Relazione come predicato
Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y)
avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y,
diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra
gli elementi di X e quelli di Y
Dispense di Matematica:
dalle Relazioni
alle Funzioni
Se xX e yY soddisfano il predicato p(x,y)
La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione R
x R y oppure (x,y)  R
x R y  p(x,y)
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
altrimenti
x R y  p(x,y)
1
Relazione: Osservazione
Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y)
avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y,
diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra
gli elementi di X e quelli di Y
Dispense di Matematica:
dalle Relazioni
è ben alle
definitaFunzioni
solo quando
Una relazione R
sono ben determinati i due insiemi X, Y
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
2
Relazione: Dominio e Codominio
X
Y
Dispense diRMatematica:
dalle Relazioni
alle Funzioni
Sottoinsieme di X da cui parte
ALMENO UNA freccia
DOMINIO
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
Sottoinsieme di Y in cui arriva
ALMENO UNA freccia
CODOMINIO
3
Relazione: Grafico
Y
X
a
d
XxY
5
4
3
2
1
1 Ydi Matematica:
Dispense
c
R
2
4
3
b
(a,1)R
(a,4)R
(b,5)R
(c,1)R
(c,3)R
(c,4)R
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
5
dalle Relazioni
a b c d X
alle Funzioni
G = graf R =
= { (x,y): (x,y)XxY  (x,y)R }
 XxY
4
Relazione: Grafico
X
a
d
c
Y
Dispense
R
1
b
2
3 4
5
Y
XxY
di Matematica:
X
dalle Relazioni
alle
a
1 Y
X Funzioni
R
d
c
X
(x,y)  R  (x,y)  G
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
XxY
Y
b
2
3 4
5
R = G  XxY
5
Relazione - Funzione
Y
X
Da un elemento di X:
Parte più di
una freccia
Dispense di Matematica:
R
Parte
una e una sola
freccia
dalle Relazioni
alleNONFunzioni
parte alcuna freccia
Dati due insiemi non vuoti X e Y, dicesi
FUNZIONE o APPLICAZIONE di X in Y
una relazione R di X e Y che soddisfi la seguente condizione
xX
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
y Y : (x,y) R
6
Relazione – Funzione: Esempio
Quale delle seguenti relazioni è una FUNZIONE?
xR y se
x ha per numero di zampe y
xR y se
x è una regione contenente y
Dispense di Matematica:
1
2
X gufo
ragno
mucca
formica
cavallo
uomo
4
Y
3
6
8
XxY
Y
8
6
4
3
2
1
u g mc f r
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
X
Y
dalle Relazioni
alle Funzioni
X Molise
Lombardia
Veneto
Piemonte
T.A.A.
Sicilia
Bolzano
Verona
Torino
Cuneo
Ancona
Trento
XxY
Y
xX
y Y :
(x,y) R
AN
TN
CN
TO
VR
BZ
L MV T S P
X
7
Funzioni Numeriche
Una funzione f: X Y si dice
numerica
se A e B sono insiemi numerici.
Noi ci occuperemo
esclusivamente di
funzioni reali (Y )
Dispense di Matematica:
Algebriche
di variabili reali (X )
dalle
Relazioni
Classificazione delle funzioni:
alle Funzioni
Trascendenti
Razionali intere
f(x)  x3  3x2  4
Goniometriche f(x)  sin(x)  3tg(x)  4
Razionali fratte
2
f(x)  3x  4
3x
Logaritmiche
f(x)  log (3  x)
3
Irrazionali
f(x)  3  x
Esponenziali
f(x)  3x
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
In generale sono trascendenti tutte
le funzioni che non sono algebriche
8
Funzioni Classificazione
Un’applicazione chiamasi
Y
Dispense di Matematica:
f(X)=Y
suriettiva: tutti gli elementi di Y X
sono immagine di almeno un X
iniettiva: gli elementi di Y sono
immagini al più di un solo
elemento di X
dalle Relazioni
X
Y
alle Funzioni
biiettiva: ogni elemento di Y è X
immagine di uno e uno solo
elemento di X (corrispondenza
biunivoca)
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
se x1  x2
 f(x1)f( x2 )
oppure
se f(x1) =f( x2 )
 x1 = x2
Y
9
Funzione SURIETTIVA: Esempio
x R y se
x ha per numero di zampe y
X
gufo
ragno
mucca
formica
cavallo
uomo
1. Verifichiamo che R sia una funzione
SI
xX y Y : (x,y) R
Dispense
di
Matematica:
Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce
Y
2
4
6
8
XxY
Y
 Da ogni xX esce una e una sola freccia
 Non compaiono punti posti verticalmente
dalle Relazioni
2. alle
Verifichiamo
che f sia SURIETTIVA
Funzioni
SI
f (X) = Y
8
Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce
6
 Ad ogni yY arriva almeno una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde almeno un
punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali
prive di punti.
