Regressione lineare
Metodi Quantitativi per Economia,
Finanza e Management
Esercitazione n°10
Regressione lineare - Modello
Modello di regressione lineare
Y   0   1 X 1   2 X 2  ...  pXp  
• si vuole modellare una relazione di tipo lineare tra una
variabile dipendente e un insieme di regressori che si
ritiene influenzino la variabile dipendente
• si vuole approssimare la nuvola dei punti osservati (ogni
punto rappresenta un intervistato) con una retta
• tra tutte le infinite rette possibili si stima la retta che
fornisce l’interpolazione migliore
• stimare la migliore retta di regressione significa calcolare
una stima dei coefficienti associati ai regressori che
entrano nel modello (tutto ciò con il vincolo di minimizzare
gli errori di approssimazione)
Regressione lineare – Selezione
regressori
 Nella scelta dei regressori bisogna cercare di mediare tra
due esigenze:
1) maggior numero di variabili per migliorare il fit
2) parsimonia per rendere il modello più robusto e interpretabile
 Scelta dei regressori che entrano nel modello
metodo di selezione automatica
(PROC REG con opzione STEPWISE)
Regressione lineare – Regressione
stepwise
Procedura sequenziale che valuta l’ingresso/uscita dal modello dei singoli
regressori (in base a indicatori legati all’R-quadro)
•
•
•
•
•
Step 0si considerano tutti i potenziali regressori
Step 1entra il primo regressore. Ossia, viene stimato un modello contenente
un unico regressore tra quelli proposti (il regressore che spiega meglio la
variabilità della variabile dipendente)
Step 2si valutano tutti i possibili modelli contenenti il regressore individuato
allo step 1 e uno dei rimanenti regressori, e si tiene il modello con il fit migliore
(ossia entra il regressore che dà il contributo maggiore alla spiegazione della
variabilità)
Step 3come nello step 2, entra il regressore che dà il contributo maggiore
alla spiegazione della variabilità
Step 4si valuta l’uscita di ognuno dei regressori presenti (in base alla minor
perdita di capacità esplicativa del modello) e l’ingresso di un nuovo regressore
(in base al maggior incremento nella capacità esplicativa del modello)
La procedura continua con l’ingresso/uscita dei regressori fino a quando non si
può più migliorare la capacità esplicativa del modello.
PROC REG – Sintassi
Modello di regressione lineare – selezione automatica dei
regressori (a partire da p regressori)
proc reg data=dataset;
model variabile_dipendente=
regressore_1 ... regressore_p
/option(s);
run;
OPTIONS:
• stb calcola i coefficienti standardizzati
• selection=stepwise applica la procedura stepwise per la selezione dei
regressori
• slentry=… livello di significatività richiesto per il test F parziale affinchè
il singolo regressore possa entrare nel modello
• slstay=… livello di significatività richiesto per il test F parziale affinchè il
singolo regressore non sia rimosso dal modello
PROC REG – Esempio
Variabile dipendente e regressori
Nome variabile
soddisfazione_globale
AccessoWeb_2
AltriOperatori_2
assistenza_2
Autoricarica_2
CambioTariffa_2
ChiamateTuoOperatore_2
ChiarezzaTariffe_2
ComodatoUso_2
copertura_2
CostoMMS_2
CostoSMS_2
diffusione_2
DurataMinContratto_2
immagine_2
MMSTuoOperatore_2
NavigazioneWeb_2
NoScattoRisp_2
NumeriFissi_2
Promozioni_2
SMSTuoOperatore_2
vsPochiNumeri_2
Livello di
Livello di
Livello di
Livello di
Livello di
Descrizione variabile
soddisfazione globale relativo al telefono cellulare
soddisfazione relativo al costo di accesso a internet
soddisfazione relativo ai costi verso altri operatori
soddisfazione relativo al servizio di assistenza
soddisfazione relativo alla possibilità di autoricarica
Livello di soddisfazione relativo alla facilità di cambiamento della tariffa
Livello di soddisfazione relativo alla possibilità di effettuare chiamate a
costi inferiori verso numeri dello stesso operatore
Livello di soddisfazione relativo alla chiarezza espositiva delle tariffe
Livello di soddisfazione relativo alla possibilità di rivecere un cellulare in
comodato d'uso
Livello di soddisfazione relativo alla copertura della rete
Livello di soddisfazione relativo al costo degli MMS
Livello di soddisfazione relativo al costo degli SMS
Livello di soddisfazione relativo alla diffusione
Livello di soddisfazione relativo alla presenza di una durata minima del
contratto
Livello di soddisfazione relativo all'immagine
Livello di soddisfazione relativo alla possibilità inviare MMS a costi
inferiori verso numeri dello stesso operatore
Livello di soddisfazione relativo al costo di navigazione in internet
Livello di soddisfazione relativo all'assenza di scatto alla risposta
Livello di soddisfazione relativo alle agevolazioni verso numeri fissi
Livello di soddisfazione relativo alla possibilità di attivare promozioni
sulle tariffe
Livello di soddisfazione relativo alla possibilità inviare SMS a costi
inferiori verso numeri dello stesso operatore
Livello di soddisfazione relativo alle agevolazioni verso uno o più numeri
di telefono
PROC REG – Esempio
Modello di regressione lineare variabile dipendente=
SODDISFAZIONE_GLOBALE, regressori= 21 variabili di soddisfazione
(livello di soddisfazione relativo a tariffe, promozioni, ecc.)
