Esempio 1
 Bruce e Sheila decidono se andare all’opera oppure ad un
incontro di wrestling.
 Sheila ottiene una utilità di 4 se andrà all’opera e di 1 se va a
veder il wrestling.
 Bruce ottiene una utilità di 1 se andrà all’opera e di 4 se va a
vedere il wrestling.
 I due decidono cosa fare nel modo seguente:
 Bruce e Sheila mettono entrambi un euro sulla guida
televisiva in salotto (assumiamo che nessuno cerca di
guardare come punta l’altro). Contano fino a 3 e
simultaneamente svelano quale faccia dell’euro è su. Se le
facce dell’euro sono uguali (entrambe testa (heads), o
entrambe croce (tails)), Sheila decide dove andare, mentre
se le monente mostrano due facce diverse decide Bruce.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
1
Esempio 1
Sheila
H (q)
Bruce
T ( 1–q )
H (r)
1 ,
4
4 ,
1
T ( 1–r )
4 ,
1
1 ,
4
 Il payoff atteso di Bruce giocando Head è il seguente:
 EU1(H, (q, 1–q)) = q×1 + (1–q)×4 = 4–3q
 Il payoff atteso di Bruce giocando Tail è il seguente:
 EU1(T, (q, 1–q)) = q×4 + (1–q)×1 = 1+3q
 Bruce è indifferente fra giocare Head o Tail quando
 EU1(H, (q, 1–q)) = EU1(T, (q, 1–q))
4–3q = 1+3q
6q = 3
Ciò dà un valore di q = 1/2
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
2
Esempio 1
Sheila
H (q)
Bruce
T ( 1–q )
H (r)
1 ,
4
4 ,
1
T ( 1–r )
4 ,
1
1 ,
4
 Il payoff di Sheila giocando Head è il seguente:

EU2(H, (r, 1–r)) = r ×4+(1–r)×1 = 3r + 1
 Il payoff di Sheila giocando Tail è il seguente:

EU2(T, (r, 1–r)) = r×1+(1–r)×4 = 4 – 3r
 Sheila è indifferente fra giocare Head o Tail quando
 EU2(H, (r, 1–r)) = EU2(T, (r, 1–r))
3r + 1 = 4 – 3r
6r = 3 Ciò da un valore di r = ½
 ( (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ) è un MNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
3
Esempio 2
Player 2
L (q)
Player 1
R ( 1–q )
T (r)
6 ,
0
0 ,
6
B ( 1–r )
3 ,
2
6 ,
0
 Il payoff atteso di Player 1 giocando T è:
 EU1(T, (q, 1–q)) = q×6 + (1–q)×0 = 6q
 Il payoff atteso di Player 1 giocando B è:
 EU1(B, (q, 1–q)) = q×3 + (1–q)×6 = 6-3q
 Player 1 è indifferente tra giocare T e B se
 EU1(T, (q, 1–q)) = EU1(B, (q, 1–q))
6q = 6-3q
9q = 6 Ciò da un valore di q = 2/3
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
4
Example 2
Player 2
L (q)
Player 1
R ( 1–q )
T (r)
6 ,
0
0 ,
6
B ( 1–r )
3 ,
2
6 ,
0
 Il payoff atteso di Player 2 giocando L è:

EU2(L, (r, 1–r)) = r ×0+(1–r)×2 =2- 2r
 Il payoff atteso di Player 2 giocando R è:

EU2(R, (r, 1–r)) = r×6+(1–r)×0 = 6r
 Player 2 è indifferente tra giocare L e R quando

EU2(L, (r, 1–r)) = EU2(R, (r, 1–r))
2- 2r = 6r
8r = 2 Ciò da un valore di r = ¼
 ( (1/4, 3/4), (2/3, 1/3) ) è un MNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
5
Esempio 3: Il gioco di entrata nel
mercato
 Due imprese, Firm 1 e Firm 2, devono decidere




