Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
201
CORRENTI A PELO LIBERO CON PROFILO GRADUALMENTE
VARIO
10.1 Energia specifica
La corrente a pelo libero con profilo gradualmente vario è una corrente il cui profilo presenta
curvature molto piccole per cui le linee di corrente possono essere considerate rettilinee. In questo
caso per la seconda equazione di Eulero si ha una distribuzione idrostatica delle pressioni lungo la
normale alla direzione del moto (figura 10.1). La linea piezometrica è parallela al pelo libero ma più
bassa rispetto a questi (figura 10.2).
v2
2g
y cos
L. P.
L. E.
y
0
L. P.
0
z
Figura 10.1 Energia in moto gradualmente vario.
L’ energia della corrente rispetto ad un piano di riferimento generico è:
E = z + yO cos +
Per
10° si ha cos
V2
2g
(10.1)
1 ed il carico piezometrico coincide con la profondità yO. In questo caso la
profondità yO è pressoché uguale alla profondità lungo la verticale y perché yO = yO cos e la linea
piezometrica coincide con il pelo libero (figura 10.3). Sostituendo il termine yO cos
assumendo
con y ed
= 1 la relazione (10.1) diventa:
V2
E=z+y+
2g
(10.2)
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202
Si definisce energia specifica dell’ unità di peso di fluido rispetto al fondo H, l’ energia di peso
della sezione a meno della quota di riferimento:
H=E–z
(10.3)
V2
H=y+
2g
(10.4)
L. E.
v2
2g
y
z
A differenza dell’ energia E che può solo diminuire il valore di H può rimanere costante ed anche
aumentare nella direzione del moto. Ad esempio per un moto uniforme la pendenza della linea dell’
energia è costante ed uguale a quella del fondo, ovvero E diminuisce dell’ abbassamento del fondo
ma H è costante in quanto i termini piezometrici e cinetici sono costanti rimanendo invariate nel
moto uniforme le grandezze che descrivono il moto.
Nel caso di canale rettangolare infinitamente largo si definisce q = Vy portata per unità di larghezza
e la (10.4) diventa:
H=y+
q2
2g y 2
(10.5)
L’ espressione (10.5) sancisce un legame tra l’ energia specifica, la profondità e la portata per unità
di larghezza: (f(H,y,q) = 0. Fissando una di queste tre variabili è possibile determinare le relazioni
funzionali tra le rimanenti due.
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203
10.2 Profondità critica
Nel caso di canale a sezione rettangolare, assumendo la portata per unità di larghezza q costante si
studia la relazione funzionale tra l’ energia specifica H e la profondità y. Il valore di H è sempre
positivo (y e q sono sempre positive, al più nulle) per y che varia da zero ad infinito. Per y
H
e per per y
valori estremi 0 ed
,H
0,
. Poiché H è sempre positivo e tende ad infinito per y che tende ai
esiste un punto di minimo. Derivando l’ energia specifica rispetto alla
profondità si ottiene:
dH
q2 2
=1
dy
2g y 3
(10.6)
Imponendo l’ uguaglianza a zero del secondo membro della (10.6) si ottiene il valore della
profondità y per cui si ha il minimo dell’ energia specifica H:
1
q2
g y3
=0
(10.7)
La profondità corrispondente al valore minimo dell’ energia specifica H è denominata profondità
critica ed è uguale a:
yC =
3
q2
g
(10.8)
La portata q può essere espressa in funzione della profondità critica. Dalla 10.7 segue:
q2 = g yC3
Definita critica la velocità VC corrispondente alla profondità critica si ha:
q = y C gy C =VC yC
da cui
VC = gy C
(10.9)
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204
Secondo la (10.9) il numero di Froude della corrente corrispondente allo stato critico ( VC / gy C )
è 1. Nella figura 10.4 è disegnata la relazione funzionale (10.5) per q = costante. Come spiegato
prima per y
0 e/o , H
e per y = yC, H assume il valore minimo HC:
pi
corrente ra
H
c
re
or
nt
e
le
nt
a
da
H0
H
C
45°
yA
yC
yB
HC = yC +
y
VC2
g yC 3
= yC +
= yC
2g
2g
2
(10.10)
La profondità critica può anche essere espressa come:
yC =
2
HC
3
(10.11)
Lo stato critico può essere definito come quello stato della corrente per cui una portata q viene
convogliata con la minima energia specifica.
