Corso di Costruzioni in
Zona Sismica
Università degli Studi di Cassino
e del Lazio Meridionale
Ernesto Grande
[email protected]
+39.0776.299.3478
Corso di Costruzioni in
Zona Sismica
Lezione 2
 Sistema a un grado di libertà: equazioni
del moto
Lezione 2

Sistemi a un GdL
I sistemi a un grado di libertà sono rappresentativi di
strutture che possono essere schematizzate come una
massa m concentrata sostenuta da una struttura priva di
massa con rigidezza k.
m
examples
m
k
k
2k
telaio
serbatoio
(considerando solo gli spostamenti laterali)
Lezione 2

Sistemi a un GdL
Quali sono le proprietà fisiche del sistema che
influenzano la risposta a carichi dinamici?
Risposta sperimentale
(massa spinta lateralmente e rilasciata
istantaneamente)
Lezione 2

Sistemi a un GdL
osservazioni

il moto varia con il tempo

si hanno oscillazioni attorno la posizione iniziale (quiete)

si ha un degrado del moto (smorzamento)
Lezione 2

Sistemi a un grado di libertà
Le proprietà fisiche che influenzano la risposta sono:

rigidezza k (forze elastiche)

massa m

smorzamento c (meccanismi di dissipazione di energia)
m
k/2
c
(forze di inerzia)
u(t)
k/2
È ammessa solo la traslazione
orizzontale: u(t)
completamente definito dalla
posizione nel tempo della
massa.
Tutte le componenti sono
necessarie per lo studio del
problema.
Lezione 2

Sistemi a un GdL
Massa
concentrata
(forze d’inerzia)
m
Elementi privi di
massa (rigidezza)
k/2
c
k/2
Smorzatore
viscoso
(dissipazione)
Ogni componente della struttura contribuisce all’inerzia (massa), alla rigidezza
e alla dissipazione energetica (smorzamento).
In un sistema idealizzato ognuna di queste proprietà è concentrata in tre
componenti separati: massa, rigidezza, smorzamento*.
Lezione 2

SDOF systems
m
k/2
c
k/2
Dissipatore viscoso
responsabile del
degrado del moto
*dove lo smorzamento riguarda l’energia del sistema che viene dissipata
tramite differenti meccanismi (l’attrito nei collegamenti in acciaio, la
formazione di microfessurenel cls, l’attrito che si sviluppa nel contatto di due
strutture, etc).
È molto difficile da modellare!
Lezione 2

Sistemi a un GdL
In molti casi esso viene idealizzato tramite un dissipatore viscoso a
coportamento lineare.
c
fD(t)
Dissipatore
viscoso
fD(t): forza di smorzamento
c: coefficiente di smorzamento
f D (t )  c u (t )
velocità
Il coefficiente di smorzamento viene selezionato in modo che l’energia
dissipata dallo smorzatore viscoso è equivalente a quella dissipata tramite tutti
I meccanismi presenti nella struttura reale
Lezione 2

Sistemi a un GdL
Forza resistente o elastica: fs(t)
m
f s (t )  k u (t )
k/2
c
k/2
f s  f s (u )  sistema lineare
f s  f s (u ,u )  sistema non lineare
Nel caso di sistemi a comportamento lineare, questa componente dipende sia
dalla rigidezza sia dallo spostamento subito dal sistema.
Lezione 2

Sistemi a un GdL
Forza d’inerzia: fI(t)
m
m
f I (t )  m u(t )
k/2
c
k/2
Accelerazione del
sistema
Questa componente dipende sia dalla massa sia dall’accelerazione del
sistema
Lezione 2

