Matematica e statistica
Versione didascalica: parte 1
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Sito web del corso
http://www.labmat.it/didattica
Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste
e-mail: [email protected]
2. Derivata e integrale
2.1. Il problema delle tangenti
La retta tangente al grafico di una funzione f in un punto
P  ( x0 , f ( x0 ))
• è una retta che passa per P, e che assumeremo non verticale
(ossia non parallela all’asse y)
• ha quindi equazione (retta per un punto, in rosso le variabili))
y  f ( x0 )  a( x  x0 )
dove il numero a è la pendenza. La pendenza a della retta tangente
al grafico di una funzione f in un punto (x, y) è la derivata della
funzione f nel punto x (la ascissa del punto di tangenza).
Ma:
Cosa è la retta tangente al grafico di una funzione f in un punto?
2.2. La derivata in un punto
Il “conteggio delle intersezioni” non identifica la retta tangente
(delle rette che passano per il punto indicato la tangente
è l’unica che ha infinite intersezioni con la curva)
(continua)
A proposito dell’espressione “due punti coincidenti”:
Due euro
Due euro coicidenti
L’idea dello zoom
Visione microscopica:
(si leggano bene le coordinate, finestra larga 0.002, alta 0.00006):
la curva blu “si confonde graficamente” con la retta rossa.
Intuitivamente:
la retta tangente al grafico di una funzione f in un suo punto P
è quella retta che, in una visione microscopica centrata nel punto P,
è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione.
Simbologia per la derivata
• Notazione di Lagrange: la derivata della funzione y = f (x)
nel punto x si indica con
f '( x ) [si legge: “effe-primo-di-ics”]
• Notazione di Leibniz: la derivata della funzione y = f (x) nel punto
x si indica con
dy
dx
[si legge: “di-ipsilon-su-di-ics”]
• La notazione di Leibniz è preferibile quando la funzione non ha
un nome, ma è indicata solo da una formula, per esempio:
d (3 x2 5 x  2)
dx

d
dx
(3 x  5 x  2)
2
Calcolo numerico della derivata
Formula dei tre punti (o della differenza centrale)
f ( x h ) f ( xh )
f '( x ) 
2h
• Valori tipici per il passo: h = 0.01, h = 0.001
• In termini multiscala: il sistema ha una scala macroscopica in cui
la grandezza caratteristica ha dimensione  1, ed una scala
microscopica (dove la curva si confonde con la retta tangente) in
cui le dimensioni tipiche hanno un ordine di grandezza inferiore,
come h = 0.01, h = 0.001. Una ulteriore analoga diminuizione degli
ordini di grandezza porta a dimensioni fisiche non valutabili, per
cui ad esempio h²  0.
Rappresentazione grafica della formula dei tre punti
f ( x h ) f ( xh )
f '( x ) 
2h
Il quoziente di Newton
• Se è possibile calcolare f sia nei tre punti x, x+h ed x-h si usa
l’approssimazione dei tre punti:
f ( x h ) f ( xh )
f '( x ) 
2h
• Se interessa o è possibile calcolare f solo nei due punti x, ed x+h
(con h > 0) si usa il quoziente di Newton destro
f ( x h ) f ( x )
f '( x ) 
h
• Se interessa o è possibile calcolare f solo nei due punti x-h, ed x
(con h > 0) si usa il quoziente di Newton sinistro
f ( x ) f ( xh )
f '( x ) 
h
La derivata come rate of change, I
• Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t).
• All’istante to la grandezza vale Xo .
• L’unità di tempo è così piccola che la grandezza ha solo variazioni
“microscopiche” in un’unità di tempo.
• Quindi essendo interessati al futuro useremo il quoziente di Newton
(destro)
X '(t0 )  X (t0  1)  X (t0 )
La derivata X’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la grandezza
X in una (brevissima!) unità di tempo a partire dall’istante to, ed è per
definizione la velocità di crescita (istantanea) all’istante to
La derivata come rate of change, II
• Una grandezza X varia nel tempo t secondo una legge X = X(t).
• All’istante to la grandezza vale Xo .
• Nell’unità di tempo la grandezza ha variazioni macroscopiche
• Però in un intervallo di h [unità di tempo] << 1 la grandezza ha solo
variazioni “microscopiche”
• Quoziente di Newton (destro): hX '(t0 )  X (t0  h)  X (t0 )
• Il prodotto h X’(to) è una stima di quanto cresce in assoluto la
grandezza X in h unità di tempo (un tempo brevissimo) a partire
dall’istante to.
• La derivata X’(to) = h X’(to) / h è una stima di quanto crescerebbe
in assoluto la grandezza X in 1 unità di tempo (un tempo lungo) se la
velocità fosse sempre la stessa per tutta la (lunga) unità di tempo.
• Il grafico del ROC / NYSE usa in ascissa come unità di misura
del tempo 1 = 1 anno, e tipicamente come passo 6 o 10 gg, ossia
h = 0.016 [anni] oppure = 0.027 [anni].
• In ordinata “1 Year Rate of Return”, ossia quanto renderebbe un
capitale se la velocità di crescita fosse sempre la stessa per tutto
l’anno uguale a quella rilevata alla data in ascissa
Derivata e tassi, I
• Il rapporto X’(to) / X(to) è una stima di quanto cresce in percentuale
la grandezza X in un’unità di tempo (assunta breve) a partire dal
tempo to, ed è detto tasso di crescita
X '(t0 ) X (t0  1)  X (t0 )