VARIABILE DIPENDENTE
proc reg data= corso.telefonia;
model soddisfazione_globale=
REGRESSORI
CambioTariffa_2 ChiarezzaTariffe_2 …
/stb selection=stepwise
criterio di selezione
automatica dei regressori
slentry=0.05 slstay=0.05;
run;
opzione per ottenere i
coefficienti standardizzati
soglia di significatività
scelta per il test F affinchè
un regressore possa
entrare nel modello
soglia di significatività
scelta per il test F affinchè
un regressore non sia
rimosso dal modello (valore
(valore di default=0.15)
di default=0.15)
Regressione lineare – Valutazione
modello
Valutazione della bontà del modello (output della PROC REG)
• Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti
(se p-value del test piccolo allora si rifiuta l’ipotesi di coefficiente nullo
 il regressore corrispondente è rilevante per la spiegazione della
variabile dipendente)
• Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti
(se p-value piccolo rifiuto l’ipotesi che i coefficienti siano tutti nulli
il modello ha buona capacità esplicativa)
• Coefficiente di determinazione R-quadro per valutare la
capacità esplicativa del modello  capacità di rappresentare
la relazione tra la variabile dipendente e i regressori
(varia tra 0 e 1, quanto più si avvicina ad 1 tanto migliore è il modello)
PROC REG – Output
attenzione!!  per stimare il modello SAS
non utilizza i record con valori mancanti
Number of Observations
Read
Number of Observations
Used
Number of Observations
with Missing Values
Root MSE
Dependent Mean
Coeff Var
236
235
1
0.88177
6.49362
13.57906
R-Square
Adj R-Sq
0.5941
0.5834
il modello è abbastanza buono (spiega il 60%
della variabilità della variabile dipendente)
PROC REG – Output
 il modello ha buona capacità esplicativa, il p-value associato al test
F è < 0.05 (livello di significatività)
Source
Model
Error
Corrected Total
Analysis of Variance
DF
Sum of
Mean F Value Pr > F
Squares
Square
6 259.46529 43.2442
55.62 <.0001
228 177.27513 0.77752
234 436.74043
PROC REG – Output
 tutti i regressori sono rilevanti per la spiegazione della variabile
dipendente; il p-value associato al test t è < 0.05 (livello di
significatività)
Variable
Intercept
CambioTariffa_2
ComodatoUso_2
AltriOperatori_2
assistenza_2
ChiamateTuoOperatore_2
Promozioni_2
Parameter Estimates
DF
Parameter Standar t Value
d
Estimate
Error
1
1
1
1
1
1
1
1.70973
0.11876
0.07698
0.09132
0.10482
0.21579
0.17767
0.28331
0.03154
0.02577
0.03212
0.03476
0.0343
0.03695
Pr > |t| Standardi
zed
Estimate
6.03 <.0001
3.77 0.0002
2.99 0.0031
2.84 0.0049
3.02 0.0029
6.29 <.0001
4.81 <.0001
0
0.19327
0.13114
0.13557
0.14139
0.30641
0.2571
Regressione lineare – Interpretazione
coefficienti
Il coefficiente beta (output della PROC REG) associato ad
uno specifico regressore X ha il seguente significato
Y   0   1 X 1   2 X 2  ...  pXp  
• se X aumenta/diminuisce di una unità (e tutti gli altri
regressori rimangono invariati) allora
1) se il coefficiente è positivo Y aumenta/diminuisce di una
percentuale pari al valore del coefficiente
2) se il coefficiente è negativo Y diminuisce/aumenta di una
percentuale pari al valore del coefficiente
• in genere si considerano i coefficienti standardizzati
(opzione STB della PROC REG) che non sono influenzati
dall’unità di misura delle variabili
PROC REG – Output
se la variabile CambioTariffa_2 aumenta
(diminuisce) di una unità allora la soddisfazione
globale aumenta (diminuisce) del 19%
N.B.:attenzione al segno!!
