Canne d’organo ad anima:
la faticosa gestazione
di una teoria matematica, 1727-1960
Articolo storico
Historical article
Mathematical theory on flue organ pipes:
a long struggle, 1727-1960
Patrizio Barbieri
Via Merulana 259, 00185 Roma • [email protected]
Una canna ad anima è caratterizzata dall’avere una imboccatura simile a quella di un flauto diritto. Sotto l’aspetto analitico,
la frequenza dei suoi modi di vibrazione ha dovuto progressivamente tenere conto di due fattori principali: (1) sua lunghezza
acustica, che prende il posto della lunghezza geometrica; (2) perdite interne, per attrito e trasmissione termica, che rallentano la velocità dell’onda piana al suo interno.
Nel 1727, il non ancora ventenne Eulero elabora empiricamente la prima formula che fornisce la frequenza fondamentale
di una canna aperta a entrambe le estremità. Nel 1760-61, Lagrange ottiene per via analitica analoga formula, estesa agli
armonici superiori e alle canne tappate a una estremità. Nel 1762, Daniel Bernoulli risolve, analiticamente e sperimentalmente, il problema delle canne coniche e “a camino” (queste ultime formate cioè da due tubi cilindrici di differente diametro). In
tutte queste formule compare la sola lunghezza geometrica della canna; poco dopo, Giordano Riccati (1767) e Lambert (1775)
ipotizzano che al suo posto dovrebbe invece essere inserita una lunghezza un po’ maggiore, cioè quella “acustica”. Quest’ultima - limitatamente alla sola frequenza fondamentale - verrà quantificata sperimentalmente nel 1848 (Wertheim) e analiticamente nel 1860 (Helmholtz). Nel 1871, Rayleigh affinerà i calcoli di Helmholtz, introducendo fra l’altro il moderno concetto
di analogia elettroacustica. Nel 1948, verrà analiticamente dimostrato, da Levine e Schwinger, che passando agli armonici
superiori tale lunghezza torna progressivamente ad avvicinarsi a quella geometrica.
Già Dulong (1829) e Poisson (1831) avevano intuito che la velocità del suono all’interno della canna, rispetto a quella nell’aria
libera, dovesse calare a causa dell’attrito delle particelle d’aria con la sua parete. Tenendo conto del coefficiente di viscosità
presente nell’equazione d’onda di Navier-Poisson-Stokes (1845), nel 1863 Helmholtz ottiene la prima formula a riguardo. In seguito ai rilevamenti sperimentali di Kundt (1867), nel 1868 Kirchhoff estende tale formula alle perdite dell’onda per trasmissione
termica con la parete della canna (formula che comunque costituisce una soluzione approssimata della complessa equazione
trascendente da lui stesso elaborata a riguardo). Ulteriori fattori di perdita verranno individuati nel secolo successivo.
Sebbene la meccanica delle onde stazionarie fosse ormai chiara sotto l’aspetto analitico, solo nella seconda metà del secolo XIX
poté essere trovata una spiegazione scientificamente valida della differente “qualità” del suono emesso da due canne corrispondenti a una stessa nota ma di differente snellezza, cioè rapporto diametro-lunghezza. In seguito alla cosiddetta “legge di Ohm”
acustica (1843) - e alla sua decisiva approvazione da parte di Helmholtz - il particolare timbro di un dato suono fu ascritto al suo
contenuto in armoniche. Il differente carattere dei registri organistici poté quindi avere una spiegazione, dato che - grazie alle
ricerche effettuate nei riguardi della lunghezza acustica e delle perdite interne - era risultato che quelli di taglio stretto presentano una più consistente emissione di armonici acuti e quindi un timbro più brillante di quelli di taglio largo, cioè flautati.
A characteristic of the flue organ pipe is that it has a mouth similar to that of a recorder. From an analytical point of view, its mode
frequency has progressively had to take into account two principal factors: (1) its acoustic length, which replaces its geometric length;
(2) internal losses, due to friction and temperature, which slow down its internal plane-wave velocity.
In 1727, the young Euler empirically worked out the first formula providing the fundamental frequency of a pipe open at both ends. In
1760-61, Lagrange obtained the same formula analytically, extended to the upper harmonics and to pipes stopped at one end. In 1762,
Daniel Bernoulli resolved the problem, both analytically and experimentally, of conical and “chimney” pipes (the latter being formed of
two cylindrical pipes of different diameters). All these formulae utilise solely the pipe’s geometrical length. Shortly afterwards, Giordano
Riccati (1767) and Lambert (1775) hypothesised that it should be replaced by a slightly greater value, i.e. its “acoustic length”. The latter
- limited to the sole fundamental frequency - was quantified experimentally in 1848 (Wertheim) and analytically in 1860 (Helmholtz). In
1871, Rayleigh perfected Helmholtz’s calculations by also introducing the modern concept of electro-acoustic analogy. In 1948, Levine and
Schwinger demonstrated analytically that in passing to the upper harmonics, this value progressively returned to its geometric length.
Dulong (1829) and Poisson (1831) had already intuited that the speed of sound inside the pipe, as compared to its speed in free air,
dropped due to the friction of the air particles against the pipe walls. Taking into account the viscosity coefficient present in the NavierPoisson-Stokes wave equation (1845), in 1863 Helmholtz obtained the first related formula. Later on, after the experimental tests by
Kundt (1867), in 1868 Kirchhoff extended this formula to wave losses owing to the heat transmitted by the pipe walls (a formula that
constitutes an approximate solution to the complex transcendental equation worked out by him on the subject). Further loss factors
were identified in the following century.
Although the mechanics of standing waves was now clear from an analytical point of view, it was only in the second half of the 19th century that a valid scientific explanation could be found for the different “quality” of sound emitted by two pipes for the same note, but
with different “slimness”, i.e. their diameter-length ratio. As a result of Ohm’s so-called “acoustic law” (1843) - and its decisive approval
by Helmholtz – the particular timbre of a given sound was ascribed to its harmonic content. The different character of organ stops could
thus find an explanation, since – thanks to the research carried out on acoustic length and internal losses - it was shown that those with
a low diameter-length ratio provided a more consistent emission of upper harmonics and consequently gave a more brilliant timbre.
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Barbieri/Mathematical theory on flue organ pipes: a long struggle
PACS: 43.05.Dr, 43.75.-z, 43.75.Np
Parole chiave: canne d’organo ad ancia, storia delle teorie matematiche
Keywords: flue organ pipes, history of the mathematical theories
1. Introduzione
Le canne d’organo sono di due tipi fondamentali: “ad ancia”
(in cui il risonatore viene eccitato da una linguetta metallica,
di forma simile a quella del clarinetto) e “ad anima” (la cui
imboccatura è analoga a quella di un flauto diritto). La trattazione verterà sulla nascita e sul progressivo affinamento della formula che fornisce la frequenza fondamentale e relativi
armonici. Essa verrà suddivisa nei seguenti quattro paragrafi:
2. Genesi della formula classica di Eulero-Lagrange, che
prende l’avvio nel 1727.
3. Introduzione delle correzioni di estremità, che modificano
il concetto di “lunghezza geometrica” in quello di “lunghezza acustica”; vedremo che, sotto l’aspetto scientifico,
tali tormentose indagini presero l’avvio nel 1762 e poterono ritenersi concluse solo nel 1960.
4. Introduzione delle perdite interne, per attrito e scambi termici (avviata nel 1863-68), in seguito alle quali la velocità
del suono che compare nella formula diviene funzione del
diametro della colonna d’aria e della sua frequenza di vibrazione.
5. Nascita della moderna teoria del “timbro” (1843), che
finalmente permetteva di dare ragione della differente
“qualità” del suono emesso da due canne corrispondenti
a una stessa nota ma di differente snellezza, cioè rapporto
diametro/lunghezza.
Fig. 2.1. Sinistra: canna ad anima. Il piede è separato dal risonatore
da uno spesso diaframma di piombo detto “anima”, che lascia solo
una stretta fessura (“luce”) per il passaggio della lama d’aria. Destra:
dettaglio della bocca di una canna di legno [1].
Left: flue pipe. The foot is separated from the resonator by a thick
lead diaphragm known as the “languid”, leaving only a narrow slit
(“flue”) for the passage of the air blade. Right: detail of the mouth of
a wooden pipe [1].
d’aria contenuta in un tubo cilindrico a quella di una corda solida. Trova che tali due frequenze coincidono quando la corda
solida ha la stessa lunghezza del tubo, lo stesso peso dell’aria
in esso contenuta, ed è posta in tensione da un peso pari a
2. Nascita di una teoria matematica,
quello esercitato dalla pressione atmosferica sulla sezione del
1727-88
tubo (cioè pari al peso di una colonna barometrica di mer2.1. Concetti base
curio avente lo stesso diametro del tubo) [3]. Contrariamente
Una canna ad anima è composta da un risonatore longitualla corda solida, la chorda aëris acquistava quindi elasticità
dinale (“corpo”) eccitato a una estremità da un dispositivo
tramite compressione da parte dell’atmosfera soprastante; le
(“bocca”), di cui si parlerà nel par. 3; l’altra estremità può
sue vibrazioni, invece di essere trasversali, erano inoltre di tipo
essere aperta o tappata. Il significato della denominazione
longitudinale.
“ad anima” apparirà chiaro dall’esame della Fig. 2.1. In corTale dualismo era per la verità già stato avanzato dal gerispondenza delle possibili risonanze, all’interno del corpo si
suita Ignace-Gaston Pardies (c.1672) e successivamente da
vengono a formare delle onde stazionarie che si estendono
Newton [4]. Il giovane Eulero però va oltre, riuscendo a quanall’intera serie armonica per le canne aperte ad entrambe le
tificarlo e a fornire così - per la prima volta - una formula che
estremità e alle sole armoniche dispari per quelle con una
permette di calcolare la frequenza fondamentale di una canna
estremità tappata (Fig. 2.2). A parità di lunghezza, si vede
cilindrica aperta ad entrambe le estremità. Egli parte dalla
però che tutte le armoniche di queste ultime sono all’ottava
formulaBarbieri
che dà la frequenza fondamentale f di una corda maART STORICO:
grave rispetto alle corrispondenti della canna aperta. Nel par.
teriale lunga L, di massa M, e tesa da una forza F:
3 vedremo che nel caso reale i nodi di pressione non si trovano
1
ARTfisiche
STORICO: Barbieri
però esattamente in corrispondenza delle due estremità
 F 2
f =
del corpo (come nel caso idealizzato di Fig. 2.2), ma un po’ al
(2.1)
 ,
 LM
1 
di fuori. Nelle formule di figura, la L (lunghezza geometrica)
 F 2
dev’essere quindi portata alla lunghezza acustica, aggiungenf =

do un termine relativo alla cosiddetta “correzione di bocca”
dove la f è da lui espressa
in vibrazioni
semplici, cioè in Hz/2
 LM

e, per le sole canne aperte, anche uno relativo alla estremità
[5]. Introducendo il dualismo di cui sopra, per un tubo aperto
1
1
superiore. Tali correzioni non sono per nulla trascurabili, podi pari lunghezza geometrica
ottiene, sempre
in Hz/2
(tradu1
2 simbologia
 PS moderna):
2 1  P 2 c
tendo essere dell’ordine di un intero tono.
cendo i suoi passaggi
 F in
2.2. La “chorda aëris” di Eulero
Nella sua dissertazione di laurea del 1727, il non ancora ventenne Eulero associa la frequenza di vibrazione della colonna
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f =
 =   =
 =
L 1ρ 
L
1 )
 LM
1 
 L( ρ SL
2
2
2




