una tovaglia, due tavoli
dal progetto Innovadidattica
20 settembre 15 ottobre 2009
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alcune riflessioni di fondo
• una esperienza didattica che possa
produrre competenze
“… Si ha un esercizio quando la risoluzione prevede che si debbano utilizzare
regole e procedure già apprese, … si ha invece un problema quando una o
più regole o una o più procedure non sono ancora bagaglio cognitivo del
risolutore;… a volte è la successione stessa delle operazioni risolventi a
richiedere un atto creativo da parte del risolutore». (D’Amore, 1999)
• la scelta metodologica di
procedere per problemi
“Per stimolare il pensiero e la sua maturazione servono questioni, dette anche
situazioni-problema. Il bambino-ragazzo nell’affrontarle mobilita le sue
competenze per acquisire nuove conoscenze; le conoscenze migliorano le
competenze e ne sviluppano di nuove. (L. Grugnetti)
• al fine di promuovere
apprendimento strategico e comunicativo
La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo
nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati,
intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta
anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del
linguaggio matematico.”
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il problema
LA TOVAGLIA
Nella sala da pranzo della casa di Luca c’è un tavolo
quadrato che si può allungare e diventa rettangolare.
Quando il tavolo è allungato, la sua lunghezza è
doppia della larghezza e una tovaglia cala di 25
centimetri da ogni lato.
La stessa tovaglia sistemata sul tavolo quadrato, cala
di 65 cm da ciascuno dei lati dai quali sono state tolte
le prolunghe.
Quali sono le dimensioni della tovaglia?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
(dal Rally Matematico Transalpino)
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Analisi a priori del problema
Ambito concettuale
Geometria: quadrato, rettangolo. Aspetti concettuali di perimetro (misura del
contorno); area (misura della superficie); variazione area e perimetro.
Aritmetica: operazioni con numeri naturali.
Algebra: equazioni di primo grado
Riflessioni didattico disciplinari
Non si tratta di “problema di applicazione” (esercizio), destinato a rinforzare e a
verificare conoscenze
La situazione presentata si avvicina a quelle di “problema aperto”:
senso della sfida, piacere della ricerca e aspetti ludici, parte integrante del
programma di matematica (comprensione e interpretazione, avvio al metodo
scientifico, sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca, comunicazione dei
risultati attraverso un linguaggio specifico)
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Analisi a priori del problema
Compito
soluzione del problema
interpretare la situazione in termini
geometrici, con disegni del tipo di quelli a
fianco, rendendosi conto che per passare
da un quadrato ad un rettangolo di
lunghezza doppia della larghezza,
per via aritmetica: differenza di segmenti
per via algebrica: avendo indicato con x
la misura del lato del tavolo quadrato, in
cm, scrivere un’ equazione
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Analisi a priori del problema
Canovaccio metodologico
Prima parte (gruppo classe, tempi. circa 1 ora, in classe)
dalla situazione problematica …. al problema
1. senza tradire il significato didattico, l’insegnante propone la situazione
problematica verbalmente e in modo accattivante, così da motivare gli alunni alla
soluzione del problema.
2. Gli studenti, in piccolo gruppo, stendono il testo del problema in linguaggio
naturale.
Seconda parte (piccolo gruppo, tempi circa un’ora, in classe)
modellizzazione del problema
1. L’insegnante offre stimoli e input adattandoli agli stili di lavoro di ogni gruppo:
“avete mai incontrato un problema simile? Quali le parole chiave’? Visualizza il
problema, gli oggetti matematici in gioco, fai un disegno .. “
2. discussione e condivisione dei lavori
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Terza parte (lavoro singolo,
tempi: variabile, a casa;
circa un’ora, in classe)
verso la soluzione
1. Ricerca della soluzione
2. Commento e riflessione
guidata
Griglia scheda studente
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In itinere …
Narrazione della situazione
Al telefono
i ragazzi del liceo Banfi e la loro prof. ….:
“ …per
la giornata finale, di comunicazione allargata del
percorso-progetto, ci servirà un tavolo “duplice nell’uso e
nella forma”: inizialmente di forma quadrata dovrà potersi
allungare, assumere al bisogno una forma rettangolare,
doppia del quadrato di partenza e, in un’ottica di spesa
contenuta, dovrà essere ricoperto da una tovaglia i cui bordi
dovranno pendere non più di 20 – 25 cm per lato, .... “
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dalla situazione problematica …
Il lavoro operativo per capire
“avviciniamo
due tavoli
quadrati, così si
ottiene il tavolo
rettangolare…”
stendiamo la tavoglia
appoggiandola bene,
in modo che penda
allo stesso modo da
qualunque parte”
“ con il tavolo
quadrato la stessa
tovaglia pende
troppo da una parte,
dobbiamo
centrarla…”
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9
… al problema
la formulazione di un testo condiviso
“ …Un tavolo quadrato
opportunamente allungato assume
una forma rettangolare
di area doppia.
La tovaglia sul tavolo rettangolare
pende 20-25 cm da ogni lato,
distesa sul tavolo quadrato
pende 60 cm
dalla parte dei bordi
che non variano.
Quanto dovrà essere
lungo e largo il tavolo?
E la tovaglia?”
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… al problema
2^ liceo
L’insegnante sottolinea le necessità della situazione,
gli studenti manifestano
una certa perplessità
“Il tavolo è uno o due?”
“Ma le misure le ha dette?”
“Ma sono 20 o 25 cm?”
