Politecnico di Milano
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Fondamenti di Automatica
Presentazione del corso ed Introduzione
Docente: Prof. Bruno Picasso
Esercitatore: Ing. Stefano Bottelli
Recapito e orario di ricevimento
2
Docente: Bruno Picasso
Ufficio: no 246 – DEI (Dip.to di Elettronica e Informazione)
Edificio no 20, presso il Campus Leonardo
Telefono: 02 2399 4022
E-mail: [email protected]
Orario di ricevimento:
• Giovedì ore 15.00-17.00 (presso il mio ufficio - previa
conferma via e-mail)
• In altro orario, su appuntamento (presso il mio ufficio)
• Subito prima e subito dopo le lezioni (in aula)
Sito Web di riferimento
3
Tutte le informazioni relative al corso
(orario del corso e aule, programma, bibliografia, recapiti ed orario
di ricevimento, materiale didattico, date e modalità di esame…)
si trovano anche sul sito web:
http://home.dei.polimi.it/picasso/
>> TEACHING
4
Prerequisiti
⇒
5
Prerequisiti
?
⇒
6
Prerequisiti
?
⇒
⇒
7
Prerequisiti
• Equazioni differenziali
nozioni di base, problema di Cauchy
• Algebra lineare
• Numeri complessi
operazioni (somma, prodotto,
divisione/inversione, coniugazione),
forma polare (modulo e fase)
⇒
operazioni tra matrici
(somma e prodotto “righe x colonne”),
risoluzione di sistemi lineari Ax=b,
matrice inversa, cambio di base,
traccia, determinante,
polinomio caratteristico,
autovalori, autovettori,
diagonalizzabilità / diagonalizzazione
⇒
Alcuni (pochi) consigli
8
• Fare domande ed esporre i propri dubbi durante le
lezioni (senza timore di sbagliare)
• Venire a ricevimento, chiedere chiarimenti anche
sulle cose più semplici (sia sul programma che sui prerequisiti)
• Studiare di volta in volta, rimanere “in pari” e fare gli
esercizi. Non aspettare il compito per aprire il libro!
• Chiacchierare e fare brusio in aula durante le lezioni
• Copiare durante gli esami
Introduzione al corso: sommario
9
Introduzione all’Automatica
•
•
I sistemi dinamici
Il problema del controllo
L’Automatica come disciplina ingegneristica
•
•
•
I sistemi dinamici come equazioni differenziali
L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automatica
Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
Introduzione ai Fondamenti di Automatica
10
L’Automatica si occupa del controllo dei sistemi dinamici
Fondamenti di Automatica studia i sistemi dinamici
(con un approccio volto al loro controllo)
Un sistema dinamico è (la rappresentazione di) un
oggetto caratterizzato da
grandezze che variano nel tempo
ed
interagenti con l’ambiente esterno
Ambiente
“esterno”
y(t)
Sistema
t
Introduzione ai FdA: esempi di sistemi dinamici
Ambiente esterno:
• Radiazione solare
• Temperatura dei mari
• Emissioni di gas
•…
Ambiente esterno:
• Costo materie prime
• Prezzo sul mercato
del bene prodotto
•…
Atmosfera
11
Grandezze:
Temperatura: T (t)
Pressione: p(t)
Umidità: h(t)
...
Stato patrimoniale di un’azienda
Grandezze:
Cassa e liquidità: l(t); Valore delle
scorte: v(t); Crediti: c(t); Debiti: d(t);
Capitale: C(t); . . .
Introduzione ai Fondamenti di Automatica
12
Alla base dell’Automatica c’è lo studio di come i fattori esterni
influenzano e modificano l’evoluzione temporale delle grandezze
che descrivono lo stato di un sistema, ossia…
Azioni
(cause)
“esterne”
Sistema
Modifiche
(effetti) sul
sistema
y(t)
… lo studio della relazione di causa/effetto tra
le azioni compiute su un sistema e l’andamento
delle grandezze che lo rappresentano
t
Introduzione ai Fondamenti di Automatica
13
Relazione di causa/effetto tra le azioni compiute su un sistema e
l’andamento delle grandezze che lo rappresentano
Ambiente
“esterno”
y(t)
Sistema
t
Da una rappresentazione descrittiva…
…ad una formale, “logica”.