F
PS
P
c
1


f =
, (2.2)
 =   =
 =
LM
Lρ 
L

  L( ρ SL) 
f = c/ (= c/L)
1/2
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(P/)
f = c/ (=
c/L)
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(
Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria
Fig. 2.2. Armonici di una canna aperta ad entrambe le estremità (sinistra), o solamente a una di esse (destra) [2]. Da notare che i nodi di spostamento N (cioè di vibrazione delle particelle d’aria) coincidono con gli antinodi di pressione p. Col verso delle frecce indicato in figura, valido per un semiperiodo, i nodi N corrispondono a sottopressioni massime rispetto a quella atmosferica (linee tratteggiate dei grafici p, sottostanti). Nel semiperiodo
successivo la situazione si ribalta. Alle estremità aperte la pressione nodale è quella atmosferica. Da notare che, per gli armonici dispari della canna
non tappata, le velocità acustiche alle due estremità sono in opposizione di fase (cioè le particelle d’aria escono dalla canna nel primo semiperiodo
ed entrano in quello successivo).
Harmonics of a pipe open at both ends (left), or at only one (right) [2]. Note that displacement nodes N (air-particle vibration) coincide with the
pressure p antinodes. In the direction of the arrows shown in the figure - valid for a half-cycle - nodes N correspond to maximum air rarefactions as
compared to atmospheric values (broken lines in graphs p, below). In the next half-cycle, the situation is the opposite. At the open ends, the nodal
pressure is atmospheric. Note that, for the odd harmonics of the open pipe, the air-particle velocities at the two ends are in phase opposition.
dove S è l’area della sezione trasversale del tubo; P la presessere stato decisamente sovrastimato. Nel 1762, Daniel
sione atmosferica; ρ la densità dell’aria; c la velocità del suoBernoulli riferisce infatti che, secondo gli organisti, tale
no nell’aria libera secondo Newton. In realtà Eulero omette
oscillazione si aggirava al massimo intorno a un semitono;
di citare esplicitamente l’ultima equivalenza (c/L), avendo
la causa di ciò viene da lui attribuita alla minore escursioin precedenza ricordato che la formula proposta da Newton
ne termica all’interno di una chiesa rispetto all’aria esterna
per la c si era rivelata in difetto di quasi il 20% rispetto alle
[13]. In base a misurazioni pratiche, tre anni dopo Giordamisure sperimentali [6]. Nell’eq. (2.2) detto errore comunno Riccati limiterà a un terzo di tono tale oscillazione di
que resta, dato che la schematizzazione di Newton, cacciata
corista [14]. Già agli inizi del secolo successivo Poisson avedalla porta, rientra dalla finestra. Meglio sarebbe stato parva comunque risolto il problema, fornendo una formula in
ART
STORICO:
tire direttamente dalla f = c/λ (= c/L), relazione
già pubcui laBarbieri
c viene espressa in funzione sia della temperatura che
blicata da Newton nel 1687 [7]. Ancora nel 1739, quando
dell’umidità relativa dell’aria [15].
Eulero la ripubblicò nel Tentamen novae theoriae musicae,
1
la eq. (2.2) era l’unica a riguardo [8]; al fine di evitare det2.3. Onde progressive e stazionarie
 F 2
f =
to errore, in essa alcuni fisici inseriranno però direttamente
nelle canne cilindriche

LM
 Eulero era unicamente in
il valore di c ottenuto dai rilevamenti sperimentali, come
Abbiamo visto che ancoranel
1739
ad esempio quelli pubblicati da César-François Cassini nel
grado di fornire una formula, empirica, relativa alla sola fre1738, i più precisi del secolo (vedi ad esempio G. Riccati
quenza fondamentale di una canna d’organo aperta. A partire
[9]). È bene comunque osservare che l’errore in questione
dal 1747, con la soluzione del problema della corda vibrante
poteva venire inconsapevolmente attenuato dal fatto che,
da parte di d’Alembert,
la meccanica
riceve
1 delle vibrazioni
1
1
2
2
nella summenzionata formula, alla L avrebbero dovute estale impulso
da
portare
nel
giro
di
una
dozzina
d’anni
2
c - an1P
 F   PS 
=
=
=
=
sere aggiunte le correzioni di estremità, il cui valore sarà con
che allaf soluzione
analitica
dell’analogo
problema
delle
canne

 
 
( ρ SL) 
LM   L
LAnalizziamone
L in
ρ
buona approssimazione noto solo verso la metà del secolo
cilindriche o prismatiche,
aperte e tappate.
XIX (par. 3).
sintesi l’evoluzione cronologica (vedi anche [16]).
A differenza di Newton, Eulero chiarisce meglio la di1747. D’Alembert imposta l’equazione generale della corpendenza del fattore (P/ρ)1/2 dalla temperatura dell’aria.
da vibrante ideale; la sua soluzione fornisce, per ogni armoSostiene infatti correttamente che il rapporto P/ρ - e quinnico, un’onda stazionaria prodotta
somma di due onde
f = c/dalla
(= c/L)
di anche la frequenza di una canna d’organo - non cambia
viaggianti in senso opposto tra loro. Per una corda ideale che
passando “dalle più profonde valli ai più alti monti”, semsi estende indefinitamente nella direzione
1/2 x, lo spostamento
(P/)la
pre che temperatura e umidità rimangano le stesse. A pariverticale y nel tempo t che caratterizza
sua onda progressiva
tà di P, la frequenza della canna raggiunge quindi il valore
viene espressa da un’equazione che diverrà famosa:
massimo in estate con tempo secco e il valore minimo in
2
inverno con tempo umido [10,11]. Per le usuali variazioni di
∂2 y
2 ∂ y
=
c
temperatura, nel 1739 egli quantifica in un tono (rapporto
,
(2.3)
∂t 2
∂x 2
9:8) l’entità di tale oscillazione [12]; dato che risulterà però
(2.3)
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y = F(ct − x)
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dove c è la velocità dell’onda lungo la corda. Se i due estrenel 1747 per la corda vibrante [25] (alla p. 175 precisa che
mi sono incernierati la soluzione è data dall’onda stazioessa non è altro che un caso limite di equazioni già da lui
naria che si ottiene dalla somma di due onde viaggianti caottenute nel Capitolo V della memoria del 1759). C’è da
ratterizzate
da
una
generica
funzione
F,
cioè:
y
=
F(ct
−
x)
aggiungere che il giovane fisico torinese nel 1759 si era preTORICO: Barbieri
per l’onda che progredisce verso destra, e y = F(ct + x) per
murato di inviare una copia del primo volume di memorie
quella riflessa [17]. Tali onde stazionarie, cioè i “fusi” della
a Eulero, col quale rimase poi in amichevole contatto epia formula (2.3)corda vibrante, erano già state osservate sperimentalmente
stolare per diversi anni. Quest’ultimo, stimolato da detta
da Noble and Pigot (1673) e da Sauveur (1700), ma d’Alemmemoria, già negli ultimi mesi del 1759 era per altra via
bert è il primo che le collega alle onde progressive: tale suo
pervenuto alla stessa equazione, e tale risultato comunirisultato sarà alla base della comprensione della meccanica
cato all’Accademia delle scienze di Berlino nel novembre
ct 
 nπ x  al quale
 nπperò
del tubo
a
colonna
d’aria
vibrante,
si
limita
a
dello stesso anno. Tale suo lavoro, dove peraltro riconosce
y ( x, t ) =
An sin 
 cos 

l
l
fare
un
semplice
cenno,
associandone
il
calcolo
a
quello
da
la priorità dell’italiano, sarà però pubblicato solo nel 1766




n
TORICO: Barbieri
lui ottenuto per la corda.
[26]. Sull’argomento è anche molto interessante l’appro1748. Servendosi di un differente metodo, che però
fondita analisi di Truesdell [27], che, in tale competizione,
a formula (2.3)“non differisce molto da quello del Sig. d’Alembert”, Euo l = /2, cioè pari alla semilunghezza d’onda, e c la velocità dell’ondaattribuisce maggiore importanza al contributo scientifico
lero conferma i risultati di quest’ultimo. Egli è inoltre il
apportato da Eulero.
siva, l’equazione
può
essere scritta
nellaesplicita,
forma alanoi
familiare:
primo
a pubblicare,
in forma
formula
dell’on1760-61. Sempre nel secondo volume delle summenzioda stazionaria della corda contenente le sue singole armonate memorie, Lagrange - imponendo opportune condi nπ x 
 nπ ct 
niche ny[18]:
zioni al contorno nell’equazione da lui trovata - dimostra
( x, t ) =
An sin 
 cos 

 l 
 l 
analiticamente la ragione per cui una canna tappata emetn
te solo gli armonici dispari (le condizioni da lui imposte
 2π 
 2π 
,
sono che l’oscillazione delle particelle d’aria dev’essere
y ( x, t ) =
An sin  n
x  cos  n

 λ 
 T 
n
o l = /2, cioè pari alla semilunghezza d’onda, e c la velocità dell’ondamassima in corrispondenza dell’estremità aperta e nulla
in quella tappata). Ignorando le precedenti (parziali) espesiva, l’equazione
puòl =
essere
scritta
forma a noid’onda,
familiare:
essendo
λ/2, cioè
pari nella
alla semilunghezza
e c la
rienze di Mersenne [28,29], aggiunge che tale fenomeno
velocità dell’onda progressiva, l’equazione può essere scritta
era stato per la prima volta segnalato da Daniel Bernoulli
nella forma a noi familiare:
nel 1753, ma che né lui né alcun altro ne avevano fino ad
..................................
allora reso ragione [30]. Bernoulli rivendicherà la paternine sono costanti, introducendo le forze tangenziali dovute al coefficiente
tà diditale spiegazione nella celebre memoria del 1762, ma
2
π
2
π




à  ottiene un’equazione
forma
y ( x, t ) =da luiAnriportata
sin  n nella
x  cos
Lagrange - in una lettera inviata a d’Alembert nel 1765, da
 n seguente:
,
 λ 
 T 
n
Torino - respingerà con indignazione (e con ragione) tale
pretesa [31].
dove T è il periodo (T = 1/f). Brook Taylor, che nel 1715
1764. Solo in quest’anno vengono pubblicate le ricerper primo aveva
aggredito
analiticamente
il
problema
che
di Daniel Bernoulli sulle canne d’organo, ricerche
2
3
d 2v
v invece
4µ dlimitato
v
2 sid era
della corda vibrante,
all’onda
stainiziate
con successo più di vent’anni prima e solo nel
=c
+
..................................
2
2
2
zionaria relativa
alla
sola
armonica
fondamentale;
e
ciò
1762
comunicate
alla Académie des sciences di Parigi
3ρ dx dt
dt
dx
ne sono costanti,
introducendo
al coefficiente
dopo
aver postulatole-forze
e nontangenziali
dimostrato -dovute
che il relativo
[32].di
Sotto l’aspetto matematico la sua memoria è quindi
à  ottiene un’equazione
da lui riportata
forma
seguente:
“fuso” di vibrazione
avesse unnella
profilo
sinusoidale,
curva
solamente “a voice from the past” [33]. Sotto l’aspetto
che lui chiama “cicloide”, traendo questa terminologia
fisico, invece, è preziosa e contiene molte informazioni
dall’analogia tra l’isocronismo delle piccole oscillazioni
inedite, come la posizione dei nodi, il verso della velocità
di
un
pendolo
a
cicloide
e
quello
della
corda
vibrante,
la
delle particelle d’aria, gli effetti dell’apertura di un foro
: D’Orazio
cui frequenza risultava
essere
indipendente
dall’ampiezza
nella parete della canna; viene inoltre per la prima volta
2
v
d 2 v se4la
µ confusione
d 3v
2Come
di vibrazioned[19,20].
non
bastasillustrato, teoricamente e sperimentalmente, il comporta=c
+
dt 2secoli XVIII
dx 2 3e ρXIX
dx 2la
dt cicloide è anche
se, nei testi dei
mento acustico delle canne coniche e di quelle “a camidetta “trocoide”, la quale
viene
assimilata alla “sino” (queste ultime costituite da due cilindri di differente
(τ , t anche
)
(3)
nusoide” [21,22].φ (τ , t ) =
diametro, posti in serie).
 (0, t )
1753. Daniel Bernoulli effettua alcune esperienze su
Per più della metà del secolo successivo le ricerche
di un flauto traverso, tappandone preventivamente tutti i
teoriche passeranno in secondo piano, dato che i fisici si
concentreranno sulla verifica sperimentale delle teorie ora
: D’Orazio fori tonali. Soffiando progressivamente sempre più vigorosamente ottiene l’intera serie degli armonici. Tappando
citate: per questa ragione si farà riferimento alla memoanche l’apertura terminale del canneggio osserva che detta
ria di Bernoulli molto più che non a molti dei contribuserie si riduce agli armonici dispari. Su ciò dice che intende
ti puramente teorici di Eulero e Lagrange. Jean-Baptiste
(τ , t ) avrò spiegato e ridotto
“pubblicare una memoria,
quando
Biot verificherà ad esempio l’emissione degli armonici per
φ (τ , t )dell’aria
=
(3)
a calcolo le vibrazioni
che
si
formano
nelle
canne
svariati tipi di canna [34]; Félix Savart e William Hopkins
 (0, t )
aperte e tappate” [23].
indagheranno sulla reale posizione dei nodi [35,36]; Char1759-61. Nel primo volume di memorie dell’Accadeles Wheatstone escogiterà una ingegnosa conferma sperimia delle scienze di Torino, da lui edito nel 1759, Giuseppe
mentale riguardante il verso della velocità delle particelle
Lodovico Lagrange pubblica importanti sviluppi analitici
aeree in corrispondenza dell’estremità superiore [37]. Il
sulla propagazione del suono
[24].
Nel
secondo
volume
delproblema principale rimarrà comunque quello della ef
la summenzionata Miscellanea Taurinensia (1760-61) egli
fettiva lunghezza acustica della canna, che dalle esperienfa seguire, in forma esplicita, l’equazione di propagazione
ze fatte risultava essere sensibilmente maggiore di quella
di un’onda piana nell’aria, equazione che si rivela essere
geometrica, cioè di quella figurante nelle formule finora
perfettamente simile a quella già ottenuta da d’Alembert
esaminate.