“I dati sono solo quelli che ha detto lei? (20 e 60 cm?)”
domande, chiarimenti, precisazioni
Una scuola deve commissionare per il laboratorio di scienze
dei tavoli e delle tovaglie.
Il tavolo deve essere quadrato e all’occorrenza si deve poter
allungare fino a raggiungere il doppio della sua superficie e una
forma rettangolare. La tovaglia sul tavolo quadrato dovrà pendere
dai due lati di 60/65 cm, mentre su quello allungato 20/25 cm.
Determinare le misure del tavolo e della tovaglia.
il testo
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la modellizzazione del problema
la lezione partecipata, il gruppo classe …
alla lavagna:
- l’individuazione e la condivisione
delle parole chiave
- la costruzione di una mappa
- il problema geometrico
“immaginato”
- la comprensione della richiesta:
3^
media
3^ media
“Che dimensioni deve
avere il tavolo?
E la tovaglia?”
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la modellizzazione del problema
Lavoro autonomo, nel piccolo gruppo
si chiariscono dubbi e incomprensioni, …
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… si tratteggiano disegni che
esemplificano la situazione,
alcuni artistici, altri imprecisi,
ma già funzionali per una buona
strategia risolutiva
2^ liceo
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14
verso la soluzione…
3^media
Si mobilitano le competenze
Serena, Alice, Veronica
si aiutano con un
modellino concreto
perfettamente in scala:
“il piano del tavolo è
un quadrato che si
ribalta, la tovaglia è un
rettangolo-foglio di
carta, …”
che le ragazze centrano
opportunamente dopo
aver tracciato le
diagonali.
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Nathan, Gianluca, Gabriele:
costruiscono il tavolo-quadrato
e il tavolo-rettangolo
suddividendo il quadrato in due
metà che posizionano e rendono
mobili con delle mollette
3^media
“metà quadrato + il quadrato +
metà quadrato fanno il rettangolo”.
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Sara …. imposta una
soluzione algebrica
… con gli stuzzicadenti
3^media
Per Alice, Sara, Martina:
Il problema diventa un indovinello numerico :
“prof, e’ come dire ….
Il doppio di un numero aumentato di 50 è
uguale allo stesso numero aumentato di 130
_____|__________:__________|_____
Tovaglia e tavolo rettangolare
25
x
x
25
__________|_____:_____|__________
Tovaglia e tavolo quadrato
65
x
65
Equazione: 2x + 50 = x + 130
Soluzione per tentativi
2 x 80 + 50 = 80 + 130
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Fra “i non risolutori”:
Marco e Riccardo hanno delle
incertezze nella interpretazione; la
richiesta di trovare le “dimensioni della
tovaglia”, è tradotta in “determinazione
del suo perimetro”.
3^media
Charaf e Mohamed costruiscono due tavoli .. generici,
“uno è quadrato e uno è rettangolare”,
ma fra i due tavoli non sembra non esserci alcuna
relazione, neppure nel materiale di costriuzione.
Alcuni rinunciano a qualunque tipo di
rappresentazione con conseguente
perdita di controllo delle
informazioni e/o della loro gestione
altri presentano difficoltà a gestire la
situazione problematica per
l’incapacità di modellizzare la
tovaglia con un rettangolo: rimangono
ancorati all’immagine reale, con
disegni del tavolo in prospettiva, con
la tovaglia che “pende”, i disegni dei
“rettangoli” con bordi “ondulati” 18
3^media
Eduard, Simone e
Antonio:
non riescono a passare
dallo spazio al piano,
presentano un progetto
grafico non coerente (un
tavolo e una tovaglia
disegnata in volo!)
Non formulano nessuna
ipotesi di soluzione
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2^ liceo
il problema è per lo più risolto correttamente,
per via aritmetica,
per via algebrica
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Analisi a posteriori
 L’esperienza è una buona pratica di insegnamentoapprendimento per competenze:
 Porsi e risolvere problemi
Essere capace di rappresentare, descrivere, modellizzare la realtà:
- scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare
problemi di varia natura in contesti diversi
- realizzare costruzioni geometriche utilizzando strumenti diversificati.
- impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso espressioni,
equazioni
 Introduzione al pensiero razionale
- formarsi di un linguaggio matematico, nei suoi diversi aspetti, verbale e
simbolico;
- acquisire consapevolmente le forme del ragionamento verbale;
- acquisire consapevolmente un pensiero strategico, elaborare comportamenti
e scelte compiute in base al tipo di informazioni disponibili.
 Argomentare e congetturare
Essere in grado di giustificare con argomenti ragionevolmente fondati ogni
affermazione
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2^ liceo
ai ragazzi :
 ha permesso di “fare matematica” nel risolvere un
problema;
 ha stimolato la “ricomposizione” delle conoscenze
possedute.
 ha rappresentato un avvio al metodo scientifico,
sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca,
comunicazione dei risultati attraverso un linguaggio
specifico;
 ha sviluppato la capacità di lavorare in gruppi
cooperativi in modo responsabile e finalizzato
 ha consentito il confronto con i compagni nel gruppo e con
i gruppi all’interno della classe
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l’insegnante :
 ha osservato gli allievi, in attività di gruppo non strutturate
 ha potuto valutare la capacità organizzativa degli alunni
e avere l’occasione per discutere di matematica
 ha introdotto elementi di rinnovamento
nell’insegnamento e realizzato scambi con altri insegnanti su
problemi stimolanti.
 ha visto il progetto come momento di continuità, anche
metodologica, fra la scuola secondaria di I grado e la scuola
secondaria di II grado.
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