Sistema
Ingressi
/
Uscite
Altri esempi di sistemi dinamici
Azioni “esterne”
Sistema
14
Grandezze influenzate
Dinamica del moto di un’automobile:
• Pedale del freno /
dell’acceleratore
• Pendenza della strada
Posizione: s(t)
Velocità: v(t)
Rete idrica:
• Approvvigionamento
• Consumi
• Evaporazione /
precipitazioni
Livello di H2O
nei serbatoi di
stoccaggio:
h1(t), . . . , hn(t)
Altri esempi di sistemi dinamici
15
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
Dinamica del moto di un pendolo:
• Forze esterne
…e sistemi derivanti:
µ(t)
uniciclo,
Posizione: θ(t)
Velocità angolare: θ̇(t)
bracci robotici
16
Altri esempi di sistemi dinamici
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
Dinamica di grandezze elettriche:
• Generatori di f.e.m
• Carichi
•…
Tensioni: Vi(t)
Correnti: Ij (t)
...
I(t)
R
…e sistemi derivanti:
rete di generazione e
distribuzione elettrica
C
V (t)
17
Altri esempi di sistemi dinamici
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
Dinamica di numerosità di popolazioni:
• Flussi immigratori /
emigratori
• Diffusione di malattie
•…
Dinamica del PIL di una nazione
della spesa previdenziale
del tasso di occupazione
di un indice azionario
…
Distribuzione della
popolazione per
classi di età: ni(t)
Altri esempi di sistemi dinamici
E molti altri ancora…
18
Esempio: il sistema clima
Azioni “esterne”
Sistema
19
Grandezze influenzate
• Attività umane
• Attività solare
•…
Temperatura dell’aria, Umidità, Pressione
atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinità
dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .
20
Esempio: il sistema clima
Sistema
Azioni “esterne”
• Attività umane
• Attività solare
•…
Grandezze influenzate
Atmosfera
Emissioni gas e
vapore acqueo
Formazione
ghiacci
Radiazione
termica
Terra
Radiazione
termica
Evaporazione
Precipitazioni
Oceani
Temperatura dell’aria, Umidità, Pressione
atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinità
dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .
Il clima: sistemi dinamici interconnessi
Sistema
Azioni “esterne”
Grandezze influenzate
Grandezze: Temperatura, Umidità,
Pressione, Concentrazione di O2, CO2, N2, . . .
Grandezze: Radiazione solare
emessa, composizione chimica . . .
Sole
• Attività solare
Emissioni gas e
vapore acqueo
Atmosfera
Formazione
ghiacci
Radiazione
termica
• Attività
umane
Terra
21
Radiazione
termica
Evaporazione
Precipitazioni
Oceani
Grandezze: Percentuale Grandezze: Temperatura, Salinità,
di copertura boschiva, . . . Concentrazione di inquinanti, . . .
Sistemi dinamici interconnessi
22
Tipicamente, dietro questa rappresentazione,
Sistema
ciò che si nasconde è piuttosto questo:
un sistema dinamico è spesso costituito da numerosi
sottosistemi interagenti; …
Sistemi dinamici interconnessi
… o addirittura questo!
23
Introduzione al corso: sommario
24
Introduzione all’Automatica
•
•
I sistemi dinamici
Il problema del controllo
L’Automatica come disciplina ingegneristica
•
•
•
I sistemi dinamici come equazioni differenziali
L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automatica
Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
Il problema del Controllo
25
…dai Fondamenti di Automatica all’Automatica.
Una volta compreso il funzionamento di un sistema dinamico
(cioè il modo in cui le azioni esterne modificano la naturale
evoluzione delle grandezze che rappresentano il sistema),
siamo interessati al cosiddetto problema di controllo, cioè:
studiare se e in che modo sia possibile agire dall’esterno
su un sistema al fine di modificarne la naturale evoluzione
ed ottenere un comportamento desiderato
Il problema del Controllo: formulazione
26
Problema di controllo: studiare come agire su un sistema per modificarne la
naturale evoluzione ed ottenere un comportamento desiderato
u(t)
Sistema
y(t)
y o(t)
Si fissa un andamento desiderato y o(t) per
le grandezze y(t) d’interesse del sistema:
t
y(t)
L’evoluzione di tali variabili y(t) in assenza
di specifiche azioni di controllo sia:
Risolvo il problema di controllo se invece
un’opportuna scelta di u(t), cioè delle azioni
da compiere sul sistema, garantiscono:
t
y(t)
t
Il problema del Controllo: esempio
27
Controllo del livello di liquido in un serbatoio:
d’immissione
( u(t) = p(t))
Livello:
y(t) = h(t)
p
Sistema dinamico: • Portata
h
Problema di controllo: mantenere costante il livello al valore h̄
ho(t)
Segnale di riferimento: ho(t) ≡ h̄
h̄
t
Azione di controllo: apertura/chiusura del rubinetto (ossia,
scelta di p(t)) in modo opportuno
Il problema del Controllo
28
Il controllo può essere manuale (apro/chiudo il rubinetto a mano)
oppure automatico: l’azione di controllo è effettuata senza il
diretto intervento dell’uomo (un dispositivo
opportunamente progettato apre/chiude il rubinetto)
Sistema di controllo automatico:
consiste in un sistema (detto controllore) interconnesso
al sistema dinamico dato in modo tale che l’interazione
tra i due sistemi induca il comportamento desiderato
y o(t) delle grandezze y(t) d’interesse
29
Controllo in anello aperto/in retroazione
Sistema di controllo automatico: è un sistema (controllore) interconnesso
al sistema dato in modo tale che l’interazione tra i due sistemi induca il
comportamento desiderato y o(t) delle grandezze y(t) d’interesse
Esempi di architettura di sistemi di controllo automatico:
Controllo in anello aperto:
y o(t)
Controllore
u(t)
Sistema
y(t)
Controllo in anello chiuso (o in retroazione o in feedback):
y o(t)
y(t)
Controllore
u(t)
Sistema
y(t)
NB: nel sistema di controllo in retroazione il controllore “conosce” y(t)
30
Il problema del Controllo: esempio
Controllo del livello di liquido in un serbatoio (continuazione)
Il controllore: il sistema rubinetto.