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
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Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria
2.4. Il problema della riflessione dell’onda
dall’estremità aperta della canna
e la conseguente corretta spiegazione dell’eco
La trattazione analitica dell’onda piana nei tubi portò anche
a un radicale cambiamento del concetto di riflessione d’onda,
e quindi della produzione dell’eco.
In una corda vibrante, la riflessione da entrambe le estremità era fisicamente intuibile e, per corde lunghe e non eccessivamente tese, anche materialmente visibile. Nelle canne
tappate, la riflessione da parte del tappo veniva interpretata
in maniera analoga, cioè come il rimbalzo di una pallina
elastica contro un muro: tale è, ad esempio, la schematizzazione di Mersenne [38] e, ancora nel 1727, quella del giovane Eulero [39]; nel Tentamen, invece, quest’ultimo riterrà
più prudente non rifarsi a tale analogia [40]. Le equazioni
d’onda sconvolsero però l’apparente semplicità del problema, rivelando la presenza di una riflessione - sia pure con
inversione dell’onda di pressione acustica - anche in corrispondenza dell’estremità aperta della canna, riflessione
prodotta quindi dalla stessa aria libera. Sotto l’aspetto analitico, il problema era stato risolto nel 1760 da Lagrange,
mediante l’imposizione di opportune condizioni di vincolo;
impostazione che nel 1788 si ritroverà nella sua Méchanique
analitique [41].
Ciò che ancora mancava era però un spiegazione qualitativa della meccanica del fenomeno. Nel 1816 Jean-Baptiste Biot avanzò una parziale giustificazione, basata sul
terzo armonico di una canna tappata. In Fig. 2.2 si può
vedere che, alla distanza L/3 dall’estremità tappata, detto
terzo armonico presenta un nodo di pressione e un antinodo di vibrazione, per cui aprendo un foro in quel punto
l’armonico rimane immutato; anzi, rimane immutato anche
se il foro viene replicato lungo l’intera circonferenza della
canna, tagliando di fatto quest’ultima in due. Biot conclude
quindi che le vibrazioni, raggiunto questo punto, “vengono
ripercosse dall’aria esterna, esattamente come lo sarebbero da una parete solida” [42]. Una completa spiegazione
qualitativa della riflessione d’onda da parte dell’estremità
aperta della canna verrà comunque avanzata solo nella seconda metà del secolo (vedi ad esempio il trattato di Jamin
e Bouty [43]).
Sempre a tale riguardo, nel 1765 Eulero formula una ingegnosa schematizzazione matematica del fenomeno, basata sul
nuovo “metodo della sorgente immagine” [44,45]; metodo del
quale per la verità si era già servito il gesuita Ignace-Gaston
Pardies verso il 1672 [46]. Eulero aggiunge che esso si potrebbe verificare anche in strette gallerie, per cui – se queste sono
sufficientemente lunghe e l’osservatore a sufficiente distanza
dal loro sbocco nell’aria aperta – tale riflessione può essere
percepita come eco, anziché come risonanza (sebbene non
venga esplicitamente da lui precisato, ciò si verifica solo se la
lunghezza d’onda è molto maggiore del diametro della galleria). All’inizio del secolo successivo, riferendosi al contributo
di Eulero, Chladni farà rilevare che per la prima volta l’eco
veniva correttamente spiegato come una riflessione d’onda, e
non più - conformemente al vecchio principio della “catacustica”, duale della “catottrica” - come una riflessione meccanica di particelle d’aria [47].
Nel 1817, Poisson e Biot dimostreranno che tale riflessione può avvenire anche all’interno di una canna contenente
due gas, in corrispondenza della loro superficie di separazione [48,49] (gli esperimenti di Biot confermano però solo
in parte la teoria di Poisson). Se la sua estremità opposta
alla bocca viene parzialmente immersa nell’acqua, Poisson
è quindi in grado di affermare - ed è il primo a dimostrarlo
- che, a causa della grande differenza di densità, essa “può,
senza tema di errore, essere riguardata come un tubo tappato nel punto in cui l’acqua si innalza al suo interno, o, per
dirla in altri termini, questo punto può essere considerato
come un nodo di vibrazione” [50]. Nel 1867 Tyndall affermerà che l’eco si può verificare addirittura nell’aria aperta,
nella zona di transizione tra due strati di differente densità:
veniva così dimostrato che esistevano mezzi trasparenti alla
luce ma non al suono [51]. Il concetto di impedenza acustica, col quale oggi tali fenomeni vengono comunemente
spiegati, cominciava quindi a farsi strada.
3. Le due correzioni di estremità:
una laboriosa indagine, 1762-1960
3.1. Le prime osservazioni empiriche, 1762-1860
Le formule viste nel par. 2.2 sono relative alle canne ideali, cioè a quelle “infinitamente sottili”, come tiene a precisare lo stesso Eulero [52]. In realtà, già da secoli si era
a conoscenza che la nota emessa da una canna d’organo,
mantenendo costante la lunghezza, cala progressivamente
di frequenza al crescere del diametro; in alcuni manoscritti
medievali sono ad esempio già prescritte correzioni di estremità, rispetto ai rapporti pitagorici, espresse in frazioni del
diametro della canna (vedi ad esempio [53]). Ciò era stato
quantitativamente rilevato anche da Mersenne nel 1636-37,
e tali suoi risultati controllati sperimentalmente nel 1806
dall’organaro mantovano Luigi Montesanti. I dati forniti
da Mersenne erano il risultato di una serie di esperimenti
effettuati su canne della stessa lunghezza e di differente diametro, da lui commissionati a tal Cornu, “abile agrimensore” ed esperto nel calcolo dei rapporti armonici. Mersenne
desiderava anche sapere in quale misura tali frequenze dipendessero dall’ampiezza della bocca; a questo scopo, già
nel 1635 Christophe de Villiers si era offerto di costruire due
canne di eguale diametro, munite di bocche di larghezza assai differente. Anche Montesanti, da bravo organaro, dimostra di essere pienamente consapevole che la frequenza della
nota emessa varia con l’ampiezza della bocca [54].
Mentre Mersenne aveva mantenuto costante la lunghezza
e fatto variare il diametro, nel 1762 Daniel Bernoulli invertirà
i ruoli, servendosi di una canna tappata mediante un pistone
scorrevole: noterà che gli scarti rispetto alla formula teorica
ideale vista nel par. 2.2 (f = c/2L, in Hz) crescono al diminuire
della lunghezza L e correttamente attribuirà tale comportamento alla ostruzione dell’estremità aperta del tubo causata
dalla presenza della bocca. Dai dati da lui riportati, tale risposta in frequenza risulta corrispondere a un aumento fittizio Δm della L sensibilmente costante [55].
Nonostante le testimonianze degli organari e quanto
pubblicato da Mersenne, fisici e matematici tardarono a
prendere in considerazione questo problema: solo nel 1767
Giordano Riccati fa notare che esiste una chiara distinzione tra lunghezza geometrica e acustica di una canna. Paragonando la frequenza di una canna di cinque piedi aperta,
misurata da Sauveur, e il valore di una canna simile risultante dalla formula di Eulero, deduce che il rapporto “fra
la lunghezza d’una canna d’organo di cinque piedi, e quello della tortuosa corda d’aria, che dentro la canna stessa
va serpeggiando” è pari a 57:58 [56]; la correzione effettiva
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si rivelerà in seguito assai maggiore dello 1.75% corrispondente a tale rapporto. Sebbene avesse chiaramente intuito
che la lunghezza acustica è maggiore di quella geometrica,
dalla terminologia impiegata si evince che, evidentemente all’oscuro delle indagini di Lagrange ed Eulero, Riccati
non era a conoscenza che quella che si propaga all’interno della canna è un’onda piana; a pag. XI rivela infatti di
essere rimasto ancorato alla vecchia teoria delle ripetute
riflessioni, proposta nel secolo precedente: “una corda
d’aria dentro una canna cilindrica d’organo, a cagione
delle replicate riflessioni che succedono, è alquanto più
lunga della canna predetta” [57]. Che invece la lunghezza
acustica si estendesse un po’ oltre l’apertura superiore viene correttamente fatto osservare - sulla base di una solida
giustificazione energetica - da Johann Heinrich Lambert,
nella sua memoria sul flauto traverso [58]: “sembra che
l’onda si prolunghi oltre il foro aperto C [al termine della
cameratura], cosa che non giudico impossibile. Come dato
di fatto, le vibrazioni prodotte nella cameratura devono
sempre propagarsi nell’aria esterna”. Questa è la prima
menzione esplicita di una correzione di estremità superiore, fatto che continuerà comunque a essere ignorato per
almeno un’altra generazione.
Rifacendosi ai summenzionati esperimenti di Mersenne,
nel 1804 il matematico e ingegnere fiorentino Pietro Ferroni
richiama fermamente l’attenzione sul fatto che la frequenza
di una nota emessa da una canna d’organo dipende non solo
dalla sua lunghezza geometrica - come previsto dalla formula di Eulero, l’unica allora nota -, ma anche dal diametro, e
invita di conseguenza “i fisici valorosi [...] a sciogliere questo
nodo ripetendo le due suddescritte esperienze” [59]. Come già
anticipato, in seguito alla lettura di tale memoria l’organaro
Luigi Montesanti effettua delle verifiche che confermano le
conclusioni di Mersenne, evitando però di proporre alcuna
spiegazione di tipo teorico [60]. Una decina di anni dopo,
il fisico veneto Simone Stratico effettua anch’egli una serie
di esperimenti a riguardo, da lui esposti in un manoscritto
risalente al 1815-16. Sebbene da lui interpretati mediante
una erronea analogia di tipo fluidodinamico, giunge a due
importanti conclusioni: (1) la colonna d’aria si estende effettivamente al di fuori della canna; (2) a parità di lunghezza di
quest’ultima, tale estensione aumenta all’aumentare del diametro della canna stessa [61].
In una memoria puramente teorica letta nel 1818-19 alla
Académie des sciences di Parigi, Siméon-Denis Poisson espone il seguente ragionamento: (1) se non alimentato, il suono
emesso da un flauto svanisce quasi immediatamente; (2) l’attrito della colonna d’aria con la parete interna della cameratura non è sufficiente a giustificare tale rapidità di estinzione;
(3) essa è piuttosto dovuta all’energia sonora emessa (questa
sua ipotesi si rivelerà però errata: moderne indagini hanno infatti appurato che, nei flauti e nelle canne d’organo, la potenza acustica in uscita risulta essere assai inferiore all’1% della
potenza in ingresso fornita dal flautista o dai mantici, come
ad esempio dimostrano le misure pubblicate da Bouhuys nel
1965 [62]). A riguardo, Poisson prosegue facendo correttamente osservare che “è difficile concepire come la porzione
d’aria situata all’estremità [aperta] del tubo possa ricevere
delle velocità qualunque senza provare nello stesso tempo
delle condensazioni o delle dilatazioni proporzionali a queste velocità” [63,64]. All’estremità aperta del tubo il rapporto
p/v (pressione acustica/velocità delle particelle d’aria) non
sarà quindi nullo, come ipotizzato nell’equazione di Eulero-
Lagrange, ma leggermente superiore allo zero; aggiunge che,
pur essendo “assai piccolo” nei tubi snelli, tale rapporto cresce all’aumentare del diametro [65]. È proprio detta emissione di energia a fare sì che le onde prodotte dalla bocca della
canna “non si accumulino senza posa nella colonna vibrante” [66]. Benchè venga così finalmente spiegato il meccanismo energetico dell’emissione acustica, il fisico-matematico
francese modifica la teoria di Eulero-Lagrange solamente
col fare osservare (anche questa volta correttamente) che, essendo le onde riflesse di intensità inferiore rispetto a quelle
dirette, i punti nodali sono punti di ampiezza assai ridotta
dell’onda stazionaria, ma non nulla. Quest’ultima continua
però a essere interamente contenuta nel tubo, per cui “si trova che la durata delle oscillazioni del fluido, e di conseguenza
i differenti toni che fa sentire, non dipendono in alcun modo
da tale rapporto [p/v], e sono le stesse di quelle della teoria
ordinaria, dove [tale rapporto] si assume uguale a zero”
[67]. Benchè perda così una buona occasione per introdurre la correzione di estremità, Poisson però di fatto introduce
il concetto di impedenza di carico, dato che il rapporto p/v
viene da lui supposto essere dipendente dalle caratteristiche
meccaniche della sostanza che l’onda incontra alla sommità
della colonna fluida: prende quindi in considerazione anche
il caso limite in cui p/v = ∞, cioè quello della canna tappata
da un tampone infinitamente rigido. Tenta anche di sviluppare analiticamente tale ipotesi, raggiungendo però conclusioni in seguito giudicate erronee [68-70]. I tempi non erano
del resto ancora maturi per tali sviluppi. Il problema della
impedenza di carico, con le relative ripercussioni sull’energia
irradiata e sulla lunghezza acustica della canna, verrà risolto
analiticamente solo verso la metà del secolo XX, grazie al
contributo di scienziati quali Morse, Olson, Beranek, Levine
and Schwinger; tale impedenza risulterà essere una funzione
complessa, il cui modulo dipende dal diametro della canna e
dalla frequenza dell’armonico considerato [71].
Rimaneva quindi da trovare l’esatta formula delle frequenze emesse da una canna, che l’esperienza diceva dipendere non
solo dalla sua lunghezza, ma anche dal diametro. Nel 1823
Félix Savart dà l’avvio a una serie di accurati esperimenti sulla correzione di estremità che furono proseguiti per più di un
secolo da altri fisici (esperimenti effettuati su canne d’organo
di differenti lunghezze e diametri, simili a quelli di Mersenne e
Montesanti). Dato che nelle comuni canne d’organo la lama
d’aria uscente dalla luce agisce solo su di una piccola porzione
della sezione del tubo, da bravo fisico Savart comincia quindi
con l’accertare se ciò influisca sull’andamento dell’onda piana
al suo interno. A tale fine si serve di un tubo aperto ad entrambe le estremità, posto in eccitazione accostando alla sua
estremità inferiore, perpendicolarmente all’asse, una piastra
di vetro vibrante sulla stessa frequenza fondamentale f1 del
tubo. Ciò gli permette di concludere che “la colonna d’aria
entra in movimento nello stesso modo sia che la superficie circolare che la delimita si trovi eccitata a pieno orificio oppure
solamente in una piccola porzione della sua estensione” [73].
Osserva inoltre che, aumentando il diametro, la lunghezza del
tubo deve venire un po’ ridotta affinchè si mantenga in risonanza con la piastra: è quindi confermato che la f1 dipende
anche dal diametro. Anche con la considerevole massa di dati
raccolta tramite un altro suo ingegnoso dispositivo (Fig. 3.1),
Savart non è comunque in grado di elaborare una formula di
calcolo; può semplicemente individuare l’effettiva posizione
dei nodi e antinodi di velocità acustica, che in un caso risultano essere in disaccordo con quanto previsto dalla teoria allora
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nota: trova che in effetti il nodo dell’armonico fondamentale
non giace esattamente nel mezzo del corpo della canna (come
nel caso ideale, Fig. 2.2), ma è leggermente spostato verso la
bocca [74]. Tale spostamento, dovuto alla correzione di bocca, è oggi confermato con maggiore precisione dalla moderna strumentazione elettronica (Fig. 3.2)). Nel 1829 analoghi
esperimenti effettuati da Pierre-Louis Dulong accertarono
che tale posizionamento del nodo è tipico di una data canna
ed è indipendente da altri fattori, come il tipo di gas in essa
contenuto, la sua temperatura e pressione ecc. [75].
William Hopkins, servendosi dello stesso dispositivo
ideato da Savart (tubo e piastra vibrante), nel 1835 perviene invece a conclusioni opposte: la f1 del tubo è indipendente dal diametro, “a patto che l’eccitazione sia distribuita uniformemente attraverso la sua sezione estrema”:
evidentemente nel corso dell’esperienza qualcosa non funzionò a dovere, dato che tutte le ricerche successive, anche teoriche, confermeranno la conclusione di Savart [77].
Conformemente alla summenzionata teoria di Poisson, in
seguito a sviluppi analitici e ricerche sperimentali accerta inoltre che i nodi sono “punti di minima vibrazione, e
non di quiete assoluta” [78]. La lunghezza d’onda rimane
quella di Eulero-Lagrange-Poisson, ma - sempre secondo tali indagini - l’intera onda stazionaria viene “portata