H/yc
4.0
q=cost
2.0
apida
corrente r
3.0
rre
co
e
nt
1.0
Hmin =
0.0
0.0
1.0
2.0
n
le
ta
3
_
2
3.0
4.0
y0 /yc
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205
Si osserva in figura 10.4 che per uno stesso valore dell’ energia specifica HO corrispondono due
possibili stati della corrente di portata assegnata q. Per y = yA la corrente è rapida mentre per y = yB
la corrente è lenta ( q = VA yA ed yA < yC
VA > VC
F > 1). La curva H,y può essere divisa in
due rami. Il primo corrisponde a y < yC ed identifica condizioni di corrente rapida, il secondo
corrisponde a yC < y ed identifica condizioni di corrente lenta. La relazione funzionale H,y viene di
solito disegnata con le coordinate adimensionali H/yC ed y/yC per poterla utilizzare in qualsiasi caso
(figura 10.5).
Assumendo l’ energia specifica H costante si studia la relazione funzionale tra la portata per unità di
larghezza q e la profondità y. Esplicitando a primo membro la portata la 10.5 diventa:
q2 = 2g y2 (H – y)
(10.12)
ed estraendo la radice quadrata si ottiene la relazione funzionale tra q ed y:
q = y 2g(H y)
(10.13)
Il secondo membro della 10.13 è sempre positivo al più nullo con 0
y
H. Poichè per y = 0, q = 0
e per y = H, q = 0, esiste un punto di massimo di q. Derivando la portata rispetto alla profondità y
ed uguagliando a zero si ottiene il valore della profondità per cui si ha il massimo della portata:
dq
= 2g(H
dy
moltiplicando ambo i membri della 10.14 per
y) + y
2g(H
1
2
- 2g
2g(H - y)
=0
(10.14)
y) si ottiene:
2g (H – y) – gy = 0
da cui si ottiene di nuovo yC = 2/3 H ed H = 3/2 yC. Allo stesso modo si ottengono dalla 10.12:
qC2 = 2g yC2 (H – yC) = 2g yC2 (1.5 yC – yC) = g yC3
ed estraendo la radice quadrata qC = y C gy C e quindi VC = qC/yC = gy C
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206
La relazione funzionale tra la portata per unità di larghezza q e la profondità y espressa dalla 10.13
è disegnata in figura 10.6.
y
H
corrente lenta
yB
yC
yA
corrente rapida
q0 qC
q
Per uno stesso valore di energia specifica H una portata qO può essere convogliata con due
profondità diversi. Questi due valori di profondità possono essere intesi, rientrando il moto
uniforme nel caso H = costante, come le soluzioni del sistema tra la 10.5 ed una relazione di moto
uniforme:
H=y+
qO2
2g y 2
qO = Ks y5/3 if1/2
Per un fissato coefficiente di scabrezza esistono solamente due valori di if per cui viene convogliata
una portata qO con una stabilita energia specifica H (figura 10.6). Fissando invece l’ inclinazione
del fondo esistono solamente due valori del coefficiente di scabrezza, quindi di profondità, per cui
viene convogliata una portata qO per una stabilita energia specifica H. Questi due diversi valori di
profondità sono tali che per uno si hanno condizioni di corrente rapida (y = yA) e per l’ altro si
hanno condizioni di corrente lenta (y = yB). Infatti per y = yA VA2/2g = H – yA che è maggiore di H
– yC = VC2/2g e quindi risulta VA > VC. Di conseguenza il numero di Froude della corrente
corrispondente ad yA ed VA risulta superiore ad 1 (VA/(gyA) > VC/(gyC) e quindi la corrente in A è
in condizioni di corrente rapida. Allo stesso modo si dimostra che la corrente in B è in condizioni di
corrente lenta.