Variable
Intercept
CambioTariffa_2
ComodatoUso_2
AltriOperatori_2
assistenza_2
ChiamateTuoOperatore_2
Promozioni_2
Parameter Estimates
DF
Parameter Standar t Value
d
Estimate
Error
1
1
1
1
1
1
1
1.70973
0.11876
0.07698
0.09132
0.10482
0.21579
0.17767
0.28331
0.03154
0.02577
0.03212
0.03476
0.0343
0.03695
Pr > |t| Standardi
zed
Estimate
6.03 <.0001
3.77 0.0002
2.99 0.0031
2.84 0.0049
3.02 0.0029
6.29 <.0001
4.81 <.0001
0
0.19327
0.13114
0.13557
0.14139
0.30641
0.2571
Regressione lineare – Variabili
qualitative nominali
Considerazioni da fare prima di stimare il modello
• Non si possono inserire variabili qualitative nominali tra i
regressori
• Per considerare questo tipo di variabili all’interno del
modello bisogna costruire delle variabili dummy
(dicotomiche (0-1)) che identificano le modalità della
variabile nominale originaria;
• Le variabili dummy saranno utilizzate come regressori)
Costruzione variabili dummy esempio
Es. Si vuole considerare tra i regressori la variabile qualitativa nominale
“Area” che identifica l’area di residenza degli intervistati
N° questionario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AREA
nord
nord
sud
nord
centro
nord
centro
sud
nord
centro
La variabile “Area” assume tre
modalità (nord-centro-sud)  si
costruiscono due variabili
dummy
Costruzione variabili dummy esempio
Le variabili dummy da costruire sono due (la terza sarebbe
ridondantepuò essere ottenuta come combinazione
delle altre due)
• Area_nordvale 1 se l’intervistato è residente al nord e 0
in tutti gli altri casi
• Area_centrovale 1 se l’intervistato è residente al centro
e 0 in tutti gli altri casi
Costruzione variabili dummy esempio
N° questionario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AREA
nord
nord
sud
nord
centro
nord
centro
sud
nord
centro
AREA_NORD AREA_CENTRO
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
VARIABILE
ORIGINARIA (non entra
nel modello)
VARIABILI DUMMY
(entrano nel modello)
Costruzione variabili dummy esempio
Nella PROC REG si inseriscono le due variabili dummy (ma
non la variabile originaria!) nella lista dei regressorii
relativi coefficienti rappresentano l’effetto della singola
modalità (nord/centro) della variabile “Area”.
proc reg data= … ;
model Y= X1 X2 … area_nord area_centro
/stb selection= stepwise;
run;
PROC REG – Riepilogo
Per stimare un modello di regressione lineare
1. individuare la variabile dipendente (=il fenomeno da
analizzare)
2. individuare l’insieme dei potenziali regressori
(eventualmente tutte le variabili nel dataset)
3. se tra i regressori sono presenti variabili qualitative
nominali costruire variabili dummy
4. far girare la PROC REG con il metodo stepwise e
verificare la bontà del modello (R-quadro, TEST F e
significatività dei coefficienti (test t))
5. Interpretare i coefficienti
Orari di ricevimento
Gennaio-Febbraio 2010



Lunedì 11 gennaio dalle 14.30 alle 15.30
Lunedì 25 gennaio dalle 14.30 alle 15.30
Lunedì 8 febbraio dalle 14.30 alle 15.30