Yunus A. Çengel
John M. Cimbala
per l’edizione italiana
Giuseppe Cozzo
Cinzia Santoro
Meccanica dei fluidi
Seconda edizione
Soluzione dei problemi
Capitolo 13
McGraw-Hill
Indice
1
2
3
4
5
Introduzione e concetti di base
Introduzione, classificazione e sistema
Massa, forza e unità di misura
Modellazione e risoluzione di problemi ingegneristici
Riepilogo
1
1
4
7
9
Proprietà dei fluidi
Densità
Tensione di vapore e cavitazione
Energia specifica
Comprimibilità e velocità del suono
Viscosità
Tensione superficiale e capillarità
Riepilogo
11
Statica dei fluidi
Pressione, manometro e barometro
Spinte idrostatiche su superfici piane e curve
Galleggiamento
Moto rigido dei fluidi
Riepilogo
37
Cinematica dei fluidi
Problemi introduttivi
Descrizioni lagrangiana ed euleriana
Strutture del moto e visualizzazione del moto
Moto e deformazione di elementi di fluido
Teorema del trasporto di Reynolds
Riepilogo
99
Equazioni della massa, di Bernoulli, dell’energia
Conservazione della massa
Energia meccanica e rendimento
Teorema di Bernoulli
Equazione dell’energia
Riepilogo
12
15
16
17
24
30
32
38
59
66
72
81
99
101
107
115
126
127
135
136
140
145
160
174
II
Indice
6
Equazione della quantità di moto
183
Leggi di Newton e conservazione della quantità di
moto
184
Equazione della quantità di moto
184
Riepilogo
218
7
Analisi dimensionale e modellazione
229
Dimensioni e unità, dimensioni fondamentali
229
Omogeneità dimensionale
232
Adimensionalizzazione delle equazioni
233
Analisi dimensionale e similitudine
234
Parametri adimensionali e metodo delle variabili ripetute
238
Prove sperimentali e similitudine incompleta
255
Riepilogo
260
8
Correnti in pressione
Moto laminare e moto turbolento
Moto completamente sviluppato
Perdite localizzate
Reti di distribuzione
Lunghe condotte
Misura della velocità e della portata
Riepilogo
9
275
276
279
298
299
326
336
343
Equazioni indefinite del moto dei fluidi
357
Problemi di base
357
Equazione di continuità
359
Funzione di corrente
361
Equazione della quantità di moto e condizioni al
contorno
371
Riepilogo
379
10 Soluzioni approssimate dell’equazione di Navier-Stokes
Problemi di base
Moto non viscoso
Moto irrotazionale
Strati limite
Riepilogo
391
11 Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza
Resistenza e portanza
Moto su lastra piana
Moto attorno a cilindri e sfere
Portanza
Riepilogo
411
12 Moto dei fluidi comprimibili
Grandezze di ristagno
Moto isoentropico unidimensionale
Moto isoentropico negli ugelli
Onde d’urto e onde di espansione
441
392
395
396
400
409
412
424
428
432
436
442
445
448
452
III
Moto con scambio di calore e resistenze trascurabili
(Flusso di Rayleigh)
460
Moto adiabatico con resistenze non trascurabili (Flusso di Fanno)
467
Riepilogo
476
13 Correnti a superficie libera
495
Numero di Froude e celerità
497
Energia specifica ed equazione dell’energia
502
Moto uniforme e sezioni di minimo costo
509
Moto gradualmente e rapidamente variato. Risalto
idraulico
520
Regolazione e misura della portata
527
Riepilogo
534
13
CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA
SOMMARIO
Il moto di un liquido in canali aperti o in condotte di cui
occupa solo la parte inferiore è detto a superficie libera.
Perché una corrente si muova di moto uniforme (velocità
costante lungo ciascuna traiettoria), il canale deve essere
cilindrico o prismatico e l’altezza dellacorrente deve essere
costante in tutte le sezioni. Il raggio idraulico Ri è definito
come rapporto tra l’area A occupata dal liquido e il suo contorno solido Cb , cioè Ri = A/Cb . Il numero di Froude Fr
della corrente in una sezione è definito come rapporto tra
la velocità media V nella sezione e la celerità delle piccole
perturbazioni, cioè
Fr = √
V
V
=√
g A/B
gh m
da cui, elevando al quadrato e raccogliendo i termini
funzione dell’altezza k, si ha
A3
Q2
=
B
g
(13.12)
relazione che definisce l’altezza critica per una sezione di
forma generica. Per una sezione rettangolare di larghezza b,
per la quale A = bk = Bk, risulta
s
3 Q2
(13.9)
k=
gb2
(13.6)
essendo B la larghezza in superficie e h m l’altezza della sezione rettangolare equivalente. Per un canale rettangolare
con altezza della corrente uguale ad h, risulta
Il carico totale in una sezione, misurato rispetto al fondo
della sezione, prende il nome di energia specifica
E =h+
αV 2
2g
(13.20)
V
Fr = √
gh
in cui h è la quota piezometrica e αV 2 /2g è l’altezza cinetica. Il bilancio di energia tra due sezioni a distanza d x si
esprime come
La corrente è lenta se Fr < 1, critica se Fr = 1, veloce
dE
=i−J
(13.32)
se Fr > 1. L’altezza della corrente in condizioni di stato
dx
critico è chiamata altezza critica ed è indicata con il simbolo k, cosı̀ come la velocità è chiamata velocità critica. Dalla in cui i è la pendenza del canale e J è la cadente, cioè la
perdita di carico per unità di percorso.
condizione Fr = 1 si ottiene la velocità critica
In condizioni di moto uniforme, il pelo libero, che coincide
p
con la linea piezometrica, è parallelo al fondo per cui è
(13.10)
Vc = g A/B
J =i
(13.33)
Moltiplicando per l’area si ottiene la portata in condizioni
di stato critico, che vale
In considerazione delle dimensioni dei canali e dell’elevato
valore della scabrezza, generalmente il regime di moto di
p
(13.11) una corrente a pelo libero risulta puramente turbolento.
Q = AVc = A g A/B
496 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Pertanto, conviene esprimere la cadente con la formula di
Chézy, che, introducendo la pendenza del canale, diviene
p
Q = A0 C0 Ri0 i
(13.37)
in cui il pedice indica i valori relativi al moto uniforme. Esprimendo il coefficiente di Chézy con la formula di
Gauckler-Strickler
1/6
C = c Ri
(13.38)
in cui c è l’indice di scabrezza, l’equazione del moto
uniforme diviene
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i
(13.40)
I profili che il pelo libero assume in condizioni di moto permanente dipendono dalla pendenza del canale e dalla condizione al contorno che genera il profilo. I diversi possibili
profili sono individuati da una lettera che indica il tipo di
pendenza del canale e da un numero che si riferisce all’altezza iniziale del profilo in rapporto all’altezza di moto uniforme e all’altezza critica. Il passaggio da corrente veloce
a corrente lenta avviene attraverso un risalto idraulico. Le
altezze h 1 e h 2 che la corrente assume rispettivamente subito a monte e subito a valle del risalto prendono il nome
di altezze coniugate. Per un canale rettangolare, esse sono
legate dalla relazione
s
!
1
k3
h2
=
−1 + 1 + 8 3
(13.64)
h1
2
h1
Il risalto è un fenomeno molto dissipativo.
Infatti,
in percentuale dell’energia della corrente in arrivo, la
dissipazione può arrivare a oltre l’80%. La perdita vale
1E =
(h 2 − h 1 )3
4h 1 h 2
(13.67)
Nelle correnti a superficie libera la regolazione della portata avviene mediante paratoie a battente, cioè pareti mobili,
piane o a settore circolare, che, sbarrando parzialmente la
sezione, lasciano aperta una luce nella parte inferiore della
sezione. La portata effluente da una luce rettangolare sotto
una paratoia è
p
(13.71)
Q = µab 2gh
in cui a è l’altezza della luce, b la larghezza, h l’altezza
d’acqua a monte della paratoia e µ un coefficiente di efflusso, funzione, in generale, del rapporto h/a e dell’angolo θ
che la tangente al bordo inferiore della paratoia forma con
l’orizzontale.
Gli stramazzi sono dispositivi per la misura della portata
delle correnti a superficie libera. Gli stramazzi a spigolo vivo sbarrano la sezione nella parte inferiore lasciando superiormente una luce di varia forma (rettangolare, triangolare,
trapezia, circolare ecc.). Lo stramazzo Bazin è uno stramazzo rettangolare di larghezza b uguale a quella del canale, la
cui portata può essere espressa con la formula
p
Q = µs bh s 2gh s
(13.77)
in cui h s è il carico (altezza d’acqua rispetto al bordo dello
stramazzo) e µs il coefficiente d’efflusso dello stramazzo. Il
coefficiente di efflusso è somma di una costante (pari a circa 0,4) e di una quantità che tiene conto dell’altezza cinetica
della corrente a monte dello stramazzo, espressa in funzione
del rapporto h s /a tra il carico e l’altezza dello stramazzo.
Gli altri stramazzi sono preceduti da una vasca di calma,
per cui il loro coefficiente d’efflusso risulta costante. La
legge di efflusso dello stramazzo triangolare con angolo di
apertura θ rispetto alla verticale è
Q=
p
8
µ tan θ h 2s 2gh s
15
(13.83)
∼ 0,6 è il coefficiente di efflusso delle luci a batin cui µ =
tente. Lo stramazzo Cipolletti è uno stramazzo a sezione
trapezia con lati di pendenza 1:4 rispetto alla verticale, per
il quale µs = 0,415.
Lo stramazzo a larga soglia fa parte della famiglia dei misuratori a risalto, nei quali la misura si basa sul fatto che
un adeguato innalzamento del fondo o restringimento della sezione costringe la corrente a passare attraverso lo stato
critico. Lo stramazzo a larga soglia è costituito da un gradino sul fondo opportunamente raccordato in modo che le
perdite possano essere trascurate. Il carico h s dello stramazzo è l’altezza della corrente a monte dello stramazzo,
misurata rispetto al piano della soglia. Se l’altezza cinetica
di monte è molto piccola rispetto al carico, la portata di uno
stramazzo rettangolare di larghezza b è
p
(13.91)
Q = 0,385 bh s 2gh s
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PROBLEMI
Numero di Froude e celerità
13.1
Che differenza c’è tra moto a superficie libera e moto in pressione?
Analisi Il moto di un liquido è a superficie libera quando avviene in canali
aperti o in condotte chiuse di cui il liquido occupa solo la parte inferiore; esso
è caratterizzato dalla presenza di una interfaccia liquido-gas (in genere aria
a pressione atmosferica) chiamata appunto superficie libera. In un moto in
pressione, invece, il fluido riempie completamente la sezione della condotta
(che deve pertanto essere chiusa), sul cui intradosso ha, in genere, pressione
maggiore di quella atmosferica.
13.2 Da cosa dipende la portata che si stabilisce in un canale a superficie
libera?
Analisi In un canale, il moto avviene per gravità, cioè è causato dalla pendenza
del fondo o, in altre parole, dall’abbassamento del fondo nella direzione del
moto. Pertanto, la portata che si stabilisce in un canale dipende dall’equilibrio
dinamico tra la forza di gravità e la resistenza al moto offerta dalle pareti solide.
Nel caso in cui il moto sia vario, entrano in gioco anche le forze di inerzia.
13.3 Qual è l’andamento della linea piezometrica in una corrente a superficie
libera?
Analisi In una corrente a superficie libera, poiché la pendenza del fondo del
canale è abitualmente molto piccola, le sezioni trasversali possono essere considerate verticali, anziché perpendicolari al fondo. In tale ipotesi, potendosi
considerare la corrente lineare, la quota del pelo libero in ciascuna sezione
trasversale rappresenta la quota piezometrica della corrente in quella sezione
e, pertanto, la linea piezometrica della corrente coincide con il profilo della
superficie libera.
13.4 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, la pendenza
della superficie libera coincide con la pendenza del fondo del canale?
Analisi No. In moto permanente la pendenza della superficie libera non coincide con la pendenza del fondo, cioè il fondo e il pelo libero non sono paralleli,
perché l’altezza della corrente non è la stessa in tutte le sezioni trasversali.
13.5 Quali condizioni debbono essere soddisfatte perché il moto di una corrente a superficie libera si possa definire uniforme? Come deve essere il canale?
Analisi Perché un moto sia uniforme (velocità costante lungo ciascuna traiettoria) è necessario che la sezione trasversale si mantenga costante. In una
corrente a superficie libera è dunque necessario che il canale sia cilindrico (o
prismatico) e che si mantenga costante nella direzione del moto anche l’altezza
della corrente. Ciò, a sua volta, comporta che siano costanti anche la pendenza
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Correnti a superficie libera
497
498 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
e la scabrezza del canale. Pertanto, nella pratica, è ben difficile che una corrente a superficie libera sia uniforme; tuttavia, la condizione di moto uniforme
può essere considerata raggiunta, con buona approssimazione, in tratti molto
lunghi di canali a sezione, scabrezza e pendenza costanti.
13.6
Cos’è l’altezza di moto uniforme?
Analisi In condizioni di moto uniforme, si mantengono costanti nella direzione
del moto sia l’altezza che la velocità media e, di conseguenza, anche l’energia
specifica. Pertanto, il profilo del pelo libero e la linea dell’energia sono entrambi paralleli al fondo. Conseguentemente, in condizioni di moto uniforme,
essendo i la pendenza del fondo e J la pendenza della linea dell’energia, si ha
i=J
Essendo V la velocità media, Ri il raggio idraulico e C il coefficiente di Chézy,
la cadente J può essere espressa con la formula di Chézy 8.74
J=
V2
C 2 Ri
per cui, introducendo la pendenza del fondo, la velocità di moto uniforme è
p
V0 = C0 Ri0 i
in cui il pedice indica i valori che le grandezze assumono nella condizione di
moto uniforme, cioè per l’altezza d’acqua di moto uniforme h = h 0 . Moltiplicando per l’area A0 si ottiene l’espressione della portata di moto uniforme
p
Q = A0 C0 Ri0 i
in cui A0 , C0 e Ri0 sono funzioni note dell’altezza di moto uniforme h 0 .
13.7 Quali cause determinano il fatto che una corrente a superficie libera sia
non uniforme?
Analisi La presenza nel canale di un ostacolo, come una paratoia, o una variazione della pendenza o della sezione causano la variazione dell’altezza della
corrente e quindi l’allontanamento dalla condizione di moto uniforme. Un moto non uniforme è detto rapidamente variato se le variazioni dell’altezza della
corrente sono grandi rispetto alla distanza in cui avvengono (come nel moto a
valle di una paratoia o in corrispondenza di un salto di fondo) e gradualmente
variato nel caso contrario, cioè se le variazioni dell’altezza sono graduali. In
generale, si ha moto rapidamente variato fra tratti in moto gradualmente variato
e tratti in moto uniforme o viceversa.
13.8 Cos’è il raggio idraulico di una corrente a superficie libera? In che
rapporto è con il diametro idraulico?
Analisi Il raggio idraulico è definito come il rapporto fra l’area A della sezione
effettivamente occupata dal liquido (area bagnata) ed il perimetro Cb della
sezione a contatto col liquido (contorno bagnato)
Ri =
A
Cb
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Correnti a superficie libera
Analogamente a quanto fatto per una corrente in pressione, il diametro idraulico è definito come
A
Di = 4
= 4Ri
Cb
13.9 Cos’è il numero di Froude? Com’è definito? Qual è il suo significato
fisico?
Analisi Il numero di Froude è
V
V
V
Fr = √
=√
=√
gL
g A/B
gh m
in cui g è l’accelerazione di gravità, V la velocità media della corrente e L una
lunghezza caratteristica, data dal rapporto tra l’area A della sezione e la larghezza B che la corrente assume in superficie. Per un canale a sezione rettangolare tale rapporto è pari all’altezza h della corrente; per un canale a sezione
di forma qualunque è uguale all’altezza h m della sezione rettangolare di pari
area. Dal punto di vista fisico il quadrato del numero di Froude è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze di gravità. Se, infatti, si moltiplicano
numeratore e denominatore del quadrato del numero di Froude per il prodotto
ρ A della densità per l’area, si ha
1
2
2
ρV A
V 2ρ A
forze di inerzia
2
Fr2 =
=
∝
gLρ A
mg
forze di gravità
La velocità al denominatore del numero di Froude è pari alla velocità c con cui
si propaga nel liquido una perturbazione di altezza infinitesima (celerità).
