Le difficoltà di
Apprendimento nel
Calcolo
Discalculia evolutiva, difficoltà generali e
possibilità di facilitazione.
La Discalculia Evolutiva
• E’ il disturbo delle abilità numeriche
ed aritmetiche che si manifesta in
bambini di intelligenza normale che
non hanno subito danni neurologici.
Ma come funziona lo sviluppo normale di
tali abilità?
La Discalculia Evolutiva
Dibattito sulla genesi delle abilità
aritmetiche e di calcolo:
• La conoscenza delle relazioni numeriche
avviene attraverso l’osservazione del
mondo,
• I bambini riconoscono il significato
cognitivo dell’attività di contare e
identificano i numeri come base per
l’enumerazione. (abilità innate)
La Discalculia Evolutiva
Piaget per primo afferma che il saper
contare e il possedere il concetto di
numero rappresentano abilità cognitive
evolutivamente differenti:
Le strutture che presiedono alla conoscenza
numerica sono da ricondurre al passaggio
dal pensiero irreversibile e preoperatorio a
quello delle operazioni logiche (reversibile).
La Discalculia Evolutiva
Si giunge alla padronanza di un
coordinamento di
• dati con diverso genere logico
• Dati di ordine spaziale, temporale e
spazio-temporale
La Discalculia Evolutiva
Sono queste operazioni che garantiscono al
bambino il riconoscimento di valori
invarianti come:
• I rapporti spaziali di ordine topologico e
metrico
• La quantità e la permanenza della sostanza
• Il peso, la durata e la velocità.
La Discalculia Evolutiva
• Robbie Case (2000)
Il senso dei numeri dei bambini dipende
dalla presenza di potenti schemi
organizzatori (strutture concettuali
centrali)
Concetti e relazioni che sottostanno ai
compiti.
La Discalculia Evolutiva
Lo sviluppo del numero si articola in 3
momenti:
1. Consolidamento di due schemi primitivi
uno verbale, digitale e sequenziale (prime
operazioni di conteggio verbale) l’altro
spaziale e analogico che consente di
individuare situazioni di numerosità
relativa (di più/di meno) e di operatività
concreta (aggiungere/togliere).
La Discalculia Evolutiva
2. Interconnessione dei due schemi
precedenti: linea mentale di
conteggio in cui i movimenti in
avanti ed indietro equivalgono
all’applicazione del più e del meno
La Discalculia Evolutiva
3. Differenziazione di nuovi elementi,
possibile solo attraverso la
rappresentazione delle proprietà
numeriche.
Il bambino differenzia così unità, decine,
centinaia e a distinguere il numero
oggetto dal numero operatore.
La Discalculia Evolutiva
La neuropsicologia cognitiva
studiando le multiformi prestazioni di
adulti cerebrolesi ha proposto un
modello di sviluppo ( McCloskey,
Caramazza e Basili) caratterizzato
dall’indipendenza funzionale tra il
sistema dei numeri e il sistema del
calcolo.
La Discalculia Evolutiva
La rappresentazione mentale della
conoscenza numerica è indipendente
dagli altri sistemi cognitivi.
La Discalculia Evolutiva
 Il sistema di comprensione trasforma la
struttura superficiale dei numeri in una
rappresentazione astratta della quantità.
 Il sistema di calcolo assume questa
rappresentazione come imput per poi manipolarla
attraverso il funzionamento di tre componenti: i
segni delle operazioni, i fatti aritmetici e le
procedure di calcolo.
 Il sistema di produzione è l’output del sistema e
fornisce le risposte numeriche.
Il sistema dei numeri
Comprende:
 I processi di comprensione e produzione dei
numeri,
 Le unità funzionali di elaborazione del codice
arabo e del codice verbale,
 La differenziazione, all’interno del codice verbale,
tra modalità fonologica e modalità ortografica.
Ognuna di tali componenti può essere dissociata dalle
altre.
Il sistema dei numeri
• Soggetti adulti cerebrolesi in grado
di distinguere il numero più grande
nel codice arabico possono non essere
in grado di svolgere lo stesso compito
con il codice ortografico.