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207
Lo stato critico può essere anche definito come quello stato della corrente per cui fissata l’ energia
specifica viene convogliata la massima portata. Anche per la relazione q,y si utilizza un grafico in
coordinate adimensionali q/qC ed y/yC (figura 10.7).
1.5
y0 =H
corrente
lenta
y0 /yc
qc =q max
1.0
H=cost
0.5
ra
rr
co
0.0
0.0
a
pid
te
en
arctg 1/ 3
0.5
q/qc
1.0
Si definisce l’inclinazione critica iC l’inclinazione del fondo per cui una portata q viene convogliata
a moto uniforme in condizioni critiche. Uguagliando la velocità critica con la velocità secondo la
legge di moto uniforme di Chezy si ha:
VC = gy C = C Rh i C
(10.15)
per canale rettangolare infinitamente largo Rh = y e dalla (1.15) si ottiene:
iC =
g
C2
(10.16)
Essendo g = 9.81 e variando 10 (torrente montano) < C < 60 (canale di bonifica) si ha la seguente
variazione dell’ inclinazione critica:
0.003 < iC < 0.098
Per canale a sezione rettangolare Rh = A/P = By/P e dalla 10.15 si ottiene:
iC =
g P
C2 B
(10.17)
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208
Il valore dell’ inclinazione critica iC per un canale rettangolare a sezione costante di larghezza finita
B dipende dal perimetro bagnato P che è crescente con la profondità (e quindi con la portata). L’
aumento della portata per una corrente allo stato critico a regime uniforme comporta un aumento
della profondità e quindi del perimetro bagnato e di conseguenza dell’ inclinazione critica. L’
inclinazione del canale per l’ aumento di portata diviene inferiore a quella critica e la corrente è in
condizioni subcritiche. Viceversa se si ha una diminuzione di portata l’ inclinazione critica
diminuisce e la corrente è in condizioni supercritiche. Questo si può spiegare in altri termini. L’
aumento della profondità per un canale a sezione costante comporta un aumento percentuale
inferiore del perimetro bagnato e del raggio idraulico. Per esempio con B = 5 m ad y1 = 2 m ed y2 =
3 m corrispondono rispettivamente P1 = 9 m con Rh1 = 1.11 m, e P2 = 13 m con Rh2 = 1.56 m: un
aumento percentuale della profondità pari al 50 % corrisponde un aumento percentuale di perimetro
bagnato e raggio idraulico pari rispettivamente al 44 e 39 %. La velocità secondo le leggi di moto
uniforme è crescente con il raggio idraulico elevato ad un esponente minore di uno e quindi ha un
aumento percentuale inferiore al raggio idraulico e quindi alla profondità. Per questo motivo il
numero di Froude diminuisce aumentando la portata, assumendo che la scabrezza non diminuisca e
viceversa.
Le relazioni funzionali fin qui espresse riguardano una corrente di sezione rettangolare. Queste
relazioni possono essere estese ad una corrente che defluisce in un canale prismatico di sezione
qualsiasi e compatta. La 10.4 per un canale a sezione compatta di area liquida A si può scrivere
come:
H=y+
Q2
2g A 2
(10.18)
La curva H, y per il caso di corrente a portata costante è analoga a quella relativa ad una corrente in
sezione rettangolare infinitamente larga. L’ area della sezione liquida dipende dalla profondità y,
per cui A = A(y) (figura 10.8).
