Corso di Costruzioni in
Zona Sismica
Università degli Studi di Cassino
e del Lazio Meridionale
Ernesto Grande
[email protected]
+39.0776.299.3478
Earthquake Engineering
Lezione 4-parte 1
 Sistema a un GdL: vibrazioni libere
smorzate
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
in questo caso la forza esterna P(t)=0 ma lo smorzamento c≠0
L’equazione del moto diventa:
E dividendo per la massa:
dove:
m u  c u  k u  0
u  2n u  n2 u  0
k
pulsazione naturale
m
c
c
c



rapporto di smorzamento
2mn 2 km ccr
2k
ccr  2mn  2 km 
coefficiente di smorzamento critico
n
n 
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u  2n u  n2 u  0
Riguardo lo smorzamento del sistema è importante osservare che:
c: è una misura dell’energia dissipata in un ciclo di vibrazioni libere o in
un ciclo di vibrazioni forzate da una forzante armonica
: introduce la dipendenza dalle proprietà del sistema
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u  2n u  n2 u  0
L’equazione del moto può essere risolta introducendo le condizioni iniziali e
ulteriori condizioni sullo smorzamento
c<ccr: il sistema oscilla attorno la posizione di equilibri statico con una
progressiva riduzione dell’ampiezza del moto
c≥ccr: il sistema ritorna nella posizione iniziale senza oscillazioni
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u  2n u  n2 u  0
ccr: è il più piccolo valore di c che inibisce completamente l’oscillazione:
esso rappresenta la divisione tra un moto oscillatorio e un moto
non oscillatorio
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u  2n u  n2 u  0
Nelle strutture dell’ingegneria civile in genere il rapporto di
smorzamento è minore di 1 → STRUTTURE SOTTOSMORZATE
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u  2n u  n2 u  0
(  1)
u (t )  e  nt  A cos D t  B sin D t 
Introducendo le condizioni iniziali:
t  0  u (t )  u (0)  A  u (0)
u (0)  nu (0)
t  0  u (t )  u (0)  B 
D
u (t )  e
 n t


u (0)  nu (0)
sin  D t 
u (0)cos  D t 



D
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
u (t )  e
 n t


u (0)  nu (0)
sin  D t 
u (0)cos  D t 

D


Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate

u (t )  e  n t u (0)cos  D t 


u (0)  nu (0)
sin  D t 
D

note:
 D  n 1   2 pulsazione del sistema smorzato
Tn
2
2


periodo del sistema smorzato
TD 
2
 D n 1   2
1
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate

u (t )  e  n t u (0)cos  D t 


u (0)  nu (0)
sin  D t 
D

note:
2

 (0)  nu (0)     t

u
2
 e n
u0   u (0)  



D





L’ampiezza del moto si riduce ad
ogni ciclo
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate

u (t )  e  n t u (0)cos  D t 


u (0)  nu (0)
sin  D t 
D

2

 (0)  nu (0)     t

u
2
 e n
u0   u (0)  


D

 

note:
Lo smorzamnto riduce la frequenza naturale da n a D incrementando
il periodo naturale da Tn a TD
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate

u (t )  e  n t u (0)cos D t 


u (0)  nu (0)
sin  D t 
D

Questo effetto risulta comunque
trascurabile per rapporti di
smorzamento <20%
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate

u (t )  e  n t u (0)cos  D t 


u (0)  nu (0)
sin  D t 
D

L’effetto più evidente dello smorzamneto è quello legato alla
riduzione dell’ampiezza del moto
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM A- 1
Si assuma che la massa e la rigidezza della struttura in figura siano m=2
Ns2/mm, k=40 N/mm. Se il sistema è posto in vibrazioni libere con le
condizioni iniziali u(0)=0.7 mm, v(0)=5.6 mm/s, determinare lo
spostamento e la velocità all’istante t=1.0 s, assumendo c=2.8 Ns/mm
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM A– 1 - soluzione
n=4.47 rad/sec; =0.157; D=4.41 rad/sec; u(1sec)=-0.759 mm; v(1sec)=1.10 mm/sec
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM A– 1 – solutione/osservazioni
c=0: n=4.47 rad/sec; u(1sec)=-1.38 mm; v(1sec)=1.70 mm/sec
c=2.8 N sec/mm: n=4.47 rad/sec; =0.157; D=4.41 rad/sec; u(1sec)=-0.759 mm; v(1sec)=1.10
mm/sec
initial conditions
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM A- 2
Il peso d’acqua per riempire il serbatoio è pari a 80 kN. determinare il
periodo naturale di bibrazione e il rapporto di smorzamento della
struttura a serbatorio pieno. Le caratteristiche della struttura sono: k=8.2
kN/m; W=20.03 kN; c=0.036 kN sec/m.
Determinare anche le caratteristiche del serbatorio vuoto e confrontare la
risposta considerando uno spostamento iniziale imposto u(0)= 2m.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM A- 3
Con riferimento al serbatoio pieno dell’esempio 2, supposto di
raddoppiare la rigidezza laterale e consideranto lo stesso coefficiente di
smorzamento, si valuti il periodo di vibrazione e il rapporto di
smorzamento.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
PROBLEM - 4
Il sistema di sopsensioni verticali di un’automobile possono essere schematizzate come un
sistema a un grado di libertà con smorzamento viscoso. Sotto un peso di 30 kN della
macchina il sistema di sospensioni esibisce uno spostamento di 2 mm. Il sistema di
sospensioni è progettato affinchè sia caratterizzato da smorzamento critico.
Calcolare:
-I coefficienti di rigidezza e di smorzamento del sistema;
- il rapporto di smorzamento considerando quattro passeggeri con peso totale di 1.6 kN;
-calcolare la frequenza naturale in quest’ultimo caso.
Costruzioni in zona
sismica
Lezione 4-parte 2
 Sistema a un GdL: vibrazioni libere
smorzate
DECREMENTO LOGARITMICO
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
t1
t2=t1+TD
Si osserva come il rapport tra lo spostamento e quello a valle del
periodo TD è indipendente da t.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Infatti l’ampiezza del moto è:
2