Il sistema dei numeri
Nei processi di comprensione e produzione i numeri
vengono riconosciuti e riprodotti nei codici arabico
e verbale ma anche elaborati con meccanismi
lessicali e sintattici:
Il lessico elabora le singole cifre contenute nel
numero
La sintassi elabora le relazioni fra le stesse cifre.
Da non dimenticare l’elaborazione semantica del
numero che identifica le informazioni relative alla
quantità.
Il sistema dei Numeri.
•
•
Nella codifica verbale di un numero
ogni cifra assume un nome diverso a
seconda della posizione
I sistemi di comprensione e
produzione hanno il compito di
selezione adeguata.
Il sistema dei numeri
Rispetto al nome abbiamo:
1. Numeri primitivi
2. Elementi miscellanei
I numeri primitivi appartengono a tre classi distinte che sono
“ordini di grandezza” o “livelli”
• Le unità
• I teens
• Le decine.
Ogni numero e caratterizzato dalla classe di appartenenza e
dalla posizione assunta all’interno della stessa classe.
Il sistema dei numeri
Gli errori lessicali sono quelli all’interno della
classe, riguardano la comprensione e
produzione delle singole cifre senza
coinvolgere la posizione all’interno del
numero.
Sono lessicali errori del tipo 4 al posto di 7.
Item critici sono per esempio il passaggio
dal sedici al diciasette dove si passa dalla
struttura “dici” a quella “decina-unità”.
Il sistema dei numeri
• Gli elementi miscellanei (-cento,mila,-milioni ecc.) si aggiungono ai
numeri primitivi a seconda della loro
posizione all’interno di un numero. La
loro corretta selezione è opera di
meccanismi sintattici e semantici.
Il sistema dei numeri
La sintassi del numero riguarda le relazioni
spaziali fra le cifre (valore posizionale)
Meccanismi sintattici e lessicali sono
indipendenti.
Si può codificare perfettamente la singola
cifra ma non stabilire rapporti fra le
stesse cifre.
Il sistema dei numeri
 Errori sintattici nella prima fase di
apprendimento;
 Errori che dipendono dal rispetto
dell’incremento ma confondono la categoria
lessicale (1,2,3,4,15,16),
 Errori che confondono il livello e non
attivano l’incremento di posizione
(13,14,40,41,42).
Il sistema dei numeri
 Errori dovuti allo 0. La produzione dei numeri nel
codice verbale non utilizza mai la parola zero (solo
quando denota la quantità assoluta 0). Nella
produzione del codice arabo lo zero è necessario e
ha un valore posizionale come le altre cifre.
 Mancato riconoscimento del valore posizionale
delle cifre in genere. In questi casi si può avere
una lessicalizzazione completa o parziale del
numero da produrre, es.
duecentocinquantasette/210057 ottocentosessantuno/8100601
Il sistema dei numeri
 Caso degli elementi miscellanei. Sono detti moltiplicatori
perché prendono il posto della potenza di dieci
corrispondente. Cento moltiplica sempre una sola cifra
mentre gli altri possono moltiplicarne fino a tre. Possono
innescare relazioni non soltanto moltiplicative ma additive
(in 702 cento moltiplica 7 mentre 2 è addizionato). Si
possono produrre errori di due tipi:
 Relazioni moltiplicative rese additive (duecento/102,
tremilasettanta/1073)
 Relazioni additive rese moltiplicative (centocinque/500,
centoventitrè/2300, millesette/7000).
Il sistema del calcolo:
E’ necessario sia in entrata che uscita ed è
indipendente dal sistema dei numeri.
Vi è indipendenza funzionale anche fra le tre
sottocomponenti che lo costituiscono:
1. I segni delle operazioni,(algoritmi +,-,x,:)
2. I fatti aritmetici, (tabelline e semplici
operazioni)
3. Le procedure di calcolo.(prestito, riporto,
incolonnamento)
Il sistema del calcolo:
Errori nel recupero di fatti aritmetici:
• 3+3=9
Particolare confusione tra quelli di addizione
e moltiplicazione
Derivazione dall’immagazzinamento degli
stessi: rinforzo della risposta errata.