4
2
u g mc f r
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
X
10
Funzione INIETTIVA: Esempio
x R y se
x è utilizzato da y
1. Verifichiamo che R sia una funzione
SI
xX y Y : (x,y) R
Dispense
di
Matematica:
Y
Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce
X
Penna
Meccanico
Elettricista
Oliatore
Insegnante
Raspa
Falegname
 Da ogni xX esce una e una sola freccia
 Non compaiono punti posti verticalmente
dalle Relazioni
2. Verifichiamo che f sia INIETTIVA
Funzioni
se f (x
) = f (x )  x = x
SI alle
1
XxY
Y
M
2
1
2
oppure
se x1  x2  f (x1)  f (x2)
Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce
E
I
F
P
O
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
R
X
 Ad ogni yY arriva NON più di una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un
punto, i.e. le linee orizzontali contengono al
massimo un punto.
11
Funzione BIIETTIVA: Esempio
x R y se
x è la medaglia per y
SI
1. Verifichiamo che R sia una funzione
xX y Y : (x,y) R
 Da ogni xX esce una e una sola freccia
 Non compaiono punti posti verticalmente
Dispense
di
Matematica:
Y
X
Oro
Secondo
dalle
Relazioni
 Ad ogni yY arriva almeno una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde almeno un
alle
punto,
i.e. NONFunzioni
ci sono linee orizzontali
SI
Argento
Primo
Bronzo
Terzo
prive di punti.
XxY
Y
T
2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA
f (X) = Y
3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA
f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)
SI
S
P
O
A
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
B
X
 Ad ogni yY arriva NON più di una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un
punto, i.e. le linee orizzontali contengono al
massimo un punto.
12
Funzione (y =) f(x) = x2
x R y se x2 è y
SI
1. Verifichiamo che R sia una funzione
xX y Y : (x,y) R
 Da ogni xX esce una e una sola freccia
 Non compaiono punti posti verticalmente
Y
Dispense
di Matematica:
X
-…
-5
-3.5
-1.2
0
1.2
3.5
5
+…
-…
-5
-3.5
0
-1.2
1.44
12.25
25
+…
Y
2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA
f (X) = Y
dalle
Relazioni
 Ad ogni yY arriva almeno una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde almeno un
alle
punto,
i.e. NONFunzioni
ci sono linee orizzontali
NO
prive di punti.
XxY
3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA
f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)
NO
X
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
 Ad ogni yY arriva al più una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un
punto, i.e. le linee orizzontali contengono al
massimo un punto.
13
Funzione (y =) f(x) = x2
x R y se x2 è y
SI
1. Verifichiamo che R sia una funzione
xX y Y : (x,y) R
 Da ogni xX esce una e una sola freccia
 Non compaiono punti posti verticalmente
Dispense di Matematica:
X
-…
-5
-3.5
-1.2
0
1.2
3.5
5
+…
0
Y+0
1.44
12.25
25
+…
Y
2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA
f (X) = Y
dalle
Relazioni
 Ad ogni yY arriva almeno una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde almeno un
alle
punto,
i.e. NONFunzioni
ci sono linee orizzontali
SI
prive di punti.
XxY
3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA
f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)
NO
X
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
 Ad ogni yY arriva al più una freccia
 Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un
punto, i.e. le linee orizzontali contengono al
massimo un punto.
