Le ombre del sole (2)
Modellizzazione matematica di un
fenomeno naturale
Rossella Garuti
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Il problema del lampione
Il lampione del
parcheggio è
altissimo, non
possiamo
misurarlo
direttamente.
Come fare per
sapere quanto è
alto?
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Caratteristiche del problema
 problema verbale
 senza dati numerici
 confronto oggetto-ombra proiettata
 referente geometrico
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Soluzioni geometriche
Parallelismo dei raggi del sole
La prof o un altro oggetto non tanto alto,
ad esempio i paletti della recinzione si
mettono di fianco al lampione, poi si
misura l’altezza dell’oggetto e la lunghezza
della sua ombra e l’ombra del lampione. Si
riportano le misure in scala sul quaderno,
si traccia il raggio che parte dalla punta
dell’oggetto alla fine della sua ombra.
Infine traccio un raggio parallelo a questo
che parte dalla fine dell’ombra del
lampione e arriva in un punto che sarà
l’estremità del lampione. Misuro e poi
moltiplico per la scala di riduzione e trovo
l’altezza del lampione.
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Ampiezza dell’angolo
Si misura un oggetto e la sua
ombra e si riportano in scala sul
foglio, si misura l’angolo e sotto si
traccia un altro raggio con la
stessa inclinazione. Poi si traccia
l’ombra del lampione in scala che
parta dalla fine del raggio. Si
trova così l’altezza del lampione ,
si moltiplica per la scala e si trova
l’altezza del lampione
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Soluzioni aritmetiche: conflitto fra modello
additivo e modello moltiplicativo
Prendo un bastone e misuro lui e la sua ombra, poi calcolo la
differenza fra i due. Infine misuro l’ombra del lampione e a questa
sottraggo la differenza di prima
• strategia additiva pura
• attenzione al “pezzo in più” dell’ombra
• modello geometrico della similitudine
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Misuro il paletto della recinzione e la sua ombra. Poi divido l’ombra
per il paletto e trovo quante volte il paletto sta nella sua ombra. Infine
misuro l’ombra del lampione e la divido per il risultato di prima e trovo
la lunghezza del lampione
• ombra più lunga dell’oggetto
• strategia moltiplicativa pura
•conflitto su “dividere per il numero di volte”
• modello geometrico della similitudine
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Misuro un metro nel palo e lo segno e misuro nell’ombra dove arriva
questo segno, trovo così quanto è l’ombra di un metro di lampione.
Misuro la lunghezza totale dell’ombra e la divido per quella del metro
dell’ombra. Così trovo in veri metri quanto è alto il lampione
• unità di misura metro-ombra
• strategia moltiplicativa
• modello geometrico del parallelismo
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Strategia intermedia ponte fra additivo e moltiplicativo
Paletto 3 m
Ombra paletto 5 m
5-3=2
Ombra lampione 3 volte ombra
paletto
•Classe III media
•In II proporzioni e
similitudini
•Livello alto
•Matematica: ottimo
5X3 =15 ombra lampione
3X2= 6
15-6=9 lunghezza lampione
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Strategia intermedia modello moltiplicativo
connesso a considerazioni di tipo additivo
C’è una differenza fra il paletto e la sua
ombra e tra il lampione e la sua ombra,
ma la differenza non è la stessa perché il
lampione è più lungo del paletto. Se
voglio rendere uguale il lampione alla
sua ombra, devo togliere una maggior
differenza rispetto al caso del paletto.
Misuro a occhio quante volte il paletto
sta nel lampione e tolgo dall’ombra del
lampione l’altra differenza, tante volte
quante il paletto sta nel lampione. Così
l’ombra e il lampione sono uguali e io
posso misurare l’ombra del lampione.
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Qual è il modello sottostante al problema del
lampione?
Talete (Mileto 626 ca. - 548 ca. a.C.),
Se un fascio di rette parallele è intersecato da
due trasversali, a segmenti uguali sull'una
corrispondono segmenti uguali sull'altra
(Teorema di Talete)
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In terra d’Egitto, Talete sbalordisce tutti,
agrimensori, sacerdoti e il re: misura la piramide, la
tomba del re. Il successo è pieno e totale e Plutarco
così lo riporta: " [Il re] è rimasto singolarmente
ben impressionato dal modo in cui hai misurato la
piramide, [...], limitandoti a collocare il tuo
bastone al limite dell’ombra proiettata dalla
piramide stessa; formatisi, al contatto col sole, due
triangoli, dimostrasti che la proporzione esistente
fra la lunghezza del bastone e l’altezza della
piramide era la stessa che intercorreva fra la
lunghezza delle due ombre. Ciò nonostante .... ti si
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muove l’accusa d’avere in odio i re".
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Altri problemi
1. La statua greca
In un recente scavo
archeologico in Calabria
sono stati ritrovati i resti di
una statua greca,
probabilmente di un
guerriero. L’unica parte
intatta della statua è un
piede che misura in
lunghezza 76 cm.