Reiterazione dell’esercizio sbagliato con il
rischio dell’automatizzazione dell’errore.
Il sistema del calcolo:
Errori nel mantenimento e recupero delle procedure.
Nonostante l’apprendimento di procedure che
facilitano il conteggio, la loro immaturità
sovraccarica la memoria con un decadimento
mnestico nei compiti più complessi.
L’impossibilità di tenere a mente i risultati parziali
può essere ovviato dal segnarsi a parte gli stessi.
Nel caso di difficoltà con la memoria a lungo termine
l’abilità di contare avanti e indietro può sostituire
i processi di accesso diretto.
Il sistema del calcolo:
Errori nell’applicazione delle procedure
• La scelta nelle prime cose da fare
(incolonnamento, posizione dei numeri, segno
operatorio o riga).
• La condotta da seguire: 75-6….=71 oppure 2816=32
• Regole del prestito e riporto 75-58=20
• Il passaggio ad una nuova operazione
(perseveranza nel ragionamento precedente)
• Progettazione e verifica: non c’è analisi iniziale e
si accetta il risultato senza verifica.
Il sistema del calcolo:
La difficoltà visuospaziale ha un ruolo
notevole:
Problema del dettaglio visivo, direzione e
sequenza.
Difficoltà di decodifica dei segni,
incolonnamento e direzione procedurale.
Tali difficoltà lasciano intatti i processi di
calcolo
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Esistono prove di primo livello: finalizzate
ad un primo screening dei soggetti a
rischio.
• Prove di secondo livello: prove
diagnostiche finalizzate all’individuazione
di specifiche componenti del calcolo e
dell’elaborazione del numero deficitarie.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• L'AC-MT è una prova oggettiva per l'accertamento del
livello di apprendimento del calcolo e delle eventuali
difficoltà. L'uso è raccomandato soprattutto nelle scuole,
per l'accertamento delle competenze di base, e nella routine
valutativa presso i Servizi.
• La versione AC-MT 6-10 per la scuola elementare ha prove
distinte per le diverse ^ classi della scuola elementare (due
per la prima elementare) in modo che gli item siano adatti al
livello cognitivo dei bambini che frequentano le classi e ai
contenuti di apprendimenti propri di quella classe.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
Il test AC-MT è formato da due parti:
• una prima parte «Carta matita», che può essere somministrata in
modo collettivo a più bambini contemporaneamente;
• una «Parte individuale» da somministrare singolarmente a ciascun
bambino.
Le prove della parte «Carta matita» sono contenute in un fascicolo e
sono: operazioni scritte (addizioni e sottrazioni per tutte le
classi, moltiplicazioni e divisioni per la terza, quarta e quinta),
giudizio di numerosità, trasformazione in cifre (per tutte le classi
a eccezione della prima intermedia), ordinamento di numerosità
dal minore al maggiore, ordinamento di numerosità dal maggiore al
minore.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Lo scopo di questa prima parte è una verifica del
livello della classe ma anche l'analisi delle
competenze del singolo bambino. La durata di
questa parte è di circa 25-30 minuti.
• La seconda parte è somministrata in modo
individuale dall'esaminatore. Si tratta di altre
cinque prove in cui, oltre alla correttezza, si
misura anche il tempo impiegato per la soluzione
degli esercizi proposti. Le prove sono distinte in:
calcolo a mente, calcolo scritto, enumerazione,
dettato di numeri, recupero di fatti numerici.
La sua durata è di circa 10 minuti.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
ABCA - Test delle abilità di calcolo aritmetico
• E’ una prova diagnostica per la discalculia
evolutiva che permette di valutare le
competenze delle principali componenti di
elaborazione cognitiva del sistema dei numeri
e del calcolo. È destinata ai bambini che
frequentano il secondo ciclo della scuola
elementare.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
Uno strumento usato nella diagnosi di eventuali
deficit nell'elaborazione cognitiva, deve
fornire informazioni utili sulle principali
competenze del sistema preso in
considerazione. Solo questo consente di
identificare la componente o le componenti
responsabili della difficoltà evidenziata e
quindi di preparare un programma di
intervento adeguato.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Le prove che costituiscono questa batteria
possono essere raggruppate in tre
componenti tra loro parzialmente
indipendenti proprio perché richiedono
competenze e processi cognitivi diversi.