13.10 Note l’altezza e la velocità media della corrente, come si stabilisce se
la corrente è lenta, critica o veloce?
Analisi Le correnti a pelo libero sono classificate come lente, critiche o veloci
in funzione del valore assunto dal numero di Froude. In particolare, la corrente
è
lenta
critica
veloce
se
se
se
Fr < 1
Fr = 1
Fr > 1
(V < c)
(V = c)
(V > c)
Pertanto, il fronte d’onda negativo di una piccola perturbazione è in grado di
risalire una corrente lenta ma non una corrente veloce.
13.11 Cos’è l’altezza critica? Come si calcola?
Analisi L’altezza critica k è l’altezza che la corrente assume nella condizione
di stato critico, cioè per Fr = 1. Per un canale rettangolare di larghezza b in
cui defluisce una portata Q, si calcola dalla 13.9
s
3 Q2
k=
gb2
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499
500 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
mentre per un canale di forma qualunque, di area A e larghezza in superficie
B, si calcola dalla 13.12
A3
Q2
=
B
g
relazione la cui soluzione, nota la geometria della sezione e quindi le funzioni
A = A(h) e B = B(h), richiede, in genere, il ricorso a un metodo iterativo.
13.12 A monte di un risalto idraulico, la corrente deve essere necessariamente veloce? E, a valle, deve essere necessariamente lenta?
Analisi Il risalto idraulico si verifica nel passaggio dalla condizione di corrente
veloce a quella di corrente lenta. Pertanto, a monte di esso, la corrente deve
essere necessariamente veloce e, a valle, necessariamente lenta.
13.13 Calcolare la celerità delle piccole perturbazioni in una corrente a superficie libera quando l’altezza della corrente è (a) di 10 cm e (b) di 80 cm.
Analisi Se il canale è a sezione rettangolare, la celerità delle piccole perturbazioni è data dalla 13.18
p
c = ± gh
Pertanto, nei due casi, si ha
(a)
c=±
p
p
gh = ± 9,81 × 0,10 = ± 0,990 m/s
(b)
c=±
p
p
gh = ± 9,81 × 0,80 = ± 2,80 m/s
Discussione La relazione 13.18, secondo la quale la celerità è proporzionale
alla radice quadrata dell’altezza d’acqua, è valida per acque basse, come quelle
che si muovono nei canali a pelo libero, e non per corpi d’acqua molto profondi, come gli oceani, nei quali la celerità è indipendente dalla altezza d’acqua.
In ogni caso, la celerità non dipende dalle proprietà del fluido e, pertanto, a parità di altezza d’acqua, essa risulta uguale per tutti i liquidi. Ciò perché l’analisi
effettuata non tiene conto degli effetti viscosi che, nella realtà, fanno sı̀ che le
onde vengano smorzate e quindi annullate. Per canali a sezione non rettangolare, nell’espressione della celerità va introdotta l’altezza media h m = A/B,
essendo B la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera.
13.14 In un canale a sezione rettangolare molto larga defluisce in moto uniforme acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), con velocità
media di 2 m/s e altezza di 0,3 m. Determinare (a) se il moto sia laminare o
turbolento e (b) se la corrente sia lenta o veloce.
Analisi (a) Essendo il raggio idraulico Ri pari a un quarto del diametro idraulico, il numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica
il raggio idraulico
ρV Ri
Re =
µ
è pari a un quarto del numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica il diametro idraulico. Conseguentemente, mentre nei moti
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Correnti a superficie libera
501
in pressione il regime è laminare per Re < 2 000 circa, nei moti a superficie
libera il moto è laminare per Re < 500 circa. Nel caso in esame, potendosi porre il raggio idraulico pari all’altezza h 0 della corrente perché la sezione
trasversale è rettangolare molto larga, risulta
Re =
ρV0 Ri0 ∼ ρV0 h 0
998 × 2 × 0,3
=
= 5,98 × 105
=
µ
µ
1,002 × 10−3
e pertanto il moto è turbolento.
(b) La corrente è veloce perché
V0
2
Fr = √
=√
= 1,17 > 1
gh 0
9,81 × 0,3
Discussione Nella pratica, il moto delle correnti a superficie libera è sempre
turbolento.
13.15 In un canale a sezione circolare, del diametro di 2 m, defluisce in moto
uniforme acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), con
velocità media di 2 m/s e altezza di 0,5 m. Determinare il raggio idraulico, il
numero di Reynolds e il regime di moto.
RH1m
Analisi Utilizzando le relazioni riportate in Figura 13.5, si ha
h
0,5
θ = arccos 1 −
= arccos 1 −
= arccos 0,5 = 1,047 rad
R
1
Ri =
h0 = 0,5 m
A
θ − sen θ cos θ
1,047 − 0,866 × 0,5
=R
=1×
= 0,293
Cb
2θ
2 × 1,047
per cui
Re =
998 × 2 × 0,293
ρV Ri
=
= 5,84 × 105
µ
1,002 × 10−3
e pertanto il moto è turbolento. Essendo la larghezza in superficie
B = 2R sen θ
l’altezza media risulta
hm =
A
θ − sen θ cos θ
1,047 − 0,866 × 0,5
=R
=1×
= 0,355 m
B
2 sen θ
2 × 0,866
e, quindi,
Fr = √
V
2
=√
= 1,07 > 1
gh m
9,81 × 0,355
per cui la corrente è veloce.
13.16 In un canale a sezione rettangolare, largo 2 m, defluisce in moto uniforme acqua a 15 ◦ C, con velocità media di 4 m/s e altezza di 40 cm. Determinare se la corrente sia lenta o veloce.
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h0 H 0,4 m
bH2m
502 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Analisi Essendo
V
4
= 2,02 > 1
Fr = √
=√
gh
9,81 × 0,4
la corrente è veloce.
V H 1,3 m/s
h H 2 cm
13.17 Durante un temporale, l’acqua di pioggia defluisce su una superficie
inclinata con velocità di 1,3 m/s e altezza di 2 cm. Determinare se la corrente
sia lenta o veloce.
Analisi Essendo
V
1,3
Fr = √
=√
= 2,93 > 1
gh
9,81 × 0,02
la corrente è veloce.
13.18 Calcolare la celerità di un’onda solitaria generata a mare da una forte
scossa sismica in una zona in cui la profondità dell’acqua è di 2 km.
Analisi La relazione 13.18 è valida solo per perturbazioni di altezza infinitesima in acque basse e non in acque profonde, nelle quali le onde dovute all’azione del vento si propagano con una celerità che dipende sostanzialmente dalla
lunghezza d’onda. Le onde solitarie generate da scosse sismiche (tsunami),
a differenza delle onde dovute all’azione del vento, possono avere lunghezze
dell’ordine dei 100 km e altezze di qualche decina di metri. La loro propagazione è descrivibile con la teoria delle onde lunghe su profondità limitate, per
le quali la celerità, anche nell’oceano profondo, dipende sostanzialmente dalla
profondità. Pertanto, nel caso in esame, è ancora applicabile la 13.18, per cui
p
p
c = gh = 9,81 × 2 000 = 140 m/s
pari a 504 km/h.
Energia specifica ed equazione dell’energia
13.19 Com’è definita l’energia specifica di una corrente a superficie libera?
αV 2
2g
h
E
Analisi Nello studio delle correnti a superficie libera, il carico totale viene
riferito, invece che a un piano orizzontale unico per l’intera corrente, al piano
orizzontale passante per il punto più basso di ciascuna sezione. Per distinguere
il carico cosı̀ calcolato dal carico totale propriamente detto, questa quantità,
che rappresenta sempre l’energia meccanica dell’unità di peso di fluido, viene
chiamata energia specifica e indicata col simbolo E. In una generica sezione
in cui h è l’altezza d’acqua rispetto al punto più basso della sezione, A l’area
della sezione liquida, V la velocità media e Q la portata, l’energia specifica è
E =h+
αV 2
α Q2
=h+
2g
2g A2
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Questa definizione comporta che, nei bilanci di energia tra due diverse sezioni
trasversali della stessa corrente, si debba tener conto del fatto che esiste una
differenza di quota tra i piani rispetto ai quali è misurata E nelle due sezioni.
Correnti a superficie libera
h
Q H costante
EHh
corrente lenta
Fr < 1
h02
13.20 In due canali, aventi la stessa sezione trasversale, defluisce la stessa
portata. Se in un canale la corrente è lenta e nell’altro è veloce, è possibile che
le due correnti abbiano la stessa energia specifica? Perché?
Analisi Si, è possibile. A parità di portata, infatti, se E > E min , esistono due
diverse altezze d’acqua, una lenta e una veloce, alle quali corrisponde lo stesso
valore di energia specifica.
13.21 In una corrente lenta, al crescere dell’altezza d’acqua, restando invariata la portata, come varia l’energia specifica?
Fr H 1
k
corrente veloce
Fr > 1
h01
E0
E min
Analisi Se la corrente è veloce, al crescere dell’altezza d’acqua, a portata
costante, l’energia specifica diminuisce.
E
h
Q H costante
EHh
Analisi Se la corrente è lenta, al crescere dell’altezza d’acqua, a portata costante, l’energia specifica aumenta.
13.22 In una corrente veloce, al crescere dell’altezza d’acqua, restando invariata la portata, come varia l’energia specifica?
503
corrente lenta
Fr < 1
Fr H 1
k
h2
h1
corrente veloce
Fr > 1
E min E2
E1
E
13.23 In un canale una certa portata defluisce in condizioni critiche. La sua
energia specifica è maggiore di quella che avrebbe se defluisse come corrente
lenta?
Analisi No. Quando una certa portata si muove in condizioni critiche, la sua
energia specifica è la minima richiesta per il passaggio di quella portata. Pertanto, la stessa portata, qualora defluisca come corrente lenta o come corrente
veloce, dovrà avere energia specifica maggiore.
13.24 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto? Oppure, diminuisce a causa
delle perdite di carico?
Analisi L’energia specifica di una corrente a superficie libera è pari alla somma
dell’altezza d’acqua e dell’altezza cinetica della corrente. Per una corrente in
moto uniforme, l’altezza d’acqua e la velocità media (e quindi anche l’altezza
cinetica) nelle diverse sezioni trasversali mantengono gli stessi valori. Pertanto,
l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto. Ciò vuol dire,
semplicemente, che il carico, misurato rispetto al punto più basso di ciascuna
sezione, ha lo stesso valore in tutte le sezioni. Poiché il fondo si abbassa della
pendenza i per unità di lunghezza, anche il carico totale, a causa delle perdite,
diminuisce di i per unità di lunghezza per cui, in moto uniforme, è J = i.
13.25 Come è definita la linea dell’energia? In quali condizioni è parallela
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V02
2g
α
linea dell’energia
E0
V0
h0
α
504 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
al fondo del canale?
Analisi Con riferimento al profilo longitudinale di una generica corrente a superficie libera, la linea dell’energia si ottiene riportando sulla verticale di ciascuna sezione, a partire dal punto sul profilo di corrente, un segmento pari
all’altezza cinetica della velocità media. Poiché il profilo della superficie libera coincide con la linea piezometrica della corrente, la linea cosı̀ ottenuta
coincide con la linea dei carichi totali della corrente. In moto uniforme l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto e, pertanto, la linea
dell’energia è parallela al fondo del canale.
13.26 Come si esprime il carico totale in una sezione di una corrente a
superficie libera? Che legame ha con l’energia specifica?
αV 2
2g
E
h
H
Analisi Essendo z la quota geodetica di un generico punto di una sezione di una
corrente a superficie libera, p/ρg la sua altezza piezometrica, αV 2 /2g l’altezza cinetica della corrente nella sezione, z f la quota del fondo della sezione e h
l’altezza d’acqua rispetto al fondo, il carico totale nella sezione è
H =z+
p
αV 2
αV 2
+
= zf +h +
ρg
2g
2g
Essendo l’energia specifica E in una sezione uguale al carico totale nella sezione misurato rispetto al piano orizzontale passante per il punto più depresso,
per ciascuna sezione si ha
zf
zH0
H = zf +h +
αV 2
= zf + E
2g
13.27 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, se le perdite
di carico sono trascurabili, la pendenza della linea dei carichi totali è uguale a
quella del fondo?
Analisi No. La pendenza della linea dei carichi totali (o linea dell’energia) è
pari alla cadente, cioè alla perdita di carico per unità di percorso. Pertanto, se
le perdite sono trascurabili, la linea dell’energia è orizzontale.
E1
13.28 Scrivere l’equazione che esprime il bilancio dell’energia tra due generiche sezioni di una corrente a superficie libera. Come si può calcolare la
perdita?
JL
V12
2g
V22
2g
Analisi Con riferimento a due generiche sezioni 1 e 2 di una corrente a superficie libera, essendo E 1 ed E 2 i valori che l’energia specifica assume, rispettivamente, nelle due sezioni e 1Hd la perdita di carico tra le due sezioni, per la
13.28, si ha
z 1 + E 1 = z 2 + E 2 + 1Hd
E2
h1
h2
L
iL
z1
x1
z2
zH 0
x2
x
in cui z 1 e z 2 sono le quote del punto più depresso di ciascuna sezione rispetto
ad un piano di riferimento arbitrario. Esprimendo la perdita di carico come
prodotto della cadente J per la lunghezza L del tratto compreso tra le due
sezioni, si ha
z1 + E1 = z2 + E2 + J L
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Correnti a superficie libera
Se il canale è a pendenza i costante, è z 1 − z 2 = i L, per cui
E 1 = E 2 − (i − J )L
Per le correnti a superficie libera, la cadente può essere espressa, come per
le correnti in pressione, con la formula di Darcy-Weisbach 8.32, purché quale lunghezza significativa si assuma non il diametro ma il diametro idraulico.
Essendo, per la 13.3, Di = 4Ri si ha
J =λ
V2
8g Ri
nella quale l’indice di resistenza λ è ancora esprimibile con la formula di Colebrook 8.64, introducendo un coefficiente di forma nell’argomento del logaritmo. Per gli elevati valori che nella pratica assumono sia la scabrezza che
il raggio idraulico, le correnti a superficie libera sono caratterizzate da elevati valori del numero di Reynolds, per cui, nella quasi totalità dei casi, esse si
muovono in regime di moto puramente turbolento. Pertanto, in questo tipo di
problemi è preferibile usare le formule pratiche, riconducibili tutte alla formula
di Chézy 8.74
V2
J= 2
C Ri
nella quale il coefficiente C è una quantità che ha le dimensioni della radice
quadrata di una accelerazione, il cui valore varia tra circa 30 m1/2 /s per piccoli
canali con pareti scabre a circa 90 m1/2 /s per grandi canali con superfici lisce.
13.29 In un canale a sezione rettangolare, largo 0,8 m, defluisce una portata
di 0,7 m3 /s con un’altezza di 0,35 m. Calcolare la velocità media e stabilire se
la corrente sia lenta o veloce. Quale altezza assumerebbe la corrente se il suo
carattere cinematico variasse?