più vicino all’apertura superiore rispetto alla posizione
ad essa assegnata dalle investigazioni di Eulero e del Sig.
Poisson” [79]. È da notare che nessuno degli autori ultimamente citati (Poisson, Savart, e Hopkins) afferma che
l’onda stazionaria sborda un po’ dall’estremità superiore
della canna, contrariamente a quanto invece anticipato da
Lambert e da Stratico.
Successivamente, i fisici sperimentali migliorarono la
vecchia strumentazione di Fig. 3.1, adottando dispositivi ottici basati sulle cosiddette “fiamme manometriche”.
Ulteriori miglioramenti intervennero con lo sviluppo
dell’anemometro a filo caldo, basato sullo stesso principio del microfono a filo caldo (1921-23); servendosi di tale
ultimo dispositivo, nel 1926-28 Richardson misurò l’ampiezza della velocità acustica nelle canne d’organo e, alcuni anni dopo, Young e Loughridge effettuarono la misura
sperimentale della vibrazione dell’aria al di là dell’estremità aperta di una canna suonante, dimostrando che la
correzione di estremità superiore è caratterizzata da una
curva di tipo esponenziale [80].
I primi dati quantitativi relativi al contributo delle
due correzioni di estremità furono pubblicati solo nel
1848 da Wilhelm Wertheim. Per ottenere la correzione
all’estremità superiore (Δe) e quella alla bocca (Δm) egli
si servì di una canna tappata di lunghezza geometrica L,
misurandone la frequenza fondamentale sia col tappo
(fs) che senza (fo). Facendo sistema delle due equazioni
fs = c / 4(L + Δm), fo = c / 2(L + Δm + Δe) fu quindi in grado di dedurre le due correzioni incognite, avendo assunto
che la velocità del suono c all’interno della canna fosse
coincidente con quella nell’aria libera [81]. Come vedremo nel par. 4, tale coincidenza invece non sussiste; dato
che la differenza tra tali due c cresce al diminuire del diametro, i valori da lui ottenuti per le correzioni forniscono quindi un’accettabile approssimazione solo per canne
di diametro largo. Servendosi di tale metodo, Wertheim
fu anche nelle condizioni di determinare la velocità del
suono in differenti tipi di gas, sebbene con risultati solo
approssimativi, dato che le due correzioni di cui si servì
Fig. 3.1. Metodo ideato da Félix Savart
(1823) per trovare sperimentalmente la posizione dei nodi e antinodi di spostamento
(cioè di oscillazione) delle particelle d’aria.
Una piccola e sottile membrana tesa sopra
un telaietto circolare, coperta con sabbia
finissima, viene calata all’interno di una
canna di legno: essa è visibile attraverso
una finestrella di vetro aperta in un fianco
della canna. La sabbia rimane immobile
solo in corrispondenza dei nodi di spostamento. Se invece la sonda fosse costituita
da due membrane tese alle estremità di
un corto cilindretto, in modo da formare
in piccolo tamburo, la sabbia si comporterebbe in maniera opposta, agitandosi in
corrispondenza dei nodi di spostamento
(cioè degli antinodi di pressione) e viceversa. Ciò è dovuto al fatto che all’interno
del ‘tamburo’ la pressione rimane costante
e quella acustica agisce solamente sulla
superficie esterna [72].
Method invented by Félix Savart (1823) to
find the position of displacement nodes and
antinodes experimentally. A small and thin
membrane stretched over a circular frame,
covered with very fine sand, is lowered
inside a wooden pipe: its status is visible
through a glass window let into one side of
the pipe. The sand remains immobile only
at the displacement nodes. If, on the other
hand, the probe consisted of stretching two
membranes at the ends of a short cylinder,
so as to form a shallow little drum, the sand
would behave in the opposite manner, agitating at the displacement nodes (= pressure antinodes) and vice-versa. This is due to
the fact that inside the ‘drum’ the pressure
is constant and the acoustic pressure acts
solely on the outer surface [72].
Fig. 3.2. Onde stazionarie di pressione per il 1°, 2°, e 3° modo di
vibrazione di una canna di un registro di Nachthorn, cioè di taglio
largo [76]. Da notare (1) le accentuate correzioni di estremità, dovute
al grosso diametro della canna, e (2) la discontinuità dell’andamento
della pressione all’altezza della bocca.
Standing pressure-waves for the 1st, 2nd, and 3rd modes of a Nachthorn stop pipe [76]. Please note (1) the accentuated end corrections,
due to the pipe’s large diameter, and (2) the discontinuity of the
pressure curve at the height of the mouth.
erano anch’esse approssimate. Tra le prime formule empiriche atte a fornire la lunghezza “corretta” di una canna
si segnalano anche quelle pubblicate nel 1860 dall’organaro Aristide Cavaillé-Coll, in una memoria ancora oggi
assai nota agli organologi [82].
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3.2. La correzione di estremità superiore:
verso una teoria matematica, 1860-1960
Sotto l’aspetto analitico, il problema del calcolo di tale correzione viene per la prima volta affrontato e con buona approssimazione risolto nel 1860 da Helmholtz, sia pure entro
i seguenti due limiti: (1) caso in cui la lunghezza d’onda λ è
molto maggiore del raggio a della canna; (2) la sommità di
quest’ultima si suppone circondata ad una estesa superficie
piana (= flangia), limitando così a una semisfera la superficie
di irradiazione sonora, il che porta a una decisiva semplificazione del calcolo (Fig. 3.3). L’aggiunta di tale flangia accresce
il valore della correzione, che Helmholtz trova essere pari a
0.785a (= aπ/4), con a raggio del tubo: tale correzione, estesa
alle due estremità del tubo cilindrico, corrisponde al rapporto
S/D, con S e D rispettivamente area e diametro della sezione
[83]. In detta ricerca, egli fu anche stimolato dal fatto che essa
trovava applicazione nel calcolo della frequenza dei risonatori
sferici, la cui bocca è costituita da un corto tubo che dà origine a una flangia in corrispondenza del suo innesto nel risonatore (Fig. 3.4).
Nel 1871, pur in seguito riconoscendo a Helmholtz la
priorità della scoperta della “correct theory of the open organ pipe”, Rayleigh perverrà a risultati analoghi attraverso
un metodo totalmente innovativo, ipotizzando un dualismo
tra corrente acustica e corrente elettrica [88-90]. Come si
vede in Fig. 3.3, se una corrente elettrica scorre attraverso
un lungo tubo cilindrico di materiale conduttore e poi sbocca in un ampio spazio semiinfinito dello stesso materiale, la
resistenza complessiva è proporzionale alla lunghezza del
tubo più una certa frazione del suo raggio a: tale frazione
è il coefficiente di correzione cercato. Servendosi di un procedimento da lui stesso giudicato approssimato, Rayleigh
trovò che detto coefficiente è compreso tra 0.785a (= πa/4,
quello già trovato da Helmholtz) e 0.848826a (= 8a/3π),
orientandosi poi sul valore intermedio 0.824222a [91]. Seguendo lo stesso schema, ma con un differente andamento
delle linee di corrente che sboccano dal tubo, nel 1915 il
matematico americano P.J. Daniell otterrà un valore medio di tale correzione leggermente inferiore, compreso tra
0.82141a e 0.82168a [92]. A detto articolo rispose Rayleigh
nello stesso anno, pur senza fare il nome di Daniell e senza
incidere sostanzialmente sui risultati fino ad allora ottenuti
[93]. Nel 1936 quest’ultimo intervallo di valori fu confermato da L.V. King (della McGill University, Montreal), questa
volta però con una impostazione matematicamente esatta
del problema, facendo uso dei teoremi di inversione relativi
alla teoria delle funzioni di Bessel (Fig. 3.3).
Rilevamenti sperimentali sui tubi dotati di flangia furono effettuati, nel 1874-77, da Émile Gripon [94] e da Robert
H.M. Bosanquet [95]. Il secondo dei due tentò anche una
valutazione ottica dell’andamento della corrente acustica,
servendosi di fumo emergente dalla sommità della canna.
Sempre attraverso misure sperimentali, nel 1877 Rayleigh
trovò che l’apporto della flangia è pari a circa 0.2a, confermando quindi il valore medio della correzione di estremità,
pari a circa 0.6a, già empiricamente trovato dal summenzionato Wertheim nel 1848 [96] [97]. Valori che troveranno una ulteriore conferma sperimentale da parte di Eric J.
Irons [98].
Come già premesso e come conferma la Fig. 3.5, le schematizzazioni di calcolo ora viste valgono solo per lunghezze d’onda molto maggiori del raggio (λ >> a). Esse non
sono quindi utilizzabili per le armoniche acute; qualora poi
Fig. 3.3. Andamento ipotetico delle linee di corrente elettrica o acustica lungo un tubo cilindrico di materiale conduttore che sboccano
in uno spazio semi-infinito costituito dallo stesso materiale [84]. La
resistenza Rm corrispondente alla lunghezza L di un conduttore cilindrico di raggio a, e quella dell’intero mezzo alla destra della flangia,
Rp, possono essere scritte nella forma R = Rm + Rp = τ(L + Δe)/πa2, dove
τ è la resistività specifica del materiale conduttore e Rm = τL/πa2 è la
resistenza di una lunghezza L del cilindro, prima cioè che la corrente
che lo percorre si apra a ventaglio in corrispondenza della flangia.
La lunghezza incognita della correzione di estremità, Δe, viene da
Rayleigh calcolata in base a tale dualismo, con i risultati numerici che
ora vedremo.
Hypothetical pattern of lines of electric or acoustic current along a
cylindrical pipe of conductive material that emerges in a semi-infinite
space of the same material [84]. Resistance Rm of a length L of the
cylindrical conductor of radius a, and that of the entire medium to the
right of the flange, Rp, can be written in the form R = Rm + Rp =
τ(L + Δe)/πa2, where τ is the specific resistance of the conducting
material and Rm = Lτ/πa2 is the resistance of a length L of the cylinder
undisturbed by the divergence of current in the end. The length of the
end correction, Δe, is calculated by Rayleigh according to the above
duality, with the numerical results reported below in the text.
la loro frequenza superi la cosiddetta frequenza di taglio,
esse sfuggono dalla canna senza venire riflesse, cioè senza
formare all’interno di essa l’onda stazionaria [100]. Nel par.
3.4 vedremo che il problema della correzione di estremità
di un tubo senza flangia verrà integralmente risolto solo
nel 1948, cioè esattamente un secolo dopo le prime formule empiriche di Wertheim. In ogni caso, anche trascurando
questa rifinitura finale, i fisici dovettero attendere fino alla
seconda metà del secolo XIX per trovare la giustificazione
matematica di un fatto di cui gli organari, come abbiamo
visto nel par. 3.1, erano consci da secoli: per la stessa nota
emessa, la lunghezza di una canna ad anima diminuisce
all’aumentare del diametro.
3.3. La correzione di bocca
Per la correzione di bocca, una schematizzazione teorica è
molto più complessa, anche perchè la stessa fisica del fenomeno fu per lungo tempo oggetto di discussione. Nel 1877
Rayleigh osserva infatti che, secondo la regola di Aristide
Cavaillé-Coll [82], la correzione totale di una canna d’organo di raggio a ammonta a 31/3 a, mentre per un semplice
tubo aperto a entrambe le estremità sarebbe solamente intorno a 2 × 0.6a, facendo notare che tale discrepanza era
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Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria
a)
b)
Fig. 3.4. Risonatori di Helmholtz: a) destra. Rudolph König, Parigi, 2a metà del secolo XIX (Firenze, Fondazione Scienza e tecnica, Inv. no. 89). Diametro 12.5 cm, di ottone. Per ulteriori dettagli vedi [85]. L’onda sonora eccita il risonatore attraverso la corta apertura cilindrica sulla destra, mentre
invece il piccolo foro a imbuto sulla parte opposta viene inserito nell’orecchio. La frequenza di risonanza di tale dispositivo, in Hz, è data da
c(S/VL)1/2/2π, con c velocità del suono, S area dell’apertura sulla destra, V volume della sfera, L lunghezza acustica dell’apertura cilindrica. Dato che
quest’ultima è geometricamente assai corta, entrambe le correzioni di estremità, all’inizio e alla fine del cilindretto, presentano un effetto considerevole; entrambe devono inoltre essere considerate munite di flangia, per cui la correzione totale viene data dalla formula di Helmholtz: 2 × πa/4, dove
a = raggio del cilindretto [86]. b) sinistra. Stesso tipo di risonatore, sempre di ottone [87]. Guillemin, autore dell’illustrazione, fa osservare che tale
dispositivo fu migliorato dallo scienziato e costruttore di strumenti scientifici Rudolph König, che sostituì la membrana dell’orecchio umano con la
membrana di una capsula manometrica, in modo da rendere visibile il raggiungimento della risonanza.
Helmholtz’s resonators: a) Rudolph König, Paris, 2nd half of 19th century (Firenze, Fondazione Scienza e tecnica, Inv. no. 89). Diameter cm 12.5,
brass. For further details, see [85]. The sound excites the resonator from the cylindrical aperture on the right, while the small funnel-shaped hole
on the left is inserted in the ear. The resonance frequency of this device, in Hz, is given by c(S/VL)1/2/2π, where c is the sound velocity, S the area of
the opening on the right, V the volume of the sphere, L the acoustic length of the cylindrical opening. Since the latter is geometrically rather short,
both end corrections, at the beginning and end of the small cylinder have considerable effect; both such ends must be deemed flanged, so that total
correction is given by Helmholtz’s formula: 2 × πa/4, where a is the radius of the small cylinder [86]. b) Same kind of resonator, again of brass [87].
Guillemin, author of the illustration, notes that this device was improved by the scientist and acoustic instrument maker Rudolph König, who replaced the membrane of the eardrum with the membrane of a manometric capsule, so as to visualize the reaching of resonance.
(∆ m ) = (πa 2 ) /(2k ( S / π )1/ 2 )
“spesso attribuita alla peculiare azione del getto d’aria dal
quale la canna viene eccitata” (vedi par. 3.1). In seguito a
suoi esperimenti conclude che, al contrario, “la maggior
parte del calo di frequenza è di gran lunga dovuta all’insufficiente apertura dell’estremità inferiore della canna”. Il
metodo di cui si servì consisteva nel comparare la frequenza fondamentale emessa da una canna eccitata (1) con un
diapason metallico, e successivamente (2) con l’usuale getto
d’aria; nel secondo caso la frequenza rilevata risultava essere nettamente più alta, il che portava quindi a escludere
che il getto d’aria fosse responsabile dell’aumento della correzione di bocca [101]. La quantificazione di tale correzione, contrariamente a quella relativa all’estremità superiore,
dipende quindi dalla conformazione che la bocca assume
nei vari registri e presso le differenti scuole. Nel 1930, A.E.
Bate confermerà che essa risulta non affetta dal movimento
della lama d’aria, proponendo per tale correzione Δm una
formula che forse è la prima a tale riguardo:
(∆ m ) = (πa 2 ) /(2k ( S / π )1/ 2 ) ,
dove a è il raggio della canna, S l’area della bocca, k una costante [102]. Altre formule, sempre approssimate, sono dovute
(∆ m ) ≅ (2.3a 2 ) /((lb)1/ 2 )
01-articolo storico.indd 13
a Jones (1941) e a Ingerslev & Frobenius (1947). Secondo questi due ultimi autori
(∆ m ) ≅ (2.3a 2 ) /((lb)1/ 2 ) ,
per una bocca di altezza l e larghezza b, di rapporto l / b ≅ 1/4
[103].
½
c = (P/) della correzione
3.4. Dipendenza dalla frequenza
di estremità: l’inarmonicità dei parziali superiori
Nel par. 3.2 abbiamo visto che la correzione di estremità superiore era considerata come
γ½dipendente dal solo diametro
del tubo, e quindi indipendente dalla frequenza. Nel 1854,
Antoine-Philibert Masson è il primo ad affermare che in= C p /C
v
vece (1) per canne delloγ stesso
diametro
essa dipende anche dalla lunghezza, e (2) in una stessa canna essa varia al
variare dell’armonico
Contestando la tesi opposta,
Cemesso.
p/Cv = 1.3748
sostenuta nel 1848-54 da Wertheim, egli fa osservare che dagli stessi rilevamenti di quest’ultimo risulta che tali parziali
sono progressivamente
crescenti
rispetto2 ai corrispondenti
2
d 2 v frequenza
4µ d v Conclude che
2 d v fondamentale.
multipli interi della
=c
+
2
2
la teoria dei tubi
dt sonori “pare
dx più
3ρincerta
dx 2 dtche mai”, dato
che “un principio ammesso da uno scienziato viene rigetdi acustica 13