 (0)  nu (0)     t

u
2
  e n 1    e  nt1
u1   u (0)  



D




u2    e
 n  t1  TD

  e
 n  t1 
e
 n TD

Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
E il rapporto tra due successivi picchi è:
u(t)
 T
 e n  D   e 2 /
u(t+TD )
Decremento logartimico:

1 2
u(t) 
2

1 2
 u(t+TD ) 
  ln 
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Per bassi valori di :
Decremento logartimico:

u(t) 
  2
u(t+T
)

D 
  ln 
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Se il moto degrada lentamente, invece di
prendere due ampiezze successive, si possono
prendere due ampiezze qualunque:
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Utilizzando questa proprietà è possibile
determinare il numero di cicli corrispondenti a un
certo valore di riduzione dell’ampiezza del moto.
esempio:
Numero di cicli necessari per una riduzione del
50% dell’ampiezza iniziale del moto.
j 
ln  1 / 0.5  1


2
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
esempio:
È possibile osservare che il numero di cicli
diminuisce al crescere dello smorzamento
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
TEST DI VIBRAZIONI LIBERE
Il concetto di decremento logaritmico può essere usato proprio nelle
prove sperimentali per determinare il rapporto di smorzamento di
una struttura
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Anche il periodo naturale TD del sistema può essere determinato sulla base
delle registrazioni delle oscillazioni libere.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.4
Determinare il periodo di vibrazione naturale e il rapporto di
smorzamento di un sistema sottoposto ad un test di vibrazioni
libere
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.5
Viene condotto un test di vibrazioni libere su un serbatoio vuoto.
Tramite un cavo attaccato al serbatoio viene impressa una forza di 16000 N che
sposta il serbatoio di 2mm.
Il cavo viene tagliato istantaneamente ponendo il serbatoio in vibrazioni libere.
Alla fine di 4 cicli completi si ha: t4=2.0 s; u4=1.0mm.
Calcolare rapporto di smorzamento, periodo di vibrazione, rigidezza, peso e
coefficiente di smorzamento.
Si valuti inoltre il numero di cicli necessari affinché il picco di spostamento si riduca a
0.2 mm.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.6
Per un sistema con rapporto di smorzamento x, determinare il numero di
cicli richiesto per ridurre l’ampiezza dello spostamento al 10% di quello
iniziale. Si consideri la velocità iniziale nulla.
10
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.8
Determinare il rapporto tra le ampiezze successive del moto di un
sistema caratterizzato dai seguenti rapporti di smorzamento:
0.01, 0.05; 0.25
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.9
La rigidezza e lo smorzamento di un sistema a un grado di libertà di massa pari a
100 Ns^2/mm sono da determinare tramite un test di vibrazioni libere.
Il sistema è spostato di 1 mm e subito rilasciato.
Alla fine di 20 cicli completi, t=3.0 s e l’ampiezza del moto è pari a 0.2 mm.
Calcolare K e c.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.10
Un apparato del peso di 250 N è sostenuto da 4 molle e quattro dissipatori viscosi. Sotto il
proprio peso il sistema subisce un abbassamento di 0.8mm. Gli smorzatori sono progettati
in modo da ridurre l’ampiezza del moto a 1/8 di quella iniziale dopo due cicli completi di
vibrazioni libere.
Calcolare la frequenza naturale di vibrazione, il rapporto di smorzamento e la frequenza
smorzata.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
ES.11
Determinare il periodo naturale e il rapporto di smorzamento di un sistema a un
grado di libertà utilizzando i risultati dedotti da una prova di vibrazioni libere.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
APPROCCIO ENERGETICO
L’energia in ingresso di un sistema a un GdL imponendo lo spostamento
iniziale u(0) la velocità iniziale u’(0) is:
Risulta costituita da due parti: l’energia cinetica e l’energia potenziale
uguale all’energia di deformazione
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
(in assenza di smorzamento)
Si hanno le seguenti espressioni:
E conseguentemente l’energia totale:
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Energia totale:
Si nota come l’energia totale sia indipendente dal tempo e pari all’energia in
ingresso, implicando dunque la conservazione dell’energia durante le
oscillazioni libere del sistema privo di smorzamento.
Lezione 4

Sistema a un GdL: vibrazioni libere smorzate
Nel caso di sistema con smorzamneto viscoso, l’energia totale diminuisce
col tempo a causa dell’energia dissipata che nell’intervallo 0-t1 risulta:
Tutta l’energia in ingresso viene dissipata a casua dello smorzamneto
quando t1 tende all’infinito e l’energia dissipata diventa pari a quella in
ingresso.