
(piantina dell’aula) per
individuare il punto di vista
PN 2011 Liv. 8
Rossella Garuti 12 settembre 2011
TRASFORMAZIONI
GEOMETRICHE come
risultato di un
movimento nello spazio
Omiss
A
B
C
D
0,3
3,9
5,9
84,8
5,6
SNV 2011 Liv. 10
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Omiss
31,1
corr
21,9
err
47
Lo studente deve applicare il
teorema di Pitagora al
triangolo ABC
SNV 2011 Liv. 10
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Omiss
33,6
corr
28,7
Per rispondere lo studente deve
saper trovare l’area di un poligono
utilizzando l’equiscomponibilità
err
37,7
NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF
Rossella Garuti 12 settembre 2011
 difficoltà con gli strumenti della geometria.
Compasso, righello, squadra, goniometro sono
oggetti “strani”, poco praticati dagli studenti. Le
costruzioni geometriche sono scomparse come le
squadre e i compassi da lavagna. Forse nemmeno
l’uso di software per la geometria è così diffuso!
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Il laboratorio di Matematica (Indicazioni
per il Curricolo, 2007)
Tutte le discipline dell’area hanno come elemento fondamentale il
laboratorio, inteso sia come luogo fisico, sia come momento in cui
l’alunni è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le
conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie
scelte,impara a raccogliere i dati e a confrontarli con le ipotesi
formulate, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni
temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze
personali e collettive.
In tutte le discipline, inclusa la matematica,si avrà cura di ricorrere
ad attività pratiche e sperimentali (…) con un carattere non episodico
e inserendole in percorsi di conoscenza.
32
Laboratorio in matematica
Rossella Garuti 12 settembre 2011
(UMI-CIIM 2003)
L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo
assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale
gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare,
comunicando fra loro e con gli esperti. La costruzione di
significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente
legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle
varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si
sviluppano durante l’esercizio di tali attività
33
NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF
Rossella Garuti 12 settembre 2011
 difficoltà con le conoscenze di NATURA GEOMETRICA.
Sembra che la Geometria sia quasi esclusivamente calcolo
di aree, perimetri e volumi. Gli aspetti “teorici” della
geometria sono quasi assenti. Quindi gli studenti non
hanno chiaro cosa fare quando si chiede di usare una
conoscenza geometrica o di giustificare una risposta.
Rossella Garuti 12 settembre 2011
NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF
 difficoltà nella VISUALIZZAZIONE SPAZIALE. Passare
da una rappresentazione bidimensionale ad una
tridimensionale è spesso uno scoglio durissimo.
Già dal 1979 con i programmi della scuola media si parlava
di “La geometria prima rappresentazione del mondo fisico”.
Le prove INVALSI mettono in luce che questo aspetto della
geometria deve essere curato fin dai primi anni di scuola.
Il “saper vedere” in geometria non è una dote “innata” va
coltivata nel tempo.
NODI emergenti dall’analisi delle domande di SF
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Un discorso a parte per la scuola secondaria di II grado
I contenuti della prova INVALSI NON erano specifici del
biennio delle superiori, ma tutti inerenti a contenuti specifici
del primo ciclo:
 D3 Disuguaglianza triangolare
 D8 Teorema di Pitagora
D9 caratteristiche e misure dei lati di un triangolo interno
a un cubo
D17 Asse di simmetria di un parallelogramma
D18 Calcolo dell’area di un poligono tramite
equiscomponibilità
D30 Isometrie sul piano cartesiano
Rossella Garuti 12 settembre 2011
Un discorso a parte per la scuola secondaria di II grado
A quest’anno si prevede di individuare:
-contenuti specifici per la geometria del
biennio
-introdurre gradatamente semplici
argomentazioni e dimostrazioni
E per concludere….
Rossella Garuti 12 settembre 2011
“ So di dire cosa trita e ritrita
affermando che il modo migliore
di imparare la matematica
[geometria compresa] è quello di
farla concretamente prendendoci
gusto” (G. Prodi, La matematica
come scoperta, pag.3)