 italiana2012
k Rivista
- VOL. 36, N. 4

c' = c1 − 1/ ottobre-dicembre
2 
 af 
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(4
Barbieri/Mathematical theory on flue organ pipes: a long struggle
Fig. 3.5. Diagrammi di irradiazione all’estremità superiore di un tubo
cilindrico munito di una flangia infinita (simile a quella di Fig. 3.3), per
differenti valori di ka = 2πa/λ = (2πa/c)f, dove a è il raggio del cilindro
e c la velocità del suono. All’interno dei riquadri è riportato il Directivity Index, in corrispondenza dell’angolo 0° [99]. La schematizzazione
di Helmholtz e Rayleigh è valida fino a che λ >> a, cioè per gli armonici
gravi (ka = 1).
Directivity patterns for the upper end of a cylindrical pipe in an infinite flange (similar to that of Fig. 3.3) for ka = 2πa/λ = (2πa/c)f, where
a is the radius of the pipe and c the sound velocity. The boxes give the
Directivity Index at 0° angle [99]. The schematization by Helmholtz
and Rayleigh is valid only for λ >> a, i.e. for low frequencies (ka = 1).
tato dall’altro, e spesso senza prove” [104]. Nel 1855 anche
Friedrich G.K. Zamminer contesterà Wertheim, sostenendo che tali correzioni “non sono indipendenti dalla dimensione longitudinale della canna” [105]. Le misure di Zamminer portavano a una correzione di estremità calante con
la frequenza: risultati diametralmente opposti a quelli che
verranno rilevati nel 1877 da Bosanquet [106]. Quanto alle
risonanze naturali superiori, Helmholtz era a conoscenza
che quelle emesse dalle canne di taglio largo sono progressivamente crescenti rispetto alle corrispondenti della serie
”armonica”, ma in nessuno dei suoi scritti mette ciò in relazione con la correzione di estremità [107]. La contraddittorietà dei dati a disposizione, nonostante le misure del 1881 di
Rudolph König ottenute con nuova strumentazione fossero
in parziale accordo con la tesi di Zamminer [108], ancora
nel 1896 pesavano tanto da indurre Rayleigh ad affermare
che a riguardo “there is at present no theory” [109]. Per così
piccoli valori della correzione, fa osservare che gli scarti tra
misura sperimentale e calcolo teorico assumevano un peso
determinante; le misure di frequenza venivano infatti effettuate ancora tramite monocordi o risonatori a cavità regolabile. Nel 1929, Henri Bouasse osserverà che, “benchè la
questione sia dibattuta da cento anni, non sappiamo niente
di definitivo” a riguardo; aggiunge che tali correzioni erano
per lo più ritenute indipendenti dalla frequenza, facendo
però rilevare - forse tenendo presente i rilevamenti di König - che tale ipotesi dovrebbe essere falsa nel caso in cui i
parziali superiori non risultassero essere multipli interi del
fondamentale [110]. L’anno successivo, pur con più moder-
na strumentazione, fisici quali Irons e Bate non rileveranno alcuna dipendenza dalla frequenza della correzione di
estremità [111,112]. Ancora una decina di anni dopo, alla
conclusione di una nuova ricerca, Bate e Wilson affermano
[113]: “La correzione di estremità risulta essere indipendente dalla frequenza in una canna cilindrica, ma varia con essa
nelle canne coniche”.
Già nel 1926 - in seguito a considerazioni di tipo analitico, seppure non rigorose - Irving B. Crandall era giunto
alla conclusione che la correzione di estremità “diventa più
piccola quando si raggiungono parziali acuti, per cui i rapporti armonici non sono più validi” [116]. La questione verrà definitivamente risolta nel 1948, con lo studio analitico
di Levine e Schwinger. Dal loro grafico (Fig. 3.6a), si vede
che il valore 0.6a assunto dalla correzione di estremità alle
basse frequenze cala progressivamente al crescere di queste
ultime. Ciò ha importanti ripercussioni nella pratica. Dato
che il valore della correzione viene fissato dall’organaro in
corrispondenza dell’armonico fondamentale (cioè dalla
nota emessa, che lui accorda a orecchio, senza ricorrere alle
formule di cui sopra), esso risulta essere eccessivo per le risonanze superiori, che di conseguenza risultano progressivamente crescenti rispetto alle armoniche emesse dalla lama
d’aria, la quale - a causa delle riflessioni d’onda alle estremità del tubo, rigorosamente periodiche - è animata da un
moto periodico e quindi necessariamente caratterizzato da
uno spettro strettamente armonico. Tale sfasamento cresce
passando dalle canne di taglio stretto (dei registri “violeggianti”) a quelle di taglio largo (dei registri “flautati”), per
cui queste ultime risulteranno essere più povere di armonici,
essendo quelli emessi dalla bocca sempre più sfasati rispetto
alle frequenze naturali del risonatore e quindi sempre meno
esaltati al crescere della frequenza.
Le ricerche sulla correzione di estremità superiore possono comunque ritenersi completate solo nel 1960, quando
Nomura, Yamamura e Inawashiro risolsero, anche per le risonanze superiori, il difficile problema della canna cilindrica
munita di una flangia infinitamente estesa; abbiamo infatti
visto che questo caso, come del resto il precedente, era stato
precedentemente risolto solo con riferimento alla frequenza
fondamentale (Fig. 3.6b). Dato che il procedimento di Levine e Schwinger non è questa volta applicabile, i tre fisici della
Tôhoku University si servirono di un altro metodo, pervenendo a risultati che, per le risonanze superiori, si avvicinano
progressivamente a quelle della canna priva di flangia, tendenza che sotto l’aspetto puramente qualitativo era del resto
facilmente prevedibile sulla base dei diagrammi di irradiazione di Fig. 3.5.
3.5. La correzione di lunghezza
dovuta alle operazioni di accordatura
Già nel 1767 Giordano Riccati aveva cercato di spiegare gli
effetti dello “svasamento” o contrazione alla sommità della
canna, provocato dall’azione dei coni di accordatura dell’organaro, confrontando una canna cilindrica con una della
stessa lunghezza avente andamento conico, diritto o rovesciato [117]. Il procedimento non era però quello corretto. Il
fenomeno verrà quantitativamente analizzato solo alla fine
del secolo XIX, sempre da Rayleigh, il quale calcola la correzione di lunghezza relativa a un allargamento o contrazione praticati in un punto qualsiasi di un tubo cilindrico [118].
Dalla sua analisi risulta che, in una canna aperta, la frequenza
fondamentale cresce se essa viene allargata in corrispondenza
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Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria
a)
b)
Fig. 3.6. a) sinistra. Correzione di estremità (Lc) in funzione della frequenza degli armonici di una canna cilindrica di raggio a,
dove ka = (2π/λ)a = (2πa/c) f [114]. b) destra. Correzione di estremità (l) di una canna cilindrica di raggio a, munita di una flangia di area infinita
(curva a tratto pieno), e priva di detta flangia, come nel caso precedente (curva inferiore, a tratteggio) [115].
a) left) Open-end correction (Lc) plotted against the wavelength of the harmonics of a cylindrical pipe with radius a [114].
It should be noted that ka = (2π/λ)a = (2πa/c) f. b), right. Same case, but for a cylindrical pipe fitted with an infinite flange,
where the dashed curve represents the unflanged value, and l/a is the open-end correction/radius of the pipe [115].
di un nodo di pressione (cioè agli estremi) oppure contratta
in corrispondenza di un antinodo, sempre di pressione (cioè
nel mezzo); invertendo le operazioni la nota emessa cala. Nei
punti intermedi, tra nodi e antinodi, una leggera variazione di
sezione non produce invece sensibili effetti. Dato che queste
osservazioni valgono anche per una qualunque delle risonanze superiori, in fase di accordatura esse risultano essere di fondamentale importanza anche per la rifinitura del canneggio
degli strumenti a fiato [119].
4. Perdite termiche e per attrito
Fino alla fine del secolo XVIII tutti i problemi meccanici
venivano trattati astraendo dall’attrito dei fluidi. Tale componente cominciò a essere presa in considerazione solo nel
1801, quando Coulomb valutò la resistenza incontrata da
un corpo solido in movimento all’interno di un fluido, come
ad esempio un pendolo nell’aria [120]. Anche il problema
delle perdite di energia dei gas, a causa dell’attrito interno e
della potenza sonora irradiata alle estremità del tubo, non
era ancora avvertito nel secolo XVIII. Il fatto che in una
canna lasciata a se stessa le oscillazioni decadessero rapidamente, invece di continuare indefinitamente, era ad esempio
ascritto da Eulero alla imperfetta rigidità del tubo [121].
Benché le perdite per attrito dell’onda sulla parete interna della canna fossero già state ipotizzate nel secolo XVII,
esse verranno valutate sperimentalmente solo a partire dal
1804, da Jean-Henri Hassenfratz, e successivamente anche
analiticamente [122]. In seguito alla correzione apportata
da Laplace alla formula newtoniana della velocità del suono nell’aria libera, che sarà trattata nel par. 4.1, nel secolo
XIX verranno inoltre accertati scambi di calore tra onda e
parete del tubo. Vedremo che uno degli effetti delle suaccennate perdite termiche e per attrito sarà quello di far calare la
velocità di propagazione dell’onda all’interno della canna,
con conseguenti ripercussioni sulla formula che dà la frequenza della nota emessa.
4.1. La velocità del suono nell’aria libera
In seguito a ripetute verifiche sperimentali, la formula di
Newton relativa alla velocità del suono, c, si era dimostrata
inesatta: come visto nel par. 2.2, essa era data dalla formula
c = (P/ρ)½, con P pressione atmosferica e ρ densità dell’aria.
Le misure effettuate dalla Académie des sciences nel 1738
avevano in particolar modo accertato che essa dava luogo
a valori in difetto di quasi il 20%. Fra le numerose ipotesi
di correzione si dimostrò esatta quella proposta da Laplace molto più tardi, a fine secolo.
L’idea era la seguente. Nella formula di Newton tutti
i punti dell’onda acustica si suppongono alla stessa temperatura e la sua propagazione è quindi di tipo isotermico. Laplace suppone invece che la temperatura tenda
a salire in quelle parti dell’onda in cui l’aria è compressa
(massimi) e a calare in quelle in cui si espande (valli). La
differenza tra i massimi e minimi di pressione viene così
accresciuta, e - in corrispondenza delle usuali lunghezze
d’onda acustiche - picchi e valli sono così distanti che nel
breve istante richiesto dal loro passaggio non può avvenire
alcuno scambio di calore, per cui il loro comportamento
può essere definito - con moderna terminologia - adiabatico [123]. Ciò fa crescere la bulk elasticity del mezzo di trasmissione, e quindi la velocità di propagazione dell’onda.
Nella cronologia seguente vedremo come questa ipotesi
venne quantificata.
1802. Laplace comunica la sua idea al giovane collega Biot e gli chiede di indagare se sia possibile ridurla a
formula. A quei tempi la termodinamica era ancora sul
nascere, per cui Biot - disponendo del solo coefficiente
di espansione dei gas - perviene a risultati che lui stesso
confessa essere distanti dal valore della velocità fornita
dall’esperienza [124] [125].
1808. Anche per Poisson “mancano esperienze dirette
per determinare la quantità di calore che si manifesta nella
compressione dell’aria”, per cui si limita a osservare che il
valore della velocità del suono derivante dalla formula newtoniana (282.42 m/s) dev’essere moltiplicato per il fattore
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Barbieri/Mathematical theory on flue organ pipes: a long struggle
1.4254½ (= 1.1939) per adeguarlo a quello fornito dai rilevamenti del 1738 (337.18 m/s) [126]. E tale è la formula
empirica di cui si servivano i fisici del tempo, riportata ancora nel 1816 nell’autorevole Traité di Biot [127].
1816. Laplace riesce a individuare il corretto fattore di
cui sopra, che risulta essere pari a γ ½, dove γ = Cp/Cv è
il rapporto dei calori specifici dell’aria, rispettivamente, a
pressione costante e a volume costante. Secondo le misure
di laboratorio allora disponibili, ancora inesatte, γ era numericamente pari a 3/2 (valore tutt’oggi assunto per i gas
perfetti). Ciò porta a un valore leggermente eccedente i rilevamenti del 1738, per cui Laplace auspica l’effettuazione
di misure più precise a riguardo [128].
1819-22. Tali misure vengono effettuate da Désormes
e Clément (1819) e da Gay-Lussac e Welter (1822); anche
la misura di questi ultimi era comunque ancora imprecisa,
avendo fornito Cp/Cv = 1.3748 [129-131].
1823. Poisson perviene allo stesso fattore correttivo
visto nel 1816, ma - come farà osservare Dulong qualche
anno dopo - “mediante un calcolo più diretto e completamente scevro dalle ipotesi assai poco probabili di Laplace” [132].
1828. Per l’air athmospherique Dulong ottiene
Cp/Cv = 1.421 (per l’aria, oggi il valore assunto per tale
rapporto è 1.4). Rileva inoltre il valore che tale rapporto
presenta anche per altri gas. Essendo però quella del Cv
la misura più difficoltosa, egli ricorre a un metodo indiretto, ricavandola dal valore dalla velocità assunto dal
suono nei vari gas. Per quest’ultima si avvale dello stesso metodo già escogitato da Chladni, misurando cioè la
lunghezza geometrica L e la frequenza f di una canna
d’organo immessa nel gas in esame e ricavando la velocità del suono dalla nota equazione f = c/2L [133]. Metodo
che però avrebbe fornito risultati imprecisi anche nelle
esperienze condotte da successivi ricercatori, essendo incerto il valore della correzione di estremità e inoltre, ma
questo si saprà con certezza solo a partire dal 1867, essendo la velocità del suono all’interno di un tubo minore
di quella nell’aria libera.
1851. La correzione di Laplace viene messa in discussione da Richard Potter, le cui obiezioni vengono però confutate da fisici quali Rankine, Stokes, e Haughton [134].
4.2. Fluidi ideali e reali
Basandosi sui rilevamenti di Pierre-Simon Girard (181315), nelle sue memorie del 1821-23 il fisicoDIDASCALIE
e ingegnere
Claude Navier rileva che la velocità di efflusso di un liquido attraverso un tubo stretto è inferiore a quella calcolabile con le equazioni di Eulero e d’Alembert. Questi ultimi,
fa osservare Navier, avevano infatti trascurato l’azione
dell’attrito interno (cioè quello tra le particelle liquide) e di
quello tra liquido e parete del tubo. A causa di tale fattore, la velocità dei diversi strati del liquido decresce andando dal centro alla parete. Egli conclude che, mentre nella
condizione statica tra tali strati agiscono solo forze a loro
perpendicolari, in quella dinamica devono subentrare anche forze tangenziali dovute all’attrito. Introduce quindi
nelle summenzionate equazioni dei fattori correttivi [135].
In seguito ad analoghe esperienze relative ai gas, successivamente effettuate sempre da Girard (1821-22), nel 1830
Navier ipotizza poi che tali attriti si verifichino anche nelle
condotte di gas, come ad esempio in quelle relative agli
impianti di illuminazione [136].
Anche Poisson, a partire dal 1828, si era interessato
all’argomento, cui era subito seguita una querelle innescata da Navier su questioni di priorità, conclusasi poi con un
deciso intervento dell’astronomo Dominique-François-Jean Arago [137-139]. Nel 1831, sempre a causa dell’attrito
dei gas nei tubi, Poisson ipotizza che la velocità del suono nell’aria libera sia maggiore
di quella / all’interno
degli
2
(∆Già
a 2 ) /(esperienze
2k ( S / π )1di
)Dulong (1829)
m ) =le(π
strumenti a fiato.
citate
avevano dato risultati in accordo con tale ipotesi, ma Dulong stesso - tenendo conto delle incertezze delle misure aveva ritenuto quest’ultima “poco probabile”, benchè fosse stato il primo ad avanzarla 2[140,141].
Riferendosi alla
(∆ ) ≅ (2.3a ) /((lb)1/ 2 )
memoria del 1831, mRayleigh dirà che “nel caso dei fluidi
compressibili, la teoria dell’attrito fu per la prima volta
fornita da Poisson” [142].
Nel 1845 George G. Stokes perverrà, per vie differenti, a equazioni relative alla
che riconoscec = fluidodinamica
(P/)½
rà essere “le stesse” di quelle di Navier e Poisson [143].
Nell’equazione dell’onda piana introdurrà inoltre una
correzione relativa alla viscosità
γ½ [144]; per la velocità v
delle particelle fluide di un’onda piana che si propaga in
un fluido non sottoposto a forze, quando in condizioni di
Cp/Cv sono costanti, introequilibrio la densità ρ e γla=pressione
ducendo le forze tangenziali dovute al coefficiente di viCp/Cv = 1.3748
scosità μ ottiene un’equazione
da lui riportata nella forma
seguente:
2
d 2v
4µ d 2 v
2 d v
,
=
+
c
dt 2
dx 2 3ρ dx 2 dt
dove c è la velocità del suono
 nelk fluido
 in questione. Come