X (t0 )
X (t0 )
• Una popolazione ha nel 2001 tasso di natalità del 0.18% annuo:
• All’anno to = 2001, ci sono X(to) = 42,136,500 individui.
• X’(to) / X(to) = X’(to) / 42,136,500. = 0.18% = 0.18/100 = 0.018
• X’(to) = 42,136,500 × 0.018 = 758,457 individui/anno
• All’anno to + 1 = 2002, sono stimati 42,136,500 + 758,457 =
42,894,957 individui
Derivata e tassi, II
• Nelle applicazioni (assumendo sempre breve l’unità di tempo) il
tasso di crescita X’(to) / X(to) si valuta rapportando la variazione
della granezza alla media aritmetica dei valori della grandezza
all’inizio ed alla fine del periodo [to , to + 1] considerato
X '(t0 )
X (t0  1)  X (t0 )
1
X (t0 ) 2 [ X (t0 )  X (t0  1)]
2.3. La derivata come funzione
• Se il grafico di y = f (x) ha la tangente in ogni punto,
si dice che la funzione f è derivabile.
• Se la funzione f è derivabile possiamo associare ad ogni ascissa x
(ammissibile) la pendenza della retta tangente
al grafico di f nel punto (x, f (x)), ossia la derivata f '(x).
• Abbiamo una funzione f ' , detta la derivata (prima) di f
2.4. Derivata di alcune funzioni base
• Calcoliamo la derivata di alcune funzioni di base
definite esplicitamente da una formula (lo zoo).
• Se fosse necessario distinguere
la variabile x della funzione
dalla variabile della derivata, indicheremo
con xo l’ascissa in cui viene calcolata la derivata.
2.4.1. Derivata di f ( x)  ax  bx  c
2
d
dx
( ax  bx  c ) |x  x0

a ( x0  h )2 b ( x0  h )  c  a ( x0  h )2 b ( x0  h )  c
2h

ax02  2 ax0 h  h 2  bx0  bh  c  ax02  2 ax0 h  h 2 bx0  bh c
2h

4 ax0 h  2 bh
2h
2
 2ax0  b
2.4.2. Derivata di f(x)=1/x
f ( x)  1/ x
f '( x0 ) 
  1
x0+h x0 h
2h