Sistemi a un GdL
Forza di smorzamento: fD(t)
m
m
k/2
c
f D (t )  c u (t )
k/2
Velocità del
sistema
Questa componente dipende sia dal coefficiente di smorzamentosia dalla
velocità del sistema
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Eccitazione dinamica
P(t)
m
k/2
c
k/2
Forza esterna
m
k/2
c
k/2
u(t)
Moto alla base (sisma)
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Le equazioni del moto possono essere derivate attraverso:
 La seconda legge di newton d
 il principio di D’Alambert
Equazioni di Lagrange
 altri metodi
(m  u (t ))  P
dt
f I  m  u(t )
d T
 Qk
dt qk
Qk  Qk ,es  Qk ,el  Qk , d
Qk ,el  
U i


qk
qk
Qk ,d  
1
2
  k  qk   k  qk
2

D


qk
qk
1
2
  c  qk   c  qk
2

d T
d  1


 m  qk2   m  qk

dt qk dt qk  2

Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Utilizzando la seconda legge di Newton: se P è la forza totale applicata su un
punto massa che si muove con velocità v, vale la relazione P=d/dt (mv)
m
p(t)
fS
fD
La forza risultante agente sulla massa
all’istante t comprende: la forza
resistente (o di richiamo elastico) fs, la
forza di smorzamento fD e la forza
esterna P.
Considerando la seconda legge di Newton:
p  f s  f D  m u
L’equazione del moto che governa la
deformazione o lo spostamento u(t) della
struttura soggetta alla forza dinamica
esterna p(t)
m u  f D  f s  p
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Utilizznado il principio di D’Alambert : includendo la forza d’inerzia, si può
scrivere l’equilibrio del sistema ad ogni istante t.
f I  m u
m
p(t)
fS
fD

u  u (t )
spostamento

u  du (t )
velocità

dt

2
u  d u (t ) accelerazione

dt 2
Considerando la forza d’inerzia come una
forza fittizia:
m u  f D  f s  p
Sostituendo la forza di smorzamento e la
forza di richiamo elastico si ottiene:
m u  c u  k u  p (t )
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
nel caso di moto alla base?
m
fI
p(t)
m
fS
k/2
c
fD
k/2
t
Spostamento totale: u (t )  u (t )  ug (t )
ug(t)
dove: ug è il moto del suolo
u è lo spostamento della struttura
Dall’equilibrio:
fI  fD  fs  0
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
nel caso di moto alla base?
ug è la componente dello spostamento rigido e
influenza solo la forza d’inerzia
m
k/2
c
f I  m ut (t )  m u(t )  m ug (t )
k/2
Mentre la forza di richiamo elastico e la forza di
smormzamento sono legati solo a u
ug(t)
Equazione del moto:
f D (t )  c u (t ); f s (t )  k u (t )
m u(t )  m ug (t )  c u (t )  k u (t )  0
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
nel caso di moto alla base?
Equazione del moto:
m
m u  c u  k u  m ug
k/2
c
k/2
ug(t)
Assumendo :peff (t )  m ug
forza sismica effettiva
m u  c u  k u  peff (t )
L’equazione del moto nel caso di moto alla base o alla forza effettiva
equivalente è la stessa
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Nel caso di moto alla base?
m
m
Peff(t)
k/2
c
k/2
k/2
c
k/2
u(t)
m u  c u  k u  peff (t )
Nota che la forza effettiva dipende dalla massa della struttura e agisce
nel verso opposto all’accelerazione.
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
solutione dell’equazione del moto
È un’equazione differenziale del
secondo ordine a coefficienti costanti
m u  c u  k u  p (t )
g (t )]
m, c, k, p(t) [u
Dati di input
u (t ), u (t ), u(t )
Dati di output
Comprese le forze interne
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
soluzione dell’equazione del moto
Quali sono i metodi?
 soluzione classica
 integrale di Duhamel (metodo nel dominio del tempo)
 metodo nel dominio della frequenza
 metodi di risoluzione numerici
Lezione 2

ESERCIZI
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
Esercizio 1
Scrivere l’equazione del moto dei sistemi riportati in figura
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
esercizio
Assumendo la trave priva di massa e considerando come unico grado di
libertà u, determinare la rigidezza del sistema e scrivere l’equazione
del moto.
P(t)
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
esercizio
Scrivere l’equazione del moto del sistema riportato in figura.
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
esercizio
Scrivere l’equazione del moto del sistema riportato in figura.
c
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
esercizio
Scrivere l’equazione del moto del sistema riportato in figura
c
ug (t )
Lezione 2