• La batteria è strutturata in prove di
calcolo scritto, di calcolo a mente e di
approfondimento
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Le prove di calcolo scritto sono finalizzate all'esame delle
capacità di applicare le procedure di calcolo. Durante
l'esecuzione delle operazioni, il bambino deve verbalizzare
anche il procedimento usato per eseguire quel compito e
l'esaminatore deve annotare accuratamente tali
verbalizzazioni, in quanto permettono di ricostruire le
procedure di calcolo usate.
• Le prove di calcolo a mente servono a verificare quanto le
eventuali difficoltà di calcolo scritto dipendano dall'uso
delle procedure e quanto invece da difficoltà derivanti da
altre componenti. Il calcolo a mente, infatti, non richiede
l'applicazione di alcuna procedura, anche se i soggetti
potrebbero cercare di utilizzarla mentalmente.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Le prove di approfondimento si
dividono in prove di comprensione e
prove di produzione e vanno a
indagare i rispettivi sistemi.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Le prove di comprensione esaminano la conoscenza
del valore quantitativo dei numeri e del significato
dei segni. In questa sezione si presta attenzione
agli errori lessicali, semantici e sintattici. Infatti,
attraverso la rappresentazione semantica o
concettuale vengono identificati tutti gli elementi
che costituiscono il numero, specificando per
ciascuno di essi le informazioni relative alle
quantità e all'ordine di grandezza.
Strumenti di valutazione
delle abilità di calcolo.
• Le prove di produzione permettono di ottenere
informazioni sul funzionamento del sistema di
produzione dei numeri, che può essere influenzato
dalla modalità di presentazione dello stimolo
(visiva o uditiva), dalla modalità di produzione della
risposta (scritta o verbale), dal codice in cui lo
stimolo viene presentato (arabico, grafemico o
fonologico) e dal codice in cui la risposta viene
prodotta (arabica o fonologica).
Le diverse prove sono raggruppabili per esprimere
due diversi quozienti, definiti di numero e di
calcolo.
Proposte operative
Lo strumento più adeguato per il calcolo sono le nostre mani.
• Il sistema delle mani è il più corretto per spiegare la
complessità del calcolo sia dal punto di vista disciplinare, sia
dal punto di vista dell'aderenza psicologica alle funzioni
della mente, anche perché le mani hanno tre aspetti
importanti legati alla loro conformazione:
• le dita sono allineate
• ogni dito è mobile
• le dita sono raggruppate in cinquine.
• La combinazione di queste tre caratteristiche ci porta a
considerare la fortuna di avere nelle mani un vero
calcolatore, una sorta di «computer analogico» che, come
una macchina visualizzatrice, è in grado di produrre con solo
dieci elementi migliaia di combinazioni, fruibili alla nostra
mente, che chiamiamo «numeri».
Proposte operative
• Le dita, grazie al loro allineamento, compongono un
sistema di ordine abbastanza regolare, comodo
alla vista e soprattutto in grado di essere
percepito istantaneamente.
• Inoltre, il fatto che ogni elemento sia mobile fa
prefigurare la presenza di un sistema operante in
codice binario ON-OFF. Ogni dito in posizione
aperta significa 1, e ogni dito in posizione chiusa
significa zero.
Proposte operative
• Nel lavoro didattico proposto la rappresentazione
delle dita è sostituita da una serie di palline divise
ugualmente in cinquine, che mantengono la
possibilità di un doppio significato per il fatto di
essere colorate o meno.
• Quando tutte le palline sono vuote (non colorate) o
quando tutte le dita sono chiuse segnaliamo una
serie di 10 zeri.