Vorremmo stabilire quanto
era alta
approssimativamente
questa statua. Conosciamo
le misure del David di
Michelangelo ( piede 54
cm, altezza 432 cm)
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Caratteristiche del problema
• referente
geometrico
• parti proporzionali
di uno stesso
oggetto
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Il problema dei due chiodi
Il disegno rappresenta
dall’alto, le ombre prodotte
da un chiodo posto in A,
lungo 8cm. In B è piantato
un chiodo lungo 6 cm. Pensi
di poter disegnare con
precisione, stabilendo la
misura e la posizione, le
ombre del chiodo piantato in
B?
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Caratteristiche del problema
• dati numerici espliciti
• rapporto decimale
• lunghezza incognita minore di
quella nota
• referente geometrico
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La strategia building-up
Calcolo quante volte il chiodo sta nella
sua ombra 19:8= 2,3 un po’ più del
doppio
Il chiodo in B è 6 e allora 6+6+2= 14
ombra del secondo chiodo
• confronto ombra-chiodo
• blocco sul rapporto decimale
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Strategia chiodo-chiodo
Calcolo quante volte il
chiodo piccolo sta nel
grande 8:6=1,3
Divido l’ombra questo
numero 19: 1,3=
Calcolo il rapporto fra i due
chiodi 6:8= 0,7
Moltiplico l’ombra per questo
rapporto 19X0,7=
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Strategie moltiplicative
Per ogni problema posto è possibile costruire due tipi di
rapporto
Invarianti di similitudine
Invarianti di forma
Quando esprimono l’idea di
trasformazione regolare da
un oggetto all’altro
Quando esprimono l’idea
di equilibrio interno
all’oggetto
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La scelta di una strategia o dell’altra dipende dal
CONTESTO e dalla GRANDEZZA RELATIVA degli
oggetti
Discussione
LUOGO: parcheggio del Torrenova vicino ad un alto lampione stradale.
Il parcheggio è cementato ed è un giorno pieno di sole. Classe IV°
elementare
Ins. Come potremmo misurare l’altezza del lampione?
Michele: io propongo di dividere per due la misura dell’ombra del
lampione che, siccome è più lunga, e si vede, si ottiene circa la misura
vera del lampione.
Francesco: molto circa, perché l’ombra non mi sembra il doppio del
lampione, è solo un po’ più lunga.
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Costanza: prendiamo uno di noi e lo misuriamo realmente, poi
mettiamo il bambino vicino al lampione e misuriamo la sua ombra. Che
proporzione c’è tra il bambino e la sua ombra? Quante volte
Alessandro sta nella sua ombra? Allo stesso modo ci dobbiamo
chiedere: quante volte il lampione sta nella sua ombra. Praticamente i
centimetri dell’ombra diviso i centimetri dell’altezza di Alessandro. Poi
i centimetri dell’ombra del lampione diviso il numero ottenuto prima
che danno come risultato l’altezza del lampione.
Francesco: Il mio ragionamento è lo stesso di Costanza, ma io farei la
misura dell’ombra del lampione diviso la misura dell’ombra di
Alessandro. Il risultato lo moltiplicherei per l’altezza reale di
Alessandro
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Costanza: tu in questo modo prendi dei dati diversi. Io credo che
bisogna stare attenti. Non so se è la stessa cosa. L’ombra di Alessandro
e l’altezza di Alessandro appartengono ad un unico oggetto come pure
l’ombra del lampione e l’altezza del lampione. Non so se si possono
mischiare ombra e ombra e oggetto e oggetto. Io credo di poter dire
quasi sicuramente che l’altezza di Alessandro sta nella sua ombra come
l’altezza del lampione sta nella sua ombra, perché il sole si comporta
nello stesso modo: è uno solo!
Francesca : Io farei in un altro modo. Misurerei l’ombra dell’oggetto e
poi l’oggetto. Poi sottraggo le due misure e vedrei di quanto in più è
lunga l’ombra. Lo stesso pezzo si toglie dall’ombra dell’altro oggetto e
si vede di quanto è alto.
Francesco: Io non sono d’accordo perché non c’è rapporto
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Sara: Io sì. Fare la differenza si capisce bene e poi si vede di quanto
è più lungo
Costanza: per me è sbagliato. Sembra che vada bene, ma non ci sono
le proporzioni. Francesca prendi l’ombra di una margherita. Fai la
differenza e vedrai che sarà di pochissimi centimetri. Se togli quei
centimetri all’ombra del lampione ottieni una misura quasi uguale a
quella dell’ombra, ma non è certo l’altezza del lampione
• si mantiene la semantica del ragionamento
proporzionale
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…non sempre il modello funziona!
Francesca ha 1 anno ed è alta 52 cm. Quanto sarà alta
fra un anno?
Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 7 di più. Fra
quanti anni Marco avrà il doppio degli anni di Paolo?
Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 8. Quando
Paolo avrà il doppio degli anni, quanti ne avrà Marco?
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