Geometria euclidea, affine e
proiettiva
Anno accademico 2008/09
2. La nascita della geometria
proiettiva
g.e.a.p. 08/09
2
1
Il modello della piramide visiva
(figura da E.Danti, 1536-1586)
Riconduce il processo della rappresentazione sul quadro
ad una sequenza di costruzioni geometriche:
• congiungere l’occhio con i punti dell’oggetto guardato
• tagliare i raggi visivi con il piano del quadro
g.e.a.p. 08/09
2
2
Le operazioni di proiezione e
sezione
• Proiettare da un punto O (centro di proiezione)
una figura F significa costruire le rette che
congiungono O con tutti i punti di F.
• Segare o sezionare con un piano  una figura P
composta di rette significa determinare i punti
comuni al piano e a tali rette, ottenendo la
sezione o traccia di P su .
• Le due operazioni di proiezione da un punto O e
di sezione con un piano , eseguite in
successione, costituiscono la proiezione dal
centro O sul piano .
g.e.a.p. 08/09
2
3
I punti impropri
• Si aggiunge ad ogni retta un
nuovo punto, “improprio” o
all’infinito
• Il punto improprio è comune alla
retta e a tutte le sue paralleIe
(rette di un fascio improprio, o
con la stessa direzione)
• Gli altri punti dello spazio si
chiamano anche “propri”.
• Proiettare da O (proprio) il punto
improprio di una retta r significa
condurre per O la retta parallela
ad r
• Il punto improprio di un fascio di
rette incidenti il quadro è
proiettato in un punto, detto di
fuga
g.e.a.p. 08/09
2
4
Nel piano ampliato con i punti
impropri
• due rette distinte qualsiasi si
intersecano in un punto, che può essere
proprio o improprio.
Definiamo retta impropria l’insieme dei punti
impropri del piano
• Due punti distinti definiscono una retta
– Se sono propri….
– Se uno è proprio e l’altro improprio…
– Se sono entrambi impropri….
g.e.a.p. 08/09
2
5
Piani paralleli e rette improprie
• Piani paralleli sono
tagliati da un piano non
parallelo ad essi in rette
parallele
• Contengono gli stessi
punti impropri, quindi la
loro intersezione è la loro
retta impropria, o
“giacitura”
• L’insieme delle rette
improprie dello spazio
è il piano improprio
g.e.a.p. 08/09
2
6
Nello spazio ampliato con punti e
rette improprie
Si estendono agli elementi impropri le proprietà
valide per quelli propri:
• due punti all’infinito individuano una retta
all’infinito che li contiene entrambi
– Traduzione: date due rette di direzioni distinte, esiste
un fascio improprio di piani che sono paralleli ad
entrambe
• Due rette all’infinito hanno in comune uno ed un
solo punto all’infinito
– Ovvero: ogni piano parallelo ad un piano  interseca
ogni piano parallelo ad un altro piano  in una retta, di
direzione costante
g.e.a.p. 08/09
2
7
Proiezione di ( oppure da)
elementi impropri
Dato un punto proprio O
• proiettare da O una retta impropria 
significa condurre da O il piano parallelo ai
piani con giacitura 
Dato un punto improprio R
• proiettare da R una retta propria s
significa costruire il piano per s parallelo
alle rette di direzione R .
g.e.a.p. 08/09
2
8
La proiezione da O (proprio)
Siano , ’ piani, non
per O, ampliati con i
punti impropri. La
proiezione da O
p:   ’
è una bigezione
• Dimostrazione per
esercizio
• La proiezione manda
rette in rette
g.e.a.p. 08/09
2
9
Proposizioni vere per elementi propri
e impropri, senza distinzioni
1. Due punti individuano
una retta a cui
appartengono (retta
congiungente)
2. Tre punti che non
appartengono ad una
stessa retta, individuano
un piano a cui essi
appartengono (piano
congiungente)
I.
II.
g.e.a.p. 08/09
2
Due piani individuano
una retta, che
appartiene ad entrambi
(loro intersezione)
Tre piani, che non
passino per una stessa
retta, individuano un
punto (loro
intersezione)
10
Proposizioni vere per elementi propri,
impropri, senza distinzioni
3. Un punto ed una
retta, che non si
appartengono,
determinano un
piano, a cui
appartengono
entrambi (loro
congiungente)
III. Un piano e una
retta, che non si
appartengono,
determinano un
punto, che
appartiene ad
entrambi (loro
intersezione)
La frase “elementi che si appartengono” esprime in modo simmetrico
la relazione di appartenenza tra elementi di nome diverso.