− 1trovata
si vede, l’equazionec' =
è cla1stessa
da Lagrange (eq.
af / 2 dovuto
 termine

2.3), cui viene aggiunto il
alla viscosità. A
un’identica formula perverrà anche Rayleigh [145]. Sulla
base di tale sua correzione, riguardo alla ipotizzata ridotta
velocità del suono all’interno
/a un tubo, Stokes si dichiaf1/2di
rerà comunque in disaccordo con Poisson, ritenendo poco
probabile la produzione
2adiL effetti
/ (a2così
L) =sensibili
2/a da parte del
coefficiente di viscosità, essendo quest’ultimo di modesta
entità [146]. Servendosi proprio della sua formula verrà
poco dopo accertato che tali effetti −1
invece ci sono, come ora
c − c’ ∝ a
vedremo.
4.3. Velocità del suono e perdite nelle canne d’organo
Nel 1849 il problema viene esaminato analiticamente da
Jean-Marie-C. Duhamel, che però effettua i suoi calcoli
senza essere a conoscenza della summenzionata correzione
dovuta alla viscosità, per cui non rileva alcuna divergenza
2
tra la velocità R
del= suono
tubi e quella nell’aria
libera;
Rm + Rnei
p = τ(L + e)/a
conosce l’ipotesi di Poisson, ma dice che la discuterà in
altra occasione [147] (un estratto di tale memoria
fu da lui
R = Rm +giàRpnel
= τ(L
e)/ail2 che potrebbe
comunque pubblicato
1839+ [148],
spiegare la non conoscenza, da parte di tale celebre mate2
Rm = Lτ/
aattrito).
matico, delle perdite dell’onda
per
Alla stessa conclusione era giunto Wertheim, al termine delle sue ricerche
sperimentali del 1848 relative alla quantificazione della
correzione di estremità,
il che 1/2
verrà
c(S/VL)
/2 in seguito annoverato tra le fonti di errore nelle sue misurazioni [149]; stessa
 nel 1856 [150]. Wertheim
ipotesi sarà assunta da Masson
aveva esteso le sue esperienze ai fluidi incompressibili, mediante l’ausilio di una speciale canna d’organo utilizzante
un liquido al posto dell’aria: esse, per l’acqua, avevano
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(4.
(∆ m ) ≅ (2.3a 2 ) /((lb)1/ 2 )
Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria
c = (P/)½
fornito una velocità del suono assai inferiore a quella misurata nel lago di Ginevra una ventina di anni prima, ed
è quindi strano che tale marcata
divergenza non lo abbia
γ½
insospettito [151].
Nel 1863, Helmholtz nota che la formula relativa alla
γ = Cp/Ccui
v era pervenuto analiticorrezione di estremità superiore,
camente nel 1860, non è in pieno accordo con i rilevamenti
effettuati da ZamminerCnel
(par. 3.4). Dato che tale dip/C1855
v = 1.3748
scordanza è rilevante soprattutto nelle canne di piccolo diametro, intuisce che essa è dovuta al calo di velocità causato
dall’attrito dell’aria2 sulle pareti.
Elabora quindi
una nuova
2
d v
4µ d 2 v
2 d v
formula, che tiene conto
del
coefficiente
di
viscosità
di Sto=c
+
2
dt 2
dxseguente:
3ρ dx 2 dt
kes. Essa è sostanzialmente
la