• La linea così congegnata non indica dunque un
prodotto logico, ma solo il suo significato
analogico. Partendo da tale rappresentazione
possiamo immaginare di costituire a livello mentale
una serie di punti luminosi, che come dei led
neuronici sono in grado di lavorare in tempo reale
a quel gioco analogico che è il calcolo mentale.
Proposte operative
• L'utilizzo delle mani nell'apprendimento di abilità
di calcolo è avvalorato da ricerche a livello
cognitivo che mettono in luce la stretta
connessione tra il modo di elaborare i numeri delle
mani e il modo di rappresentarli con la mente: i
due procedimenti sono analoghi nel senso che
funzionano entrambi «analogicamente», cioè
utilizzando immagini. Inoltre, sembra accertato
che appartengono alla stessa sede cerebrale gli
imput specializzati nel comando delle dita e i
circuiti responsabili dell'analisi dei fatti numerici:
entrambi sono localizzati nel lobo parietale
inferiore sinistro (Butterworth, 1999).
Proposte operative
A cosa si pensa quando pronunciamo il suono «sei» (codice
verbale) o quando scriviamo il simbolo «6» (codice
numerico)?
• Come in ogni altra operazione linguistica, ognuno «rovista»
nel proprio repertorio mentale alla ricerca di un'immagine.
Ma mentre nel linguaggio comune questo è abbastanza facile,
nel caso dei numeri il bambino è in difficoltà perché a un
termine numerico corrisponde una pluralità di referenze
semantiche, che non dipendono solo dal fatto che i dati della
realtà non sono formalizzati.
• Esistono infatti diverse rappresentazioni del termine «sei»
e a volte sono così diverse che il bambino fatica un bel po'
ad accettarne l'intrinseca ambivalenza.
• Quali scegliere?
Proposte operative
• Il piccolo salto di contiguità che si trova tra la quinta e la
sesta pallina è la piccola differenza in grado di tragittare
l'apprendimento dal campo del ragionamento logico al
terreno delle operazioni intuitive. Senza questo piccolo
spazio le immagini non potrebbero essere fruite dalla mente
in termini di lettura immediata, essendo di 3 o 4 al massimo
negli adulti il limite di percezione istantanea della
numerosità appartenente alla nostra specie (Butterworth,
1999, p. 285).
• Il numero 5, che supera già tale limite, è riconoscibile per
convenzione acquisita come se valesse una sola unità di
lettura quando operiamo con le dita. Ma ogni volta che
percepiamo una quantità scomposta con l'ordine quinario
delle dita, è come se computassimo ogni gruppo come una
sola unità.
Proposte operative
• La capacità di riconoscere le immagini in ogni situazione
scegliendo la direzione di lettura più economica è quella che
intendiamo per conoscenza strategica anticipata o, più
semplicemente, abilità di calcolo.
• Una caratteristica costante dei bambini con difficoltà è che
non riescono spontaneamente a riconoscere le immagini
capovolte, perché adottano sempre la stessa direzione di
lettura verso destra. Conservano cioè le immagini primitive
delle quantità senza riconoscerle quando sono ribaltate.
• Tuttavia è possibile ridurre questa rigidità procedurale
impostando una nuova grammatica degli interventi che parta
dalla percezione delle quantità piuttosto che dal concetto di
numero.
Proposte operative
Sembra necessario quindi costruire una linea dei
numeri più adeguata ai nostri scopi didattici.
Dal punto di vista disciplinare possiamo dire che la
attuale rappresentazione corrisponde bene
all'idea di progressione lineare e regolare dei
numeri e alla definizione di quantità come
astrazione degli oggetti. Dal punto di vista
dell'apprendimento, invece, è causa di notevoli
inconvenienti.
Proposte operative
• Innanzitutto i bambini non vedono le quantità: le tacche che
si trovano in corrispondenza dei numeri dovrebbero
rappresentare le quantità. E invece no, perché il numero 2 si
trova già alla terza tacca.
