Quinta Lezione
Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle
immagini, definizione e calcolo capacità
Riassunto della lezione precedente






Circuitazione del campo elettrico
Gabbia di Faraday
Potenziale di un guscio/conduttore carico
il generatore di Kelvin
effetto delle punte e parafulmine
calcolo del potenziale per alcune distribuzioni
L’approssimazione di dipolo per distribuzione
arbitraria di cariche

Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P
in prima approssimazione, a grande distanza:

V (r ) 
qi

4 0 i ri
1

1
4 0 r
 qi 
i
ri
Q
4 0 r
r
di

Ma se ci sono cariche positive e negative
in ugual quantità? L’approssimazione è
chiaramente insufficiente
P
r’
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Approssimiamo meglio ri
 
ri  r  d i cos  r  di  u r
 
1
1  d i  u r 
1
  ri  1 
ri
r
r 

P
ri
r
di
Per cui il potenziale diventa

V (r ) 
Q
   qi
4 0  r
i
1
 
di  u r
r2

 ... 


r’
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche

Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche


p   qi d i

i
Vediamo che il secondo termine dell’espansione è
1
4 0


 
p  ur
r2
Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa
lezione
Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque
distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa
distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal
momento di dipolo
Esempio: approssimazioni a grande distanza

Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto
complicata:
Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P (3,0,4) m?
P
Esempio: approssimazioni a grande distanza


Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona
approssimazione
V 

1
4 0 R
 qi 
i
Q
4 0 R
4  8.854 10 12  5
 43 .14V
Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto
1
qi
V 
 
4 0
4 0 i ri
1


24 10 9
 
i
qi
  43 .37V
Ri  R
….la distanza in questo caso non è poi così grande...
Esempio2: approssimazioni a grande distanza

Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema
precedente:
Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m

Qual è il potenziale in P(3,0,4) m?
P
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza


Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista
circa 5m
Però se calcoliamo come prima
V 


1
4 0 R
 qi 
i
Q
4 0 R
0
Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di
dipolo (che sappiamo decrescere come r2)
Calcoliamo il termine di dipolo:




p   qi d i  1011,7 1011,0 Cm
i
 
 
1 pR
1 p  ur
1


Vdip 
12
3
2
4


8
.
854

10
4

4 0 r
0 r
3 10 11  0  0
 2.157 10 3V
(5) 3
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza

Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto
qi
V 
  2.298 10 3V
4 0 i ri
1
Metodo delle Immagini


Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie
conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto
potenziale, il campo rimane identico!
IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di
conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica
appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema
Metodo delle Immagini



Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un
problema equivalente più semplice, è molto generale
Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di
fuori del conduttore equivalente
Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero
(massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un
dipolo.
Carica in prossimità di un piano conduttore

Il campo dovuto alla carica sola è
E

4 0 r 2 r
Sul piano, il campo è tutto ortogonale,
con direzione -x, e la componente di r
lungo x di r è -a, ovvero
E

q

r
q
4 0 r 3

au x  
q
4 0


3
a2  r 2 2

au x
-P
r - r
-a
-
Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il
campo
2q
ETOT  
4 0


3
a2  r 2 2

au x
Carica in prossimità di un piano conduttore
La densità di carica indotta (Gauss) è

2q
 ( r )   0 E( r ) 

4 a 2 

3
r2 2
a
Notate che, se integriamo su tutto il
piano (nota: (r,) individuano un
punto in coordinate polari)

2 
2
0 0
0
q
 d   q
 2 
   ( r ) rd r d    

-P
r - r
a
-
Come deve essere. La forza che subisce la carica è
ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…)

  Lo stesso risultato poteva essere ottenuto
q2
F
u
integrando i contributi di forza dovuti a 
2 x
4 0 2a 
(molto più laborioso!!)
ATTENZIONE
L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del
conduttore equivalente: es. appello luglio 2007