Sistemi a un GdL: equazioni del moto
esercizio
Scrivere l’equazione del moto riportata in figura considerando la
componente rotazionale del moto del suolo.
Costruzioni in Zona
Sismica
Lezione 3
 Sistema a un GdL: Vibrazioni Libere non
Smorzate
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
La posizione iniziale di equilibrio del sistema viene perturbata. Il sistema
inizia a oscillare senza che sia perente una forza esterna applicata : P(t)=0
Inoltre si considera il caso di assenza di smorzamento: c=0
L’equazione del moto diventa:
m u  k u  0
Condizioni iniziali (t=0) devono essere introdotte
per attivare il moto:
u (0)  spostamento
u (0)  velocità
Almeno una delle due!
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
soluzione dell’equazione del moto:
u  n u  0
m u  k u  0
2
n 
k
m
dove :
n è la frequenza (naturale) circolare di vibrazione
soluzione: u  A cos nt  B sin nt
Condizioni al contorno:
t  0  u (t )  u (0)  A  u (0)

u (0)



t  0  u (t )  u (0)  B  

n
La soluzione assume la forma:
u  u (0)cos nt 
u (0)
sin n t
n
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u  u (0)cos n t 
soluzione dell’equazione del moto:
u(0)
u (0)
sin n t
n
Tn
B
u(0)
A
u0
C
E
D
Un ciclo di vibrazioni libere
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u (0)



u
u
(0)cos
t
sin n t
soluzione dell’equazione del moto:
n
n
u(0)
Tn
B
u(0)
A
u0
C
E
D
note:
Il sistema oscilla attorno la posizione di equilibrio statico
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
soluzione dell’equazione del moto:
u(0)
u  u (0)cos nt 
Tn
B
u(0)
A
u0
C
E
D
note:
Il moto è periodico e si ripete ogni 2/n secondi
u (0)
sin n t
n
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
solution of the equation of motion: u  u (0)cos nt 
u(0)
u (0)
sin n t
n
Tn
B
u(0)
A
u0
C
E
D
Notes:
È un moto armonico con pulsazione 
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u(0)
parametri caratterizzanti il sistema:
u(0)
Tn
B
A
C
E
D
 Il tempo richiesto al sistema non smorzato per completare un ciclo
completo di vibrazioni libere viene detto periodo naturale Tn [s]:
Tn 
2
n
(il sistema esegue 1/Tn cicli in 1 secondo)
u0
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u(0)
parametri caratterizzanti il sistema:
u(0)
Tn
B
A
 La frequenza naturale di vibrazione fn [Hz] or [cps]:
n
fn 

Tn 2
1
C
E
D
u0
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u(0)
parametri caratterizzanti il sistema:
u(0)
n , fn , Tn
Tn
B
A
C
E
u0
D
Dipendono solo dalla massa e dalla rigidezza del
sistema: non dipendono dall’eccitazione esterna
(da qui il termine “naturale”)
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Esempi:
Alcoa Building
acciaio, 26 piani.
Periodi di vibrazione:
trasversale (est-ovest): 2.21 sec (fn=0.45 Hz)
longitudinale (nord-sud): 1.67 sec (fn=0.60 Hz)
torsionale: 1.12 sec (0.89 Hz)
[Chopra 1996, p. 38]
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
esempi:
Golden Gate Bridge
accio, campata centrale (1280 m)
Periodi di vibrazione:
trasversale: 18.2 sec
verticale: 10.9 sec
longitudinale: 3.81 sec
torsionale: 4.43 sec
[Chopra 1996, p. 40]
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Espressioni alternative delle proprietà naturali:
1
g
n 
; fn 
 st
2
dove:
 st 
 st
g
; Tn  2
 st
g
mg
k
Rappresenta lo spostamento della massa sospesa ad una molla di
rigidezza k
oppure
Rappresenta lo spostamento laterale in seguito all’applicazione statica
di una forza pari a mg
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
u(0)
parametri caratterizzanti il sistema :
u(0)
Tn
B
A
C
E
D
uo è l’ampiezza del moto dipendente dalle condizioni iniziali.
u0
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Rappresentazione vettoriale:
u (0)
u  u (0)cos nt 
sin n t
n
u (0)cos nt
u (0) / n
tan  
u (0)
u (0)
sin n t
n
2
u (0) 
2
  u (0)  
  umax  u0