• Dove sono allora le quantità? Possiamo ipotizzare che,
scambiando il pieno per il vuoto, le quantità siano gli spazi
che si trovano tra due tacche: e come mai il numero si trova
fuori da questo spazio? Possiamo spiegare che le tacche
sono solo il confine tra i veri numeri che sono gli spazi.
• Ma in questo modo il bambino, abituato a fare
corrispondenza biunivoca tra un dito e un numero, si trova a
dover riconvertire le idee: i numeri sono gli spazi vuoti tra
un dito e l'altro, e le dita sono solo i confini dei numeri.
Proposte operative
Ed ancora, come mai il numero si trova al termine
dello spazio percorso, cioè sul suo confine destro
e non su quello sinistro?
• Ne consegue che per esigenze giustificative di
tipo disciplinare la linea dei numeri così pensata
diventa quasi inutilizzabile per l'apprendimento. Il
matematico ha avuto la meglio sulla pedagogia a
svantaggio del bambino che, per eseguirvi dei
calcoli, è costretto a compiere degli strani salti
tra una tacca e l'altra, sempre con la
preoccupazione di non lasciarsi imbrogliare dal
numero delle tacche, perché quello che conta sono
i salti.
Proposte operative
Vi sono inoltre altri difetti legati a questo modo di
configurazione della linea dei numeri.
• la costante presenza della serie numerica accanto
alle tacche, se risulta utile nel breve momento in
cui il bambino impara la serie dei simboli, diventa
invece di ingombro quando usa la linea dei numeri
per calcolare, in quanto l'ordinalità nel calcolo
varia sempre. In più, la mancanza di interspazi tra
le cinquine e le decine non permette al bambino di
«decollare» dalla fase della conta.
Proposte operative
E’ preferibile proporre agli alunni una linea dei
numeri costruita semplicemente come una serie di
punti, suddivisi in modo analogo alle mani e senza
la presenza di numerali:
• questa semplice struttura di ordine pensata
appositamente per il calcolo è quello che serve al
bambino per orientarsi avanti e indietro, come se
la percorresse fisicamente. E con questo si può
cominciare a operare a livello di progressiva
interiorizzazione.
Proposte operative
• Se la linea dei numeri tradizionalmente presente
nei libri e nelle aule si rivela di modesto aiuto al
bambino nei compiti di calcolo, non molto diverso
può essere il giudizio per quanto riguarda un altro
strumento utilizzato a scuola: i regoli colorati.
Questi «strumenti» concorrono certamente a
dare la dimensione cardinale dei numeri elencati
nella retta graduata, ma per ciascuno di essi si può
parlare di rappresentazione iconica simbolizzata
più che di immagine.
Proposte operative
• Se calcolare significa camminare
avanti e indietro sulla linea dei numeri,
quello che dobbiamo fare è imparare
le strategie che permettano di
abbreviare i tempi con conseguente
risparmio di energie.
Proposte operative
• Ho 8 oggetti e ne ho bisogno di altri 7: la conta
utilizza le dita per proseguire il conteggio. È
una strategia intelligente, ma che non porta
lontano dal punto di vista del calcolo mentale.
• Un altro tipo di strategia riguarda la lettura
intuitiva delle quantità disposte nella struttura
d'ordine fissa, che chiamiamo «linea dei
numeri»,
Proposte operative
• Nel caso di una sottrazione 12-9 il bambino
sottrae all'inizio invece che alla fine, per
evitare di fare la conta alla rovescia.
• Questo tipo di strategia si rivela la più
utile a sviluppare competenze di calcolo
mentale. Le quantità disposte sulla linea dei
numeri sono le uniche, infatti, che è
possibile utilizzare a livello sia percettivo
che mentale: l'ordine fisso è il loro
fattore fondante.
Proposte operative
• L'immagine accostata al risultato aiuta,
come «immagine gancio», il rinvenimento
delle lettere iniziali del risultato.
Specialmente con bambini che hanno
difficoltà di apprendimento, questo tipo di
memorizzazione associativa si rivela di
grande aiuto (Wood et al., 1998, p. 197): il
dato numerico privo di significato viene
«colorato» emotivamente dall'immagine
accostata.