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e Q la
portata, la velocità media è
Q
Q
0,7
V =
=
=
= 2,50 m/s
A
bh
0,8 × 0,35
Essendo
V
2,5
Fr = √
=√
= 1,35 > 1
gh
9,81 × 0,35
la corrente è veloce. L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo
α = 1, è
V2
2,502
E =h+
= 0,35 +
= 0,669 m
2g
2 × 9,81
A parità di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta,
la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.20, per cui
E = hL +
Q2
0,72
1
=
h
+
=
L
2
2
2
2
×
9,81
×
0,8
2gb h L
h 2L
1
= h L + 0,0390 2 = 0,669 m
hL
Publishing Group Italia, Milano
h H 0,35 m
b H 0,8 m
505
506 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
da cui
hL
(m)
F
F0
0,600
0,549
0,532
0,530
0,530
0,01416
0,00282
0,00027
0,00000
0,27720
0,16948
0,13780
0,13423
h H 0,4 m
bH1m
h 3L − 0,669h 2L + 0,0390 = 0
equazione di 3◦ grado in h L che deve avere due radici reali positive (vedi Figura
13.13), una minore e l’altra maggiore dell’altezza critica. La terza radice è
anch’essa reale, ma negativa e, pertanto, priva di significato fisico. Conoscendo
il significato fisico dell’equazione, conviene, per semplicità, cercare l’unica
radice di interesse (in questo caso, quella di corrente lenta) con un metodo
iterativo. Con il metodo di Newton, indicando con Fi e con Fi0 i valori che la
funzione e la sua derivata prima assumono alla generica iterazione i-esima, si
ha
h 3L ,i − 0,669 × h 2L ,i + 0,0390
Fi
h L ,i+1 = h L ,i − 0 = h L ,i −
Fi
3 × h 2L ,i − 2 × 0,669 × h L ,i
Assumendo come valore iniziale un valore poco inferiore a E, si ottengono i
valori riportati a fianco per cui h L = 0, 530 m.
13.30 In un canale a sezione rettangolare, largo 1 m, defluisce una corrente
con una velocità media di 4 m/s e un’altezza di 0,4 m. Calcolare (a) l’altezza critica, (b) il valore minimo dell’energia specifica, (c) l’energia specifica
della corrente e (d) l’altezza che la corrente assumerebbe se il suo carattere
cinematico variasse.
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e V la
velocità media, la portata è
Q = V A = V bh = 4 × 1 × 0,4 = 1,60 m3 /s
(a) L’altezza critica, per la 13.9, è
s
s
3
3 Q2
1,62
k=
=
= 0,639 m
2
gb
9,81 × 12
(b) Per un canale a sezione rettangolare, l’energia minima è data dalla 13.23
E min =
3
3
k = × 0,639 = 0,959 m
2
2
(c) L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo α = 1, è
E =h+
V2
42
= 0,4 +
= 1,22 m
2g
2 × 9,81
(d) La corrente è veloce perché h < k. A parità di energia specifica, se la
stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora
soddisfare la 13.20, per cui
E = hL +
Q2
1,62
1
=
h
+
=
L
2
2
2
2
×
9,81
×
1
2gb h L
h 2L
1
= h L + 0,130 2 = 1,22 m
hL
equazione di 3◦ grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell’altezza critica, cioè quella di corrente lenta. Considerato che il secondo
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Correnti a superficie libera
addendo dell’equazione dell’energia è l’altezza cinetica, che in corrente lenta
è certamente più piccola (e spesso molto più piccola) dell’altezza della corrente, in alternativa al metodo di Newton, più generale ma più laborioso, è più
conveniente risolvere l’equazione dell’energia utilizzando la formula ricorsiva
h L ,i+1 = 1,22 −
0,130
h 2L ,i
Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo
addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,13 - 1,12 - 1,12 per cui
h L = 1, 12 m.
13.31 In un canale a sezione rettangolare, largo 6 m, defluisce una portata
di 12 m3 /s di acqua a 10 ◦ C con un’altezza di 0,55 m. Stabilire se la corrente sia lenta o veloce e calcolare (a) l’altezza critica e (b) l’altezza che essa
assumerebbe se il suo carattere cinematico variasse.
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e Q la
portata, la velocità media è
V =
Q
12
Q
=
=
= 3,64 m/s
A
bh
6 × 0,55
Essendo
3,64
V
=√
= 1,57 > 1
Fr = √
gh
9,81 × 0,55
la corrente è veloce.
(a) L’altezza critica, per la 13.9, è
s
s
3
3 Q2
122
k=
=
= 0,742 m
2
gb
9,81 × 62
(b) L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo α = 1, è
E =h+
3,642
V2
= 0,55 +
= 1,23 m
2g
2 × 9,81
A parità di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta,
la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.20, per cui
E = hL +
Q2
122
1
=
h
+
=
L
2
2
2
2
×
9,81
×
6
2gb h L
h 2L
1
= h L + 0,204 2 = 1,23 m
hL
equazione di 3◦ grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell’altezza critica, cioè quella di corrente lenta. Pertanto, considerato che
il secondo addendo dell’equazione dell’energia è l’altezza cinetica, che in corrente lenta è certamente più piccola (e spesso molto più piccola) dell’altezza
della corrente, conviene risolvere utilizzando la formula ricorsiva
h L ,i+1 = 1,23 −
Publishing Group Italia, Milano
0,204
h 2L ,i
h H 0,55 m
bH6m
507
508 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo
addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,10 - 1,06 - 1,05 - 1,04 1,04 per cui h L = 1,04 m.
13.32 In un canale a sezione rettangolare, largo 4 m, defluisce in condizioni
critiche una corrente di acqua con una velocità media di 3 m/s. Calcolare la
portata.
Vc H 3 m/s
Analisi Una corrente che defluisce in condizioni critiche ha altezza d’acqua
pari all’altezza critica k e velocità media pari alla velocità critica Vc . In un
canale a sezione rettangolare vale la 13.7
p
Vc = gk
bH4m
per cui la portata critica, essendo b la larghezza del canale, è
Q c = Ac Vc = bkVc = b
4 × 33
Vc2
1
Vc = bVc3 =
= 11,0 m3 /s
g
g
9,81
13.33 In un canale a sezione circolare, del diametro di 0,5 m, defluisce una
corrente con velocità media di 2,8 m/s e altezza di 0,25 m. Stabilire se la
corrente sia lenta o veloce e calcolare la portata.
D H 0,5 m
h = 0,25 m
Analisi Essendo l’altezza h della corrente pari alla metà del diametro D, la sezione trasversale è un semicerchio di area A = π D 2 /8 e larghezza in superficie
B = D. Pertanto, essendo, per la 13.6,
Fr = √
V
V
2,8
=√
=√
= 2,02 > 1
g A/B
gπ D/8
9,81 × π × 0,5/8
la corrente è veloce. La portata è
Q =VA=V
30°
h = 1,73 m
b= 2m
π × 0,52
π D2
= 2,8 ×
= 0,275 m3 /s
8
8
13.34 In un canale a sezione trapezia, largo al fondo 2 m, con sponde inclinate di 30◦ rispetto alla verticale, defluisce una portata di 12 m3 /s, con un’altezza
di 1,73 m. Stabilire se la corrente sia lenta o veloce e calcolare la velocità
media.
Analisi Se b è la larghezza del fondo del canale, h l’altezza con cui defluisce
la corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Q la portata
e A l’area della sezione trasversale (vedi figura 13.5), la velocità media della
corrente è
V =
Q
Q
12
=
=
= 2,31 m/s
A
(b + h tan θ )h
(2 + 1,73 × tan 30◦ ) × 1,73
Essendo B la larghezza che la corrente assume in superficie, si ha
hm =
A
(b + h tan θ )h
(2 + 1,73 × tan 30◦ ) × 1,73
=
=
= 1,30 m
B
b + 2h tan θ
2 + 2 × 1,73 × tan 30◦
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per cui, essendo
Fr = √
V
2,31
=√
= 0,647 < 1
g A/B
9,81 × 1,30
la corrente è lenta.
13.35 Risolvere il problema precedente per una portata di 24 m3 /s.
Analisi A parità di area A della sezione, la velocità è direttamente proporzionale alla portata. Per cui, se la portata raddoppia, raddoppiano sia la velocità
che il numero di Froude. Pertanto, si ha
V = 2 × 2,31 = 4,62 m/s
e
Fr = 2 × 0,647 = 1,29 > 1
per cui la corrente è veloce.
Moto uniforme e sezioni di minimo costo
13.36 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, all’aumentare
della pendenza del canale, mantenendosi costante la portata, l’altezza di moto
uniforme (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?
Analisi Diminuisce. Infatti, essendo Q la portata, c l’indice di scabrezza della
formula di Gauckler-Strickler, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 il raggio
idraulico ed i la pendenza, per la 13.40, si ha
Q
2/3
A0 Ri0 = √
c i
ed essendo sia A0 che Ri0 funzioni crescenti dell’altezza di moto uniforme
h 0 , quest’ultima, mantenendo costanti la portata e la scabrezza, all’aumentare
della pendenza diminuisce.
13.37 È corretto affermare che, in una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la perdita di carico tra due sezioni può essere calcolata semplicemente moltiplicando la pendenza del canale per la distanza tra le due
sezioni?
Analisi Si. Infatti, in moto uniforme, il profilo del pelo libero e la linea
dell’energia sono paralleli al fondo e pertanto, vale la 13.33
i=J
Essendo la perdita di carico tra due sezioni pari al prodotto della cadente J per
la distanza tra le due sezioni, in moto uniforme essa è uguale al prodotto della
pendenza del canale per tale distanza.
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Correnti a superficie libera
509
510 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
13.38 Per una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la portata può
essere calcolata dalla relazione di Chézy Q = A0 C0 (Ri,0 i)1/2 . Qual è il
legame tra il coefficiente di Chézy C e l’indice di resistenza λ?
Analisi Uguagliando le espressioni della cadente 13.34 (formula di DarcyWeisbach) e 13.35 (formula di Chézy), si ha
J =λ
V2
V2
= 2
8g Ri
C Ri
da cui
r
C=
8g
λ
13.39 La sezione di minimo costo di un canale è quella che, a parità di area,
ha il raggio idraulico più piccolo o più grande?
Analisi A parità di area, la sezione di minimo costo è quella che ha il contorno
bagnato più piccolo e, quindi, il raggio idraulico più grande. Infatti, il costo di
costruzione di un canale a superficie libera si può ritenere, in linea di massima,
proporzionale alle sue dimensioni e quindi, per unità di lunghezza, all’area
della sezione trasversale. Per la 13.40, essendo
√
√
2/3
Q = c i A0 Ri0 = c i A0
A0
Cb0
2/3
√ A5/3
= c i 02/3
Cb0
a parità di area, scabrezza e pendenza, la forma della sezione che convoglia la
portata maggiore è quella a cui compete il contorno bagnato minore. Analogamente, a parità di portata da convogliare, la forma della sezione che dà luogo
all’area minore e, quindi, al minimo costo, è quella che ha il contorno bagnato
minore.
13.40 La sezione di minimo costo di un canale, a parità di area, è quella (a)
circolare, (b) rettangolare, (c) trapezoidale o (d) triangolare?
Analisi È quella circolare. Infatti, il cerchio è la figura geometrica che, a parità
di area, ha il perimetro minimo. Quindi, la sezione trasversale più conveniente
per un canale aperto è quella semicircolare.
hH b
2
b
13.41 Per un canale rettangolare, la sezione di minimo costo è quella per cui
il rapporto tra l’altezza della corrente e la larghezza del canale è (a) la metà,
(b) il doppio, (c) uguale o (d) un terzo?
Analisi Per la 13.45, una sezione rettangolare è di minimo costo se l’altezza
della corrente è pari alla metà della larghezza della sezione.
13.42 Per un canale trapezoidale con larghezza di base b, la sezione di minimo costo
√ è quella per cui la lunghezza del lato inclinato è (a) b, (b) b/2, (c)
2b o (d) 3 b?
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Analisi Per la 13.48, una sezione trapezia è di minimo costo se le sponde sono inclinate di 30◦ sulla verticale, cioè se la sezione è la metà di un esagono
regolare. Quindi, la lunghezza del lato inclinato è uguale alla base.
Correnti a superficie libera
b
hH 3 b
2
511
30°
b
13.43 Si consideri una corrente in moto uniforme in un canale le cui pareti
sono di mattoni (c = 80 m1/3 /s). Se, a causa della crescita di alghe sulle
pareti, il valore di c si dimezza, mantenendosi costanti le dimensioni della
√
sezione trasversale, la portata (a) raddoppia, (b) diminuisce di un fattore 2,
(c) rimane uguale, (d) si dimezza o (e) diminuisce di un fattore 21/3 ?
Analisi La portata si dimezza. Infatti, in moto uniforme, la portata Q, l’area
A, il raggio idraulico Ri , l’indice di scabrezza c di Gauckler-Strickler e la
pendenza i sono legate fra loro dalla 13.40
2/3 √
Q = c A0 Ri0
i
secondo la quale la portata è direttamente proporzionale a c, per cui se esso
diventa la metà, anche la portata si dimezza.
13.44 In un canale a sezione trapezia, con pareti di cemento lisciato (c =
90 m1/3 /s), largo alla base 0,6 m e con sponde inclinate di 40◦ rispetto alla
verticale, la corrente ha un’altezza di moto uniforme di 0,45 m. La pendenza
del canale è dello 0,7%. Calcolare la portata.
Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, θ l’angolo
che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della
sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi figura 13.5)
h0 H 0,45 m
θ H 40°
b H 0,6 m
A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (0,6 + 0,45 × tan 40◦ ) × 0,45 = 0,440 m2
Cb0 = b +
2h 0
2 × 0,45
= 0,6 +
= 1,78 m
cos θ
cos 40◦
Ri0 =
0,440
A0
=
= 0,247 m
Cb0
1,78
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
2/3 √
Q = c A0 Ri0
i = 90 × 0,440 × 0,2472/3 ×
p
0,007 = 1,30 m3 /s
13.45 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale a
sezione circolare, con pareti di cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), del diametro
di 2 m, con pendenza di fondo dello 0,15%, quando la sezione trasversale del
canale è piena per metà.
Analisi Per la 13.40, essendo D il diametro, h 0 = D/2 l’altezza di moto uniforme, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 = D/4 il raggio idraulico, c
l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata
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DH2m
h0 = 1 m
512 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
è
π D 2 D 2/3 √
Q=
=c
i=
8
4
2/3 p
π × 22
2
= 90 ×
×
× 0,0015 = 3,45 m3 /s
8
4
2/3 √
c A0 Ri0 i
13.46 In un canale a sezione trapezia, in muratura ordinaria (c = 65 m1/3 /s),
largo alla base 5 m, defluisce, in moto uniforme, una portata di 40 m3 /s con
un’altezza di 2,2 m alla quale corrisponde una larghezza in superficie di 10 m.
Calcolare la pendenza del canale.
B = 10 m
h0 = 2,2 m
Analisi Essendo b la larghezza alla base, B la larghezza in superficie e h 0
l’altezza d’acqua, le pareti laterali formano con la verticale un angolo
b= 5m
θ = arctan
(B − b)/2
(10 − 5)/2
= arctan
= 48,7◦
h0
2,2
per cui l’area A0 , il contorno bagnato Cb0 e il raggio idraulico della sezione
trasversale risultano (vedi Figura 13.5)
A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (5 + 2,2 × tan 48,7◦ ) × 2,2 = 16,5 m2
Cb0 = b +
2 × 2,2
2h 0
= 11,7 m
=5+
cos θ
cos 48,7◦
Ri0 =
A0
16,5
=
= 1,41 m
Cb0
11,7
Per la 13.40, se c è l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q la portata
che defluisce in condizioni di moto uniforme, la pendenza i del canale è
i=
48,7°
h0 = 2,4 m
b= 5m
Q2
4/3
c2 A20 Ri0
=
652
402
= 0,000880 = 0,088%
× 16,52 × 1,414/3
13.47 Con riferimento al problema precedente, nell’ipotesi che l’altezza d’acqua massima nella sezione sia di 2,4 m, calcolare la portata massima che può
essere convogliata nel canale.
Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, θ l’angolo
che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della
sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi Figura 13.5)
A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (5 + 2,4 × tan 48,7◦ ) × 2,4 = 18,6 m2
Cb0 = b +
2h 0
2 × 2,4
=5+
= 12,3 m
cos θ
cos 48,7◦
Ri0 =
A0
18,6
=
= 1,51 m
Cb0
12,3
c 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.
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Correnti a superficie libera
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata massima che defluisce in condizioni di moto uniforme con l’altezza massima è
p
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i = 65 × 18,6 × 1,512/3 × 0,00088 = 47,2 m3 /s
Pertanto, un aumento dell’altezza di poco inferiore al 10% comporta un aumento della portata di quasi il 20%. Ciò conferma che, in moto uniforme, la
portata aumenta più che linearmente con l’altezza (vedi Figura 13.18a).