y
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Secondo la 10.18 per y
0, A
0, H
e per y
,A
,H
209
. La curva H presenta quindi
un minimo in corrispondenza della profondità critica che viene determinata uguagliando a zero la
derivata di H rispetto ad y:
Q2 d
1 dA
dH
= 1+
=0
2g dA A 2 dy
dy
(10.19)
Per sezioni di forme geometriche conosciute (trapezia, circolare etc etc) la relazione A(y) è nota ma
per sezioni di forma qualsiasi non lo è. Ad esempio per una sezione di forma trapezia isoscele con
base minore b coincidente con il fondo l’ area A ha la seguente espressione: A = y (b + ny) essendo
n la scarpa delle sponde. La derivata dA/dy in questo caso è b + 2ny. Per sezioni di forma qualsiasi
(figura 10.9) la derivata dA/dy è uguale a B, larghezza della sezione in corrispondenza del pelo
libero. Infatti essendo dy infinitesima la corrispondente area dA può essere considerata rettangolare
di larghezza B (dA = B dy).
B
dy
dA
La 10.19 con la posizione dA/dy = B diventa:
Q2 - 2
dH
= 1+
B=0
2g A 3
dy
per cui la profondità critica è quella profondità che soddisfa la relazione seguente:
Q2B
-1 = 0
(10.20)
V2B
=1
gA
(10.21)
g A3
Posto V = Q/A la 10.20 diventa:
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
210
La radice quadrata del termine a primo membro della 10.21 coincide con il numero di Froude
perché il rapporto A/B è equivalente ad una profondità (altezza del rettangolo di area A e base B)
cosi chè V = (gA/B)1/2 è la velocità in condizioni critiche per sezione di forma qualsiasi e compatta.
In questo caso uguagliando la velocità critica appena trovata alla velocità secondo la legge di moto
uniforme di Chezy si ha:
(gA/B)1/2 = C (iC A/P)1/2
e si può ottenere nuovamente l’ inclinazione critica secondo la 10.17.
Per calcolare la profondità critica si procede per tentativi. Dato un valore di y di tentativo si calcola
la quantità Q2B/gA3: se questa è uguale ad 1 il valore di y di tentativo è la profondità critica. Se
invece è superiore ad 1 si prende un valore di y inferiore altrimenti un valore superiore e la si
calcola di nuovo. Si itera il procedimento finchè per un determinato valore di y si trova Q2B/gA3
1. Esiste anche una procedura grafica di questo metodo. Per due diversi valori di profondità y1 ed y2
si calcolano i rispettivi valori Q2B/gA3 e li si pongono su di un grafico e li si congiunge con una
retta (figura 10.10). Si prende come y di tentativo l’ ascissa corrispondente all’ ordinata della retta
di valore 1. Si calcola il corrispondente valore di Q2B/gA3 e se diverso da 1 lo si mette su grafico
unendolo tramite una retta con il più vicino dei primi due e si ripete il procedimento.
Q2 B
g A3
A
1
y1
yc
y2
Esercizio 10.1
Calcolare l’inclinazione critica di un canale rettangolare di larghezza B = 5 m e con coefficiente di
Chezy = 25 m0.5/s corrispondente ad una portata Q = 10 m3/s.
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211
La portata per unità di larghezza è q = Q/B = 10/5 = 2 m2/s. Seguendo la 10.8 si calcola la
profondità critica yC e nota questa si calcolano in sequenza il perimetro bagnato P e l’inclinazione
critica iC secondo la 10.17:
yC = 3
q 2 3 22
=
= 0.74 m
g
9.81
P = B + 2 yC = 5 + 2 0.74 = 6.48 m
iC =
g P 9.81 6.48
=
= 0.02
C 2 B 252 5
Per controprova si calcola la profondità di moto uniforme per un canale a sezione rettangolare di
larghezza B = 5 m ed iF = 0.02 con C = 25 m0.5/s in cui defluisce una portata Q = 10 m3/s e si
ottiene y = 0.75 m.