 n 
uo è l’ampiezza del moto che dipende dalle condizioni iniziali.
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Rappresentazione vettoriale:
u (0)
u  u (0)cos nt 
sin n t
n
u  u0  cos(nt   )
u (0)cos nt
u (0)
sin n t
n
umax  n t    0  umax  u0
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Rappresentazione vettoriale:
u  u0  cos(n t   )
u (0)cos nt
u (0)
n
sin n t
u (t )  u0  n  sin(n t   )  u0  n  cos(n t     / 2)
u(t )  u0  n2  cos(n t   )  u0   n2  cos(nt     )
umax  u0  n
umax  u0  n2
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Rappresentazione vettoriale:
u (t )  u0  n  sin(nt   )  u0  n  cos(nt     / 2)
u(t )  u0  n2  cos(nt   )  u0   n2  cos(nt     )
nu0
u0
n2u0
• Velocità ed accelerazione variano nel tempo
con legge armonica ma risultano sfasate in
anticipo rispetto allo spostamento di /2 e 
rispettivamente
• Velocità in quadratura con lo spostamento
• Accelerazione in opposizione con lo
spostamento
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Per attivare il moto bisogna trasferire energia al sistema in termini di energia
cinetica e/o di energia elastica.
1
T0  m u (0)2
2
1
2
Ui 0  k u (0)2
2
u (0) 
u  u0  cos(n  t   )  u (0)  
  cos(n  t   )

 n 
2
umax  n  t    0  umax  u0  T  0
1
1
1 k
2
2

 ku (0)2 
 Ui 0  T0
Ui ,max  kumax
u
(0)
2
2
2
2 n
L’energia iniziale rimane incamerata nel sistema in modo indefinito
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
esempi
Il periodo naturale del sistema in figura risulta pari a 0.5 s. Quando sul
sistema viene fissato un carico pari a 50 kN, il periodo naturale diventa
pari a 0.75 s. qual è il peso del sistema e la sua rigidezza laterale?
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
Un sistema è costituito da un corpo del peso di 400 N appeso ad una molla
esempi di rigidezza 100 N/mm. Al corpo viene fissato un ulteriore corpo del peso di
200 N che viene poi successivamente rimosso istantaneamente. Scrivere
l’equazione del moto quando il corpo viene rimosso e determinare la
massima ampiezza del moto e il periodo naturale di vibrazione.
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
esempio
Il peso del telaio in figura è 200N. Esso viene posto in oscillazioni libere
imponendo uno spostamento al tempo t=0 pari a 1.2mm. Trascurando lo
smorzamento, se lo spostamento massimo nella fase ritorno si attinge
all’istante t = 0.64 s, determinare:
(a) rigidezza k
m
(b) Il periodo naturale di vibrazione Tn
(c) La frequenza naturale di vibrazione fn
(d) La pulsazione naturale n
(e) La soluzione dell’equazione del moto
k/2
k/2
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
esercizio
Assumendo che la massa e la rigidezza del sistema sono: m=2N s2/mm, k=40
N/mm, e che esso viene posto in oscillazioni libere con condizioni iniziali u(0)
= 0.7 in and v(0) = 5.6 in/sec, determinare lo spostamento e la velocità
all’istante t= 1.0 s trascurando lo smorzamento.
m
k/2
k/2
Lezione 3

Sistema a un GdL: vibrazioni libere non smorzate
esercizio
Si assuma che che la massa e la rigidezza del sistema sono m=5 Ns2/mm,
k=20 N/mm, e il sistema è non smorzato. Se lo spostamento iniziale è
u(o)=1.8 mm e lo spostamento all’istante t=1.2 s è comunque pari a 1.8mm,
determinare:
-lo spostamento all’istante t=2.4 s
-l’ampiezza del moto
m
k/2
k/2