x0 h x0 h
x02
2h
h 
2

d
dx
[1/ x] |x  x0  1 / x 2 |x  x0
 x12
0
2.4.3 Derivata dell’esponenziale
Funzione esponenziale di base a (a > 0, a  1): f ( x)  a x
f ( x)  2
d
dx
x
[2 x ] |x  x0  (2 x0  h  2 x0  h ) /(2h)
 (2 x0 2h  2 x0 / 2h ) /(2h)
h
 2 (2  2 ) /(2h)
x0
h
 2 x0 
 2  [2 ] |x 0 
x0
d
dx
x
Derivata di f ( x)  5
x
f ( x)  5 x
d
dx
[5 ] |x  x0  (5
x
x0  h
5
x0  h
 (5 5  5 / 5 ) /(2h)
x0
h
x0
h
 5 x0 (5h  5 h ) /(2h)
 5 
x0
 5 x0  dxd [5 x ] |x 0 
) /(2h)
Derivata di f ( x)  e
e  2.71828...
f ( x)  e x
d
dx
[e ] |x  x0  (e
x
x0  h
e
x0  h
 (e e  e / e ) /(2h)
x0
h
x0
h
 e x0 (e h  e  h ) /( 2h)
 e 
x0
 e x0
d
dx
[e ] |x 0 
x
x
) /(2h)
Numero di Nepero
NAPIER John (1550-1617)
L’esponenziale di base e è l’unica ad
avere tangente nel punto (0, 1) inclinata
di 45° (di equazione y = x + 1):
vedasi lo zoom.
Le altre due esponenziali raffigurate
hanno base 2 e base 5
Il grafico di y = exp(x) cresce così rapidamente da essere
rappresentabile nel display con difficoltà: per rappresentarlo
fino a x = 5 occorre una scala dimetrica con rapporto 1:10
fra le ordinate e le ascisse (cioé nella figura la unità di misura sull'asse
delle ordinate è 1/10 dell'unità di misura sull'asse delle ascisse):
100
80
60
40
20
-4
-2
2
4
2.4.4. Derivata del seno
Nel grafico il seno sin(x) e la
sua derivata numerica ad h=.001
che differisce (in v.a.) da coseno
al max di 1.510^(-7)
In effetti si prova che:
d
dx
sin( x)  cos( x)
2.4.5. Derivata del coseno
Nel grafico il coseno cos(x) e la
sua derivata numerica ad h=.001
che differisce (in v.a.) da -seno
al massimo di 1.510^(-7)
In effetti si prova che:
d
dx
cos( x)   sin( x)
Derivata del seno con x in gradi
Se si misurano gli angoli in gradi
il seno, la funzione sin(x in gradi),
viene molto appiattita e la sua
derivata diventa
0.0175633... cos(x in gradi)
La misura in radianti rende =1 il coefficiente.
Derivata del seno con x in giri
Se si misurano gli angoli in giri
il seno, la funzione sin(x in giri),
viene compressa come una molla,
e la sua derivata diventa
6.28319... cos(x in giri)
La misura in radianti rende =1 il coefficiente.
Perché e e perché π
• La scelta di e = 2.71828... come base per gli esponenziali e
• la scelta di π = 3.14159... come base per le funzioni circolari
• consente di avere tutte semplificate le formule delle derivate con
valore =1 del coefficiente di proporzionalità
2.5. Regole di derivazione
• Calcoliamo la derivata di funzioni costruite con operazioni “di
base” (addizione, moltiplicazione, ...) a partire da “ingredienti”
(addendi, fattori, ...) derivabili.
• Se fosse necessario distinguere la variabile x della funzione dalla
variabile della derivata, indicheremo con xo l’ascissa in cui viene
calcolata la derivata.
2.5.1. Derivata della somma di due funzioni
f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
g ( x)  g ( x0 )  g '( x0 )( x  x0 )
[ f ( x)  g ( x)]   f ( x0 )  g ( x0 )]  [ f '( x0 )  g '( x0 )]( x  x0 )

d
dx
[ f ( x)  g ( x)] |x  x0  f '( x0 )  g '( x0 )
2.5.2. Derivata del prodotto di due funzioni
f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
g ( x)  g ( x0 )  g '( x0 )( x  x0 )
 [ f ( x) g ( x)] 
 f ( x0 ) g ( x0 )]  [ f ( x0 ) g '( x0 )  f '( x0 ) g ( x0 )]( x  x0 )
 f '( x0 ) g '( x0 )( x  x0 ) 2

d
dx
[ f ( x) g ( x)] |x  x0  [ f ( x0 ) g '( x0 )  f '( x0 ) g ( x0 )]
{2 f '( x0 ) g '( x0 )( x  x0 ) |x  x0 }
2.5.3. Derivata della funzione composta
• Nella funzione g composto f agisce prima f e poi agisce g
• La composizione non è commutativa
• La composta della retta z = cy+d con la retta y = ax+b
è la retta z = c (ax + b ) + d = ca x + (cb + d)
• Nel caso di due rette, la pendenza della composta
è il prodotto delle pendenze.
Derivata della funzione composta
y  f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )  y0  a ( x  x0 )
z  g ( y )  g ( y0 )  g '( y0 )( y  y0 )
 g ( f ( x))  g ( y0 )  g '( y0 )( y  y0 )
 g ( f ( x0 ))  c( y0  a ( x  x0 )  y0 )
 g ( f ( x0 ))  ca( x  x0 )
[ y0  f ( x0 ), a  f '( x0 ), c  g '( y0 )]
 dxd [ g ( f ( x))] |x  x0  g '( f ( x0 )) f '( x0 )
Derivata di 1/q(x)
g ( y )  1/ y
1/ q( x)  g (q( x))

d
dx
1
[ q ( x )]2
[1/ q( x)] |x  x0  [ g '(q( x))q '( x)] |x  x0 
q '( x) |x  x0  [q '( x) / q( x) 2 ] |x  x0
2.5.4. Derivata di p(x)/q(x)
p( x)
q( x)
 p( x)  q (1x )

p( x)
[ q( x) ] 
d
dx
p '( x) q (1x )