10.3 Profili di corrente
L’ andamento del pelo libero, in un canale prismatico a sezione compatta, in regime di moto
permanente, può essere studiato qualitativamente tramite lo studio del segno della derivata della
profondità y rispetto ad x, essendo l’ asse x l’ asse di direzione del moto che per inclinazioni del
fondo caratterizzate da un angolo con l’ orizzontale
10° può essere sostituito con la sua
proiezione sul piano orizzontale. In moto permanente, per una corrente unidimensionale, tutte le
grandezze, tra cui la profondità y, dipendono da x essendo il moto costante nel tempo e variabile
nello spazio. Essendo H dipendente da y ed y da x vale:
dH dH dy
=
dx
dy dx
(10.22)
dH
dy
= dx
dH
dx
dy
(10.23)
dalla 10.22 segue:
Poiché H = E – z vale inoltre
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dH d E
=
dx
dx
212
dz
dx
(10.24)
j
(10.25)
Posto j = - dE/dx ed if = - dz/dx la 10.24 diventa:
dH
= if
dx
I simboli j ed if indicano rispettivamente le cadenti della linea dell’ energia e della linea di fondo e
non sono la tangente bensì il seno dell’ angolo tra l’orizzontale e le linee stesse.
Poiché il numero di Froude F è uguale per una corrente rettangolare a (q/y)/(gy)1/2 e per corrente in
un canale a sezione compatta di forma qualsiasi a (Q2B/gA3)1/2 la 10.6 e la 10.19 possono essere
così riscritte:
dH
= 1 F2
dy
(10.26)
L’ equazione 10.23 in base alle 10.25 e 10.26 viene così riscritta:
dy
if j
=
dx 1 F 2
(10.27)
A moto uniforme l’inclinazione del fondo e della linea dell’energia coincidono ed avendo indicato
con yO e VO rispettivamente la profondità e la velocità della corrente si ha:
if =
VO2
C 2 Rh O
=
VO2
Ks 2 Rh O4/3
(10.28)
Il termine j può essere calcolato ipotizzando che localmente le perdite di energia siano uguali a
quelle della corrente caratterizzata dallo stessa profondità e velocità ma a regime uniforme:
V2
V2
=
j= 2
C Rh Ks 2 Rh 4/3
Nel caso di moto uniforme if = j e dy/dx = 0. Valgono le seguenti disuguaglianze:
y<yO
V > VO e j > if
y>yO
V < VO e j < if
(10.29)
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213
Essendo q = yO VO = y V se y < yO la velocità V deve aumentare rispetto a quella di moto uniforme
perchè la portata è costante e di conseguenza si ha j > if: aumentano e diminuiscono rispettivamente
il numeratore ed il denominatore dalla (10.29) rispetto ai corrispondenti della (10.28).
Si illustra per primo l’ andamento del pelo libero per le correnti in alvei con piccola inclinazione per
cui yC < yO ed if < iC. In figura 10.11 sotto la curva H,y sono riportati i segni di dH/dy e dH/dx ,
distinguendosi tre diversi comportamenti della corrente.
y < yC
j > if
dH/dx < 0
F>1
dH/dy < 0
dy/dx > 0
per y
yC dH/dx assume un valore finito, dH/dy
0 (F
1)
dy/dx
la corrente è rapida con profondità crescente nella direzione x ed il pelo libero ha un
comportamento asintotico nella direzione verticale per y
yC.
yC < y < yO
j > if
dH/dx < 0
F<1
dH/dy > 0
dy/dx < 0
per y
y
yC dH/dx assume un valore finito, dH/dy
yO j
if
dH/dx
0 (F
0, dH/dy assume un valore finito,
1)
dy/dx
dy/dx
0
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
214
la corrente è lenta con profondità decrescente nella direzione x ed il pelo libero ha un
yC e nella direzione del moto per y
comportamento asintotico nella direzione verticale per y
yO (la corrente tende al moto uniforme).
y > yO
j < if
dH/dx > 0
F<1
dH/dy > 0
dy/dx > 0
per y
yO j
per y
j
if
0
dH/dx
0, dH/dy assume un valore finito,
dH/dx
if, F
0 dH/dy
1
dy/dx
dy/dx
0
if
la corrente è lenta con profondità crescente nella direzione x ed il pelo libero ha un comportamento
asintotico nella direzione del moto per y
orizzontale per y
yO (il profilo tende al moto uniforme) e nella direzione
(il pelo libero cresce di quanto il fondo diminuisce e quindi tende a disporsi
orizzontalmente).