Flusso attraverso la sfera? NON E’
ZERO come potreste immaginare
mettendo la carica immagine

Usiamo il teorema della immagini per
calcolare la carica sul piano

a


Integrata nel cerchio di 1 m
4 a 2  r

1nC
10cm
2q
 (r )  
2 R
Q2 
3
2 2
   ( r ) rdrd  q
0 0

R=1m
Quindi per Gauss:
a2  R2  a
a R
2
2
 0.9nC
( E )  Qtot /  0  11.238 Vm
Capacità di un conduttore
Per una sfera conduttrice isolata caricata con carica Q,
i punti della superficie sono equipotenziali
Q
1 Q
V
4 R
Q

 4 R  C
V
Definiamo tale quantità Capacità [F]=[C]/[V]
Se il conduttore non è sferico, nelle stesse
condizioni il rapporto resta invariante
R
Capacità di un sistema di conduttori
Vc1
Se i conduttori sono più di uno, ricordando che

V (r )  
r dV '
 
40 r  r '
Vc3
Vc2
r dV '
r dV '
r dV '
 
   
   .. 
 
Vc1 4 0 r  r '
Vc 2 4 0 r  r '
Vcn 4 0 r  r '
V
Avremo in generale

V1  V (r1 )  p11Q1  p12Q 2  ...  p1n Q n
.....

Vn  V (rn )  p n1Q1  p n 2 Q 2  ...  p nn Q n
Dove pij si definiscono
coefficienti di potenziale
Capacità di un sistema di conduttori
Quindi, un legame lineare (matrice) lega anche nel caso di più
conduttori potenziali e cariche. Possiamo invertire tale matrice
Q1  c11V1  c12V2    c1NVN
Q2  c21V1  c22V2    c2 NVN

Q N  c N 1V1  c N 2V2    c NN VN
I coefficienti sono scritti in minuscolo perché, per convenzione,
non sono ancora le capacità, ma coefficienti di capacità. Per
definire le capacità conviene valutare quali siano i coefficienti
che legano le cariche alle differenze di potenziale tra i conduttori
(vedremo poi perché)
Sistema di conduttori
Riscrivendo i coefficienti in modo da far comparire
differenze di potenziale tra i conduttori, si ha
Q1  C11V1  C12 (V1  V2 )    C1 N (V1  V N )
Q2  C 21 (V2  V1 )  C 22V2    C 2 N (V2  V N )

Q N  C N 1 (V N  V1 )  C N 2 (V N  V2 )    C NN V N
in pratica una matrice capacità, in cui i coefficienti
sulla diagonale si definisco autocapacità e gli altri
coefficienti, mutue capacità
Sistema di 2 conduttori
consideriamo il caso di 2 conduttori
V1  p11 q1  p12 q2
q1   q
V2  p21 q1  p22 q2
q2   q

q
 V2  V1 
C
V1  ( p11  p12 ) q
V2  ( p 21  p 22 ) q
tale sistema prende il nome di
condensatore
+q
-q
Condensatore piano
Calcoliamo la capacità per il caso di due lamine
affacciate, di area S e distanziate d
Applicando il Teorema di Gauss:

Ex 

Q  S

V  V  E x d  d

Q S
C 
V
d
+
+
+
+
+
+
+
d
x
Capacità tra due sfere metalliche
concentriche
V (r) 
Sb
Q
Sa
4r
Q  1 1 Q b  a 
V (a )  V (b) 
 

4  a b  4  ab 
Q

4
Q
d
d 
 ab    
 
 4a 2 4b 2
 S a Sb
Q
C 

V
 d






a
d
b
Capacità di un tratto di cavo coassiale


Consideriamo un tratto di coassiale di
lunghezza l
Avevamo calcolato (lezione 2) che
 b
V ( a )  V ( b) 
ln  
2  a 