Ad esempio, “un punto e una retta si appartengono” significa:
il punto sta sulla retta, la retta passa per il punto
g.e.a.p. 08/09
2
11
La geometria proiettiva sintetica
Poncelet (1822) Moebius (1827), Steiner
(1832), Staudt (1847)
• Le proposizioni precedenti vengono prese
a fondamento della teoria
• Teoria assiomatica:
– nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione
di appartenenza
– assiomi “grafici” : esattamente le proposizioni
1,2,3,I,II,III precedenti
g.e.a.p. 08/09
2
12
Gli assiomi grafici
consentono di definire univocamente le
operazioni di proiezione e sezione.
• Proiettare da un punto O una figura F è
possibile, per l’assioma 1;
• segare o sezionare con un piano  una figura
P composta di rette è possibile per l’assioma
III
Sono proprietà proiettive quelle che sono
conservate dalle operazioni di proiezione e
sezione.
g.e.a.p. 08/09
2
13
Dagli assiomi si deducono i teoremi
e le definizioni della teoria. Esempi:
• Se due punti
appartengono ad un
piano, la retta individuata
dai due punti appartiene
al piano
• Due rette contenenti un
stesso punto
appartengono anche ad
un piano
• Se due piani passano per
un punto, la retta
individuata dai due piani
passa per il punto
• Due rette appartenenti ad
uno stesso piano
passano anche per uno
stesso punto
Si dicono incidenti due rette
che passano per un punto e giacciono in un piano.
Due rette non incidenti si dicono sghembe.
g.e.a.p. 08/09
2
14
La legge di dualità
1. Ogni assioma grafico si cambia in un altro
assioma grafico se si scambiano le parole
punto e piano, mantenendo le relazioni di
appartenenza.
• Ne segue la legge di dualità:
ogni teorema dedotto dai soli assiomi di appartenenza
rimane vero se nell’enunciato si scambiano le
parole punto e piano, con la condizione che un
punto e un piano che si appartengono vengono
sostituiti da un piano e da un punto che si
appartengono.
g.e.a.p. 08/09
2
15
Esempio di proposizioni duali
• Date due rette sghembe,
per un punto fuori di esse
passa una retta incidente
ad entrambe.
Infatti, questa retta è
l’intersezione dei due
piani (assioma I),
determinati dal punto e
da ciascuna delle rette
(assioma 3).
• Date due rette sghembe,
in un piano non passante
per nessuna di esse vi è
una retta incidente ad
entrambe.
Infatti, questa retta passa
per i due punti (assioma
1), che sono determinarti
dal piano e da ciascuna
delle rette (assioma III).
g.e.a.p. 08/09
2
16
Esempio di configurazioni duali
Tre punti, non appartenenti
ad una retta,
determinano un
triangolo: figura
composta dei tre punti
(vertici), delle tre rette
determinate da essi due
a due (lati), e del piano
determinato dai tre punti.
Tre piani, non passanti per
una stessa retta,
determinano un triedro:
figura composta dei tre
piani (facce), delle tre
rette determinate da essi
due a due (spigoli) e del
punto determinato dai
tre piani.
g.e.a.p. 08/09
2
17
Geometria proiettiva classica o
“sintetica”
• È la teoria geometrica fondata sugli
assiomi che determinano le relazioni tra gli
oggetti primitivi
• Nei dati iniziali non figurano numeri.
• E’ possibile introdurre le coordinate,
costruendo un campo a partire dagli
elementi primitivi della teoria; la
costruzione non è semplice, anche se
molto significativa.
g.e.a.p. 08/09
2
18
Geometria proiettiva algebrica
o analitica: presuppone la conoscenza
dell’algebra lineare
• punti, rette, piani sono definiti da
coordinate o da equazioni omogenee
Coordinate omogenee
Lo spazio proiettivo è definito come il
quoziente di uno spazio vettoriale
g.e.a.p. 08/09
2
19
Geometria proiettiva algebrica
• Studiata nel testo di riferimento (Beltrametti, Carletti,
Gallarati, Monti Bragadin)
• Solo un paragrafo del testo è dedicato alla geometria
proiettiva sintetica.
• A prima vista, la geometria proiettiva moderna sembra
lontana dai problemi concreti delle origini
• La conoscenza delle origini storiche di alcuni concetti
può aiutarne la comprensione
• Esempio: il birapporto, invariante proiettivo, che si
incontra all’inizio dello studio della geometria proiettiva
algebrica. Ce ne occuperemo nella prossima lezione.
g.e.a.p. 08/09
2
20