13.48 In due canali a sezione rettangolare identici, larghi 3 m, defluisce la
stessa portata, con un’altezza di 3 m. Se i due canali vengono uniti, formando un unico canale a sezione rettangolare, largo 6 m, di quanto aumenta, in
percentuale, la portata di una corrente con altezza di 3 m, rispetto a quella che
transitava complessivamente nei due canali?
Analisi Per la 13.40, essendo b = 3 m la larghezza del canale, h 0 l’altezza
della corrente, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza, si
ha
√
A0 2/3 √
(bh 0 )5/3
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i = c A0
i =c i
Cb0
(b + 2h 0 )2/3
per cui il rapporto tra la portata Q u che transita, con la stessa altezza, nell’unico
canale di larghezza 2b e la portata 2Q che transita complessivamente nei due
canali è
Qu
1 A0u 5/3 Cb0 2/3
1 2bh 0 5/3 b + 2h 0 2/3
=
=
=
2Q
2 A0
Cb0u
2 bh 0
2b + 2h 0
3 + 2 × 3 2/3
b + 2h 0 2/3
=
=
= 1,31
b + h0
3+3
Pertanto, unendo i due canali, la portata aumenta del 31%.
Discussione Le due situazioni considerate, essendo uguale la pendenza, la scabrezza e l’area della sezione trasversale, differiscono solamente per la lunghezza del contorno bagnato. Quest’ultimo, infatti, mancando due pareti verticali,
diminuisce di 2h 0 . Diminuendo il contorno bagnato, diminuisce la resistenza
al moto e ciò, a parità di tutte le altre condizioni, comporta un aumento della
portata convogliata.
13.49 In un canale a sezione trapezia, con pareti rivestite di cemento non
lisciato (c = 75 m1/3 /s), largo alla base 5 m e con sponde inclinate di 45◦
rispetto alla verticale, defluisce, in moto uniforme, una portata di 25 m3 /s. La
pendenza del canale è dello 0,2%. Calcolare l’altezza di moto uniforme.
Q = 25 m3/s
h0
b=5m
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45°
3m
3m
3m
3m
513
514 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Analisi In una sezione trapezia, essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza
della corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si
ha
A0 = (b + h 0 tan θ )h 0
2h 0
Cb0 = b +
cos θ
A0
Ri0 =
Cb0
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i
funzione implicita dell’incognita h 0 . Per la risoluzione si può usare un qualunque metodo iterativo o, più semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione
abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo
Q
25
2/3
A0 Ri0 = √ =
= 7,454 m8/3
√
75 × 0,002
c i
si ottiene
h0
A0
Cb0
Ri0
√
Q/(c i)
(m)
(m2 )
(m)
(m)
(m8/3 )
1,00
1,20
1,30
1,27
1,26
6,00
7,44
8,19
7,96
7,89
7,83
8,39
8,68
8,59
8,56
0,766
0,886
0,944
0,927
0,921
5,025
6,865
7,881
7,569
7,467
per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 = 1,26 m.
13.50 Risolvere il problema precedente nel caso in cui il canale sia in terra
con molta vegetazione (c = 30 m1/3 /s).
Analisi Con la stessa portata e la stessa pendenza del problema precedente,
risulta
Q
25
2/3
A0 Ri0 = √ =
= 18,63 m8/3
√
30 × 0,002
c i
Assegnando ad h 0 valori di tentativo scelti opportunamente, si ottiene
h0
A0
Cb0
Ri0
√
Q/(c i)
(m)
(m2 )
(m)
(m)
(m8/3 )
2,00
2,20
2,10
2,12
14,0
15,8
14,9
15,1
10,7
11,2
10,9
11,0
1,31
1,41
1,36
1,37
16,79
19,93
18,32
18,64
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Correnti a superficie libera
515
per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 = 2,12 m.
13.51 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale
triangolare con pareti in legno piallato (c = 90 m1/3 /s), inclinate di 45◦ rispetto alla verticale, con una pendenza di fondo dello 0,5% e un’altezza di 0,4
m.
45°
h0 = 0,4 m
Analisi Essendo h 0 l’altezza della corrente, B la larghezza della sezione in
corrispondenza della superficie libera, θ l’angolo che le pareti formano con la
verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il
raggio idraulico, si ha
A0 =
B
2h 0 tan θ
h0 =
h 0 = h 20 tan θ = 0,42 × tan 45◦ = 0,16 m2
2
2
h0
0,4
=2×
= 1,13 m
cos θ
cos 45◦
0,16
A0
=
= 0,141 m
Ri0 =
Cb0
1,13
Cb0 = 2
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
p
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i = 90 × 0,16 × 0,1412/3 × 0,005 = 0,276 m3 /s
13.52 Un canale a sezione rettangolare con pareti in cemento non lisciato
(c = 75 m1/3 /s), largo 1,8 m, deve convogliare in moto uniforme una portata
di 2 m3 /s. La pendenza del canale è dello 0,15%. Calcolare l’altezza minima
delle pareti.
Analisi In un canale a sezione rettangolare, essendo b la larghezza alla base,
h 0 l’altezza della corrente, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione
trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha
A = Bh 0
Cb0 = b + 2h 0
Ri0 =
A0
Cb0
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i
funzione implicita dell’incognita h 0 . Per la risoluzione si può usare un qualunque metodo iterativo o, più semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione
abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo
2
Q
2/3
A0 Ri0 = √ =
= 0,6885 m8/3
√
75
×
0,0015
c i
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Q H 2 m3/s
h0
b H 1,8 m
516 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
si ottiene
h0
A0
Cb0
Ri0
√
Q/(c i)
(m)
(m2 )
(m)
(m)
(m8/3 )
1,00
0,80
0,70
0,71
1,80
1,44
1,26
1,28
3,80
3,40
3,20
3,22
0,474
0,424
0,394
0,397
1,094
0,812
0,677
0,690
per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 = 0,71 m. L’altezza
delle pareti deve essere maggiore di h 0 di una quantità, chiamata franco, tale
da garantire che eventuali ondulazioni in superficie siano contenute all’interno
del canale.
Q = 3 m3/s
h0 = 1 m
b = 1,5 m
45°
13.53 In un canale a sezione trapezia in terra (c = 60 m1/3 /s), largo alla
base 1,5 m e con sponde inclinate di 45◦ rispetto alla verticale, deve essere
convogliata in moto uniforme una portata di 3 m3 /s. Calcolare la pendenza da
assegnare al fondo in modo che l’altezza di moto uniforme non sia superiore a
1 m.
Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 = 1 m l’altezza della corrente,
θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato,
A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi figura
13.5)
A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (1,5 + 1 × tan 45◦ ) × 1 = 2,50 m2
Cb0 = b +
2h 0
2×1
= 4,33 m
= 1,5 +
cos θ
cos 45◦
Ri0 =
2,50
A0
=
= 0,577 m
Cb0
4,33
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, la pendenza minima da
assegnare al fondo risulta
i=
!2
Q
2/3
c A0 Ri0
=
3
60 × 2,5 × 0,5772/3
2
= 0,000833 = 0,083%
Per pendenze inferiori a tale valore l’altezza di moto uniforme risulta superiore
al valore assegnato.
13.54 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, nel canale avente
la sezione trasversale schematizzata in figura e pendenza del fondo dello 0,2%.
c 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.
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5m
1
2m
1,5 m
10 m
2
c2 H 30 m1/3/s
c1 H 70 m1/3/s
2m
Analisi Per la presenza del contorno a scabrezza diversa è opportuno suddividere il canale nelle due sottosezioni indicate in figura e calcolare la portata
totale come somma delle portate di ciascuna sottosezione. Per la sottosezione
1, composta da una sezione trapezia avente base b1 = 2 m, altezza h 1 = 1,5 m
e sponde inclinate di θ = 45◦ sormontata da una sezione rettangolare di base
b2 = 5 m e altezza h 2 = 2 m, si ha
A0 = (b1 + h 1 tan θ )h 1 + b2 h 2 = (2 + 1,5 × tan 45◦ ) × 1,5 + 5 × 2 = 15,25 m2
2h 1
2 × 1,5
+ 2 = 8,24 m
+ h2 = 2 +
cos θ
cos 45◦
A0
15,25
Ri0 =
=
= 1,85 m
Cb0
8,24
p
2/3 √
Q 1 = c1 A0 Ri0 i = 70 × 15,25 × 1,852/3 × 0,002 = 71,9 m3 /s
Cb0 = b1 +
La sottosezione 2 è una sezione rettangolare di larghezza b = 10 m e altezza
h 2 . Per cui, si ha
A0 = bh 2 = 10 × 2 = 20,0 m2
Cb0 = b + h 2 = 10 + 2 = 12,0 m
A0
20,0
=
= 1,67 m
Cb0
12,0
p
2/3 √
Q 2 = c2 A0 Ri0 i = 30 × 20,0 × 1,672/3 × 0,002 = 37,8 m3 /s
Ri0 =
Pertanto, la portata totale vale
Q = Q 1 + Q 2 = 71,9 + 37,8 = 110 m3 /s
All’intera sezione, che ha area e contorno bagnato pari alla somma delle analoghe quantità delle due sottosezioni e, quindi, raggio idraulico
Ri0 =
15,25 + 20,0
= 1,74 m
8,24 + 12,0
compete un indice di scabrezza medio
c=
Q
2/3 √
A0 Ri0 i
=
110
= 48 m1/3 /s
√
35,25 × 1,742/3 × 0,002
13.55 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme con un’altezza di
25 cm, in un canale a sezione circolare, in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s),
del diametro di 1 m, con pendenza del fondo dello 0,2%.
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517
518 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
R H 0,5 m
0,25 m
Analisi Essendo R il raggio, h 0 l’altezza della corrente, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi
Figura 13.5)
h0
0,25
θ = arccos 1 −
= arccos 1 −
= arccos 0,5 = 1,047 rad
R
0,5
A0 = R 2 (θ − sen θ cos θ ) = 0,52 × (1,047 − 0,866 × 0,5) = 0,154 m2
Cb0 = 2θ R = 2 × 1,047 × 0,5 = 1,047 m
Ri0 =
A0
0,154
=
= 0,147 m
Cb0
1,047
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
p
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i = 90 × 0,154 × 0,1472/3 × 0,002 = 0,173 m3 /s
13.56 Due canali a sezione circolare, in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s),
del diametro di 1,2 m, con pendenza del fondo dello 0,15%, confluiscono in un
terzo canale a sezione circolare, in cemento lisciato, avente la stessa pendenza.
Se i due canali sono pieni per metà della loro altezza, determinare il diametro
da assegnare al terzo canale perché funzioni anch’esso con un altezza d’acqua
pari a metà del diametro.
Analisi Per la 13.40, in un canale a sezione circolare di diametro D, se h 0 =
D/2 è l’altezza di moto uniforme, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 =
D/4 il raggio idraulico, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la
pendenza del canale, la portata è
Q=
2/3 √
c A0 Ri0 i
π D2
=c
8
D
4
2/3
√
i = K D 8/3
Pertanto, se d è il diametro dei due canali di monte e D il diametro incognito
del canale di valle, avendo i tre canali lo stesso valore di K , deve essere
2K d 8/3 = K D 8/3
da cui
D = 23/8 d = 1,30 × 1,2 = 1,56 m
valore indipendente sia dalla scabrezza che dalla pendenza dei canali.
13.57 Un canale, con pareti in cemento solo parzialmente intonacate (c =
60 m1/3 /s), deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 4 m3 /s. La
pendenza del fondo è dello 0,15%. Calcolare le dimensioni della sezione di
minimo costo quando questa è di forma (a) semicircolare, (b) rettangolare e
(c) trapezia.
Analisi (a) La sezione circolare di minimo costo è quella semicircolare piena
fino al bordo. Per la 13.40, un canale a sezione circolare di diametro D ed
c 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.
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Correnti a superficie libera
altezza di moto uniforme h 0 = D/2, essendo A0 = π D 2 /8 l’area della sezione
trasversale, Ri0 = D/4 il raggio idraulico, c l’indice di scabrezza di GaucklerStrickler e i la pendenza del canale, convoglia la portata
2/3 √
Q = c A0 Ri0
i =c
π D2
8
D
4
2/3
√
i
da cui
2/8
D=4
8Q
√
cπ i
3/8
2/8
=4
×
8×4
√
60 × π × 0,0015
3/8
= 2,46 m
e
π × 2,46
πD
=
= 3,86 m
2
2
(b) Per la 13.45, la sezione rettangolare di minimo costo è quella di larghezza
b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. Pertanto, ponendo nella 13.40
h 0 = b/2, si ha
Cb0 =

Q
2/3
√ = A0 Ri0 = bh 0
c i
bh 0
b + 2h 0
2/3
b
=b 
2
b
b
2
b+2
2/3
=

b
b2
2
2/3
b
4
2
da cui
b = 42/8
2Q
√
c i
3/8
= 42/8 ×
2×4
√
60 × 0,0015
3/8
= 2,25 m
e
Cb0 = b + 2h = b + b = 2b = 2 × 2,25 = 4,5 m
(c) Per la 13.47 e la 13.48 la sezione trapezia di minimo costo è la metà di un
esagono regolare. Per cui, essendo θ = 30◦ e h = b cos θ (vedi Figura 13.28),
l’area, il contorno bagnato e il raggio idraulico valgono, rispettivamente,
A0 = (b + h tan θ )h = (b + b sen θ )b cos θ =
√
3 3 2
= b (1 + sen 30 ) cos 30 =
b
4
2
◦
◦
2h
= b + 2b = 3b
cos θ
√
√
A0
3 3 b2
3
Ri0 =
=
=
b
Cb0
4 3b
4
Cb0 = b +
Sostituendo nella 13.40, si ha
√
3 3 2
Q
2/3
b
√ = A0 Ri0 =
4
c i
√ !2/3
3
311/6
b
= 5/3 b8/3
4
4
da cui
45/8
b = 11/16
3
Q
√
c i
3/8
45/8
= 11/16 ×
3
Publishing Group Italia, Milano
4
√
60 × 0,0015
3/8
= 1,37 m
519
520 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
e
Cb0 = 3b = 3 × 1,37 = 4,11 m
Discussione La sezione semicircolare ha il contorno bagnato minore ed è,
pertanto, la più conveniente.
13.58 Un canale a sezione rettangolare, con pendenza del fondo dello 0,05%,
deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 20 m3 /s. Calcolare la larghezza di minimo costo quando le pareti sono (a) in cemento non lisciato
(c = 75 m1/3 /s) e (b) in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s).
Analisi Per la 13.45, la sezione rettangolare di minimo costo è quella di larghezza b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. Pertanto, ponendo nella
13.40 h 0 = b/2, si ha

Q
2/3
√ = A0 Ri0 = bh 0
c i
bh 0
b + 2h 0
2/3
b
=b 
2
b
b
2
b+2
2/3

b
b2
=
2
2/3
b
4
2
da cui
2/8
b=4
2Q
√
c i
3/8
2/8
=4
×
1 2 × 20
√
c 0,0005
3/8
=
23,45
m
c3/8
Per cui, nel caso (a)
b=
23,45
= 4,65 m
753/8
b=
23,45
= 4,34 m
903/8
e nel caso (b)
Moto gradualmente e rapidamente variato. Risalto idraulico
13.59 Che differenza c’è tra moto uniforme e moto gradualmente variato?
Analisi Il moto di una corrente è uniforme se la velocità si mantiene costante
lungo ciascuna traiettoria. Perché tale condizione sia verificata deve mantenersi
costante, nella direzione del moto, la sezione trasversale e, quindi, l’altezza
d’acqua. Di conseguenza, si mantiene costante anche l’energia specifica. Per
cui, in moto uniforme, la linea dell’energia è parallela al fondo e, quindi, la
cadente J è uguale alla pendenza i del fondo. Il moto permanente di una
corrente è detto gradualmente variato se le variazioni di altezza e di velocità
nella direzione del moto sono graduali, per cui il profilo del pelo libero ha
pendenze modeste e non vi sono variazioni brusche o discontinuità. In tal caso,
l’energia specifica non si mantiene costante nella direzione del moto e, quindi,
J 6= i.