k 
c' = c1 − 1/ 2  ,
 af 
(4.1)
dove c’ e c sono, rispettivamente, le velocità del suono nel
1/2
tubo e nell’aria libera, a il fraggio,
/a f la frequenza e k una
costante che tiene conto del coefficiente di viscosità. Con2
clude che, nei tubi di2a
piccolo
L / (adiametro,
L) = 2/atale riduzione di
velocità equivarrebbe a una riduzione della loro lunghezza
dell’1% abbondante. Oltre a incidere sulla velocità, le perdite tra fluido e parete producono−1anche una attenuazioc − c’
∝a
ne dell’intensità dell’onda,
inizialmente
valutata da Helmholtz sempre nel 1863, che la stimò essere proporzionale
a f1/2/a [152].
DASCALIE
Nel 1866, August Kundt inventa un ingegnoso apparato
che permette di determinare con esattezza la posizione dei
nodi di vibrazione all’interno di un tubo [153]. Nella nota
formula f = c/2L la L acustica è quindi finalmente nota, per
cui il valore di c da essa ricavato è affidabile. 2In una succesR = Rm + Rp = τ(L + e)/a
siva memoria del 1867 Kundt dimostra sperimentalmente,
servendosi appunto di tale suo apparato, che 2all’interno dei
R=
Rm + Rdella
+ e)/che
a dello scambio
p = τ(L
tubi la c cala sia
a causa
viscosità
termico tra onda e parete [154,155]. Riguardo a quest’ultiRm = Lτ/a2
mo precisa:
1. La c cala al diminuire del raggio a. Essendo il rapporto tra
l’area della parete e il volume del tubo inversamente pro2
1/2
porzionale ad a (essoc(S/VL)
è pari a 2aπL/(a
/2 πL) = 2/a), gli scambi termici aumentano infatti al calare di a. Effetto analogo
 essendo equivalente a un
produce una parete non liscia,
aumento della sua superficie.
2. La c cala anche al diminuire della frequenza, avendo più
tempo i picchi e le valli dell’onda per - rispettivamente cedere o assorbire calore (osservazione che era stata già
avanzata da Dulong nel 1829 [156]).
Al diminuire del raggio e della frequenza la c si avvicina quindi sempre più al valore newtoniano, scendendo
la costante adiabatica γ da 1.4 al valore che caratterizza
il comportamento isotermico: γ = 1 [157]; nelle sue misure Kundt riferisce di essersi spinto fino a valori intermedi
tra i due estremi. Ulteriori indagini sperimentali verranno
pubblicate da Regnault nel 1858 [158]. Queste ultime solo
in parte concordano con quelle di Kundt e, almeno dai fisici francesi, vennero giudicate più attendibili di quelle del
tedesco: essendo state effettuate su lunghe condotte d’acqua, la velocità veniva infatti rilevata direttamente mediante una sofisticata misura cronometrica del tempo di
percorrenza del segnale acustico, e non più con il vecchio e
da molti discusso metodo delle concamerazioni dell’onda
stazionaria.
Sotto l’aspetto quantitativo, nei tubi sottili i rilevamenti di Kundt davano valori di velocità ancora più ridotti di quelli deducibili dalla summenzionata formula di
Helmholtz. In base a tali rilevamenti, nel 1868 Kirchhoff
effettua ulteriori indagini analitiche, aggiungendo gli effetti dello scambio di calore tra aria e parete, e ottiene
una soluzione del problema nella forma di una complessa
equazione trascendente, della quale una iniziale soluzione
approssimata viene fornita da lui stesso per tubi “larghi”:
formula del tutto simile alla eq. (4.1), nella quale però il
coefficiente k tiene conto sia della viscosità che delle perdite termiche [159]. Heinrich Schneebeli, fisico ventenne
di Zürich, nel 1869 effettua delle verifiche sperimentali
che risultano però essere solo in parziale accordo con tale
nuova formula; egli trova che quest’ultima avrebbe dovu(4.1)
to essere
corretta imponendo che la variazione tra le due
velocità, esterna (c) e interna (c’), dovesse essere proporzionale all’inverso del raggio, cioè c − c’ ∝ a−1 [160]; conclusione che però sembra essere in conflitto con alcuni dei
dati da lui stesso pubblicati, stando almeno a un abstract
della sua memoria apparso sempre nel 1869 [161]. L’anno
successivo la formula di Kirchhoff viene controllata sperimentalmente anche da Adolf Seebeck, su tubi di vari materiali ed eventuale rivestimento interno di stoffa, e anche
in questo caso essa viene confermata solo parzialmente;
secondo tale autore, al variare della frequenza le perdite
dovrebbero infatti essere inversamente proporzionali non
a f 1/2, ma a f 3/2 [162,163].
Tutto ciò stimolò l’elaborazione di altre soluzioni matematiche approssimate, valide per canne appartenenti a differenti valori di diametro. Rayleigh - avendo osservato che
sia l’equazione del tipo (4.1) sia quella esprimente l’attenuazione dell’onda sono accettabili per valori non troppo elevati, rispetto al raggio a, dello strato viscoso e termico più
esterno - alla fine del secolo pubblica una soluzione valida
per tubi “sottili” [164]. Le formule di Kirchhoff e Rayleigh
erano ancora accettate nel 1928, e sembrarono essere quelle
definitive [165]. Nel decennio 1930-40, non tutti i numerosi
ricercatori dai quali furono controllate sperimentalmente
ottennero comunque risultati in accordo tra loro (vedi ad
esempio la rassegna pubblicata da Lawley [166]). Successivamente furono identificati altri fattori di perdita, come la
bulk viscosity, della quale si ebbe piena conoscenza verso
il 1950, e, ancora dopo, la teoria del vibrational relaxation
process nell’aria, che già nel 1899 era comunque stata anticipata da Rayleigh: essi confermarono che le summenzionate formule fornivano valori per difetto [167-171]. Nel 1968
Arthur H. Benade elaborò ulteriori formule, valide per i casi
più comunemente incontrati nella pratica [172,173]. Soluzioni numeriche ancora più generali furono proposte alcuni
anni dopo [174-176].
Riguardo poi alle perdite per viscosità interne alla
massa d’aria, Rayleigh - sviluppando la summenzionata
equazione di Stokes - osserverà che esse sono sensibili
unicamente in grandi volumi (e quindi su distanze di propagazione significative) e per alte frequenze, concludendo:
“La maggiore dolcezza dei suoni dovuta alla distanza,
come si osserva nelle regioni montagnose, è forse da attribuirsi all’attrito, in seguito al quale le componenti più
acute e più pungenti vengono progressivamente eliminate”
[177]. Oggi, ad esempio, se ne tiene conto nella progettazione acustica dei grandi auditorium e negli studi sulla
propagazione del suono a lunga distanza.
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emessa da un registro organistico “flautato” e la stessa nota
emessa da un registro “violeggiante”. In questo paragrafo vedremo come si venne a formare la teoria del timbro
e come quindi si riuscì a rispondere anche a questo ultimo
interrogativo.
Fig. 5.1. Primo esempio di somma geometrica di due armonici [187].
Nella Fig. 6 Daniel Bernoulli, che nel 1753 effettuò tali grafici, esegue
la somma della “courbe fondamentale de M. Taylor” (Fig. 1) con una
corrispondente alla sua ottava (Fig. 2). Aggiunge che ciò può essere
fatto anche con i rimanenti armonici (Figg. 3, 4, 5), il che produrrebbe
quindi un “mêlange de plusieurs espèces de vibrations Tayloriennes”.
First example of geometrical sum of two harmonics [187]. In Fig. 6
Daniel Bernoulli, author of the graphs (1753), adds the “courbe fondamentale de M. Taylor” (Fig. 1) with the one corresponding to its octave
(Fig. 2). He says that this can also be done with the remaining harmonics (Figs. 3, 4, 5), thus obtaining a “mêlange de plusieurs espèces de
vibrations Tayloriennes”.
Fig. 5.2. Onda quadra, compresa tra y = ± π/4, dal manoscritto di
Joseph Fourier, Sur la propagation de la chaleur, c. 1807-09 [189]. In
tale manoscritto Fourier afferma correttamente che essa equivale alla
serie y = sinx + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x + ... A p. 221 passa
poi a scomporre correttamente l’onda a dente di sega.
Square wave, from the manuscript of Joseph Fourier Sur la propagation
de la chaleur, c. 1807-09 [189]. It ranges between y = ± π/4 and Fourier
already affirms correctly in this manuscript that it equals the series
y = sinx + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x + ... On p. 221 he then correctly
breaks down the sawtooth wave.
5. Il timbro, problema assai dibattuto
Sebbene la meccanica delle onde stazionarie fosse ormai
chiara sotto l’aspetto analitico, almeno fino alla seconda
metà del secolo XIX nessuno fu in grado di fornire una
spiegazione scientificamente soddisfacente della differente ”qualità del suono” esistente, ad esempio, tra una nota
5.1. Gli armonici di Bernoulli e la serie di Fourier
Nel par. 2.3 abbiamo visto che nel 1748 Eulero aveva rappresentato matematicamente la soluzione dell’equazione
della corda vibrante mediante una serie di onde sinusoidali di frequenza multipla della fondamentale e di opportuna ampiezza. Nel 1753 Daniel Bernoulli propone la stessa
soluzione, aggiungendo che con essa si può rappresentare qualunque curva; a tale riguardo allega degli esempi
di somma grafica di due armoniche, i primi del genere
(Fig. 5.1). In una replica apparsa in quello stesso volume
della Académie des sciences di Berlino, Eulero sostiene invece che la validità di tale serie non è affatto generale, ma
limitata ad alcune particolari curve [178]. I due autori ribadiranno le proprie idee ancora nel 1765 [179,180]. Dello
stesso parere di Eulero si dichiara Lagrange nel 1759, che
pure era pervenuto alla stessa soluzione e che in certi punti della sua memoria sembra persino dispiaciuto di non
poterla accettare nella sua generalità [181]. La teoria di
Bernoulli viene invece accettata da Giordano Riccati, che
pubblica curve originate dalla somma grafica di due armoniche [182]; tali ultime curve verranno portate ad esempio da Chladni [183]. Bernoulli vedeva inoltre in tale serie
il mezzo per poter finalmente giustificare sotto l’aspetto
fisico la propagazione contemporanea di varie onde nello stesso mezzo, tramite la somma di piccole oscillazioni
armoniche di determinata frequenza: altre teorie formulate a riguardo, tra cui quella di Jean-Jacques d’Ortous de
Mairan, si erano infatti dimostrate insufficienti [184]. Da
Lagrange ed Eulero essa veniva invece considerata una
semplice approssimazione matematica di particolari forme
d’onda; senza tenere conto delle numerose conferme sperimentali precedenti, a partire da quella di Mersenne, nel
1759 infatti Eulero sorprendentemente scrive a Lagrange:
“Riguardo ai suoni musicali, io sono perfettamente della
vostra opinione, Signore, che i suoni consonanti che il Sig.
Rameau pretende di udire da una stessa corda provengono dagli altri corpi messi in vibrazione” [185]. Ancora nel
1849 il dissidio tra le due teorie non risultava appianato e