p '( x)  q (1x )  p( x)  dxd  q (1x ) ] 
 q '( x )
p( x) [ q ( x)]2

p '( x ) q ( x ) p ( x ) q '( x)
[ q ( x )]2
Tabella di derivazione, I
d
dx
[ax  b]  a
d
dx
[ax  bx  c]  2ax  b
d
dx
[k / x]  k / x 2
d
dx
[ g ( f ( x ))]  g '( f ( x ))  f '( x )
d
dx
[ f ( x )  g ( x )]  f '( x )  g '( x )
d
dx
[ f ( x )  g ( x )]  [ f '( x )  g ( x )]  [ f ( x )  g '( x )]
d
dx
[k  g ( x )]  k  g '( x )]
d
dx
p( x)
[ p '( x )q ( x )][ p ( x )q '( x )]
[ q( x) ] 
[ q ( x )]2
2
2.5.5. Derivata della funzione inversa
1
f ( f ( x))  x
d
dx
f ( f 1 ( x)) 
d
dx
x
f '( f 1 ( x))  [ f 1 ]'( x)  1
1
 [ f ]'( x)  1
1
f '( f ( x))
3
x
x
f ( x)  1  4  2
1
f ( y)  .....?.....
La pendenza della retta rossa è
= 1/(pendenza della retta blu)
x
y  f ( x)
y
x  f 1 ( y)
La funzione inversa:
qui:
3
x
x
f ( x)  1  4  2
1
f ( y)  .....?.....
È possibile dimostrare che qui la funzione inversa è
(nella variabile x):
f 1 ( x) 
2.5.6.a. Derivata del logaritmo
f ( x)  exp( x)  e
x
f '( x)  exp( x)  e x
1
f ( x)  ln( x)
d
dx
[ f 1 ]( x)  1
f '( f 1 ( x))
d
1
1
ln(
x
)


dx
exp(ln( x))
x
Il grafico di y = ln(x) cresce cosi' lentamente da essere rappresentabile
nel display con difficoltà: vediamone i valori fino a x = 100 in scala
isometrica (rapporto 1:1 fra ordinate e ascisse):
4
2
-2
-4
-6
20
40
60
80
100
4
Lo stesso grafico in scala
dimetrica (espandiamo le
ordinate di un fattore 10):
2
20
-2
-4
40
60
80
100
2.5.6.b. Derivata delle potenze
f ( x)  x  e
a
ln( x a )
e
a ln( x )
d
dx
x a  e a ln( x )  dxd (a ln( x))  x a  a 1 x  ax a 1
d
dx
x  2x
d
dx
x  3x
d
dx
1
x
d
dx
2
3

d
dx
x
2
1
2
x  1x   x12
d
dx
x1/ 2  (1 / 2) x1/ 2 1 
1
2 x
2.5.6.c. Derivata degli esponenziali
f ( x)  a  e
x
ln( a x )
 e x ln( a )
d
dx
a e
d
dx
2  2  ln(2)  2  0.693147...
d
dx
5  5  ln(5)  5 1.60944...
d
dx
2.71828...  2.71828...  ln(2.71828...)  e  1.  e
x
x
x
x ln( a )
 ( x ln(a ))  a  ln(a )
x
d
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
2.5.6.d. Tangente e arcotangente
f ( x )  tan( x ) 
d
dx
tan( x ) 
sin( x )
cos( x )
d sin( x )
dx cos( x )

cos( x )cos( x ) sin( x )[  sin( x )]
[cos( x )]2
2
2
[cos(
x
)]

[sin(
x
)]
d
dx tan( x ) 
[cos( x )]2
f
1
d
dx
( x )  arctan( x )
arctan( x ) 
1
1 x2

1
[cos( x )]2

 1  [tan( x )]
2
Tabella di derivazione, II
1
1
[ f ] '( x )  1 f '( f ( x ))
x
e
x
d
dx
e
d
dx
ln( x )  1x
 ax
d
dx
a 1
x
a
d
dx
a
x
d
dx
log a ( x ) 
d
dx
d
dx
 a  ln( a )
x
1
xln( a )
1  1
x
x2
x  2 1x
d
dx
sin( x )  cos( x )
d
dx
cos( x )   sin( x )
d
dx
(  sin)( x )   cos( x )
d
dx
(  cos)( x )  sin( x )
2.6. Derivate di ordine superiore
• Derivando... la derivata (prima) f '(x) di f (x) ...
• La derivata di f '(x) è f "(x) , la derivata seconda di f (x)
• La derivata di f "(x) è f "'(x) , la derivata terza di f (x)
• La derivata di f "'(x) è f (4)(x) , la derivata quarta di f (x)
• La derivata di f (4)(x) è f (5)(x) , la derivata quinta di f (x)
• .....
• La derivata seconda di f (x) può essere approssimata usando
tre volte la formula dei tre punti:
f "( x) 
f ( x  2 h )2 f ( x ) f ( x 2 h )
4 h2