13.60 Che differenza c’è tra moto gradualmente variato e moto rapidamente
variato?
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Correnti a superficie libera
Analisi In un canale cilindrico o prismatico qualunque causa di disturbo della corrente, come la presenza di una paratoia o la variazione della pendenza
del fondo o della scabrezza, comporta la variazione dell’altezza della corrente e quindi l’allontanamento dalla condizione di moto uniforme. In tal caso
il moto è detto rapidamente variato se le variazioni dell’altezza della corrente sono grandi rispetto alla distanza in cui avvengono e gradualmente variato
nel caso contrario, cioè se le variazioni dell’altezza sono graduali. Le correnti
gradualmente variate possono essere studiate con l’approccio unidimensionale, riferendosi cioè all’altezza d’acqua ed alla velocità media nelle successive
sezioni trasversali. Ciò, invece, non è sempre possibile nello studio del moto
rapidamente variato.
13.61 Nel moto permanente di una corrente lenta in un canale orizzontale,
nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o
(c) rimane costante?
O2
h
Analisi L’altezza della corrente diminuisce nella direzione del moto. Infatti,
in un canale a pendenza nulla (i = 0), il numeratore a secondo membro della
13.54
k
i−J
dh
=
dx
1 − Fr2
i= 0
risulta sempre negativo. Se, poi, la corrente è lenta, cioè se l’altezza della
corrente è maggiore dell’altezza critica, si ha Fr < 1, per cui il denominatore a
secondo membro è sempre positivo. Quindi, in tali ipotesi, risulta dh/d x < 0,
per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h diminuisce e si stabilisce il profilo
O2 (vedi Tabella 13.2).
13.62 Nel moto permanente in un canale a debole pendenza, se l’altezza
della corrente è maggiore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto
l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?
D1
h
Analisi L’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in
un canale a debole pendenza, l’altezza di moto uniforme h 0 è maggiore dell’altezza critica k, per cui se, come nel caso in esame, l’altezza h della corrente
è maggiore di h 0 , è anche h > k e, quindi, Fr < 1. Conseguentemente, il
denominatore a secondo membro della 13.54
dh
i−J
=
dx
1 − Fr2
è positivo. Essendo, poi, h > h 0 la cadente J è minore di quella relativa alla
condizione di moto uniforme e, pertanto, J < i. Quindi, essendo positivo anche il numeratore, risulta dh/d x > 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua
h aumenta e si stabilisce il profilo D1 (vedi Tabella 13.2).
13.63 Nel moto permanente di una corrente veloce in un canale orizzontale,
nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o
(c) rimane costante?
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h0
k
i < ic
521
522 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Analisi L’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in un
canale a pendenza nulla (i = 0), il numeratore a secondo membro della 13.54
O3
k
h
risulta sempre negativo. Se, poi, la corrente è veloce, cioè se l’altezza della
corrente è minore dell’altezza critica, si ha Fr > 1, per cui il denominatore a
secondo membro è sempre negativo. Quindi, in tali ipotesi, risulta dh/d x > 0,
per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h aumenta e si stabilisce il profilo O3
(vedi Tabella 13.2).
i=0
13.64 Nel moto permanente in un canale a debole pendenza, se la corrente è
lenta ed ha altezza minore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto
l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?
D2
k
h0
dh
i−J
=
dx
1 − Fr2
Analisi L’altezza della corrente diminuisce nella direzione del moto. Infatti, se
la corrente è lenta si ha Fr < 1. Conseguentemente, il denominatore a secondo
membro della 13.54
dh
i−J
=
dx
1 − Fr2
è positivo. Essendo, poi, h < h 0 , la cadente J è maggiore di quella relativa
alla condizione di moto uniforme e, pertanto, J > i. Quindi, il numeratore
a secondo membro è negativo, per cui dh/d x < 0 e al crescere di x l’altezza
d’acqua h diminuisce dando luogo al profilo D2 (vedi Tabella 13.2).
h
i < ic
13.65 Nel moto permanente in un canale a forte pendenza, se l’altezza della
corrente è minore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto l’altezza
della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?
F3
k
h
i > ic
h0
Analisi L’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in
un canale a forte pendenza, l’altezza di moto uniforme h 0 è minore dell’altezza
critica k, per cui se, come nel caso in esame, l’altezza h della corrente è minore
di h 0 , è anche h < k e, quindi, Fr > 1. Conseguentemente, il denominatore a
secondo membro della 13.54
dh
i−J
=
dx
1 − Fr2
è negativo. Essendo, poi, h < h 0 la cadente J è maggiore di quella relativa alla
condizione di moto uniforme e, pertanto, J > i. Quindi, essendo negativo anche il numeratore, risulta dh/d x > 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua
h aumenta e si stabilisce il profilo F3 (vedi Tabella 13.2).
13.66 Perché, a volte, si fa in modo che la corrente generi un risalto idraulico? Come si misura l’efficienza di un risalto?
Analisi Ad un risalto idraulico è associata una perdita di energia che può essere
anche molto rilevante. Pertanto, quando una corrente idrica possiede energia in
eccesso, che è necessario o opportuno dissipare, si sfrutta proprio tale fenomeno. Ciò accade, in particolare, al piede di vene stramazzanti, ad esempio, dallo
sfioratore di uno sbarramento o da una briglia. In tal caso, al piede della vena
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si realizza una vasca (vasca di dissipazione) dimensionata in modo che al suo
interno si formi un risalto che fa perdere alla corrente l’energia in eccesso. La
misura dell’efficienza di un risalto è espressa dalla frazione di energia dissipata rispetto a quella posseduta. Tale frazione, al crescere del numero di Froude
Fr1 della corrente in arrivo aumenta rapidamente, passando, nel caso di canale
rettangolare, dal 10% per Fr1 ∼
= 2 al 70% per Fr1 ∼
= 9.
Correnti a superficie libera
523
80
1E
(% )
E1
40
0
1
3
5
7
9
11
Fr1
13.67 In un canale a sezione rettangolare, con pareti in cemento lisciato (c =
90 m1/3 /s), largo 3 m, con pendenza del fondo dello 0,2%, defluisce in moto
uniforme una corrente con un’altezza di 1,2 m. Determinare se, per questa
portata, il canale è a pendenza debole, forte o critica.
h0 H 1,2 m
Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, Cb0 il
contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico,
si ha
A0 = bh 0 = 3 × 1,2 = 3,60 m2
bH3m
Cb0 = b + 2h 0 = 3 + 2 × 1,2 = 5,40 m
Ri0 =
A0
3,60
=
= 0,667 m
Cb0
5,40
Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme è
2/3 √
Q = c A0 Ri0
i = 90 × 3,60 × 0,6672/3 ×
p
0,002 = 11,1 m2 /s
Essendo, per la 13.9,
s
3
k=
s
3
Q2
11,12
=
= 1,12 m < h0
gb2
9,81 × 32
il canale è a debole pendenza (per la portata Q = 11,1 m3 /s).
13.68 Calcolare l’intervallo di valori dell’altezza d’acqua per cui un canale
in cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s), con sezione rettangolare molto larga
e pendenza del fondo dello 0,7%, risulta a forte pendenza.
Analisi Per un canale a sezione rettangolare molto larga, per il quale si possa
ritenere l’altezza d’acqua h trascurabile rispetto alla larghezza b, si ha
Ri =
bh ∼
=h
b + 2h
per cui, per la 13.40, la portata di moto uniforme risulta
2/3 √
Q = c A0 Ri0
5/3 √
i = cbh 0
i
Quando la portata defluisce con altezza di moto uniforme h 0 = k la pendenza
dell’alveo viene definita critica. In tali condizioni la portata deve soddisfare
anche la 13.8
p
Q = bk gk
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h0
b
524 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Eguagliando le due relazioni e ricavando l’altezza h c = k = h 0 per la quale la
portata defluisce in condizioni di stato critico, si ottiene
3
g 3 9,81
hc = 2
=
= 0,0155 m
c i
752 × 0,007
alla quale corrisponde, per unità di larghezza, una portata critica
qc =
p
p
p
Q
= k gk = h c gh c = 0,01553/2 × 9,81 = 0,00604 m2 /s
b
Per determinare le condizioni con le quali defluisce una generica portata maggiore o minore di qc , è necessario porre a confronto l’altezza di moto uniforme
h 0 e l’altezza critica k. Se h 0 > k la corrente è lenta e, nel caso opposto, è
veloce. Dalle tre relazioni precedenti si ha
√
Q
k gk
g 1/2
5/3
1/6
h 0 = √ = √ = k 3/2 √
= k 3/2 h c
cb i
c i
c i
da cui, dividendo ambo i membri per k 5/3
5/3 1/6
hc
h0
=
k
k
Per cui, per tutte le portate minori di qc , per le quali k < h c = 0,0155 m,
poiché il rapporto h 0 /k > 1 (cioè h 0 > k), la corrente è lenta e il canale
è a debole pendenza. Viceversa, per le portate maggiori di qc , per le quali
k > h c = 0,0155 m, si ha h 0 < k e, pertanto, la corrente uniforme è veloce
e il canale è a forte pendenza. Essendo l’altezza di moto uniforme crescente
al crescere della portata, alle portate q < qc per le quali il canale risulta a
debole pendenza competono altezze h 0 < h c e, viceversa, alle portate q > qc
per le quali il canale risulta a forte pendenza competono altezze h 0 > h c .
Ne consegue che il canale risulta a forte pendenza per tutte le altezze di moto
uniforme maggiori di h c = 0,0155 m.
1E
V1 = 9 m/s
h2
h1 = 1,2 m
1
V2
13.69 In un canale a sezione rettangolare, largo 8 m, a valle di una paratoia
si forma un risalto. A monte del risalto, la corrente ha un’altezza di 1,2 m e una
velocità media di 9 m/s. Calcolare (a) l’altezza della corrente e il numero di
Froude subito a valle del risalto, (b) la perdita di carico e l’efficienza del risalto
e (c) l’energia meccanica dissipata.
Analisi (a) Essendo
2
V1
9
Fr1 = √
=√
= 2,62
gh 1
9,81 × 1,2
per la 13.66, è
q
p
1,2 h1
2
−1 + 1 + 8Fr1 =
× −1 + 1 + 8 × 2,622 = 3,89 m
h2 =
2
2
e, quindi, essendo per la continuità Q = V1 h 1 = V2 h 2
V2
h 1 V1
1,2
9
Fr2 = √
=
=
×√
= 0,449
√
h 2 gh 2
3,89
gh 2
9,81 × 3,89
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Correnti a superficie libera
525
(b) Il risalto è un fenomeno localizzato. Pertanto, la differenza tra le quota
di fondo delle sezioni subito a monte e subito a valle del risalto è trascurabile. Conseguentemente, la perdita di carico coincide con la perdita di energia
specifica, che per la 13.67, risulta
1E =
(h 2 − h 1 )3
(3,89 − 1,2)3
=
= 1,04 m
4h 1 h 2
4 × 1,2 × 3,89
L’efficienza del risalto, cioè la frazione di energia dissipata rispetto a quella
posseduta, è espressa dalla 13.69
1+
1E
=1−
E1
h1
h2
Fr21
2
h1
h2
3
Fr2
1+ 1
2
1+
! =1−
2,622
×
2
1,2
3,89
3
1,2
2,622
× 1+
3,89
2
! = 0,195
(c) Essendo il carico l’energia meccanica dell’unità di peso di fluido, l’energia
meccanica dissipata in un certo intervallo di tempo è pari al prodotto della
perdita di carico per il peso del fluido transitato in quell’intervallo di tempo.
Pertanto, l’energia dissipata dal risalto nell’unità di tempo (cioè la potenza
dissipata) è pari al prodotto della perdita di carico per la portata in peso, per
cui, essendo ρ = 1 000 kg/m3 la densità dell’acqua, si ha
Pd = ρg Q1E = ρgbh 1 V1 1E =
= 1 000 × 9,81 × 8 × 1,2 × 9 × 1,04 = 881 kW
13.70 Calcolare la perdita di carico che si ha in un risalto in un canale molto
largo, a monte del quale la corrente ha un’altezza di 35 cm e una velocità media
di 12 m/s.
1E
Analisi Essendo
V1
12
Fr1 = √
=√
= 6,48
gh 1
9,81 × 0,35
per la 13.66, è
q
p
h1
0,35 2
−1 + 1 + 8Fr1 =
× −1 + 1 + 8 × 6,482 = 3,04 m
h2 =
2
2
e, per la 13.67,
1E =
(h 2 − h 1 )3
(3,04 − 0,35)3
=
= 4,57 m
4h 1 h 2
4 × 0,35 × 3,04
13.71 In un canale a sezione rettangolare, in un risalto l’altezza della corrente passa da 0,6 m a 3 m. Calcolare la velocità media e il numero di Froude a
monte e a valle del risalto e la percentuale di energia dissipata.
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V1 = 12 m/s
h2
h1 = 0,35 m
1
2
V2
526 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
1E
V2
h2 = 3 m
V1
h1 = 0,6 m
1
2
Analisi Essendo, per la 13.66
v "
# v
#
u
u "
2
2
u 1 2h 2
u1
2×3
t
t
Fr1 =
+1 −1 =
+ 1 − 1 = 3,87 m
8
h1
8
0,6
a monte del risalto, per la 13.6, la velocità media della corrente è
p
p
V1 = Fr1 gh 1 = 3,87 × 9,81 × 0,6 = 9,39 m/s
Essendo, per la continuità, Q = V1 A1 = V2 A2 , a valle del risalto la corrente
ha velocità media
V2 = V1
h1
9,39 × 0,6
=
= 1,88 m/s
h2
3
per cui
V2
1,88
1,88
Fr2 = √
=√
=√
= 0,347
gh 2
gh 2
9,81 × 3
Per la 13.69, la frazione di energia dissipata è
Fr2 h 1 3
0,6 3
3,872
1+ 1
1+
×
1E
2 h2
2
3
! =1−
! = 0,376
=1−
2
E1
Fr1
h1
0,6
3,872
1+
× 1+
h2
2
3
2
pari a più di un terzo dell’energia meccanica posseduta dalla corrente a monte.
13.72 In un canale a sezione rettangolare defluisce una portata di 70 m3 /s.
Un risalto si localizza tra un’altezza di 0,5 m e una di 4 m. Calcolare la potenza
meccanica dissipata nel risalto.
1E
Analisi Per la 13.67, l’energia specifica dissipata nel risalto è
1E =
V2
Q = 70
m3/s
h2 = 4 m
h1 = 0,5 m
1
2
(4 − 0,5)3
(h 2 − h 1 )3
=
= 5,36 m
4h 1 h 2
4 × 0,5 × 4
La potenza meccanica dissipata nel risalto, cioè l’energia meccanica dissipata
nell’unità di tempo di tempo, è pari al prodotto dell’energia specifica dissipata
per il peso del fluido transitato nell’unità di tempo, cioè per la portata in peso.
Per cui, essendo ρ = 1 000 kg/m3 la densità dell’acqua, si ha
Pd = ρg Q1E = 1 000 × 9,81 × 70 × 5,36 = 3 680 kW
13.73 A valle di un risalto, la corrente ha un’altezza di 2 m e una velocità
media di 3 m/s. Calcolare l’altezza e la velocità media a monte del risalto e la
percentuale di energia dissipata.
Analisi Ipotizzando che il canale sia a sezione rettangolare, la 13.63
h1 + h2 =
2k 3
h1h2
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Correnti a superficie libera
consente, nota una delle due altezze coniugate, di determinare l’altra. In particolare, moltiplicando ambo i membri per h 1 e dividendo per h 22 , si ottiene
h1
h2
2
k3
h1
−2 3 =0
+
h2
h2
che, introducendo il numero di Froude Fr2 della corrente a valle del risalto
Fr2 =
diviene
V22
k3
1 Q2
=
=
gh 2
gh 2 b2 h 22
h 32
h2
h1 =
2
−1 +
q
1 + 8Fr22
Per cui, essendo
V2
3
Fr2 = √
=√
= 0,677
gh 2
9,81 × 2
risulta
p
2
−1 + 1 + 8 × 0,6772 = 1,16 m
2
Essendo, per la continuità, Q = V1 A1 = V2 A2 , il numero di Froude della
corrente a monte del risalto è
h1 =
V1
3
h 2 V2
2
= 1,53
Fr1 = √
×√
=
=
√
h 1 gh 1
1,16
gh 1
9,81 × 1,16
Per la 13.69, la frazione di energia dissipata è
Fr2 h 1 3
1,532
1,16 3
1+ 1
1+
×
1E
2 h2
2
2
! =1−
! = 0,0242
=1−
2
E1
Fr1
h1
1,16
1,532
1+
× 1+
h2
2
2
2
Discussione Essendo il numero di Froude a monte poco superiore a 1, il risalto
è molto debole. Pertanto, la percentuale di energia dissipata è molto piccola.