M1
orizzontale
moto
uniforme
M2
y
y
y0
M3
y
yc
if < i
c
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
215
M1
M2
y0
y0
yc
if < i
c
S2
if < i
c
if > i
c
M1
M2
y0
M3
y0
yc
S2
if < i
c
if > i
c
Nelle figure 10.12 ed 10.13a,b,c sono illustrati l’ andamento del pelo libero per i tre diversi casi e
tre esempi reali relativi a questi. Si sottolinea che comportamenti asintotici nella direzione verticale
significano curvature elevate per cui la distribuzione delle pressioni non è più idrostatica e le
equazioni 10.1 e seguenti non sono più valide.
Si illustra di seguito l’ andamento del pelo libero per le correnti in alvei con inclinazione elevata per
cui yO< yC ed if > iC. In figura 10.14 sotto la curva H,y sono riportati i segni di dH/dy e dH/dx,
distinguendosi tre diversi comportamenti della corrente.
y < yO
j > if
dH/dx < 0
F>1
dH/dy < 0
dy/dx > 0
per y
yO j
if
dH/dx
0, dH/dy assume un valore finito,
dy/dx
0
la corrente è rapida con profondità crescente nella direzione x ed il pelo libero ha un
comportamento asintotico nella direzione del moto per y
yO (la corrente tende al moto uniforme).
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
216
yO < y < yC
j < if
dH/dx > 0
F>1
dH/dy < 0
dy/dx < 0
per y
yO j
per y
yC dH/dx assume un valore finito, F
if
dH/dx
0, dH/dy assume un valore finito,
1
dH/dy
0
dy/dx
0
dy/dx
la corrente è lenta con profondità decrescente nella direzione x ed il pelo libero ha un
yC e nella direzione del moto per y
comportamento asintotico nella direzione verticale per y
yO (la corrente tende al moto uniforme).
y > yC
j < if
dH/dx > 0
F<1
dH/dy > 0
dy/dx > 0
per y
per y
yC dH/dx assume un valore finito, F
j
0
dH/dx
if, F
0 dH/dy
1
dH/dy
1
dy/dx
0
dy/dx
if
la corrente è lenta con profondità crescente nella direzione x ed il pelo libero ha un comportamento
asintotico nella direzione verticale per y
yC e nella direzione orizzontale per y
libero cresce di quanto il fondo diminuisce e quindi tende a disporsi orizzontalmente).
(il pelo
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217
Nelle figure 10.15 ed 10.16a,b sono illustrati l’ andamento del pelo libero per i tre diversi casi e tre
esempi reali relativi a questi.
orizzontale
S1
S2
moto
uniforme
y
S3
yc
y
y
y0
if > i
c
S1
y0
yc
if < i
c
S3
if > i
c
S2
y0
10.4 Energia specifica: comportamento e contributi
Segnando sulla curva H,y i versi di percorrenza dei tre diversi tipi di profilo si evince (figure 10.17
a,b) che l’ energia specifica H aumenta per y > yO per if < iC e per y < yO e per y > yC per if > iC.
Negli altri casi l’ energia specifica H diminuisce.
if < ic
H
1
3
2
yC
if > ic
H
y0
1
y
2
y0
3
yC
y
Carlo Gregoretti – Idraulica – capitolo 10 – 21 Nov. 08
218
Nelle correnti lente il maggior contributo all’ energia è dovuto al termine piezometrico mentre nelle
correnti rapide è dovuto al termine cinetico come si evince osservando i contributi dei termini
piezometrico e cinetico dell’ energia specifica H nei due rami della curva H,y in figura 10.18. Infatti
per numeri di Froude inferiori ad uno V < (gy)2
V > (gy)2
V2/g < y e per numeri di Froude superiori ad uno
V2/g > y.
H
H0
v2
2g
v2
2g
y
y
y