simultaneamente se aprire un ristorante in un centro
commerciale.
Ognuna ha due strategie: Enter, Not Enter
Se entrambe giocano “Not Enter”, guadagnano 0
profitti
Se una gioca “Enter” e l’altra gioca “Not Enter” allora
l’impresa che gioca “Enter” guadagna $500K
Se entrambe giocano “Enter” allora entrambe
perdono $100K perché la domanda è limitata
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
6
Esempio 3: Il gioco di entrata nel
mercato
Firm 2
Enter ( q )
Enter ( r )
Firm 1
Not Enter ( 1–r )
-100 ,
0
,
Not Enter ( 1–q )
-100
500
500 ,
0
0 ,
0
 Quanti equilibri di Nash potete trovare?
 Due equilibri di Nash in strategie pure
(Not Enter, Enter) e (Enter, Not Enter)
 Un equilibrio di Nash in strategie miste
((5/6, 1/6), (5/6, 1/6))
questo perchè r=5/6 e q=5/6
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
7
Esempio 4
Player 2
L (q)
Player 1
R ( 1–q )
T (r)
1 ,
1
1 ,
2
B ( 1–r )
2 ,
3
0 ,
1
 Quanti equilibri di Nash trovate?
 Due equilibri di Nash in strategie pure
(B, L) e (T, R)
 Un equilibrio di Nash in strategie miste
((2/3, 1/3), (1/2, 1/2))
Questo perchè r=2/3 e q=1/2
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
8
Esempio: Roccia, carta e forbici
 Ognuno dei due giocatori annuncia
simultaneamente Roccia (R), o Carta (P), o
Forbici (S).
 La carta batte la roccia
 La roccia batte le forbici
 Le forbici battono la carta
 Il giocatore che nomina l’oggetto vincente
riceve $1 dall’avversario
 Se entrambi giocano lo stesso oggetto
nessuno vince o perde
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
9
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock
Rock
Player
Paper
1
Scissors
Paper
Scissors
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Riuscite a trovare un equilibrio di Nash in
strategie miste?
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
10
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
 Insieme dei giocatori: {Player 1, Player 2}
 Insiemi delle strategie:
player 1: S1= { s11, s12, ..., s1J }
player 2: S2= { s21, s22, ..., s2K }
 Funzioni di payoffs:
player 1: u1(s1j, s2k)
player 2: u2(s1j, s2k)
per j = 1, 2, ..., J e k = 1, 2, ..., K
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
11
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
Player 2
s21 (p21)
s22 (p22)
u2(s11, s21)
Player 1
s11 (p11)
u1(s11, s21)
u2(s11, s22)
u1(s12, s21)
u2(s12, s22)
s1J (p1J)
u1(s1J, s21)
.......
u2(s12, s2K)
u1(s12, s2K)
.......
u2(s1J, s21)
u2(s11, s2K)
u1(s11, s2K)
u1(s12, s22)
......
....
s2K (p2K)
.......
u1(s11, s22)
u2(s12, s21)
s12 (p12)
.......
u2(s1J, s22)
u1(s1J, s22)
.......
......
......
u2(s1J, s2K)
u1(s1J, s2K)
 La strategia mista di Player 1: p1=(p11, p12, ..., p1J )
 La strategia mista di Player 2: p2=(p21, p22, ..., p2K )
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
12
Payoffs attesi: 2-giocatori ognuno con
un numero finito di strategie pure
 Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s11:
EU1(s11, p2)=p21×u1(s11, s21)+p22×u1(s11, s22)+...+p2k×u1(s11, s2k)+...+p2K×u1(s11, s2K)
 Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s12:
EU1(s12, p2)=p21×u1(s12, s21)+p22×u1(s12, s22)+...+p2k×u1(s12, s2k)+...+p2K×u1(s12, s2K)

.........
 Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s1J:
EU1(s1J, p2)=p21×u1(s1J, s21)+p22×u1(s1J, s22)+...+p2k×u1(s1J, s2k)+...+p2K×u1(s1J, s2K)
 Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia mista
p1:
v1(p1, p2)=p11EU1(s11, p2)+p12EU1(s12, p2)+...+p1jEU1(s1j, p2)+...
+p1JEU1(s1J, p2)
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
13
Payoffs attesi : 2-giocatori ognuno con
un numero finito di strategie pure
 Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura s21:
EU2(s21, p1)=p11×u2(s11, s21)+p12×u2(s12, s21)+...+p1j×u2(s1j, s21)+...+p1J×u2(s1J, s21)
 Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura s22:
EU2(s22, p1)=p11×u2(s11, s22)+p12×u2(s12, s22)+...+p1j×u2(s1j, s22)+...+p1J×u2(s1J, s22)