p
h
• Angolo θ(t) di
apertura della valvola
θ(t)
Portata del flusso
di liquido: p(t)
31
Il problema del Controllo: esempio
L’interconnessione rubinetto-serbatoio:
p
θ(t)
h
p
θ(t)
h
Il problema del Controllo: esempio
32
Il sistema di controllo in retroazione risultante:
p
θ(t)
≡
h
y o(t)
y(t)
ho(t)
Controllore
u(t)
Sistema
y(t)
p
u(t) = p(t)
h(t)
θ(t)
h
Introduzione al corso: sommario
33
Introduzione all’Automatica
•
•
I sistemi dinamici
Il problema del controllo
L’Automatica come disciplina ingegneristica
•
•
•
I sistemi dinamici come equazioni differenziali
L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automatica
Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
34
Studio formale dei sistemi dinamici
Controllare il comportamento del livello di liquido
in un serbatoio è abbastanza semplice:
• strumenti matematici rudimentali
• un po’ di intuizione
possono bastare.
Non serve un corso di Fondamenti di Automatica!
MA…
p
h
Studio formale dei sistemi dinamici
35
Per studiare e/o controllare altri sistemi il “buon senso” non basta!
Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di
operare le scelte progettuali sulla base di criteri quantitativi.
Studio formale dei sistemi dinamici
36
Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di
operare delle scelte sulla base di criteri quantitativi.
A tal fine, occore formalizzare il problema e fornire una
descrizione matematica dei sistemi oggetto di studio.
Le relazioni matematiche che descrivono il modo in cui le
grandezze del sistema variano nel tempo e sono modificate dalle
azioni esterne costituiscono il modello del sistema.
Il tipo di modelli che adotteremo per descrivere i sistemi dinamici
sono le equazioni differenziali.
I sistemi dinamici: equazioni differenziali
37
Alcuni esempi:
• La dinamica del livello di
p
liquido in un serbatoio: ḣ(t) = −αh(t) + βp(t)
h
• La dinamica del moto
di un pendolo: θ̈(t) = −kθ̇(t) − gl sin θ(t) + µ(t)
µ(t)
• La dinamica della numerosità
di una popolazione: ṅ(t) = an(t) + −bn2(t) + φ(t)
• La dinamica di una tensione
1 V (t) + 1 I(t)
in un circuito elettrico: V̇ (t) = − RC
C
• La dinamica della numerosità di impiegati


 ṅ1(t) = −a11n1(t) + b1ǫ(t)
in un’azienda
ṅ2(t) = a21n1 (t) − a22n2(t)
(piramide gerarchica): 

ṅ3(t) = a32n2 (t) − a33n3(t)
I(t)
R
C
V (t)
Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
38
Livello “fisico”
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
Livello “teorico”
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “fisico”
Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
39
Livello “fisico”
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
Livello “teorico”
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “fisico”
Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
40
Livello “fisico”
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
Livello “teorico”
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “fisico”
L’Automatica è un insieme di strumenti matematici
per lo studio e il controllo di sistemi dinamici
Alcune domande cui dare risposta
41
FENOMENO
(modellistica)
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
• Come reagisce il sistema a determinate azioni esterne?
Le grandezze che lo descrivono tendono ad un valore costante?
Se sì, in che modo e in quanto tempo?
Oppure oscillano? Con quale ampiezza e periodo?
Oppure divergono?
Cosa accade in presenza di ulteriori azioni impreviste (disturbi)?
• Previsione e simulazione:
Quale sarà l’andamento futuro della grandezza studiata?