14
Insieme Dominio - Insieme Codominio
Dispense difunzioni
Matematica:
reali di
f: A
B
variabili reali
dalle Relazioni
A   geometricamente situato sull’asse x
alle
Funzioni
f(A)  B   geometricamente situato sull’asse y
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15
Insieme di Esistenza di una Funzione
L’insieme di esistenza di una funzione
è il dominio più ampio possibile
Dispense di Matematica:
dalle Relazioni
alle Funzioni
f(x)  x3  3x2  4
Campo d’esistenza
 x 
f(x)  x 3  4
Campo d’esistenza
 x x3+40
Campo d’esistenza
 x 1+x > 0  2/(1+x) > 0





2 
f(x)  ln

1  x 
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16
Funzione Inversa
Sia f un’applicazione biiettiva tra A e B,
si definisce applicazione inversa di f,
l’applicazione f -1 tra B e A tale che
f -1(b) = f -1(f(a)) = a
Dispense di Matematica:
dalle
Relazioni
Noto g, grafico di f, g’, grafico di di f
è il simmetrico di g rispetto alla
alle
bisettrice Funzioni
del 1° e 3° quadrante.
-1
b = f(a)
y
A
f
b
a
f -1
f -1(b) = f -1( f(a) ) = a
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
B
g
x
O
g’
17
Funzioni Monotòne
y
f(x1) < f(x2)
f dicesi
crescente
Dispense di Matematica:
Scegliamo
arbitrariamente
due punti.
O x1 x2
x
SE
f(x ) >Relazioni
f(x )
dalle
alle Funzioni
1
y
f(x1)  f(x2)
Scegliamo
arbitrariamente
due punti.
O x1 x2
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
2
x
f dicesi
decrescente
f dicesi
non
decrescente
SE
f(x1)  f(x2)
f dicesi
non
crescente 18
Funzioni Pari - Funzioni Dispari
y
Dispensef(x)di= f(-x)
Matematica:
f dicesi Pari
f(x)
-x O
x
x
dalle Relazioni
alle Funzioni
f(x) = x2
f(x) = cos(x)
f(x) = | x |
y
f(x)
f(x) = -f(-x)
-x
O
x
-f(x)=f(-x)
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
x
f dicesi Dispari
f(x) = x
f(x) = sin(x)
f(x) = tg(x)
19
Funzioni Periodiche
y
Dispense di Matematica:
T
O
dalle Relazioni
alle Funzioni
x
x1
x2=(x1+T)
Se  T t.c.  x f(x+T) = f(x)
f dicesi Periodica
di periodo T
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
f(x) = sin(x) : sin(x+k·2p) = sin(x)
f(x) = cos(x) : cos(x+k·2p) = cos(x)
f(x) = tg(x) : tg(x+k·p) = tg(x)
20
Funzioni Limitate
f : A()
B ()
Dispense di Matematica:
Se
l’insieme
f(A) è
Limitato superiormente
Limitato inferiormente
Limitato
Limitata superiormente:
 L :  aA f(a)  L
la funzione
y=f(x)
dicesi
Limitata superiormente
Limitata inferiormente
Limitata
dalle Relazioni
alle Funzioni
Limitata:
 l,L :  aA lf(a) L
Limitata inferiormente:
 l :  aA f(a)  l
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
21
Funzioni Limitate
f : A()
B ()
Massimo assoluto
Massimodi Matematica:
la funzione
Dispense
y = f(x)
Se l’insieme
f(A)
è dotato di
Se
max f  M
xA
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
minimo
M è detto
Massimo Assoluto
minimo assoluto
è dotata di
dalle Relazioni
m è detto
Se
minimo Assoluto
alle Funzioni
min f  m
xA
max f(A) = 1
min f(A) = 0
y = f(1) = 1 è dotata di
Massimo Assoluto
y = f(0) = 0 è dotata di
minimo Assoluto
22
Funzioni Limitate
f : A()
B ()
Dispense di Matematica:
Si chiama estremo superiore (estremo inferiore) di f
l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme f(A)
dalle Relazioni
alle Funzioni
Una funzione può possedere il sup (inf) nell’insieme A
senza che questo sia un massimo (minimo) assoluto:
f(x) = 1/x in A = (0,)
inf f = 0
non  min f
infatti f(x)>0
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
23
Funzioni particolari: le Successioni
Si chiama successione di numeri reali nn’applicazione di N0 in 
f: n  f(n) = a
Dispense di Matematica:
1  f(n) = a
n
1
2  f(n) = a2
...
dalle
Relazioni
n  1/n : {1, 1/2, 1/3, … 1/n, …}
alle Funzioni
successioni monotòne
Una successione
{an}
si dice
Giovanazzi Gualtiero L.S.E
crescente
non decrescente
decrescente
non crescente
se
nN
an < an+1
an  an+1
an > an+1
an  an+1
24