Considerando che Q=l otteniamo
Q
2 l
C

V ( a )  V (b)
b
ln  
a
l
a
b
Note e notazioni



Di qui in poi userò delle frecce per indicare
differenze di potenziale
tali frecce ovviamente non servono ora ad indicare
dei vettori
userò frecce, che vanno da un punto (potenziale di
riferimento) ad un altro punto (potenziale) per
evidenziare qual è il potenziale di riferimento
 Per esempio: V indica il
V
potenziale del conduttore
2 rispetto al conduttore 1
Conduttore 1
Conduttore 2
Legge di Kirchhoff alle maglie
Tale notazione consente di riscrivere la conservatività del
campo elettrostatico in una forma molto utile che prende il
nome di Seconda legge di Kirchhoff:

Prendiamo una serie di punti, o una serie di conduttori,
immersi in un campo


Avevamo definito la ddp tra due punti come:
 
V21    E  d l
2
1

1

1
2
2
V32
V13
Se quindi calcoliamo
  3  1 
 
  E  d l   E  d l   E  d l   E  d l  0
2
V21
3
 V21  V32  V13  0
3
Ovvero: la somma algebrica delle differenze (o cadute)
di potenziale lungo una maglia è nulla
Note



La scelta della “maglia” è arbitraria
Anche la scelta dei versi delle tensioni è arbitraria purché
si adotti la stessa scelta per tutto il tempo (percorrere tutta
la maglia nello stesso verso)
Consente di legare le tensioni tra loro, ovvero ricavare una
in funzione delle altre: per es
C
B
A
VBA  VCB  VAC  0
 VBA  VCB  VCA  0
 VBA  VCB  VCA
Connessione condensatori: Serie
+++++++++
--------------V1
V2
+q
-q
+q
-q
VTOT
V=V1+V2
-----------------
La carica totale non cambia
Le differenze di potenziale si sommano
Q Q
 V1  V2 

C1 C2
CTOT 
Q
VTOT
+++++++++


1
CTOT
Il sistema si comporta come un
unico condensatore con capacità
1
1


C1 C2

1
CTOT
 i
1
Ci
Connessione condensatori: Parallelo
+q1
+q2
-q1
-q2
La carica totale è la somma delle cariche
La differenza di potenziale è la stessa
Vtot
Q  q1  q2  C1VTOT  C 2VTOT
 CTOT  C1  C 2
 CTOT   Ci
i
Esercizio
a
Due elettrodi sferici come da figura.
d
c

b
L’elettrodo più interno è rivestito di
dielettrico. Capacità?
Possiamo pensare alla struttura come composta da
due condensatori in serie: aggiungere un guscio
metallico lungo la superficie di separazione non
cambierebbe nulla (superficie equipotenziale)
4 0 r abc
1
ac
C

C ac  4
1
1

( b  c ) a  ( c  a )b
ca
r

C ac C cb
cb
Ccb C cb  4 0
bc
Cac
Esercizio
Una sfera di raggio R1= 1m e carica
Q= 1nC viene collegata con un filo
conduttore ad una sfera, lontana dalla
prima, di raggio R2=0.3 m e
inizialmente scarica. Quali cariche
possiedono le due sfere a
collegamento avvenuto?
Esercizio (cont.)
Conosciamo le capacità delle sfere
C1  40 R1
C 2  40 R2
Al collegamento la carica si ridistribuisce ed i conduttori finiranno
per assumere lo stesso potenziale
q1 q2
V

C1 C2
Ma la carica totale resta la stessa (principio di
conservazione della carica)
q1  q2  Q
q1  0.77 nC
Dal sistema troviamo le quantità richieste
q2  0.23nC
Energia di carica di un condensatore
Caricando un condensatore compiamo un lavoro: il campo contro
cui compiamo il lavoro crescerà con il crescere della carica sul
conduttore
q
dL  V dq  dq
C
+dq
Q
q
1 Q2 1
1
L   dq 
 QV  CV 2
C
2 C
2
2
0
q(V)
L
V
+q
V