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un comportamento desiderato
• Garantire buone prestazioni (anche in presenza di disturbi imprevisti)
• Ottimizzare le prestazioni
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Introduzione al corso: sommario
42
Introduzione all’Automatica
•
•
I sistemi dinamici
Il problema del controllo
L’Automatica come disciplina ingegneristica
•
•
•
I sistemi dinamici come equazioni differenziali
L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automatica
Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
43
Esempio: Forno
θ(t)
T (t)
⇒
θ̄
T̄ = 200◦
T
t
t
⇒
Ṫf (t) = − C1 Tf (t) + γeθ(t)
f
44
Esempio: Automobile
θ(t)
v(t)
⇒
θ̄
v̄ = 80 km/h
t
t
⇒
γ
v̇(t) = − M
v(t) + λθ(t)
45
Esempio: Serbatoio
p
h
p(t)
h(t)
⇒
p̄
p
t
h̄
t
⇒
ḣ(t) = −αh(t) + βp(t)
Esempio: gestione del personale
ǫ(t)
46
σ(t)
⇒
ǭ
t
σ̄
t
⇒
σ̇(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)
47
Sistemi dinamici come astrazione
p
h
Ṫf (t) = − C1 Tf (t) + γeθ(t)
f
ḣ(t) = −αh(t) + βp(t)
γ
v̇(t) = − M
v(t) + λθ(t) σ̇(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)
ẋ(t) = ax(t) + bu(t)
(a < 0)
u(t)
x(t)
ū
⇒
t
x̄
t
48
Sistemi dinamici come astrazione
p
h
ẋ(t) = ax(t) + bu(t)
(a < 0)
u(t)
x(t)
ū
⇒
t
x̄
t
• Lo studio del sistema dinamico ẋ(t) = ax(t) + bu(t), a < 0 ,
permette di comprendere “l’andamento della temperatura in un
forno”, ma anche “del livello di liquido in un serbatoio”, “della
velocità di un’automobile”, “del numero di impiegati in un’azienda”
e qualunque altro fenomeno che può essere descritto per mezzo
del medesimo modello matematico (sistema dinamico).
Economia e organiz
organizzazione aziendale
Gestione dei sistemi
logistici e produttivi
Principi di ing.
elettrica
Fisica sperimentale
L’interdisciplinarietà di FdA
49
Fondamenti di Automatica
…
Verso una visione sistemica
50
Alcuni esempi che verranno studiati nel corso:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sistemi meccanici (pendolo, porta a spinta, sospensione, cruise control)
Reti elettriche
Sistemi idraulici
Problemi di logistica
Modelli di popolazione
Gestione del personale
Modelli di competizione tra aziende
Modelli di dinamica dei prezzi
Modelli macroeconomici keynesiani
Gestione di fondi d’investimento (gli ETF - Exchange Traded Funds)
Tali esempi avranno il duplice scopo di
1. Illustrare i principali argomenti teorici presentati nel corso
2. Mettere lo studente in grado di affrontare i problemi con un
approccio sistemico (interiorizzare e riconoscere i principali
concetti e fenomeni caratteristici dei sistemi dinamici)
51
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per
l’ingegnere gestionale ?
La figura dell’ingegnere gestionale integra
competenze tecniche e manageriali:
l’ingegnere gestionale possiede sia le
conoscenze tecniche dei settori tradizionali
dell’Ingegneria che la capacità di
comprendere e gestire la complessità dei
processi operativi ed amministrativi delle
imprese che operano in tali settori.
L’ingegnere gestionale è chiamato ad operare in ambiti diversi e
deve saper astrarre dai singoli oggetti di studio le caratteristiche
che permettono di descriverli e studiarli come sistemi
52
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l’ingegnere gestionale ?
Le capacità di astrazione sviluppate in questo corso aiutano
l’ingegnere gestionale ad acquisire la versatilità e le
conoscenze necessarie ad operare in contesti diversi.
Grazie alla sua natura fortemente interdisciplinare, Fondamenti di
Automatica offre gli strumenti necessari ad acquisire
competenze trasversali di natura sia tecnica che manageriale.
Il corso di FdA contribuisce all’acquisizione di una conoscenza di
“alto livello” dei processi produttivi e dei campi tecnici a
contatto dei quali si troverà ad operare l’ingegnere gestionale.
53
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l’ingegnere gestionale ?
Il corso offre inoltre criteri quantitativi quali strumenti di supporto
alle decisioni da operare nel contesto di sistemi complessi
Lo studio dell’Automatica completa le conoscenze
dell’ingegnere gestionale e gli fornisce gli strumenti
per affrontare i problemi con un approccio sistemico