...........
 Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s2K:
EU2(s2K, p1)=p11×u2(s11, s2K)+p12×u2(s12, s2K)+...+p1j×u2(s1j, s2K)+...+p1J×u2(s1J, s2K)
 Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia mista p2:
v2(p1, p2)=p21EU2(s21, p1)+p22EU2(s22, p1) +...+p2kEU2(s2k, p1)+....
+p2KEU2(s2K, p1)
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
14
MNE: 2-giocatori ognuno con un numero
finito di strategie pure
 Una coppia di strategie miste (p1*, p2*), dove
p1*=(p11*, p12*, ..., p1J* )
p2*=(p21*, p22*, ..., p2K* )
è un MNE se la strategia mista p1* del giocatore 1 è una
risposta ottima alla strategia mista del giocatore 2 p2*, e
p2* è una risposta ottima a p1*.
 Oppure, v1(p1*, p2*) v1(p1, p2*), per tutte le strategie
miste del giocatore 1 p1, e v2(p1*, p2*)  v2(p1*, p2), per
tutte le strategie miste del giocatore 2 p2.
 Ciò significa, data la strategia mista del giocatore 2 p2*, il
giocatore 1 non può migliorare deviando da p1*. Data la
strategia mista del giocatore 1 p1*, il giocatore 2 non può
fare di meglio deviando da p2*.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
15
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
 Teorema 3 (proprietà del MNE)

Una coppia di strategie miste (p1*, p2*), dove
p1*=(p11*, p12*, ..., p1J* )
p2*=(p21*, p22*, ..., p2K* )
è un MNE se e solo se
v1(p1*, p2*)  EU1(s1j, p2*), per j = 1, 2, ..., J
e
v2(p1*, p2*)  EU2(s2k, p1*), per k= 1, 2, ..., K
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
16
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
 Teorema 4: Una coppia di strategie miste (p1*, p2*), dove
p1*=(p11*, p12*, ..., p1J* )
p2*=(p21*, p22*, ..., p2K* )
è un MNE se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:
 player 1: per ogni m e n, se p1m*>0 e p1n*>0 allora
EU1(s1m, p2*) = EU1(s1n, p2*); se p1m*>0 e p1n*=0 allora
EU1(s1m, p2*)  EU1(s1n, p2*)
 player 2: per ogni i e k, se p2i*>0 e p2k*>0 allora
EU2(s2i, p1*) = EU2(s2k, p1*); se p2i*>0 e p2k*=0 allora
EU2(s2i, p1*)  EU2(s2k, p1*)
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
17
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
 Cosa ci dice il Teorema 4?
 Una coppia di strategie miste (p1*, p2*), dove
p1*=(p11*, p12*, ..., p1J* ), p2*=(p21*, p22*, ..., p2K* )
è un MNE se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:
 Data la strategia mista del giocatore 2 p2*, il payoff atteso del
giocatore 1 da ogni strategia pura al quale egli assegna una
probabilità positiva di realizzo è la stessa, e il payoff atteso dal
giocatore 1 di ogni strategia pura alla quale assegna una
probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia
pura alla quale assegna zero probabilità.
 Data la strategia mista del giocatore 1 p1*, il payoff atteso del
giocatore 2 da ogni strategia pura al quale egli assegna una
probabilità positiva di realizzo è la stessa, e il payoff atteso dal
giocatore 2 di ogni strategia pura alla quale assegna una
probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia
pura alla quale assegna zero probabilità.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
18
2-giocatori ognuno con un numero finito
di strategie pure
 Il Teorema 4 implica che abbiamo un MNE nella
situazione seguente:


Data la strategia mista del giocatore 2, Il giocatore 1 è
indifferente tra le sue strategie pure alle quali assegna
probabilità positiva. Il payoff atteso di ogni strategia
pura che ha probabilità positiva è non inferiore del
payoff atteso di ogni strategia pura alla quale il
giocatore 1 assegna probabilità nulla.
Data la strategia mista del giocatore 1, Il giocatore 2 è
indifferente tra le sue strategie pure alle quali assegna
probabilità positiva. Il payoff atteso di ogni strategia
pura che ha probabilità positiva è non inferiore del
payoff atteso di ogni strategia pura alla quale il
giocatore 2 assegna probabilità nulla.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
19
Teorema 4: esempio dimostrativo
Player 2
L (0)
Player 1
C (1/3)
R (2/3)
T (3/4)
0 ,
2
3 ,
3
1 ,
1
M (0)
4 ,
0
0 ,
4
2 ,
3
B (1/4)
3 ,
4
5 ,
1
0 ,
7
 Controllare se ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) è un MNE
 Player 1:


EU1(T, p2) = 00+3(1/3)+1(2/3)=5/3,
EU1(M, p2) = 40+0(1/3)+2(2/3)=4/3
EU1(B, p2) = 30+5(1/3)+0(2/3)=5/3.
Quindi, EU1(T, p2) = EU1(B, p2) > EU1(M, p2)
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
20
Teorema 4: esempio dimostrativo
Player 2
L (0)
Player 1
C (1/3)
R (2/3)
T (3/4)
0 ,
2
3 ,
3
1 ,
1
M (0)
4 ,
0
0 ,
4
2 ,
3
B (1/4)
3 ,
4
5 ,
1
0 ,
7
 Player 2:
 EU2(L, p1)=2(3/4) + 00 + 4(1/4)=5/2,
EU2(C, p1)=3(3/4) + 40 + 1(1/4)=5/2,
EU2(R, p1)=1(3/4) + 30 + 7(1/4)=5/2.
 Quindi, EU2(C, p1)=EU2(R, p1)EU2(L, p1)
 Allora, ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) dato il Teorema
4 è un MNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
21
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Controllate che esista un MNE in cui p11>0,
p12>0, p13>0, p21>0, p22>0, p23>0.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
22
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Se ogni giocatore assegna una probabilità
positiva ad ognuna delle sue strategie miste
allora,per il Teorema 4, ogni giocatore è
indifferente tra le sue tre strategie pure.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
23
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Il giocatore 1 è indifferente fra le sue 3 strategie:
EU1(Rock, p2) = 0p21+(-1) p22+1 p23
EU1(Paper, p2) = 1 p21+0 p22+(-1) p23
EU1(Scissors, p2) = (-1) p21+1 p22+0 p23
 EU1(Rock, p2)= EU1(Paper, p2)= EU1(Scissors, p2)
 Avendo che p21+ p22+ p23=1, abbiamo tre equazioni e
tre incognite.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
24
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 0p21+(-1) p22+1 p23= 1 p21+0 p22+(-1) p23
0p21+(-1) p22+1 p23 = (-1) p21+1 p22+0 p23
p21+ p22+ p23=1
 La soluzione è
p21= p22= p23=1/3
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
25
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Il giocatore 2 è indifferente fra le tre strategie:
EU2(Rock, p1)=0p11+(-1) p12+1 p13
EU2(Paper, p1)=1 p11+0 p12+(-1) p13
EU2(Scissors, p1)=(-1) p11+1 p12+0 p13
 EU2(Rock, p1)= EU2(Paper, p1)=EU2(Scissors, p1)
 Insieme con p11+ p12+ p13=1, abbiamo tre equazioni e
tre incognite.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
26
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 0p11+(-1) p12+1 p13=1 p11+0 p12+(-1) p13
0p11+(-1) p12+1 p13=(-1) p11+1 p12+0 p13
p11+ p12+ p13=1
 La soluzione è
p11= p12= p13=1/3
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
27
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (1/3)
Rock (1/3)
Player
Paper (1/3)
1
Scissors (1/3)
Paper (1/3)
Scissors (1/3)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Player 1: EU1(Rock, p2) = 0(1/3)+(-1)(1/3)+1(1/3)=0
EU1(Paper, p2) = 1(1/3)+0(1/3)+(-1)(1/3)=0
EU1(Scissors, p2) = (-1)(1/3)+1(1/3)+0(1/3)=0
 Player 2: EU2(Rock, p1)=0(1/3)+(-1)(1/3)+1(1/3)=0
EU2(Paper, p1)=1(1/3)+0(1/3)+(-1)(1/3)=0
EU2(Scissors, p1)=(-1)(1/3)+1(1/3)+0(1/3)=0
 Quindi, (p1=(1/3, 1/3, 1/3), p2=(1/3, 1/3, 1/3)) dato il teorema 4
è un MNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
28
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Controllare se esiste un MNE nel quale p11,
p12, p13 è positivo, e almeno due fra p21, p22,
p23 sono positivi.
 La risposta è No.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
29
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
 Controllare se esiste un MNE dove due fra p11,
p12, p13 sono positivi, e almeno due fra p21, p22,
p23 sono positivi.
 La risposta è No.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
30
Esempio: Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21)
Rock (p11)
Player
Paper (p12)
1
Scissors (p13)
 Quindi,
Paper (p22)
Scissors (p23)
0 ,
0
-1 ,
1
1 ,
-1
1 ,
-1
0 ,
0
-1 ,
1
-1 ,
1
1 ,
-1
0 ,
0
(p1=(1/3, 1/3, 1/3), p2=(1/3, 1/3,
1/3)) dato il Teorema 4 è l’unico equilibrio di
Nash.
Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte
31