Regolazione e misura della portata
13.74 Com’è definito il coefficiente di efflusso µ di una paratoia? Da quali
parametri dipende il suo valore?
Analisi In tutti i processi di efflusso la portata è proporzionale al prodotto dell’area di efflusso per la velocità torricelliana conseguente a un’altezza h opportunamente scelta. Il coefficiente di proporzionalità, dipendente soprattutto
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1E
V2 = 3 m/s
V1
equazione di secondo grado la cui radice positiva è
s
!
h1
1
k3
=
−1 + 1 + 8 3
h2
2
h2
527
h1
1
h2 = 2 m
2
528 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
dalla geometria del campo di moto, è chiamato coefficiente di efflusso. Anche nell’efflusso da una paratoia, il coefficiente di efflusso µ è il rapporto tra
la portata effluente e il prodotto dell’area della luce (larghezza b e apertura a)
per la velocità torricelliana dell’altezza h della corrente a monte della paratoia,
come espresso dalla 13.71
p
Q = µab 2gh
La portata può essere calcolata anche esprimendo l’eguaglianza tra l’energia
della corrente nella sezione a monte della paratoia e l’energia nella sezione
contratta, nell’ipotesi che le perdite tra le due sezioni siano nulle. Si ottiene
cosı̀ la 13.70
s
2gh
Q = Cc ab
1 + aCc / h
nella quale Cc è il coefficiente di contrazione. Eguagliando le due espressioni,
si ha la 13.72
Cc
µ= r
aCc
1+
h
secondo la quale il coefficiente di efflusso dipende dal coefficiente di contrazione e dal rapporto h/a, tendendo a Cc per h/a che tende all’infinito.
13.75 La portata derivata da un serbatoio in un canale rettangolare, largo 5
m, viene regolata tramite una paratoia piana verticale. Il livello nel serbatoio
è di 14 m rispetto al fondo del canale e la paratoia lascia aperta una luce di
altezza 1 m. Calcolare la portata quando l’altezza della corrente a valle della
paratoia è di 3 m.
h H 14 m
Analisi Per la 13.71
h2 H 3 m
aH1m
p
Q = µab 2gh
in cui, essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di efflusso è funzione
sia di h/a che di h 2 /a. Essendo h/a = 14/1 = 14 e h 2 /a = 3/1 = 3, dal
grafico di Figura 13.55 risulta µ = 0,59 e pertanto
p
p
Q = µab 2gh = 0,59 × 1 × 5 × 2 × 9,81 × 14 = 48,9 m3 /s
Discussione Pur essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di contrazione ha lo stesso valore che compete all’efflusso di una vena libera perché il
rapporto h 2 /a è piccolo (vedi Figura 13.55).
13.76 In un canale a sezione rettangolare, largo 5 m, è inserita una paratoia
piana verticale che lascia aperta sul fondo una luce di 0,75 m. Calcolare la
portata, quando l’altezza della corrente a monte della paratoia è di 2 m.
hH2m
sezione contratta
a H 0,75 m
aCc
Analisi Trattandosi di efflusso libero da paratoia piana verticale, il coefficiente
di efflusso può essere calcolato con la 13.74
µ=
0,61
0,61
= 0,550
a =
0,75
1 + 0,29
1
+
0,29
×
h
2
c 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.
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Correnti a superficie libera
529
o letto dal grafico di Figura 13.55, che per h/a = 2/0,75 = 2,67 fornisce
µ = 0,52. Utilizzando il primo valore, per la 13.71 si ha
p
p
Q = µab 2gh = 0,550 × 0,75 × 5 × 2 × 9,81 × 2 = 12,9 m3 /s
13.77 A monte di una paratoia piana verticale, che lascia aperta sul fondo
una luce di 0,3 m, l’altezza della corrente è di 1,5 m. Calcolare la portata
per unità di larghezza e il numero di Froude in corrispondenza della sezione
contratta.
Analisi Trattandosi di efflusso libero da paratoia piana verticale, il coefficiente
di efflusso può essere calcolato con la 13.74
µ=
0,61
= 0,577
a =
0,3
1 + 0,29
1 + 0,29 ×
h
1,5
h H 1,5 m
sezione contratta
0,61
a H 0,3 m
aCc
o letto dal grafico di Figura 13.55, che per h/a = 1,5/0,3 = 5 fornisce µ =
0,56. Utilizzando il primo valore, per la 13.71 la portata per unità di larghezza
risulta
p
p
Q
= µa 2gh = 0,577 × 0,3 × 2 × 9,81 × 1,5 = 0,939 m2 /s
b
q=
Per calcolare il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta
è necessario calcolare l’altezza d’acqua h c in corrispondenza di tale sezione.
Essendo h c = aCc , il calcolo è immediato se è noto il valore del coefficiente di
contrazione. Dalla 13.72, noto il coefficiente di efflusso, si ottiene l’equazione
di secondo grado in Cc
aCc
2
2
Cc − µ 1 +
=0
h
la cui radice positiva fornisce Cc = 0,61. Pertanto, essendo h c = 0,3×0,61 =
0,183 m, il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta risulta
q
0,939
Vc
= √
=
= 3,83
Frc = √
√
gh c
h c gh c
0,183 × 9,81 × 0,183
13.78 Risolvere il problema precedente per il caso in cui l’efflusso sia rigurgitato con un’altezza della corrente a valle di 1 m.
Analisi Per la 13.71
p
Q = µab 2gh
in cui, essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di efflusso è funzione
sia di h/a che di h 2 /a. Essendo h/a = 1,5/0,3 = 5 e h 2 /a = 1/0,3 =
3,3, dal grafico di Figura 13.55, per interpolazione, si può porre µ = 0,42 e,
pertanto, la portata per unità di larghezza risulta
q=
p
p
Q
= µa 2gh = 0,42 × 0,3 × 2 × 9,81 × 1,5 = 0,684 m2 /s
b
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h H 1,5 m
h2 H 1 m
a H 0,3 m
530 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Per calcolare il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta
bisognerebbe conoscere l’altezza d’acqua in corrispondenza di tale sezione.
La vena effluente, pur essendo sommersa, ha ancora altezza h c = aCc uguale a quella del problema precedente, essendo rimasta immutata la geometria
del campo di moto. Ma, poiché l’efflusso è rigurgitato, essa è sovrastata da
un’altezza d’acqua incognita. Se l’effetto di tale altezza d’acqua si potesse
considerare trascurabile, essendo h c = 0,3 × 0,61 = 0,183 m, il numero di
Froude in corrispondenza della sezione contratta risulterebbe
Vc
q
0,684
= 2,79
= √
=
Frc = √
√
gh c
h c gh c
0,183 × 9,81 × 0,183
13.79 Cos’è uno stramazzo a spigolo vivo? Come vengono classificati gli
stramazzi a spigolo vivo?
Analisi Uno stramazzo a spigolo vivo è un dispositivo per la misura della portata delle correnti a superficie libera. Esso è costituito da una parete verticale
ortogonale alla direzione del moto, che lascia aperta superiormente una luce.
Il bordo della luce è a spigolo vivo in modo da favorire il distacco della vena
liquida dal bordo al quale tenderebbe ad aderire per effetto delle forze di adesione liquido-solido. Gli stramazzi a spigolo vivo vengono classificati in base
alla forma della luce (rettangolare, trapezia, triangolare, circolare, ecc.).
13.80 Calcolare la portata in un canale a sezione rettangolare, largo 4 m, in
cui è inserito uno stramazzo Bazin alto 0,75 m, a monte del quale l’altezza
della corrente è 1,55 m.
hs H 0,80 m
Analisi Essendo h s = 0,80 m il carico sullo stramazzo, per la 13.80 il carico
efficace è
h e = h s + 0,0011 = 0,80 + 0,0011 = 0,801 m
a = 0,75 m
per cui, per la 13.79, essendo a = 0,75 m l’altezza del petto dello stramazzo,
il coefficiente di efflusso è
µs = 0,402 + 0,054
he
0,801
= 0,402 + 0,054 ×
= 0,460
a
0,75
Per la 13.77, essendo b = 4 m la larghezza della base dello stramazzo, la
portata è
p
Q = µs bh e 2gh e =
p
= 0,460 × 4 × 0,801 × 2 × 9,81 × 0,801 = 5,84 m3 /s
13.81 In un canale a sezione rettangolare, largo 3 m, è inserito uno stramazzo
Bazin. La portata massima nel canale è di 4 m3 /s e a monte dello stramazzo
l’altezza della corrente non deve superare 1,5 m. Calcolare l’altezza del petto
dello stramazzo.
h H 1,50 m
a
Analisi Per la 13.77, si ha
p
Q
4
µs h e h e = √ =
= 0,301 m3/2
√
b 2g
3 × 2 × 9,81
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Correnti a superficie libera
nella quale, per la 13.79
µs = 0,402 + 0,054
he
a
essendo a l’altezza incognita del petto dello stramazzo ed h e il carico efficace.
Per la 13.80
h s = h e − 0,0011
in cui h s è il carico sullo stramazzo. Quest’ultimo è pari alla differenza tra
l’altezza h m = 1,50 m della corrente a monte dello stramazzo e il petto a dello
stramazzo, per cui
a = h m − h s = h m − h e + 0,0011 = 1,50 − h e + 0,0011 = 1,5011 − h e
Sostituendo nella prima equazione, si ottiene
he
3/2
0,402 + 0,054
h e = 0,301 m3/2
1,5011 − h e
relazione che conviene risolvere per successive approssimazioni. Considerato
che il secondo addendo del termine in parentesi è molto più piccolo del primo, si può assumere come valore iniziale quello che si ottiene trascurando tale
addendo e utilizzare la formula ricorsiva

2/3

h e,i+1 = 

0,301
0,402 + 0,054 ×
h e,i
1,5011 − h e,i



Procedendo in tal modo, si ottengono i valori 0,8246 - 0,7453 - 0,7589 - 0,7568
- 0,7571 - 0,7571 per cui si può assumere h e = 0,7571 m. Conseguentemente,
risulta
a = 1,5011 − h e = 1,5011 − 0,7571 = 0,744 m
13.82 Calcolare la portata effluente da uno stramazzo triangolare con angolo
di apertura di 60◦ . quando il carico sullo stramazzo è di 1,0 m.
30°
Analisi Essendo h s = 1,0 m il carico sullo stramazzo e θ = 30◦ l’angolo di
apertura rispetto alla verticale, per la 13.83 si ha
hs H 1 m
p
8
5/2
µ tan θ 2g h s =
15
p
8
=
× 0,6 × tan 30◦ × 2 × 9,81 × 15/2 = 0,818 m3 /s
15
Q=
13.83 Nel passaggio di una corrente lenta sopra una soglia, in assenza di
perdite, l’altezza della corrente sulla soglia aumenta, diminuisce o si mantiene
costante?
Analisi Nel passaggio di una corrente lenta sopra una soglia, se la corrente è
dotata di energia sufficiente a farle superare l’ostacolo (cioè se l’energia specifica sulla soglia è maggiore dell’energia minima), il profilo in corrispondenza
della soglia si deprime leggermente.
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h1
h
V
a
531
532 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
h
k
Analisi Sulla soglia l’energia specifica della corrente diminuisce per l’innalzamento del fondo. Finché la differenza tra l’energia a monte della soglia e
l’altezza della soglia è superiore al valore minimo che l’energia specifica deve
avere perché la portata assegnata attraversi la sezione in corrispondenza della
soglia, la presenza della soglia causa solo un leggero abbassamento del profilo
se la corrente è lenta e un aumento dell’altezza d’acqua se essa è veloce. Al
crescere dell’altezza della soglia, l’energia specifica sulla soglia raggiunge il
valore minimo per la portata assegnata e, pertanto, la corrente sulla soglia è in
stato critico. Se l’altezza della soglia aumenta ulteriormente, la corrente non
ha energia sufficiente a superare l’ostacolo. In tal caso, a monte della soglia la
corrente è costretta a rigurgitare per dissipare meno energia e presentarsi, cosı̀,
davanti alla soglia con l’energia minima sufficiente per superare l’ostacolo.
Pertanto, sulla soglia si ha ancora stato critico.
a
h H 1,20 m
13.84 Nel passaggio di una corrente sopra una soglia, l’energia specifica sulla soglia diminuisce all’aumentare dell’altezza della soglia. Qual è il carattere
cinematico della corrente quando l’energia raggiunge il valore minimo?
h1
V H 1,5 m/s
a H 0,20 m
13.85 In un canale a sezione rettangolare molto larga la corrente passa sopra
una soglia alta 20 cm. A monte della soglia, l’altezza della corrente è di 1,2 m
e la velocità media di 1,5 m/s. Determinare l’altezza della corrente sulla soglia.
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 1,2 m l’altezza della corrente
e V = 1,5 m/s la velocità media, la portata è Q = bhV . Per cui, per la 13.9,
l’altezza critica è
s
s
s
3 (1,2 × 1,5)2
3 (hV )2
3 (bhV )2
k=
=
=
= 0,691 m
g
9,81
gb2
Per la 13.23, l’energia minima è
3
3
k = × 0,691 = 1,04 m
2
2
L’energia E della corrente a monte della soglia è
E min =
E =h+
V2
1,52
= 1,2 +
= 1,31 m
2g
2 × 9,81
e pertanto, essendo E − a = 1,31 − 0,20 = 1,11 > 1,04 = E min , la corrente
ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve
soddisfare la 13.87
h 31 − (E − a) h 21 +
V2 2
h =0
2g
che diviene
h 31 − 1,11 h 21 +
(1,5 × 1,2)2
= h 31 − 1,11 h 21 + 0,165 = 0
2 × 9,81
equazione di 3◦ grado di cui interessa determinare solo la radice maggiore di
k in quanto la corrente a monte della soglia è lenta (perché h > k). Pertanto,
dividendo per h 21 , si può utilizzare la formula ricorsiva
h 1,i+1 = 1,11 −
0,165
h 21,i
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Correnti a superficie libera
533
Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo
addendo a secondo membro, si ottengono i valori 0,976 - 0,937 - 0,922 - 0,916
- 0,913 - 0,912 - 0,912, per cui h 1 = 0,912 m.
13.86 In un canale a sezione rettangolare molto larga, la corrente defluisce in
moto uniforme con un’altezza di 0,8 m e una velocità media di 5 m/s. Calcolare
l’altezza della corrente in corrispondenza di una soglia alta 20 cm.
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 0,8 m l’altezza della corrente
e V = 5 m/s la velocità media, la portata è Q = bhV . Per cui, per la 13.9,
l’altezza critica è
s
s
s
3 (0,8 × 5)2
3 (hV )2
3 (bhV )2
k=
=
=
= 1,18 m
2
g
9,81
gb
h1
h H 0,8 m
V H 5 m/s
a H 0,20 m
soglia
Per la 13.23, l’energia minima è
E min =
3
3
k = × 1,18 = 1,77 m
2
2
L’energia E della corrente a monte della soglia è
E =h+
V2
52
= 0,8 +
= 2,07 m
2g
2 × 9,81
e, pertanto, essendo E − a = 2,07 − 0,20 = 1,87 > 1,77 = E min , la corrente
ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve
soddisfare la 13.87
h 31 − (E − a) h 21 +
V2 2
h =0
2g
che diviene
h 31 − 1,87 h 21 +
(5 × 0,8)2
= h 31 − 1,87 h 21 + 0,815 = 0
2 × 9,81
equazione di 3◦ grado di cui interessa determinare solo la radice minore di k
in quanto la corrente a monte della soglia è veloce (perché h < k). Considerato che il secondo addendo dell’equazione dell’energia è l’altezza cinetica, che
in corrente veloce è dello stesso ordine di grandezza o più grande dell’altezza della corrente, non è possibile procedere come nel problema precedente in
quanto si otterrebbe solo la radice maggiore di k, cioè quella di corrente lenta.