venne ottimamente inquadrato dal matematico Jean-Marie-C. Duhamel: (1) Bernoulli sosteneva la scomposizione
di ogni suono nei suoi armonici, aggiungendo che l’esprit
riesce a percepirli separatamente; (2) invece “Lagrange
fece assai bene osservare che tale decomposizione del movimento era una concezione puramente geometrica, che
non aveva nulla a che fare col suono prodotto”, che quindi
rimaneva “unico” [186].
Il punto debole della tesi di Bernoulli era che essa veniva
da lui assunta come postulato, senza fornire alcun criterio
di calcolo dei coefficienti della serie né offrire alcun esempio
della sua applicazione a specifici tipi di curve. Ciò verrà invece fatto da Joseph Fourier, che in una memoria manoscritta
presentata nel 1807 all’Institut de France dimostrerà analiticamente la possibilità di scomporre qualunque funzione,
continua o discontinua, nella predetta serie trigonometrica,
allegando inoltre esempi pratici di scomposizione di alcuni
particolari tipi di onda (Fig. 5.2). Nell’edizione a stampa
del 1822 Fourier sottolineerà inoltre che tale suo teorema,
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nel caso della corda vibrante, scioglieva “le difficoltà che
inizialmente aveva presentato l’analisi di Daniel Bernoulli”
[188]. Nel par. 5.2 vedremo che l’esistenza di tali armonici
sarà riconosciuta come elemento fortemente caratterizzante
il timbro di un determinato suono, ma che la loro effettiva
percezione da parte dell’orecchio umano sarà accettata solo
nella seconda metà del secolo, in seguito a ripetute verifiche
sperimentali.
5.2. La “legge di Ohm” e il timbro delle canne d’organo
La prima concreta ipotesi sul differente timbro di una
data nota al variare dello strumento musicale o della vocale sulla quale viene cantata si deve a Eulero. Pur osteggiando la teoria degli armonici di Bernoulli, nel 1771 il
matematico svizzero ne individuò la ragione nel differente
profilo delle onde di pressione e spostamento delle particelle d’aria, caratterizzanti ciascun suono [190,191]. Che
il timbro fosse legato al numero e all’ampiezza delle armoniche non era del resto stato affermato neanche dallo
stesso Bernoulli. Il primo a farlo fu Gaspard Monge, il
fondatore della geometria descrittiva. Nel 1793 Antoine
Suremain de Missery scrive infatti, trattando di ciò che già
allora si chiamava timbre: “So bene che ho udito dire dal
Sig. Monge, dell’Accademia delle scienze, che ciò che determina questo o quel timbro non doveva essere altro che
questo o quell’ordine o questo o quel numero di vibrazioni
delle parti aliquote della corda che produce un suono di
quel dato timbro; [...] aggiungeva che, se si potesse giungere a sopprimere le vibrazioni delle parti aliquote, tutte
le corde sonore, di qualunque materia fossero, avrebbero
sicuramente lo stesso timbro” [192]. Tale ipotesi, mai da
Monge pubblicata, giacerà però ignorata fino a quando
verrà segnalata da Resal, nel 1874 [193]. Il fisico Biot, che
peraltro fece estese ricerche in campo acustico, nel 1816
- parlando del timbro - dimostrava ad esempio di vagare
ancora nel buio [194].
Nel 1839 Nicolas Savart inventò un metodo - forse il
primo in senso assoluto, ma di assai scomoda applicazione pratica - per effettuare l’analisi del contenuto in armoniche di un qualunque suono; esso, si spinge ad affermare,
offriva “il modo di analizzare un suono, di riconoscere la
maggiore o minore purezza di cui gode, e forse di individuare le cause alle quali attribuire il timbro che lo caratterizza” [195]. Fra i fisici del tempo l’associazione del
contenuto in armoniche col timbro di un dato suono era
evidentemente già nell’aria.
L’ipotesi di Monge e di N. Savart verrà indipendentemente riformulata da Georg Simon Ohm nel 1843, e
passerà alla storia col suo nome [196]. Tale sua teoria fu
subito contestata da L.F.W. August Seebeck, che per la
sintesi dei suoni si serviva di un modello di sirena di sua
invenzione. Nel corso del 1843-44 ciò diede origine a una
breve ma accesa querelle fra i due fisici [197-200]. La contestazione di Seebeck partiva dalle radici, dato che veniva
messo in discussione l’effettivo ruolo degli armonici [201].
La principale asserzione della famosa “legge acustica” di
Ohm era che il pitch (“altezza”) di un dato suono poteva essere percepito solo se la sua forma d’onda conteneva
un’armonica fondamentale di rilevante ampiezza; in uno
dei suoi esperimenti del 1841, Seebeck, al contrario, percepiva una decisa sensazione di pitch anche se il suono
conteneva un’armonica fondamentale di ampiezza assai
piccola rispetto alle rimanenti. Piuttosto che sul timbro,
la disputa tra i due scienziati si focalizzava quindi sul problema della percezione del pitch, e in particolar modo sul
problema oggi noto come “fondamentale mancante” (a
riguardo vedi ref. [202]).
Il fatto è che la “legge di Ohm” acustica attendeva ancora una verifica sperimentale, atta a dimostrare che l’orecchio è in grado di percepire individualmente i singoli suoni
parziali emessi da un corpo vibrante. Una prima dimostrazione fu effettuata nel 1849 dal summenzionato Duhamel.
Munitosi di una piastra metallica, ne localizzò le zone antinodali corrispondenti ai vari modi di vibrazione; eccitando
i bordi della piastra con un archetto da violino, questi ultimi si potevano poi sentire separatamente attaccando a detti
antinodi una delle estremità di un filo elastico e accostando
poi l’altra all’orecchio. Duhamel poteva quindi concludere:
“Quando il nostro apparato uditivo è soggetto a un movimento che può essere scomposto geometricamente in molti
altri che, se esistessero separatamente, farebbero sentire dei
suoni differenti, generalmente noi percepiamo tutti questi
suoni contemporaneamente” [203]. Sempre nel 1849, tal J.
Antoine farà piuttosto criticamente osservare che della dimostrazione di Duhamel non c’era peraltro alcun bisogno,
dato che gli armonici erano già stati individuati a orecchio
da Mersenne (1636-37) e - direttamente sulla corda vibrante, mediante la localizzazione dei nodi - isolati uno per uno
da Noble e Pigot (1673), e successivamente anche da Sauveur (c. 1700) [204].
A partire dalla metà del secolo, la legge di Ohm cominciò
comunque a trovare più solide conferme grazie all’impiego
di sempre più perfezionati analizzatori di spettro, primi fra
tutti i risonatori a cavità di cui si serviva Helmholtz [205]. La
strumentazione a riguardo di cui disponevano i ricercatori del
tempo, tutta ancora di tipo meccanico, viene descritta da Mayer [206] e Ganot [207]. In particolare si segnala:
• L’analizzatore a fiamme manometriche di Rudolph König
[208].
• L’analizzatore-sintetizzatore ideato nel 1874 da Alfred M.
Mayer, col principale fine di dimostrare la validità della
legge di Ohm [209,210].
• Il registratore grafico di forma d’onda utilizzato nel 1870
da Cornu e Mercadier nella loro indagine sull’intonazione
violinistica [211,212].
• Il dispositivo, ideato da König nel 1881, che permetteva di
misurare la lunghezza d’onda degli armonici della canna
d’organo ad anima di cui era dotato, lunga 233 cm [213].
Nonostante le suaccennate conferme sperimentali, alcune eccezioni alla legge di Ohm cominciavano però a emergere. La prima di esse fu segnalata nel 1874 dal già citato
Alfred Mayer, che - pur evitando alcun riferimento a detta
legge, della quale due anni prima aveva dimostrato la validità - fu uno dei primi a rilevare sperimentalmente che i suoni di bassa frequenza possono mascherare completamente
quelli più acuti di minore intensità [214,215]. Nel 1881 Bosanquet fece poi notare che quando due suoni sono sufficientemente vicini in frequenza l’orecchio ne percepisce uno
solo, e non due distinti, come invece prescriverebbe la legge
summenzionata [216]. Si deve inoltre sottolineare che detta
legge prende in considerazione solo l’ampiezza dei singoli
armonici, trascurando la loro fase relativa: esperimenti effettuati da R. Patterson nel 1973 dimostrarono invece che
la fase, pur non influendo sull’altezza del suono (pitch), può
influire sulla percezione del timbro [217]. Con lo sviluppo della psicoacustica, altre anomalie verranno segnalate,
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come il già citato fenomeno del fondamentale mancante. Le
obiezioni di August Seebeck a tale legge si rivelavano quindi
non del tutto infondate.
Obiezioni sulla sua validità a parte, ripercussioni pratiche tale teoria comunque sicuramente ne ebbe. Grazie ad
essa fu ad esempio finalmente possibile spiegare la differenza di timbro tra le canne d’organo di taglio largo e stretto,
e inoltre, elaborata come teoria formantica, di rendere ragione della denominazione - già anticamente data, ma mai
scientificamente spiegata - del registro ad ancia denominato
“Vox humana” [218]. Essa inoltre stimolò il rilevamento
sperimentale degli armonici emessi dai differenti strumenti musicali. David J. Blaikley, che nel 1878-80 fu il primo
a effettuare tali misure in modo sistematico, dichiara ad
esempio a tale riguardo: “In tali esperimenti ho cercato di
raccogliere prove in supporto della teoria di Helmholtz dei
suoni composti” [219].
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[217] Wightman, Green 1974 [202], 214.
[218] Barbieri P., La teoria ‘formantica’ dell’emissione
vocalica nelle prime macchine parlanti e nel registro organistico di Vox humana, Atti 39° Conv. naz. Associazione Italiana di Acustica, G. Brambilla, V. Gallo (eds),
Roma, 2012, CD (ISBN 978-88-88942-40-7).
[219] Blaikley D.J. (1879-80), On quality of tone in wind
instruments, Proc. Musical Association, 6th session, 7990: 85.
Dopo la laurea in ingegneria elettronica presso l’Università La Sapienza di Roma, Patrizio Barbieri ha lavorato e insegnato nel settore, anche negli Stati Uniti. Si è poi
dedicato alla musicologia, con enfasi sulla storia dell’acustica, dell’organologia, e
della stampa musicale. Al suo attivo ha due libri e più di un centinaio di articoli.
Nel 2008 ha ricevuto il Frances Densmore Prize, assegnato dalla American Musical Instrument Society per il migliore articolo in lingua inglese sugli strumenti musicali apparso nel biennio 2007-08. Ha insegnato all’Università di Lecce,
all’Università Gregoriana e all’Università di Roma Tor Vergata. È stato uno dei due
componenti della commissione tecnica per la ricostruzione dell’organo idraulico
tardorinascimentale di Villa d’Este, a Tivoli. Sito web: www.patriziobarbieri.it.
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