Le oscillazioni Moto armonico semplice Abbiamo già incontrato brevemente il moto armonico semplice in quanto utile per discutere la misura della massa di un corpo. Riassumiamo brevemente: m Molla ideale: Visto che F x F (molla ) () F (inerzia ) x (3. Legge di Newton) x x m a Soluzione generale: 0 (positivo o negativo) m x 0 x(t ) A cos( t ) con m (*) Misurando e , si può determinare m (*) ricordiamoci: (sin x) cosx (cosx) sin x a (b) a(b) b 1 x m x 0 x(t ) A cos( t ) con 2 2 T T 1 x(t) può essere un spostamento, una differenza di potenziale, una pressione … periodo T frequenza pulsazione o frequenza angolare ampiezza A <- Massimo valore del spostamento fase t+ costante o angolo di fase 2 3 Qualsiasi movimento che si ripete a intervalli regolari è definito moto periodico o moto armonico. Non solo Ma anche: Basta però studiare sen (o cos): Qualsiasi altra funzione può essere creata da una sovrapposizione di sen con diversi A, , f 4 Velocità nel moto armonico semplice con x(t ) A cos( t ) v(t ) dx(t ) d A cos( t ) A sin( t ) dt dt dv d a(t ) A sin( t ) 2 A cos( t ) dt dt a(t ) 2 x(t ) Nel moto armonico semplice l’accelerazione e’ proporzionale allo spostamento ma di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione 5 Nel caso particolare di: m Abbiamo trovato che m 0 x Descrive I parametri rilevanti del sistema, e m Ma e’ vero in generale, che per un qualsiasi sistema che segue x m x 0 Il parametro risultante descrive le proprietà del sistema 6 x(t ) Acos ( t ) m L’energia potenziale del sistema e’ E pot F dx F dx x dx x dx 1 2 x2 x 0 1 2 A2 cos 2 ( t ) L’energia cinetica con Ekin 12 m v 2 1 2 m A sin 2 t v(t ) A sin( t ) 2 1 2 A2 sin 2 t m con Etot Ekin E pot 12 A2 sin 2 t cos 2 t 1 2 A2 perchè sin 2 cos 2 1 7 Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Quali sono la pulsazione, la frequenza e il periodo dell’oscillazione risultante? F x x m a x x(t ) A cos( t ) m x 0 con m 65 N / m 9.78rad / s 9.8rad / s 0.68kg 9.78rad / s 1.56 Hz 1.6 Hz 2 2 rad 1 1 T 0.64s 1.56 Hz 8 Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ l’ampiezza dell’oscillazione? x(t ) A cos( t ) A 11cm Qual e la massima velocita’ del blocco oscillante, e dove si trova quando cio’ si verifica? dx(t ) d v(t ) A cos( t ) A sin( t ) dt dt vmax rad m A 9.78 0.11m 1.1 s s La massima velocita’ istantanea si ha quando il blocco passa attraverso l’origine, x=0 9 Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con 65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ l’ampiezza massima dell’accelerazione del blocco? a(t ) dv d A sin( t ) 2 A cos( t ) dt dt 2 rad m amass 2 A 9.78 0 . 11 m 11 s s2 a(t ) 2 x(t ) : La massima accelerazione si ha quando il blocco si trova nei punti estremi del suo percorso 10 Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ la costante di phase del moto? x(t ) A cos( t ) x ( 0) A cos0 1 0rad o qualsiasi angolo multiplo di 2 => Funzione spostamento: rad x(t ) A cos( t ) 0.11m cos 9.8 t 0 0.11 cos9.8t s Con x espresso in metri e t in secondi 11 Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ la energia meccanica? Per t=0: Etot Ecin E pot 12 m v 2 12 k x(0) 2 0 12 65 0.393 J 0.39 J N 2 0.11m m F dx k x dx k x dx 1 2 k x2 Quali sono l’energia potenziale e l’energia cinetica dell’oscilaltore quando la particella e’ a meta’ strada verso il massimo spostamento, ossia per x 12 A ? E pot 12 k x 2 12 k 12 A 14 12 k A2 14 Etot 0.098J 2 Ecin 34 Etot 0.30 J 12 Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2. Qual e’ la pulsazione? x(0) A cos v(0) A sin (I) (II) a(0) 2 A cos (III) Tre equazioni, tre incognite (III)/(I) => a(0) 2 x(0) a(0) 47.0m / s 2 23.5rad / s x(0) 0.0850m 13 Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2. Quali sono la costante di fase e l’ampiezza A? (II)/(I) => v(0) A sin tan x(0) A cos tan v(0) 0.920m / s 0.461 rad x(0) 23.5 s 0.0850m 250 x(0) 0.0850m A 0.094m cos cos 250 Anche =1550 e’ una soluzione, con A=0.094 m A deve essere una costante positiva => soluzione = -250 da scartare 14 Un oscillatore armonico semplice angolare Pendolo di torsione Ci riccordiamo, per una molla: Momento torcente di richiamo, che tende a contrastare la rotazione Costante di torsione In questo caso, invece di si trova F x m I I = momento d’inerzia del disco oscillante E pot 1 2 2 15 Come appare nella figura, un’asticella sottile omogenea, di lunghezza L=12.4 cm e massa m=135g, e’ sospesa al centro da un lungo filo. Se e’ misurato il suo periodo Ta di oscillazione angolare, che e’ risultato di 2.53 s. Un oggetto di forma irregolare, che chiameremo X, e’ stato poi appeso allo stesso filo, come nella figura, e si e’ trovato che il suo periodo Tb e’ 4.76 s. Qual e’ il momento di inerzia dell’ oggetto X rispetto al suo asse di rotazione? Abbiamo gia calcolato: 16 17 La asticella “e composta” di due sbarre sbarra di massa m’, lunghezza L’ Chiamiamo : asticella di massa m, lunghezza L Con m=2m’, L=2L’ 2 1 1 m L 1 2 I (asticella ) 2 I ( sbarra ) 2 m L 2 m L2 3 3 2 2 12 1 2 0.135kg 0.124m 1.73 10 4 kg m 2 12 I Ta 2 T Ia 2 Tb 2 Ib 4.76s 6.12 104 kg m 2 Tb2 I b I a 2 1.73 10 4 kg m 2 Ta 2.53s 2 2 18 Con un pendolo di torsione si possono misurare anche angoli molto piccoli raggio di luce specchio Si trova: Lo specchio di torsione non si ferma mai, continuamente fa piccoli oscillazioni irregolari. Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di 1 2 k T T = temperatura (assoluta) k = costante di Boltzmann 19 Boltzmann ha dimostrato che non solo lo specchio di torsione, ma qualsiasi sistema ha sempre energia cinetica pari a 1/2kT (= movimento termico) per ciascun grado di libertà. Questo vale anche per gli atomi. Nonché per interruttori o altri sistemi che possono assumere due minimi energetici E perciò immagazzinare informazione. E 1/2kT Szillard (1927): per immagazzinare un bit di informazione occorre dissipare una energia pari a 1/2kT Landauer: non è vero. Si deve dissipare energia pari a 1/2kT per cancellare un bit di informazione. Bennett:: si deve dissipare energia solo se si prende informazione dall’esterno del sistema, altrimenti è possibile copiare e calcolare senza dissipare (reversible computing) 20 H.S.Leff, A.F.Rex Maxwell’s Demon: Entropy, Information, Computing Princeton University Press 21 Moto armonico semplice e moto circolare uniforme Il moto armonico semplice e’ la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge x(t ) A cos( t ) v(t ) dx(t ) d A cos ( t ) A sen( t ) dt dt a(t ) dv d A sen( t ) 2 A cos( t ) dt dt 22 Onde Se “la variabile” (spostamento, pressione, potenziale...) cambia solo con il tempo: oscillazione – x(t ) A cos( t ) nel caso piu semplice: modo armonico semplice o x(t ) A sin( t ) Se “la variabile” cambia anche in funzione dell’spazio: onda 23 In generale, una onda non avrà forma sinusoidale: Forma generica di una onda: y( x, t ) hk x t h: funzione qualsiasi 24 25 Lunghezza d’onda e numero d’onde y( x,0) ym sin k x Per definizione y deve essere uguale per x=x1 e x=x1+l y ym sin k x1 ym sin k x1 l ym sin k x1 k l k l 2 numero d’onda: o k 2 l numero d’onda angolare unità rad m 1 k 1 2 l 26 Periodo, pulsazione e frequenza Si puo fare il discorso analogo per y(0, t ) ym sin t ym sin t 2 T Pulsazione o frequenza angolare unita’: radiante al secondo 1 T 2 frequenza 27 Velocita’ di un’onda in moto y( x, t ) ym sin k x t v x t k x t costante d k x t 0 dt dx k 0 dt dx v dt k l l v v k T y( x, t ) ym sin k x t Onda che si muove nel verso in cui x aumenta velocita’ dell’onda Onda che si muove nel verso delle x decrescenti 28 La tensione del filo crea una forza T su ogni elemento del filo y T Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo T x Piccolo elemento di filo y Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo x 29 La tensione del filo crea una forza effetiva su un elemento di filo, se c’e una curvatura: dy dx a curvatura= differenza relativa fra due pendenze y T dy dx dy dx b dy d dy dx dx dx dx T x d y T T 2 dx La massa di questo elemento e’ dx dx d2y d2y T 2 dx dx a dx 2 dx dt 2 curvatura Newton 30 d2y d2y T 2 dx dx a dx 2 dx dt d2y d2y 2 2 T dt dx 1 v2 31 y( x, t ) ym sin k x t v d2 2 y ( x , t ) y k sin k x t m 2 dx d2 2 y ( x , t ) y sin k x t m 2 dt A/B = k l T l v (A) (B) k2 2 => e’ vero che d2y 1 d2y 2 2 2 dx dt v. 32 Il principio di sovrapposizione per le onde Onde sovrapposte si sommano algebricamente a formare un’onda risultante: y3 ( x, t ) y1 ( x, t ) y2 ( x, t ) 33 => Interferenza di onde sia y1 ( x, t ) ym sin k x t y2 ( x, t ) ym sin k x t f y( x, t ) y1 ( x, t ) y2 ( x, t ) ym sin k x t f sin k x t Si puo’ dimostrare: sin sin 2 sin 12 cos 12 y( x, t ) 2 ym cos 12 f sin k x t 12 f Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, esse interferiscono a formare un’onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella medesima direzione con ym 2 ym cos 12 f 34 35 Onde stationarie y1 ( x, t ) ym sin k x t y2 ( x, t ) ym sin k x t y( x, t ) ym sin k x t ym sin k x t Sempre con sin sin 2 sin 12 cos 12 y( x, t ) 2 ym sin k x cos t Se due onde sinusoidali de stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza genera un’onda stazionaria 36 37 L’ ultimo numero i Il numero immaginario 38 i 1 2 Numeri complessi: z xi y cos e sin e i i x,y numeri reali e i e i 2 2i 39 Asse immaginaria z y x Asse reale 40 1) Qualsiasi funzione puo’ essere costruita mediante una somma di y( x, t ) ym sin k x t f 2) “i” e’ l’ ultimo numero, nel senso che non esiste niente, che non possa essere rappresentato da i Se non sappiamo come descrivere un fenomeno, usiamo “i”. 41