Conviene, quindi, usare il metodo di Newton. Si ha, pertanto,
h 1,i+1 = h 1,i −
Fi
= h 1,i −
Fi0
h 31,i
− 1,87h 21,i + 0,815
3 h 21,i − 2 × 1,87 h 1,i
in cui Fi e Fi0 sono i valori che la funzione e la sua derivata prima assumono
alla generica iterazione i-esima. Assumendo come valore iniziale il valore che
l’altezza d’acqua assume a monte della soglia, si ottengono i valori riportati a
fianco, per cui h 1 = 0,932 m.
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h 1,i
(m)
F
F0
0,800
0,921
0,932
0,932
0,932
0,13020
0,00961
0,00010
0,00000
-1,0720
-0,8990
-0,8795
-0,8793
534 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
13.87 Su quale principio si basa il funzionamento degli stramazzi a larga
soglia?
Analisi Lo stramazzo a larga soglia è una soglia rettangolare di altezza tale
da costringere la corrente a rigurgitare verso monte per recuperare l’energia
che le manca per superare l’ostacolo. In tali condizioni, a monte della soglia
la corrente è sicuramente lenta, mentre sulla soglia passa per lo stato critico.
Misurando l’altezza della corrente in una sezione sufficientemente a monte della soglia ed esprimendo l’eguaglianza dell’energia tra la sezione di misura e la
sezione in stato critico sulla soglia in cui l’energia è minima, si ottiene un’equazione di terzo grado nell’altezza critica k che risolta consente di determinare la
portata. Se il rigurgito causato dalla soglia è tale da potere ritenere trascurabile l’altezza cinetica della corrente a monte di essa, la portata è espressa dalla
relazione 13.91
p
Q = µs bh s 2gh s
in cui h s è l’altezza d’acqua nella sezione di misura, riferita al piano della
soglia, b è la larghezza del canale e µs = 0,385 il coefficiente d’efflusso dello
stramazzo.
h H 1,6 m
aH 1 m
k
13.88 In un canale rettangolare largo 5 m è inserito uno stramazzo a larga
soglia alto 1 m, a monte del quale l’altezza della corrente è 1,6 m. Calcolare la
portata.
Analisi Essendo h s = h − a = 1,6 − 1 = 0,6 m il carico sullo stramazzo e
b = 5 m la larghezza del canale, per la 13.91 si ha
p
p
Q = µs bh s 2gh s = 0,385 × 5 × 0,6 × 2 × 9,81 × 0,6 = 3,96 m3 /s
Riepilogo
13.89 In un canale a sezione trapezia con larghezza al fondo di 4 m e sponde inclinate di 45◦ defluisce, in moto uniforme, una portata di 18 m3 /s con
un’altezza di 0,6 m. Determinare se la corrente sia lenta o veloce.
Q = 18 m3/s
45°
h0 = 0,6 m
b=4m
Analisi Essendo b = 4 m la larghezza del fondo, h = 0,6 m l’altezza della
corrente, θ = 45◦ l’angolo che le pareti laterali formano con la verticale, l’area
A della sezione e la larghezza in superficie B risultano (vedi Figura 13.5),
rispettivamente,
A = (b + h tan θ ) h = (4 + 0,6 × tan 45◦ ) × 0,6 = 2,76 m2
B = b + 2h tan θ = 4 + 2 × 0,6 × tan 45◦ = 5,20 m
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Essendo
V =
Correnti a superficie libera
Q
18
=
= 6,52 m/s
A
2,76
e, per la 13.6,
Fr = √
V
6,52
= 2,86 > 1
=√
g A/B
9,81 × 2,76/5,20
la corrente è veloce.
13.90 In un canale a sezione rettangolare largo 2 m defluisce una portata di
8 m3 /s. Calcolare l’altezza d’acqua al di sotto della quale la corrente diventa
veloce.
Q H 8 m3/s
Analisi Essendo l’altezza critica
s
s
3
3 Q2
82
=
= 1,18 m
k=
2
gb
9,81 × 22
la corrente è veloce per tutti i valori di altezza inferiori a 1,18 m.
bH2m
13.91 Determinare il carattere cinematico di una corrente con velocità media
di 4 m/s e altezza (a) 0,2 m, (b) 2 m e (c) 1,63 m.
Analisi Essendo
(a)
Fra = √
4
V
= 2,86 > 1
=√
gh a
9,81 × 0,2
(b)
V
4
Frb = √
=√
= 0,903 < 1
gh b
9,81 × 2
(c)
V
4
= 1,00
Frc = √
=√
gh c
9,81 × 1,63
nel caso (a) la corrente è veloce, nel caso (b) è lenta e nel caso (c) è critica.
13.92 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, con un’altezza di
0,9 m in un canale a sezione rettangolare, largo 1,5 m, con pendenza del fondo
dell’1% e scabrezza c = 80 m1/3 /s.
Analisi Essendo b = 1,5 m la larghezza della sezione, h 0 = 0,9 m l’altezza
di moto uniforme, c = 80 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler,
i = 0,01 la pendenza del canale, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il
raggio idraulico, per la 13.40 la portata che defluisce in moto uniforme è
2/3
√
bh 0
2/3 √
Q = c A0 Ri0 i = cbh 0
i=
b + 2h 0
2/3 p
1,5 × 0,9
= 80 × 1,5 × 0,9 ×
× 0,01 = 5,95 m3 /s
1,5 + 2 × 0,9
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h0 H 0,9 m
b H 1,5 m
535
536 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
13.93 Un canale a sezione trapezia, con larghezza al fondo di 4 m e sponde
inclinate di 60◦ rispetto alla verticale, ha pendenza del fondo dello 0,1% e
pareti di mattoni (c = 80 m1/3 /s). Calcolare la portata che defluisce nel canale
con un’altezza di moto uniforme di 2 m.
2m
60°
4m
Analisi Essendo b = 4 m la larghezza del fondo, h 0 = 2 m l’altezza di moto
uniforme, θ = 60◦ l’angolo che le sponde formano con la verticale, l’area
A0 della sezione trasversale, il contorno bagnato Cb0 e il raggio idraulico Ri0
risultano (vedi figura 13.5), rispettivamente,
A0 = (b + h 0 tan θ ) h 0 = (4 + 2 × tan 60◦ ) × 2 = 14,9 m2
Cb0 = b +
2h 0
2×2
=4+
= 12,0 m
cos θ
cos 60◦
Ri0 =
A0
14,9
=
= 1,24 m
Cb0
12,0
Essendo c = 80 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i = 0,001
la pendenza del canale, per la 13.40 la portata di moto uniforme è
2/3 √
Q = c A0 Ri0
i = 80 × 14,9 × 1,242/3 ×
p
0,001 = 43,7 m3 /s
13.94 Un collettore a sezione circolare in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s),
del diametro di 2 m, deve convogliare una portata di 12 m3 /s. Calcolare la
pendenza del fondo affinché l’altezza di moto uniforme non superi 1,5 m.
R=1m
h0 = 1,5 m
Analisi In un canale a sezione circolare di diametro D = 2 m, essendo h 0 =
1,5 m l’altezza di moto uniforme, l’area della sezione trasversale A0 , il contorno bagnato Cb0 e il raggio idraulico Ri0 , essendo
2h 0
2 × 1,5
2π
θ = arccos 1 −
= arccos 1 −
=
D
2
3
risultano (vedi figura 13.5), rispettivamente,
D2
22
A0 =
(θ − sen θ cos θ ) =
×
4
4
Cb0 = 2
2π
2π
2π
− sen
× cos
3
3
3
= 2,53 m2
D
2 2π
θ =2× ×
= 4,19 m
2
2
3
Ri0 =
A0
2,53
=
= 0,603 m
Cb0
4,19
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Correnti a superficie libera
Essendo c = 90 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q =
12 m3 /s la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, per la 13.40,
la pendenza i del canale è
!2 2
Q
12
i=
= 0,00545
=
2/3
90 × 2,53 × 0,6032/3
c A0 R
i0
13.95 Un canale a sezione rettangolare con pareti di cemento non lisciato
(c = 75 m1/3 /s) deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 5,4 m3 /s.
Calcolare la larghezza del canale cui corrisponde il minimo costo quando la
pendenza del fondo è (a) dello 0,15% e (b) dello 0,60%.
Analisi Per la 13.45 la sezione rettangolare di minimo costo è quella che ha
larghezza b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. La 13.40, ponendo
h 0 = b/2 diviene
Q
2/3
√ = A0 Ri0 = bh 0
c i
bh 0
b + 2h 0
2/3

b 2/3
b2 b 2/3
b b2 
=
=b 

b
2
2 4
b+2
2
da cui
2/3
b= 4
2Q
√
c i
3/8
2/3
= 4
2 × 5,4
1
×
×√
75
i
3/8
= 0,684 ×
1
√
i
3/8
Per cui:
(a)
ba = 0,684 ×
1
√
0,0015
3/8
1
√
0,0060
3/8
= 2,31 m
(b)
bb = 0,684 ×
= 1,78 m
13.96 Risolvere il problema precedente per un canale a sezione trapezia. a
Analisi Per la 13.47 e la 13.48 la sezione trapezia di minimo costo è la metà
di un esagono regolare. Per cui, essendo θ = 30◦ e h = b cos θ (vedi Figura
13.28), l’area, il contorno bagnato e il raggio idraulico valgono, rispettivamente,
A0 = (b + h tan θ )h = (b + b sen θ )b cos θ =
√
3 3 2
= b (1 + sen 30 ) cos 30 =
b
4
2
◦
2h
= b + 2b = 3b
cos θ
√
√
A0
3
3 3 b2
Ri0 =
=
=
b
Cb0
4 3b
4
Cb0 = b +
Publishing Group Italia, Milano
◦
537
538 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Sostituendo nella 13.40, si ha
√
3 3 2
Q
2/3
b
√ = A0 Ri0 =
4
c i
√
3
b
4
!2/3
311/6 8/3
b
45/3
=
da cui
b=
45/8
311/16
Q
√
c i
3/8
=
45/8
×
311/16
5,4
1
×√
75
i
3/8
= 0,417 ×
1
√
i
3/8
Per cui:
(a)
ba = 0,417 ×
1
√
0,0015
3/8
1
√
0,0060
3/8
= 1,41 m
(b)
bb = 0,417 ×
= 1,09 m
13.97 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, nel canale con la
sezione trasversale composita di figura, se la pendenza del fondo è dello 0,9%.
6m
10 m
1m
1m
c1 H 50 m1/3/s
c2 H 30 m1/3/s
Analisi Per la presenza del contorno a scabrezza diversa è opportuno suddividere il canale in due sottosezioni a scabrezza uguale e calcolare la portata totale
come somma delle portate di ciascuna sottosezione. La sottosezione 1 è una
sezione rettangolare di larghezza b1 = 6 m e altezza h 1 = 2 m. Per cui, si ha
A0 = b1 h 1 = 6 × 2 = 12,0 m2
h1
= 6 + 2 + 1 = 9,00 m
2
12,0
A0
=
= 1,33 m
Ri0 =
Cb0
9,00
p
2/3 √
Q 1 = c1 A0 Ri0 i = 50 × 12,0 × 1,332/3 × 0,009 = 68,8 m3 /s
Cb0 = b1 + h 1 +
La sottosezione 2 è una sezione rettangolare di larghezza b2 = 10 m e altezza
h 2 = 1 m. Per cui, si ha
A0 = b2 h 2 = 10 × 1 = 10,0 m2
Cb0 = b2 + h 2 = 10 + 1 = 11,0 m
A0
10,0
Ri0 =
=
= 0,909 m
Cb0
11,0
p
2/3 √
Q 2 = c2 A0 Ri0 i = 30 × 10,0 × 0,9092/3 × 0,009 = 26,7 m3 /s
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Correnti a superficie libera
539
Pertanto, la portata totale vale
Q = Q 1 + Q 2 = 68,8 + 26,7 = 95,5 m3 /s
All’intera sezione, che ha area e contorno bagnato pari alla somma delle analoghe quantità delle due sottosezioni e, quindi, raggio idraulico
Ri0 =
12,0 + 10,0
= 1,10 m
9,00 + 11,0
compete un indice di scabrezza medio
c=
Q
2/3 √
A0 Ri0 i
=
95,5
= 43 m1/3 /s
√
22,0 × 1,102/3 × 0,009
13.98 Si considerino un canale a sezione rettangolare largo b e uno a sezione
circolare con diametro D, aventi uguale pendenza e uguale scabrezza, nei quali
defluisce la stessa portata quando l’altezza d’acqua nel canale rettangolare è
uguale a b e nel canale circolare è D/2. Determinare il rapporto tra b e D.
Analisi In un canale a sezione rettangolare di larghezza b e altezza di moto
uniforme h 0 = b, per la 13.40, si ha
Q
2/3
√ = A0 Ri0 = bh 0
c i
bh 0
b + 2h 0
2/3
=b
2
b2
3b
!2/3
=
1
32/3
b8/3
In un canale circolare di diametro D e altezza di moto uniforme h 0 = D/2, si
ha
!2/3
π D 2 π D 2 /8
π
Q
2/3
=
D 8/3
√ = A0 Ri0 =
8
π D/2
8 × 42/3
c i
Uguagliando le due relazioni, si ha
1 8/3
π
b =
D 8/3
32/3
8 × 42/3
da cui
b
=
D
π × 32/3
8 × 42/3
!3/8
= 0,655
Discussione Il contorno bagnato del canale a sezione rettangolare è pari a b +
2b = 3b = 3 × 0,655 D = 1,97 D, mentre quello del canale circolare è
π D/2 = 1,57 D.
R = 0,6 m
13.99 In un canale a sezione circolare, del diametro di 1,2 m e pendenza
dello 0,4%, defluisce una portata di 1,25 m3 /s con un’altezza pari al raggio.
Calcolare l’indice di scabrezza di Strickler delle pareti del canale e il numero
di Froude della corrente.
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h0 = 0,6 m
540 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
Analisi Essendo D il diametro, h 0 = D/2 l’altezza di moto uniforme e B = D
la larghezza in superficie, per la 13.40, la portata è
Q=
2/3 √
c A0 Ri0 i
π D2
=c
8
π D 2 /8
π D/2
!2/3
√
i
da cui
c=
8 × 42/3 × 1,25
8 × 42/3 Q
=
= 78 m1/3 /s
√
√
π D 8/3
π × 1,28/3 × 0,004
i
Per la 13.6, essendo
hm =
A
π D2
πD
π × 1,2
=
=
=
= 0,471 m
B
8D
8
8
si ha
Fr = √
h H 1,8 m
h1
V H 1,25 m/s
a H 0,20 m
1
V
Q 1
8Q
= √
=
√
2
A gh m
πD
gh m
gh m
8 × 1,25
=
= 1,03
√
2
π × 1,2 × 9,81 × 0,471
13.100 In un canale a sezione rettangolare molto larga la corrente attraversa
una soglia alta 20 cm. A monte della soglia, l’altezza della corrente è di 1,8 m
e la velocità media di 1,25 m/s. Calcolare l’altezza, la velocità e il numero di
Froude della corrente sulla soglia.
Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 1,8 m l’altezza della corrente
e V = 1,25 m/s la velocità media, la portata è Q = bhV . Per cui, per la 13.9,
l’altezza critica è
s
s
s
3 (1,8 × 1,25)2
3 (hV )2
3 (bhV )2
=
k=
=
= 0,802 m
g
9,81
gb2
Per la 13.23, l’energia minima è
E min =
3
3
k = × 0,802 = 1,20 m
2
2
L’energia E della corrente a monte della soglia è
E =h+
V2
1,252
= 1,8 +
= 1,88 m
2g
2 × 9,81
e, pertanto, essendo E − a = 1,88 − 0,20 = 1,68 > 1,20 = E min , la corrente
ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve
soddisfare la 13.87
h 31 − (E − a) h 21 +
V2 2
h =0
2g
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Correnti a superficie libera
541
che diviene
h 31 − 1,68 h 21 +
(1,25 × 1,8)2
= h 31 − 1,68 h 21 + 0,258 = 0
2 × 9,81
equazione di 3◦ grado di cui interessa determinare solo la radice maggiore di
k in quanto la corrente a monte della soglia è lenta (perché h > k). Pertanto,
dividendo per h 21 , si può utilizzare la formula ricorsiva
h 1,i+1 = 1,68 −
0,258
h 21,i
Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo
addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,59 - 1,58 - 1,58, per cui
h 1 = 1,58 m. Essendo, per la continuità, Q = bhV = bh 1 V1 , il numero di
Froude risulta
V1
h V
1,8 × 1,25
Fr = √
=
=
= 0,362
√
√
h 1 gh 1
gh 1
1,58 × 9,81 × 1,58
Discussione Sulla soglia il profilo si deprime perché h 1 + a = 1,58 + 0,20 =
1,78 m < 1,80 m = h. Ciò perché la corrente a monte della soglia, oltre ad
avere energia sufficiente, è una corrente lenta.
13.101 Con riferimento al problema precedente, calcolare l’altezza minima
della soglia per la quale la corrente sulla soglia è in condizioni critiche.
Analisi Nota l’energia E a monte della soglia, la minima altezza a della soglia
per la quale la corrente sulla soglia è in stato critico, cioè con l’energia minima
E min , è quella per la quale
E min + a = E
da cui, con riferimento al problema precedente,
a = E − E min = 1,88 − 1,20 = 0,68 m
13.102 A monte di una paratoia piana, che lascia aperta sul fondo una luce
di 0,3 m, l’altezza della corrente è di 1,8 m. Calcolare la portata per unità di
larghezza e la velocità della corrente nella sezione contratta.
Analisi Essendo h = 1,8 m l’altezza d’acqua a monte della paratoia e a =
0,3 m l’altezza della luce, per la 13.74, il coefficiente di efflusso è
µ=
0,61
0,61
= 0,582
a =
0,3
1 + 0,29
1
+
0,29
×
h
1,8
Per la 13.71, la portata per unità di larghezza è
p
p
Q
q=
= µa 2gh = 0,582 × 0,30 × 2 × 9,81 × 1,8 = 1,04 m2 /s
b
Per calcolare la velocità in corrispondenza della sezione contratta è necessario
conoscere l’altezza d’acqua h c in corrispondenza di tale sezione. Essendo h c =
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h H 1,8 m
sezione contratta
a H 0,3 m
aCc
542 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
aCc , il calcolo è immediato se è noto il valore del coefficiente di contrazione.
Dalla 13.72, noto il coefficiente di efflusso, si ottiene l’equazione di secondo
grado in Cc
aCc
2
2
Cc − µ 1 +
=0
h
la cui radice positiva fornisce Cc = 0,61. Pertanto, essendo h c = 0,3×0,61 =
0,183 m, la velocità in corrispondenza della sezione contratta risulta
Vc =
q
1,04
=
= 5,68 m/s
hc
0,183
13.103 Calcolare la percentuale di energia meccanica della corrente dissipata in un risalto, a monte del quale la corrente ha un’altezza di 45 cm e una
velocità media di 8 m/s.
1E
Analisi Nell’ipotesi che il canale sia a sezione rettangolare, essendo
h2
V1 = 8 m/s
h1 = 0,45 m
1
V1
8
Fr1 = √
= 3,81
=√
gh
9,81 × 0,45
V2
per la 13.66, l’altezza coniugata di valle è
q
p
0,45 h1
h2 =
−1 + 1 + 8Fr21 =
× −1 + 1 + 8 × 3,812 = 2,21 m
2
2
2
Per la 13.69, la frazione di energia dissipata è
Fr2
1+ 1
2
1E
=1−
E1
h1
h2
1E
V2
h2 = 4 m
V1
h1 = 0,5 m
1
2
h1
h2
3
Fr2
1+ 1
2
! =1−
3,812
1+
×
2
0,45
2,21
3
0,45
3,812
× 1+
2,21
2
! = 0,369
13.104 Dal serbatoio a monte di una diga viene sfiorata acqua la cui energia in eccesso viene dissipata attraverso un risalto idraulico che porta l’altezza
della corrente da 0,50 m a 4 m. Calcolare la velocità della corrente a monte e a
valle del risalto e la potenza meccanica dissipata per unità di larghezza.
Analisi Essendo, rispettivamente, h 1 = 0,50 m e h 2 = 4 m le altezze coniugate di monte e di valle, dalla 13.66, esplicitando il numero di Froude Fr1 , si
ha
v "
# v
#
u "
u
2
2
u 1 2h 2
u1
2
×
4
Fr1 = t
+1 −1 =t
+ 1 − 1 = 6,00
8
h1
8
0,5
Per la 13.6, la velocità V1 della corrente a monte del risalto è
p
p
V1 = Fr1 gh 1 = 6,00 × 9,81 × 0,5 = 13,3 m/s
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Correnti a superficie libera
e a valle, essendo, per la continuità, V1 h 1 = V2 h 2
V2 = V1
h1
13,3 × 0,5
=
= 1,66 m/s
h2
4
Per la 13.67, l’energia specifica dissipata nel risalto è
1E =
(4 − 0,5)3
(h 2 − h 1 )3
=
= 5,36 m
4h 1 h 2
4 × 0,5 × 4
Essendo tale quantità la perdita di energia meccanica per unità di peso, la potenza meccanica dissipata per unità di larghezza è data dal prodotto di tale perdita per il peso di fluido che transita, per unità di larghezza, nell’unità di tempo, cioè per la portata in peso ρgq = ρgh 1 V1 . Essendo la densità dell’acqua
ρ = 1 000 kg/m3 , si ha
Pd = ρgh 1 V1 1E = 1 000 × 9,81 × 0,5 × 13,3 × 5,36 = 350 kW
13.105 In un canale a sezione rettangolare, largo 3 m, è inserito uno stramazzo Bazin alto 1,1 m. Calcolare la portata per un valore del carico sullo
stramazzo di 0,60 m.
Analisi Essendo h s = 0,60 m il carico sullo stramazzo, per la 13.80 il carico
efficace è
h e = h s + 0,0011 = 0,60 + 0,0011 = 0,601 m
Per la 13.79, essendo a = 1,1 m l’altezza del petto dello stramazzo, il coefficiente di efflusso risulta
µs = 0,402 + 0,054
0,601
he
= 0,402 + 0,054 ×
= 0,432
a
1,1
Per la 13.77, essendo b = 3 m la larghezza del canale, la portata risulta
p
Q = µs bh e 2gh e =
p
= 0,432 × 3 × 0,601 × 2 × 9,81 × 0,601 = 2,67 m3 /s
13.106 Si considerino due canali a sezione rettangolare identici, di larghezza pari a 3,6 m. In un canale è inserito uno stramazzo Bazin, nell’altro uno
stramazzo a larga soglia. Entrambi gli stramazzi hanno un’altezza di 60 cm.
Calcolare la portata nei due canali, quando l’altezza della corrente a monte degli stramazzi è 1,5 m.
Analisi Il carico h s sui due stramazzi è uguale ed è pari alla differenza tra
l’altezza della corrente a monte e l’altezza del petto dello stramazzo Bazin o
della soglia. Per cui,
h s = 1,5 − 0,60 = 0,90 m
Nel caso dello stramazzo Bazin, per la 13.80 il carico efficace è
h e = h s + 0,0011 = 0,90 + 0,0011 = 0,901 m
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hs H 0,60 m
a = 1,10 m
543
544 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
e, per la 13.79, essendo a = 0,60 m l’altezza del petto dello stramazzo,
µs = 0,402 + 0,054
he
0,901
= 0,402 + 0,054 ×
= 0,483
a
0,60
Per cui, per la 13.77, essendo b = 3,6 m la larghezza del canale, la portata
risulta
p
Q = µs bh e 2gh e =
p
= 0,483 × 3,6 × 0,901 × 2 × 9,81 × 0,901 = 6,59 m3 /s
Nel caso dello stramazzo a larga soglia, per la 13.91 si ha
p
Q = µs bh s 2gh s =
p
= 0,385 × 3,6 × 0,90 × 2 × 9,81 × 0,90 = 5,24 m3 /s
H=2m
F2
F2
k
i = 0,01
h0
13.107 Da un lago si stacca con imbocco ben raccordato un canale a sezione
rettangolare in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), largo 3 m, con pendenza
del fondo dell’1%. La quota della superficie libera del lago rispetto al fondo
della sezione di imbocco del canale è di 2 m. Calcolare la portata defluente nel
canale e definire l’andamento del profilo del pelo libero.
Analisi Essendo l’imbocco del canale ben raccordato, nella sezione di imbocco
del canale (incile) la corrente ha la stessa energia del liquido in quiete nel lago.
Pertanto, essendo H = 2 m la quota della superficie libera del lago rispetto al
fondo della sezione di imbocco, b la larghezza del canale, Q la portata e h, V
e A, rispettivamente, l’altezza della corrente, la velocità media e l’area della
sezione, si ha
2
1
Q
V2
=h+
H =h+
2g
2g bh
L’ulteriore legame tra portata e altezza d’acqua nella sezione di imbocco dipende dal carattere cinematico della corrente che si stabilisce nell’alveo. Infatti, se
l’alveo risulta a debole pendenza, la corrente di moto uniforme è lenta e, pertanto, è governata da valle e non può, quindi, essere influenzata dalla presenza
del lago a monte. Pertanto, nell’alveo, supposto indefinito verso valle, si stabilisce ovunque moto uniforme. All’equazione dell’energia va, quindi, associata
l’equazione del moto uniforme 13.40. Per cui, il problema è retto dal sistema
costituito dalle due equazioni
1
Q 2
H = h0 +
2g bh 0
√ (bh 0 )5/3
Q=c i
(b + 2h 0 )2/3
Se, invece, l’alveo risulta a forte pendenza, la corrente uniforme è una corrente
veloce e, quindi, influenzata da monte, cioè dall’imbocco, dove, provenendo la
corrente dalla quiete, si stabilisce lo stato critico, come nel passaggio da un alveo a debole pendenza ad uno a forte pendenza (vedi figura 13.34). Nel canale
si stabilisce un profilo di corrente veloce accelerata in alveo a forte pendenza,
cioè un profilo del tipo F2, che tende asintoticamente a raggiungere l’altezza
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di moto uniforme all’infinito a valle. Pertanto, in tal caso, all’equazione dell’energia va associata l’equazione 13.9 che esprime la condizione di stato critico
per un canale a sezione rettangolare. Il problema è, quindi, retto dal sistema
costituito dalle due equazioni
V2
k
3
H =k+ c =k+ = k
2g
2
2
s
2
3 Q
k=
gb2
la cui soluzione è immediata. Ricavando, infatti, la portata dalla seconda e
introducendovi la prima, si ha
r
p
p
p
2
2
2
Q = bk gk = b H
g H = √ bH 2g H = 0,385bH 2g H
3
3
3 3
relazione uguale alla 13.91 valida per lo stramazzo a larga soglia. Non essendo
noto a priori il carattere cinematico della corrente che si stabilisce nel canale, in
quanto esso dipende anche dalla portata incognita, è necessario fare una ipotesi
plausibile, in base al valore della pendenza, e, risolto il problema, verificare
che l’ipotesi sia corretta. Nel caso in esame, la pendenza è tale per cui è molto
probabile che il canale risulti a forte pendenza. In tale ipotesi, si ha
p
p
Q = 0,385bH 2g H = 0,385 × 3 × 2 × 2 × 9,81 × 2 = 14,5 m3 /s
La verifica dell’ipotesi di alveo a forte pendenza richiede il calcolo dell’altezza
di moto uniforme e dell’altezza critica. Per la risoluzione dell’equazione del
moto uniforme 13.40 si può usare un qualunque metodo iterativo o, più semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente,
consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in
tal modo, essendo
14,5
Q
2/3
= 1,61 m8/3
A0 Ri0 = √ =
√
90 × 0,01
c i
si ottiene
h0
A0
Cb0
Ri0
√
Q/(c i)
(m)
(m2 )
(m)
(m)
(m8/3 )
1,00
0,90
0,80
0,82
3,00
2,70
2,40
2,46
5,00
4,80
4,60
4,64
0,600
0,563
0,522
0,530
2,134
1,840
1,555
1,611
per cui si può assumere come soluzione il valore h 0 = 0,82 m. Essendo
k=
2
2
H = × 2 = 1,33 m > 0,82 m = h 0
3
3
l’alveo è a forte pendenza e, pertanto, l’ipotesi è corretta. Il profilo del pelo libero è un profilo F2 che parte dall’altezza critica k = 1,33 m e tende
asintoticamente a raggiungere l’altezza di moto uniforme h 0 = 0,82 m.
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545
546 Capitolo 1
Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro
13.108 Risolvere il problema precedente, nell’ipotesi che la pendenza del
fondo del canale sia dello 0,2%.
H=2m
F2
k
i = 0,002
h0
Analisi Nel caso in esame, la pendenza è tale per cui è molto probabile che
il canale risulti a debole pendenza. In tale ipotesi, all’equazione che esprime
l’uguaglianza dell’energia tra il liquido in quiete nel lago e la sezione di imbocco, va associata l’equazione del moto uniforme 13.40 in quanto, essendo il
canale indefinito verso valle, nel canale si stabilisce il moto uniforme. Per cui,
il problema è retto dal sistema costituito dalle due equazioni
1
Q 2
H = h0 +
2g bh 0
√ (bh 0 )5/3
Q=c i
(b + 2h 0 )2/3
che va risolto con un metodo iterativo. In particolare, la seconda, dividendo
per l’area bh 0 ed elevando al quadrato, diviene
Q
bh 0
2
2
=c i
bh 0
b + 2h 0
4/3
Introducendo questa equazione in quella dell’energia, si ottiene
H = h0 +
c2 i
2g
bh 0
b + 2h 0
4/3
equazione nella sola incognita h 0 che, considerato che il secondo addendo a
secondo membro è l’altezza cinetica e che tale termine, essendo la corrente
lenta, è più piccolo (o molto più piccolo) dell’altezza della corrente, può essere
risolta usando la formula ricorsiva
4/3
bh 0,i
c2 i
=
h 0,i+1 = H −
2g b + 2h 0,i
4/3
902 × 0,002
3 h 0,i
=2−
×
=
2 × 9,81
3 + 2 h 0,i
4/3
3 h 0,i
= 2 − 0,826 ×
3 + 2 h 0,i
Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo
addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,33 - 1,48 - 1,44 - 1,45 1,45, per cui h 0 = 1,45 m. Per la 13.40, la portata è
Q=c
p
(3 × 1,45)5/3
(bh 0 )5/3 √
i = 90 ×
× 0,002 = 14,3 m3 /s
2/3
2/3
(b + 2h 0 )
(3 + 2 × 1,45)
Essendo, per la 13.9,
s
s
3
3 Q2
14,32
k=
=
= 1,32 m < 1,45 m = h 0
gb2
9,81 × 32
l’ipotesi di alveo a debole pendenza è corretta. Il profilo è parallelo al fondo
con altezza h 0 = 1,45 m.
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Copyright Meccanica dei fluidi - 2a ed. - Soluzione dei problemi
Discussione Il fatto che la portata risulti appena inferiore a quella del problema
precedente è puramente casuale. Infatti, nel caso di corrente lenta, la portata
dipende dalla scabrezza e dalla pendenza del canale, variando i quali essa varia notevolmente (finché rimane lenta). In particolare, facendo aumentare la
pendenza del fondo a partire da un valore molto piccolo, la portata aumenta
finché raggiunge il valore massimo per un valore della pendenza pari alla pendenza critica. A partire da tale valore della pendenza, nella prima sezione del
canale si stabilisce lo stato critico e la portata non aumenta più (se non facendo
aumentare H o la larghezza b del canale).
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Correnti a superficie libera
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maggio 2011